最新线线角、线面角、二面角知识点及练习.优选

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。

几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 5题型三补形平移法求线线角 5题型四作垂线法求线面角 6题型五等体积法求线面角 7题型六定义法求二面角 7题型七三垂线法求二面角 8题型八垂面法求二面角 9题型九补棱法求二面角 10题型十射影面积法求二面角 11知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。

3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。

一、选择题(共8小题,每小题5.0分,共40分)1.有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条3.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC 所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4.两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，则该直线与这两个平行平面所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°6.在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°分卷II二、填空题(共6小题,每小题5.0分,共30分)7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8.直线l与平面α所成的角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.三、解答题(共3小题,每小题12.0分,共36分)10.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直．(1)求证：BD⊥平面ACEF；(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值．11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．12.a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为________．13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD，E为PB的中点．(1)证明：CE⊥AB；(2)若二面角P－CD－A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；(3)若AB＝kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．答案解析1.【答案】B【解析】由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.2.【答案】A【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．3.【答案】B【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别是为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝12AC，EG＝12BD.又∵AC＝BD，∴FG＝EG，∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.4.【答案】D【解析】设该直线与这两个平行平面所成角为α，∵两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，∴sinα＝1224＝12.∴α＝30°故选D.5.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】D【解析】如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.7.【答案】45°30°90°【解析】(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)连接A1D、AD1、BC1，A1D∩AD1＝O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.8.【答案】[30°，90°]【解析】直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.9.【答案】1【解析】∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.10.【答案】(1)证明∵ACEF为正方形，∴AF⊥AC，又∵平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF＝AC，∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，又AC⊥BD，AC∩AF＝A，∴BD⊥平面ACEF.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE，则由(1)知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则OC＝OD＝2，CE＝AC＝22，DE＝DC2+CE2＝23，＝∴sin∠OED＝ODDE∴直线DE与平面ACEF【解析】11.【答案】(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角．12.【答案】70°，90°【解析】设平面α上两条直线m ，n 分别满足m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 相交，且夹角为40°，若直线c 与a ，b 均异面，且所成角均为θ，则直线c 与m ，n 所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c ，当θ＝20°时，这样的c 只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c 有两条，当θ＝70°时，这样的c 有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c 有四条，当θ＝90°时，这样的c 只有一条，故答案为70°，90°.13.【答案】(1)证明取AB 的中点F ，连接EF 、FC ，则EF ∥PA ，CF ∥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴EF ⊥AB ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥CF ，∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，∴AB ⊥平面EFC ，∵CE ⊂平面EFC ，∴CE ⊥AB .(2)解∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角P －CD －A 的平面角，∴∠PDA ＝60°，∴PA ＝3AD ，∵AB ＝AD ＝2CD ，∴PA ＝3AB ＝3AD ，由(1)知，∠CEF 为CE 与平面PAB 所成的角，∵tan ∠CEF ＝CF EF ＝AD EF ＝∴直线CE与平面PAB(3)解过P作PG∥CD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，PG⊥PD，∴∠APD为所求锐二面角的平面角，∴cos∠APD＝PA＝PD。

B 1D 1A DC 1B C A 1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2,E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=，AD 、BC 所成的角为 .32.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). (B). (C). (D). 463662633.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直αa 3πa α线所成的角的取值范围是 ．4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．二、典型例题例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形A C B D A P CABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角;(2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=. (1)若D 为BC 的中点,E 为线a 2段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平a 2面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.一、知识与方法要点：A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F D A CB F E1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。

金牌教育二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小A B CD A 1 B 1C 1D 1E O金牌教育例、如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小. 三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的例、如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的大小。

专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。

其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。

方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

BMH S CA _ C _1_1_ A _1A_ C一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。

3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。

2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。

二面角就是该夹角或其补角。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。

例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.A 1D 1B 1C 1 EDBCA巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。

B 1D 1A DC 1BCA 1線線角與線面角習題一、復習目標1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )(A).46 (B).36 (C).62 (D).633.平面α與直線a 所成の角為3π,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是 ．4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是貼於桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值 是 ． 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形ABEF 所在平面成60ο角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線 或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容 易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要 有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.例2.如圖在正方體AC 1中, (1) 求BC 1與平面ACC 1A 1所成の角; (2) 求A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.備課說明:求直線與平面所成角の關鍵是找直線在此平面上の射影,為此必須在這條直線上找一點作平面の垂線. 作垂線の方法常採用:①利用平面垂直の性質找平面の垂線.②點の射影在面內の特殊位置.A CB AD C 1D 1A 1B 1CB D A BPC D A C BF E例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 為棱BB 1上一點,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 為BC の中點,E 為線段AD 上不同於A 、D の任意一點,證明：EF ⊥FC 1; (2)試問:若AB=a 2,線上段AD 上のE 點能否使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角,為什麼?證明你の結論. 備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、回饋練習1設集合A 、B 、C 分別表示異面直線所成の角、平面の斜線與平面所成の角、直線與平面所成の角の取值範圍,則 (A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.2兩條直線a ,b 與平面α所成の角相等,則直線a ,b の位置關係是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設棱長為1の正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分別為AA 1和BB 1の中點，則直線CM 和D 1N 所成角の正弦值為 . 4已知a 、b 是一對異面直線，且a 、b 成60o 角，則在過空間任意點P の所有直線中，與a 、b 均成60o角の直線有 條.5異面直線a 、b 互相垂直，c 與a 成30o 角，則c 與b 所成角の範圍是 .6∠ACB=90ο在平面α內,PC 與CA 、CB 所成の角∠PCA=∠PCB=60o ,則PC 與平面α所成の角為 .7設線段AB=a ,AB 在平面α內,CA ⊥α,BD 與α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同側,CA=BD=b .求: (1)CD の長;(2)CD 與平面α所成角正弦值.A 1CB A B 1DC 1E F課前預習 1. 60ο2.A3. [3π,2π] 4.C 5.46 典型例題例1解:∵CB ∥AD∴∠CBF 為異面直線AD 與BF 所成の角.連接CF 、CE 設正方形ABCD の邊長為α,則BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 為平面ABCD 與平面ABEF 所成の角 ∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=42例2解:(1)設所求の角為α,先證BD ⊥平面ACC 1A 1,則sin α=sin ∠OC 1B=1BC OB =21.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱錐B 1-A 1BC 1是正三棱錐.過B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,連A 1H, ∠B 1A 1H 是直線A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.設A 1B 1=a 則A 1B =a 2得A 1H =a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角為36arccos例3解:(1)連接OF ,容易證明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB の射影,且DF ⊥FC 1, ∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 與平面BB 1C 1C 所成の角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,則ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA の延長線上,而不線上段AD 上;故線段AD 上のE 點不可能使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角.回饋練習1. D2. D3.954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο7.解:(1)作DD ＇⊥α於D ＇,連接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四邊形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 與α所成の角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4322b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 於C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 與α所成の角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''ba bD C AC +=.線面角與面面角練習一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成の角就是斜線與它在平面內の射影の夾角。

