波浪理论

根据流体力学原理，在上述假定下的波浪运动为势运动，这种波浪称为势波。其水质点
的水平分速 u 和竖直分速 w 可由速度势函数φ=（x,z,t）导出，即
由流体的连续方程
u(x, z, t) = ∂∅ , w(x, z, t) = ∂∅
∂x
∂z
∂∅ + ∂∅ = 0
∂x ∂z
将二式联立可得势波运动的控制方程，即拉普拉斯（Laplace）方程：
波动现象的一个共同特征，就是水的自由表面呈周期性的起伏，水质点作有规律的振荡 运动，同时形成一点的速度向前传播。水质点作振荡运动时，波形的推进运动可用图 3-1 说 明。
图 3-1 波形的推进运动 在静止水面上取一系列彼此距离相等的水质点 O1、O2、O3、…，设水面波动时这些质 点各围绕其静止时的位置按圆形轨道作振荡运动。在时刻 t，上述质点位于实线表示的波面 上，或者说 t 时刻的波面是由上述相位一次落后（图中依次落后π/4）的水质点组成。经过 Δt 时刻后是水质点从 1、2、3、…的位置运动到 1’、2’、3’、…的位置。从而，组成了如图 中虚线表示的新波面，此即为我们所见的波形向前传播的现象。 现研究一列沿正 x 方向以波速 c 向前传播的二维运动的自由振荡推进波，如图 3-2 所示， x 轴位于静水面上，z 轴竖直向上为正，波浪在 xz 平面内运动。一般而言，任何一个特定的 波列可通过 H，T，h 或 H，L，h 确定，其中 H 为波谷底至波峰顶的垂直距离，称波高；L 为相邻两波峰顶的距离，即波长：波浪推进一个波长所需的时间为周期 T；h 为水深，指静 水面至海底的距离；η是波面至静水面的垂直距离。
和垂直分速 w 分别为
∂∅ πH ch[k(z + h)] u = ∂x = T sh(kh) cos(kx − σt)
∂∅ πH sh[k(z + h)] w = ∂z = T sh(kh) sin(kx − σt)
3
图 3-2 推进波各基本特征参数示意图
1
建立简单的波浪理论时，为了简化起见一般作如下假设
流体是均值和不可压缩的，其密度为一常数；流体是无黏性的理想流体；自由水面的压
力是均匀的且为常数；水流是无旋的；海底水平、不透水；流体上的质量力仅为重力，表面 张力和柯氏力可忽略不计；波浪属于平面运动，即在 xz 平面内作二维运动。
它表明波浪运动中的角频率σ、波数 k 和水深 h 之间存在的相互联系。 若将以上所得微浮波理论简化，可以得到深水和浅水两种极端情况的解。
深水波
∅0
=
gH ekz
2σ
sin(kx
−
σt)
浅水波
∅s
=
gH 2σ
sin(kx
−
σt)
根据势流理论，由式（3-12）可得流体内部任一点（x，z）处水质点运动的水平分速 u
一、概述 波浪理论是流体力学最古老的分支之一，它用流体力学的基本规律来揭示水波运动的内
在本质，如波浪场中的水质点速度分布和压力分布等。 目前，对于波浪作用的研究一般从两个领域进行。一个领域是对液体的波动从流体力学
的角度加以研究，研究液体内部各质点的运动状态，这种研究一般包括线性波浪理论和非线 性波浪理论两大类。另一个领域将海平面看做一个随机过程，研究其随机性，从而揭示波浪 内部波动能量的分布特性，从统计意义上对液体内部各质点的运动状态进行描述，研究其对 工程结构的作用。本文从第一个领域的研究出发对该理论进行阐述。
∅（x，z，t） = ∅（x − ct，z） 式中，c 为波速，x-ct 表示波浪沿 x 正方向推进。
从上面可以看出，描述波浪运动的方程（3-3）是线性的，但是边界条件（3-6）和（ 3-7） 是非线性的，所以，对于由方程式（3-3）和（3-5）~（3-8）构成了波动方程的定解问题仍 然是一个非线性问题，而对方程及非线性边界条件的不同处理形式，就形成了用于行波计算 的多种波浪理论。
2
二、微浮波方程及其解 根据上面的这些假定可知式（3-6）和（3-7）中的非线性项与线性项的比值是小量，可
以略去，方程中仅保留线性项，这样问题就得到简化。简化后，（3-6）和（3-7）可以分别 表示为
∂∅ ∂t
+
gη
=
0
二式联立可得
∂∅ − ∂η = 0
∂z ∂t
∂2∅ ∂t2
+
g
∂∅ ∂z
=
0,
(z
=
0)
对方程采用分离变量法，并利用边界条件，可得到势函数Φ的解为
∅ = gH ∙ ch[k(z+h)] ∙ sin(kx − σt)
2σ ch(kh)
此时，自由水面波面曲线由式（3-9）可得
η = H cos(kx − σt)
2
将（2-12）带入自由表面边界条件（3-11）可得色散方程
σ2 = gk ∙ th(kh)
∂x
+
(∂∅)2] ︱
∂z
z=η
+
gη
=
0
∂η + ∂η ∙ ∂∅ − ∂∅ = 0, (z = η)
∂t ∂x ∂z ∂z （3） 上、下两端边界条件。 对于简单波动，认为它在空间和时间上是周期性的，即：从空间和 时间上看，同一相位 点的波要素值是相同的。可以写成
∅（x，z，t） = ∅（x + L，z，t） = ∅（x，z，t + T) 其中，L、T 分别为波浪的波长和周期。 而对于二维波推进波，波场上下两端面边界条件可以写为：
∂2∅ ∂x2
+
∂2∅ ∂y2Leabharlann Baidu
=
0
求解上述方程，需要确定边界条件，二维波动满足的边界调节包括如下三种。
（1） 在海底表面，水质点垂直速度应为零，即
w︱z=−h = 0
也即
∂∅ = 0, (z = −h)
∂z （2） 在波面 z=η处，满足动力边界条件和运动边界条件，分别为
∂∅ ∂t
︱
z=η
+
1 2
[(∂∅)2