手拉手模型
要点一：手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点
结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：
例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =
(3)AE 与DC 之间的夹角为︒
60
(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //
变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，
证明（1）DBC ABE ∆≅∆
（2）DC AE =
（3）AE 与DC 之间的夹角为︒
60
（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠
变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =
(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60
(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠
例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？
例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交
于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？
例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？
（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？
倍长与中点有关的线段
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1
()2
AM AB AC <+．
M
C
B
A
【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．
F E C
B
A
【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：
AC BE =
F
E
D
C B
A
【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求
证：AF EF =
F
E
D
C
B
A
【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．
G
F
E
D
C
B
A
【练3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．
求证：EF ∥AB
F
A C
D E B
【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．
F
E
M
C
B
A
【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
【练2】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．
（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221
4
AD AB AC =+．
M
N
D
A
B
C
【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证
2CD EC =．
E
D
C
B A
【练1】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．
求证：2CD CE =
E
D
C
B A
★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题
里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方
1. 如图所示，ABC ∆中，0
45,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于D 。求证：AB=AC+CD 。
D
A
C
B