线线角与线面角、二面角一、目标1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法．2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法．并了解求线二面角常用方法3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.三、典型例题例1. 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.例3. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。

ADC1D1A1B1CBDACB F EA BC DAD CBB 1D 1ADC 1BC A 1二、重要题型1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A).46(B).36 (C).62(D).633.平面α与直线a 所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．6. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC —-D 的大小。

新高考数学复习知识点讲解与练习空间角知识梳理1．线面角与二面角的概念(1)线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角．(2)二面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．2．求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解．(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则3.(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”．(2)(向量法)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |． 4．求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算． (2)(向量法)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.3．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察出向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补．4．最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内的射影的夹角最小．诊断自测1．判断下列说法的正误．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 答案C解析cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．(2021·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为等边三角形，且二面角P －BC －A 的大小为120°，则异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为() A.58 B.34 C.78 D.14 答案A解析 如图，取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AO ，即平面P AO ⊥平面ABC .且∠POA 就是其二面角P －BC －A 的平面角，即∠POA ＝120°，建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝2，则A (3，0，0)，C (0，－1，0)，B (0，1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，32，所以AC→＝(－3，－1，0)，PB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，－32，cos 〈AC →，PB →〉＝－58，所以异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为58.4．如图，把边长为4的正三角形ABC 沿中线AD 折起，使得二面角C －AD －E 的大小为60°，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为()A ．－14 B.14 C ．－13 D.13答案B解析 如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF ，因为D ，F 分别是线段BC ，AB 的中点，所以DF ∥AC ，所以∠EDF (或其补角)是异面直线AC 与DE 所成的角．由正三角形的性质可得AD ⊥BC ，所以∠CDE 就是二面角C －AD －E 的平面角，所以∠CDE ＝60°.又CD＝DE ，所以△CDE 是正三角形．作EG ⊥CD ，垂足为G ，作FH ⊥BD ，垂足为H ，连接EH ，易知EG ＝DE sin 60°＝2×32＝3，DG ＝DE cos 60°＝2×12＝1，DH ＝12BD ＝12×2＝1，HG ＝DH ＋DG ＝2，FH ＝12AD ＝12×32AC ＝12×32×4＝ 3.由勾股定理得EH ＝HG 2＋EG 2＝22＋（3）2＝7，EF ＝EH 2＋FH 2＝（7）2＋（3）2＝10.在△EDF 中，由余弦定理得cos ∠EDF ＝22＋22－（10）22×2×2＝－14，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为14，故选B.5．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________． 答案30°解析 设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴ sin θ＝| cos 〈m ，n 〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________． 答案45°解析 如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝P A ＝1，则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)，由题意，AD ⊥平面P AB ，设E 为PD 的中点，连接AE ，则AE ⊥PD ，又易知CD ⊥平面P AD ，AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，又PD ∩CD ＝D ，从而AE ⊥平面PCD .所以AD →＝(0，1，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12分别是平面P AB ，平面PCD 的法向量，且〈AD →，AE→〉＝45°.故平面P AB 与平面PCD 所成的二面角为45°.考点一 求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：(1)△PCD 的面积．(2)(一题多解)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .又底面ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋（22）2＝23，CD ＝2，所以△PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)法一 如图1，取PB 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．图1在△AEF 中，由于EF ＝2，AF ＝2，AE ＝12PC ＝2.所以AF 2＋EF 2＝AE 2，∠AFE ＝π2， 则△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)，P (0，0，2)，E (1，2，1)，AE→＝(1, 2，1)，BC →＝(0，22，0)．图2设AE→与BC →的夹角为θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.感悟升华(1)几何法求异面直线所成的角关键是根据定义构成三角形求解．(2)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解；④取锐角或直角．【训练1】(一题多解)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，M ，N 分别为AA 1，A 1C 1的中点，则直线MN 与EF 所成角的余弦值为()A.35B.12C.32D.45 答案B解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC 1，CB 1，C 1B ′，易得MN ∥AC 1，EF ∥CB 1∥C 1B ′，那么∠AC 1B ′或∠AC 1B ′的补角即直线MN 与EF 所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2a ， 则AC 1＝C 1B ′＝3a ，连接AB ′，则AB ′＝a 2＋（22a ）2＝3a ，由余弦定理得cos ∠AC1B′＝（3a）2＋（3a）2－（3a）22（3a）·（3a）＝－12.故直线MN与EF所成角的余弦值为1 2.法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角．设AA1＝2AB＝2a，则AC1＝CB1＝3a，于是OD＝OC＝3a 2，又CD＝3a2，于是△OCD为正三角形，故直线MN与EF所成角的余弦值为1 2.法三取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝22，∴A (－1，0，0)，A 1(－1，0，22)，M (－1，0，2)，C (0，3，0)，C 1(0，3，22)， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，B 1(1，0，22)，F (1，0，2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，2，所以cos 〈MN →，EF →〉＝MN →·EF →|MN →||EF →|＝323×3＝12，故直线MN 与EF所成角的余弦值为12.考点二 求直线与平面所成的角【例2】(2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC .(1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值． (1)证明 如图(1)，图(1)过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB . 由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC ，得CD＝2CO.由平面ACFD⊥平面ABC，平面ACFD∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACFD，得DO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以DO⊥BC.由∠ACB＝45°，BC＝12CD＝22CO，得BO⊥BC.又BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BDO，所以BC⊥平面BDO，又DB⊂平面BDO，故BC⊥DB.由ABC－DEF为三棱台，得BC∥EF，所以EF⊥DB.(2)解法一如图(1)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.由ABC－DEF 为三棱台，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角．由BC⊥平面BDO，OH⊂平面BDO，得OH⊥BC，又BD∩BC＝B，故OH⊥平面DBC，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．设CD＝22，则DO＝OC＝2，BO＝BC＝2，得BD＝6，OH＝233，所以sin∠OCH＝OHOC＝33.因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为3 3.法二由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.如图(2)，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .图(2)设CD ＝22，由题意知各点坐标如下：O (0，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，D (0，0，2)． 因此OC→＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2)． 设平面DBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33. 感悟升华求线面角的方法：(1)几何法求线面角的步骤是“一作、二证、三计算”，转化为三角形求解．(2)向量法(或坐标法)求线面角，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)，注意范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.【训练2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠ADC ＝60°，PC⊥CD，E为PC的中点，PC＝1，P A＝7.(1)求证：P A∥平面BDE；(2)(一题多解)求直线BE与平面PBD所成的角的正弦值．(1)证明连接AC，交BD于点O，连接EO，则EO∥P A，因为P A⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)解法一取AB的中点F，连接PF，FC，AC，作PH⊥CF于点H，则由AC＝CB，得AB⊥PF，AB⊥FC，因为PF∩FC＝F，所以AB⊥平面PFC，则AB⊥PH，因为AC∩AB＝A，所以PH⊥平面ABC.在△P AB中，AB＝2，P A＝PB＝7，得PF＝6，又PC＝1，FC＝3，于是可求得PH＝6 3，因为S△BDC ＝12×2×3＝3，PH＝63，PC⊥CD，所以在Rt△DPC中，PD＝5，又PB＝7，BD＝23，所以PD2＋PB2＝BD2，所以PB ⊥PD ，所以S △PBD ＝352，由V P －BDC ＝V C －PBD ，得点C 到平面PBD 的距离为2235， 则点E 到平面PBD 的距离为235， 又在△PBC 中，易求得EB ＝212. 设直线BE 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝235EB ＝230105.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为230105. 法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则易知A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，－3，0)，由⎩⎨⎧P A ＝7，PC ＝1，PD ＝5，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－36，63，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－312，66，则BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－13312，66， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，736，－63，BD →＝(0，－23，0)，所以可求得平面PBD 的一个法向量为m ＝(22，0，33)， 设直线BE 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BE →·m |BE →||m |＝230105. 即直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为230105. 考点三 求二面角【例3】(2021·台州评估测试)如图，△ABC 与等边三角形ABD 所在的平面相互垂直，DE ∥BC ，M 为线段AD 的中点，直线AE 与平面CBM 交于点N ，BC ＝BA ＝2DE ＝2，∠ABC ＝90°.(1)求证：平面CBMN ⊥平面ADE ； (2)求二面角B －CN －A 的余弦值．(1)证明 因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，∠ABC ＝90°，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为△ABD 为等边三角形，M 为线段AD 的中点， 所以BM ⊥AD .因为BC ∩BM ＝B ，所以AD ⊥平面CBMN .又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE .(2)解 因为DE ∥BC ，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ， 所以DE ∥平面CBMN .因为平面ADE ∩平面CBMN ＝MN ， 所以DE ∥BC ∥MN ，所以N 为AE 的中点． 取AB 的中点O ，连接OD ，因为△ABD 为等边三角形，所以OD ⊥AB ，故以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－1，0，0)，C (1，－2，0)， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，32，D (0，0，3)，所以AC→＝(2，－2，0)，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32. 设平面ACN 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n 1＝0，AN →·n 1＝0，可得⎩⎨⎧2x －2y ＝0，12x －12y ＋32z ＝0， 取x ＝1，则y ＝1，z ＝0，所以平面ACN 的一个法向量n 1＝(1，1，0)， 由(1)得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN 的一个法向量n 2＝AD →＝(1，0，3)． 设二面角B －CN －A 的平面角为θ.所以cos θ＝n1·n2|n1||n2|＝12×2＝24，由图知二面角B－CN－A为锐角，所以二面角B－CN－A的余弦值为2 4.感悟升华(1)几何法求二面角的步骤是“一作、二证、三计算”．注意利用二面角一个平面的垂线、垂面找(作)平面角．(2)利用向量计算二面角大小的常用方法：①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【训练3】(2021·嘉兴测试)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．(1)证明如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，∵C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1，∵底面△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，B1D⊂平面B1CD，CD⊂平面B1CD，∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.(2)解法一如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E. ∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C，DE∩B1D＝D，∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，∴∠B1ED为所求二面角的平面角．∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝3，又∵ED＝12CC1＝22，∴tan ∠B1ED＝B1DED＝322＝6，∴sin∠B1ED＝42 7.∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为42 7.法二如图，连接OB，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1 分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，1，1)，C 1(0，2，1)，C (0，1，0)， ∴A 1B 1→＝(3，1，0)，A 1C →＝(0，1，－1)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，m ·A 1C →＝y －z ＝0，令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，又OB →＝(3，0，0)为平面A 1CC 1的一个法向量， ∴cos 〈m ，OB →〉＝m ·OB →|m ||OB →|＝－77，由图易知所求二面角为锐角， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.空间向量在立体几何中的应用【例题】(满分15分)(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2.(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 审题路线图法一(向量法)法二(几何法)(1)在△AB 1A 1中，在△AB 1C 1中――→勾股定理AB 1⊥A 1B 1，AB 1⊥B 1C 1――→线面垂直判定定理AB 1⊥平面A 1B 1C 1 (2)⎦⎥⎥⎤由(1)结论―→平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1――→垂面法直线AC 1与平面ABB 1的夹角∠C 1AD在△A 1B 1C 1中，由三边计算cos ∠C 1A 1B 1―→在Rt △ADC 1中计算C 1D —在Rt △ADC 1中计算sin ∠C 1AD —结论 满分解答法一(1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，C 1(0，3，1)． 3分因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→＝(0，23，－3).5分 由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1. 又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.7分(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2).9分 设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3，1，0)．12分所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝3913.因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 15分 [构建模板]利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”……建立空间直角坐标系，写出点的坐标……用向量表示几何元素……通过向量运算，得出结论……用向量表示几何元素……设求平面的法向量……代入线面角的向量公式，结论法二(1)证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝22，所以A1B21＋AB21＝AA21，由AB1⊥A1B1.3分由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝5，由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝23，由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB21＋B1C21＝AC21，故AB1⊥B1C1，6分又A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1.7分(2)解如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.9分由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1⊂平面ABB 1，得 平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1， 由C 1D ⊥A 1B 1得C 1D ⊥平面ABB 1，所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角.12分 由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21得cos ∠C 1A 1B 1＝67，sin ∠C 1A 1B 1＝17，所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913.因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 15分 [构建模板]……利用勾股定理，计算证明AB 1⊥A 1B 1……证明AB 1⊥B 1C 1……由线面垂直判定定理得结论(几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)……作出线面角……论证线面角……计算线面角(的正弦值)【训练】(一题多解)(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点．(1)证明：CE ∥平面P AB ；(2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 法一过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝12，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直．故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，34， 则CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－32，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，－32.设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝x ＋12y －32z ＝0，n ·PB →＝32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3)，∴CE →·n ＝12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×1＋34×3＝0.又∵CE ⊄平面P AB ，∴CE ∥平面P AB .(2)解 由(1)得PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，－32，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－32，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34. 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝32y －32z ＝0，m ·PC →＝－x ＋32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，∴m ＝(0，1，3)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝ |cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝124×2＝28.∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28.法二(1)证明如图，设P A中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，P A中点，所以EF∥AD且EF＝12AD，又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. 又因为CE⊄平面P AB，BF⊂平面P AB，因此CE∥平面P AB.(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△P AD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD.因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBN.过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14， 在Rt △MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝28，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.基础巩固题组一、选择题1．(2021·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35 答案A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点，则异面直线DE 与B 1C 所成角的大小为()A.π3B.π4C.π6D.π12 答案C解析 连接AC ，BD ，B 1E ，设BD 与AC 交于点O ，连接B 1O ，则四边形DOB 1E 为平行四边形，所以DE ∥OB 1，所以异面直线DE 与B 1C 所成角为∠OB 1C ，设正方体棱长为1，则B 1C ＝2，OC ＝22，B 1O ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以cos ∠OB 1C ＝2＋1＋12－1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222·2＝32. 又因为异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴∠OB 1C ＝π6.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为() A.12 B.23 C.33 D.22 答案B解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0，1，0)，∴A 1D →＝(0，1，－1)， A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4．(2021·金丽衢十二校三联)正四面体A －BCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为l 1，l 2，则l 1，l 2所成角的正弦值为()A.63B.33C.13D.22 答案A解析 由题意得BC ∥l 1，CE ∥l 2，则∠BCE 即为l 1与l 2所成角．设正四面体的棱长为a ，则易得EB ＝EC ＝32a ，设BC 的中点为F ，连接EF ，则易得EF ＝22a ，则l 1与l 2所成角的正弦值为sin ∠BCE ＝EF EC ＝22a32a＝63，故选A.5．在三棱锥P －ABC 中，点P 在底面的正投影恰好是等边△ABC 的边AB 的中点，且点P 到底面ABC 的距离等于底面边长．设△P AC 与底面所成的二面角的大小为α，△PBC 与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是() A.343B.25 3C ．－813 3D ．－58 3 答案C解析 如图，设点P 在边AB 上的射影为H ，作HF ⊥BC ，HE ⊥AC ，连接PF ，PE .依题意，∠HEP ＝α，∠PFH ＝β.不妨设等边△ABC的边长为2，则PH ＝2，AH ＝BH ＝1.∴HE ＝32，HF ＝32，则tan α＝tan β＝232＝43，故tan(α＋β)＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝⎛⎭⎪⎫432＝－813 3. 二、填空题6．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析 还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合． 易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面． 连接GM ，∵△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确命题的序号是②③④.7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角大小为__________；直线EF 与底面ABC 所成角的大小为________．答案60°45°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)， 则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°； ∵FB ⊥平面ABC ，BF ＝BE ＝1，∴∠FEB 为直线EF 与底面ABC 的夹角且为45°.8．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．答案23解析 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角． ∵BH ＝322，EB ＝1， ∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.9．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________． 答案23解析 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23. 三、解答题10．(2021·台州期末评估)如图，四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PD ＝AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 为PB 的中点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)(一题多解)求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值． (1)证明PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥AC . 又AB ＝2，AD ＝CD ＝1，AD ⊥AB ， 所以AC ＝BC ＝ 2.故AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ， 因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面PBC . (2)解 法一PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥CD . 又PD ＝2，所以PC ＝ 3.在平面PCB 内，过点P 作PH ⊥CE ，垂足为H . 由(1)知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PH ⊥平面ACE ，又点E 为PB 的中点，CE ＝12PB ＝52. 由等面积法得CE ·PH ＝12PC ·BC . 所以PH ＝305.又点E 为PB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连接BD 交AC 于点G ，则GB ＝2DG .所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PH .所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为12PH PD ＝3020. 法二 如图，取AB 的中点F ，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PD ＝2，所以CP ＝ 3.所以C (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，3)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32.PD→＝(0，1，－3)，CA →＝(1，1，0)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，32. 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA→＝0，n ·CE →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x 2－y 2＋32z ＝0， 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－233，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，－233. 设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PD →〉|＝122＋43＝3020. 所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为3020.11．(2020·安徽江南十校联考)斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，A 1B ＝7，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°.(1)证明：平面A 1BC ⊥平面ABC ；(2)求直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值． (1)证明 ∵AB ＝2，A 1B ＝7，∠A 1AB ＝60°，∴由余弦定理得A 1B 2＝AA 21＋AB 2－2AA 1·AB cos ∠A 1AB ，即AA 21－2AA 1－3＝0⇒AA 1＝3或AA 1＝－1(舍)，故AA 1＝3.取BC 的中点O ，连接OA ，OA 1，∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴AO ⊥BC ，且AO ＝3，BO ＝1.由AB ＝AC ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ，AA 1＝AA 1得△A 1AB ≌△A 1AC ，得A 1B ＝A 1C ＝7， 故A 1O ⊥BC ，且A 1O ＝ 6.∵AO 2＋A 1O 2＝3＋6＝9＝AA 21，∴AO ⊥A 1O . 又BC ∩AO ＝O ，故A 1O ⊥平面ABC ， ∵A 1O ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面ABC .(2)解 以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，取B 1C 1的中点K ，连接OK ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作OG ⊥AA 1，以OG 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则B (1，0，0)，B 1(1，3，0)，C 1(－1，3，0)，A 1(0，2，2)， ∴BC 1→＝(－2，3，0)，BB 1→＝(0，3，0)，BA 1→＝(－1，2，2)， 设m ＝(x ，y ，1)为平面ABB 1A 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BB 1→＝3y ＝0，m ·BA 1→＝－x ＋2y ＋2＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，⇒m ＝(2，0，1)．设直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角为θ， 则sin θ＝|BC 1→·m ||BC 1→||m |＝2213×3＝27839.故直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为27839.能力提升题组12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点F 在斜边AB 上，且AB ＝4AF ，点M 在线段BC 上运动，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD ＝3，AC ＝BE ＝4.当点M 运动到线段BC 的中点时，异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为()A.2114 B.714 C.77 D.217答案A解析取BF的中点N，连接MN，EN，因为M，N分别为BC，BF的中点，所以MN∥CF，且MN＝12CF，所以∠EMN为异面直线CF与EM所成的角．因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以BC＝43，BM＝23，所以EM＝BM2＋BE2＝（23）2＋42＝27. 因为AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以AB＝8，所以AF＝14AB＝2，BF＝34AB＝6，所以BN＝3，所以EN＝BE2＋BN2＝42＋32＝5.在△ACF中，由余弦定理得CF＝23，所以MN＝ 3.在△EMN中，由余弦定理可得cos∠EMN＝ME2＋MN2－EN2 2ME·MN＝28＋3－252×27×3＝2114， 所以异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为2114.故选A.13．(2021·绍兴适应性考试)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，AB ＝AC ＝AA 1，M ，N 分别是侧棱BB 1，CC 1上的点，平面AMN 与平面ABC 所成的(锐)二面角为π6.当B 1M 最小时，∠AMB ＝()A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案B解析 不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝2，设平面AMN 与平面ABC 的交线为l ，过点B 作直线l 的垂线BH ，设垂足为点H ，因为AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，所以∠MHB 为平面AMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则tan ∠MHB ＝BM BH ＝33，要使B 1M 最小，则BM 最大，即BH 最大，因为BH ⊥AH ，所以点H 在平面ABC 内的轨迹为以AB 为直径的圆，则(BH )max ＝AB ＝2，所以(BM )max ＝233，则此时tan ∠AMB ＝AB BM ＝3，则∠AMB ＝π3，故选B. 14.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值． (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D . 由题设知A 1B 1綉DC ，可得B 1C 綉A 1D ，故ME 綉ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)． 设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155， 则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105.15．(2020·宁波适考)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E －BD －F 的余弦值为13，求线段CF 的长．解依题意，建立以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，E (0，0，2)．设CF ＝h (h >0)，则F (1，2，h )．(1)证明 依题意，AB →＝(1，0，0)是平面ADE 的一个法向量，又BF →＝(0，2，h )，可得BF →·AB →＝0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .(2)依题意，BD →＝(－1，1，0)，BE →＝(－1，0，2)，CE →＝(－1，－2，2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2，2，1)．因此有cos 〈CE →，n 〉＝CE →·n |CE →||n |＝－49. 所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(3)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BDF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，2y 1＋hz 1＝0，不妨令y 1＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－2h . 又n ＝(2，2，1)为平面BDE 的一个法向量，故由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－2h 32＋4h 2＝13. 解得h ＝87.经检验，符合题意．所以线段CF 的长为87.。

专题21 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题【考点预测】知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线 （2）异面直线所成的角①定义：设a b ，是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a a b b ''∥，∥，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．②范围：(0]2π，③求法：平移法：将异面直线a b ，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围：[0]2π，③求法：常规法：过平面外一点B 做'⊥BB 平面α，交平面α于点'B ；连接'AB ，则'∠BAB 即为直线AB 与平面α的夹角．接下来在△'Rt ABB 中解三角形．即sin 斜线长''∠==BB hBAB AB （其中h 即点B 到面α的距离，可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l αβ--或者是二面角A CD B --）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]π，． （3）二面角的求法 法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO β⊥于O ，过A 作AB c ⊥于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，ABO ∠为二面角c αβ--的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO β⊥于O ；①过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB c ⊥于B ，连接BO ； ①计算：ABO ∠为二面角c αβ--的平面角，在Rt ABO △中解三角形．图1 图2 图3 法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos =A B C ABCS S S S θ=射斜，如图2）求出二面角的大小； 法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．ba A OBbAB CB'C'A'例如：过二面角内一点A 作AB α⊥于B ，作AC β⊥于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则BOC ∠就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 【题型归纳目录】 题型一：异面直线所成角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：距离问题 【典例例题】题型一：异面直线所成角例1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是111,,DD BC C D 的中点，则异面直线MN 与EF 所成的角为（ ）A ．2πB ．3π C ．6πD ．4π 【答案】C【解析】取1CC 的中点H ，连接FH ，EH ，NH ，ME ，由正方体的性质可知//NH ME 且NH ME =，所以MNHE 为平行四边形， 所以//MN EH ，所以异面直线MN 与EF 所成的角的平面角为FEH ∠， 又2AB =，则EH FH =，FE则222cos 2EH EF FH FEH EH EF +-∠=⨯⨯，所以6FEH π∠=，故选：C ．例2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A B C D ．35【答案】C【解析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点， 所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，若1BC =，则1CE =，BD CD ==， BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ， 又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥．所以32ED =，BE =， 在①BDE中222592cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠=⋅．故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中1111ABCD A B C D -，E ，G 分别为11A D ，11C D 的中点，则直线1A G ，CE 所成角的余弦值为（ ） ABCD【答案】C【解析】如图所示：取AB 的中点F ，连接EF ，CF ，易知1A G CF ∥，则①ECF （或其补角）为直线1A G 与CE 所成角．不妨设2AB =，则CF =EF =3EC =，由余弦定理得cos ECF ∠==1A G 与CE 所成角的． 故选：C ．例4．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．12 BC．2D ．45【答案】B【解析】设底面圆心为O ，连接PO ，OC ，取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则DE AB ∥，且DE =CDE ∠为AB 与CD 所成的角（或其补角）．由题意知OB =4PB =，所以2PO =，所以CE = 由题意知OC AB ⊥，OC PO ⊥，AB PO O =，AB ，PO ⊂平面POB ， 所以OC ⊥平面POB ．又OC ⊂平面POC ，所以平面POC ⊥平面POB ， 又平面POC平面POB PO =，DE ⊂平面POB 且DE PO ⊥，所以DE ⊥平面POC ，因为CE ⊂平面POC ，所以DE CE ⊥．又12DE OB ==4CD =，所以cos CDE ∠= 故选：B ．例5．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）AB C ．25D ．35【答案】D【解析】作BC 的中点E ，连接1B E ，作BE 的中点F ，连接MF 、1A F ， 即AMF ∠为异面直线AM 与CN 所成的角，由已知条件得1B E =MF =AM =由余弦定理得AF ==在①AMF 中，有余弦定理可知2222cos AF AM MF AM MF AMF =+-⋅⋅∠，即13552cos 44AMF =+-∠，解得3cos 5AMF ∠=，故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD 中，90BCD AB ∠=︒⊥，平面BCD ，AB BC CD ==，P 为AC 的中点，则直线BP 与AD 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】D【解析】在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，则AB CD ⊥，而90BCD ∠=︒， 即BC CD ⊥，又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，则有CD ⊥平面ABC ，而BP ⊂平面ABC ， 于是得CD BP ⊥，因P 为AC 的中点，即AC BP ⊥，而AC CD C =，,AC CD ⊂平面ACD ， 则BP ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，从而得BP AD ⊥，所以直线BP 与AD 所成的角为π2．故选：D例7．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BC AA ==1AC =，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接1B D ，CD ，则11B D AC ∥， 所以1CB D ∠即为异面直线1AC 与1CB 所成角（或补角）．由题意可得2CD AB ==，112B D AC ==，1CB所以22211111cos 2CB B D CD CB D CB B D +-∠=⋅==故选：B ．例8．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （ ） A ．不存在 B ．2条 C ．4条 D ．无数条【答案】C【解析】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接1,A D BD ，如图，则有11//BD B D ，显然11A B A D BD ==，即直线BA 1和B 1D 1所成角160∠=A BD ，过点C 做直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70可以转化为过点B 做直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均为70，A BD '∠的平分线AO 与直线BA 1和BD 都成30的角，让l '绕着点B 从AO 开始在过直线AO 并与平面A BD'垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从30到90， 由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70， 又A BD '∠的邻补角大小为120，其角平分线与直线BA 1和BD 都成60的角，当直线l '绕着点B 从A BD '∠的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面A BD '垂直的平面内转动时， 在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从60到90， 由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70， 综上得，这样的直线l '有4条，所以过点C 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70的直线l 有4条． 故选：C例9．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A 为圆台O 1O 2下底面圆O 2的圆周上一点，S 为上底面圆O1的圆周上一点，且SO 1=1，O 1O 2O 2A=2，记直线SA 与直线O 1O 2所成角为θ，则（ ） A ．0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意，设上､下底面半径分别为12,R R ，其中121,2R R ==， 如图，过S 作SD 垂直下底面于D ，则12O O SD ∥，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠θ=， 而tanAD SD θ==，由圆的性质，222213R O D AD O D R =-+=，所以tanAD SD θ==⎣，所以,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．例10．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线a ，b 的夹角为θ，若过空间中一点P ，作与两异面直线夹角均为π3的直线可以作4条，则θ的取值范围是______．【答案】ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，将异面直线a 、b 平移到过P 点，此时两相交直线确定的平面为α，如图，a 平移为a '，即P A ，b 平移为b '，即BE ．设①APB =θ，PC α⊂且PC 是①APB 的角平分线，则PC 与a '和b '的夹角相等，即PC 与a 、b 夹角均相等， ①将直线PC 绕着P 点向上旋转到PD ，当平面PCD ①α时，PD 与a '、b '的夹角依然相等，即PD 与a 、b 的夹角依然相等；将直线PC 绕着P 点向下旋转时也可得到与a 、b 的夹角均相等的另外一条直线，易知PC 与P A 夹角为2θ，当PC 向上或向下旋转的过程中，PC 与P A 夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为π3的直线，有π2π233θθ<⇒<；①同理，①APE =πθ-，将①APE 的角平分线绕着P 向上或向下旋转可得两条直线与a 、b 的夹角均为π3，则πππ233θθ-<⇒>， 如此，即可作出4条直线与异面直线a 、b 夹角均为π3，又①0＜θ≤π2，①θ∈ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦． 例11．（2022·江苏常州·模拟预测）在三棱锥A BCD -中，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若2AB =，4BC CD ==，则AC 与BD 所成角的余弦值为___________．【解析】如图，取,,BC AB AD 中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，所以//,//EF AC FG BD ，则EFG （或其补角）即为AC 与BD 所成角，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BC ⊥，所以AC =EF =因为BC CD ⊥，所以BD FG =取BD 中点H ，连接,GH EH ，所以//HG AB ，所以HG ⊥平面BCD ，所以HG EH ⊥，又112GH AB ==，122EH CD ==，所以EG ==所以222cosEFG +-∠==所以AC 与BD题型二：线面角例12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -中，AB =E 为平面1A BD 内的动点，设直线AE 与平面1A BD 所成的角为α，若sin α=则点E 的轨迹所围成的面积为___________． 【答案】π【解析】如图所示，连接1AC 交平面1A BD 于O ，连接EO ，由题意可知1AC ⊥平面1A BD ，所以AEO ∠是AE 与平面1A BD 所成的角，所以AEO ∠＝α．由sin α=tan 2α=，即2AO EO =．在四面体1A A BD -中，11BD A D A B ===1AB AD AA ===，所以四面体1A A BD -为正三棱锥，O 为1BDA △的重心，如图所示：所以解得BO =2AO ，又因为2AO EO=， 所以1EO =，即E 在平面1A BD 内的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以2π1πS =⨯=．故答案为：π．例13．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，111111AA A B B C ===，2AB =，则AC 与平面11BCC B 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【解析】将棱台补全为如下棱锥D ABC -，由90ABC ∠=︒，111111AA A B B C ===，2AB =，易知：2DA BC ==，AC =由1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，所以BD =CD =222BC BD CD +=，所以122BCD S =⨯⨯=△A 到面11BCC B 的距离为h ，又D ABC A BCD V V --=，则111222323h ⨯⨯⨯⨯=⨯h = 综上，AC 与平面11BCC B 所成角[0,]2πθ∈，则1sin 2h AC θ==，即6πθ=． 故选：A例14．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，PB =PC ，D 为AB 的中点．（1）证明：BC ①PD ；（2）若AC ①PB ，P A =3，求直线P A 与平面PBC 所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：如图，取BC 中点E ，连接PE ，DEPB PC =，E 为BC 中点PE BC ∴⊥又D 为AB 的中点，所以//DE AC底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，AC BC ∴⊥即DE BC ⊥,,PE DE E PE DE =⊂平面PDEBC ∴⊥平面PDE ，BC PD ∴⊥（2）由（1）知，AC BC ⊥，又AC PB ⊥且,,PB BC C PB BC =⊂平面PBCAC ∴⊥平面PBC ，∴直线P A 与平面PBC 所成的角为APC ∠在Rt APC 中，2,3AC PA ==2sin 3AC APC PA ∴∠==． ∴直线P A 与平面PBC 所成的角的正弦值为23．例15．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD 中，AB AD =，BC CD =，E 为BD 的中点，F 为AC 上一点．（1）求证：平面ACE ⊥平面BDF ；（2）若90BCD ∠=︒，60BAD ∠=︒，AC =，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）在四面体ABCD 中，AB AD BC CD ==，，E 为BD 的中点，则,AE BD CE BD ⊥⊥， 而AE CE E =，,AE CE ⊂平面ACE ，于是得BD ⊥平面ACE ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面ACE ⊥平面BDF ．（2）依题意不妨设2BC CD ==，90BCD ∠=︒，则BD CE ==60BAD ∠=︒，则AB AD BD ===AE =在ACE中，AC =222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅sin AEC ∠=，11sin 22AEC S AE CE AEC =⋅∠== 由（1）得，1433B ACD AEC V S BD -=⋅=，因22212AD CD AC +==，即90ADC ∠=，则12ACD S AD CD =⋅= 设点B 到平面ACD 的距离为h，则114333B ACD ACD V S h -=⋅=⨯=，解得h =B 到平面ACD设直线BF 与平面ACD 所成角为θ，所以sin h BF θ==． 因为22212AB BC AC +==，所以90ABC ∠=，故当BF AC ⊥时，BF最短，此时2BF ==⨯，正例16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥．（1）求证：PA 平面MDB ；（2）当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积． 【解析】（1）证明：连接,AC BD ，设,AC BD 交于点O ，连接OM ，因为AB CD ， 所以14OA AB OC CD ==， 因为15PM PC =， 所以14PM OA MC OC==， 所以OM PA ∥，又OM ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB所以PA 平面MDB ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PAD ∠即为直线PA 与底面ABCD 所成的角的平面角，PCD ∠即为直线PC 与底面ABCD 所成的角的平面角， 所以4PAD PCD π∠=∠=，所以4PD AD CD ===，()144102ABCD S +⨯==梯形，14482BCD S =⨯⨯=△， 设点M 到平面ABCD 的距离为h ， 因为15PM PC =， 所以41655h PD ==， 故14010433P ABCD V -=⨯⨯=，11612883515M BCD V -=⨯⨯=， 所以40128243155P ABCD M BCD MPABD V V V --=-=-=多面体．例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，M 是11B C 的中点．（1）求证：1//AC 平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点，当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时，求三棱锥1P A MB -的体积．【解析】（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N ，连接MN ，因为四边形11AA B B 为平行四边形，11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点，因为M 为11B C 的中点，则1//MN AC ，1AC ⊄平面1A MB ，MN ⊂平面1A MB ，故1//AC 平面1A MB ．（2）因为1CC ⊥平面ABC ，1AC ∴与平面ABC 所成的角为1CAC ∠，因为ABC 是边长为2的等边三角形，则2AC =，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，1CC AC ∴⊥，则11tan 2CC CAC AC∠==， 所以，124CC AC ==，1//AC 平面1A MB ，1P AC ∈，所以，点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离，因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433P A MB C A MB B A C M A C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△． 例18．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SAD为等腰直角三角形，SA SD ==2AB =，F 是BC 的中点．（1）在AD 上是否存在点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD ，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．（2）SBC △为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值．【解析】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 的中点．如图，取AD 中点E 连接EF ，SE ，SF ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥．又E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以//EF AB ，AD EF ⊥．因为SAD 为等腰直角三角形，SA SD =，E 为AD 的中点，所以SE AD ⊥．因为SE EF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，所以AD ⊥平面SEF ．又AD ⊂平面ABCD ．所以平面SEF ⊥平面ABCD ．故AD 上存在中点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD ．（2）过点E 作EG SF ⊥于点G ，由（1）知AD ⊥平面SEF ，又//BC AD则BC ⊥平面SEF ，EG ⊂平面SEF ，所以BC EG ⊥，又SF BC F ⋂=，所以EG ⊥平面SBC ，所以直线SE 与平面SBC 所成的角为ESG ∠，由SAD 为等腰直角三角形，SA SD ==4AD ==，2SE =．又2EF AB ==，因为SBC △为等边三角形，4BC AD ==，所以SF =在SEF 中，2SE EF ==，SF =所以1EG =． 则1sin 2EG ESG SE ∠==， 即直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值为12．例19．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 是BM 的中点．将矩形AMND 沿MN 折起，形成多面体AMB －DNC ．（1）证明：BD //平面ANP ；（2）若二面角A －MN －B 大小为120°，求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接MD 交AN 于点O ，连接OP ，①四边形AMND 为矩形①O 为MD 的中点，又①P 为BM 的中点①//OP BD ，①BD ⊄平面ANP ，OP ⊂平面ANP ，①BD //平面ANP（2）①AM MN ⊥，BM MN ⊥，①①AMB 即为二面角A MN B --的平面角，120AMB ∠=，且MN ①平面ABM ，①BC ①平面ABM ，①BC ⊂平面ABCD ，①平面ABCD ①平面ABM过P 作PQ AB ⊥于点Q ，①PQ ①平面ABCD ，①①P AB 即为AP 与平面ABCD 所成角，2AM MB ==，AB =1PB =，①12PQ =，BQ =，①AQ =①AP ==①1sinPAB ∠==题型三：二面角例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若AB BC ==B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．【解析】（1）证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥．因为,AD EF 是圆柱的母线，所以AD EF ∥且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以//AE DF ，所以BE DF ⊥．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥．又因为DF EF F =，DF EF ⊂、平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．（2）由（1）知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由（1）知,EF AE AE DF ⊥∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形．设,DF AE x BE y ===，则在Rt ABE △中有：226x y +=，所以221113322B DEF DEF x y V S BE x y -+⎛=⋅=⋅⋅=≤= ⎝，当且仅当x y ==E ，F 分别是AB ，CD 的中点时，三棱锥B DEF -的体积最大， （另等积转化法：13B DEF D BEF D BCF B CDF CDF V V V V S BC ----====⋅易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为AB 、CD 中点）下面求二面角B DF E --的正弦值：由（1）得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE DF ⊥．又因为,EF DF EF BE E ⊥=，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF DF ⊥，所以BFE ∠是二面角B DF E --的平面角，由（1）知BEF 为直角三角形，则3BF ==．故sin BE BFE BF ∠==B DF E --例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====O 为AC 的中点．（1）证明：PO ①平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PM 与面ABC 求二面角M PA C --的平面角的余弦值．【解析】（1）证明：连接OB ．法一：①2,AB BC AC ===①222AB BC AC +=，即①ABC 是直角三角形，又O 为AC 的中点，①OA OB OC ==又①PA PB PC ==，①POA POB POC ∆≅∆≅∆①90POA POB POC ∠=∠=∠=．①,,PO AC PO OB OBAC O ⊥⊥=，OB 、AC ⊂平面ABC ①PO ①平面ABC ．法二：连接OB ，PA PC =，O 为AC 的中点①PO AC ⊥因为2,AB BC PA PB PC AC ======①,AB BC BO PO ⊥==222PO OB PB +=，①PO OB ⊥①,,PO AC PO OB OBAC O ⊥⊥=，OB 、AC ⊂平面ABC ．①PO ①平面ABC ．（2）由（1）知，PO ①面ABC ①OM 为PM 在面ABC 上的射影，①①PMO 为PM 与面ABC 所成角，①tan PO PMO OM ∠===①1OM =， 在①OMC 中由正弦定理可得1MC =，①M 为BC 的中点．作ME ①AC 于E ，①E 为OC 的中点，作EF PA ⊥交P A 于F ，连MF①MF ①P A ①①MFE 即为所求二面角M PA C --的平面角，ME =34EF AE =①tanME MFE EF ∠===①cos MFE ∠= 例22．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（1）求证：平面P AC ①平面PBC ；（2）若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求：二面角C ­PB ­A 的正切值．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 因为AB 是圆的直径，C 是圆上的点，所以BC AC ⊥，因为PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面P AC ①平面PBC ．（2）过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，过D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，如图：因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为PA AB A =，所以CD ⊥平面PAB ，所以CD PB ⊥，因为DE PB ⊥，DE CD D ⋂=，所以PB ⊥平面CDE ，所以PB CE ⊥， 所以DEC ∠是二面角C ­-PB ­-A 的平面角，因为2AB =，1AC =，AC CB ⊥，所以60CAB ∠=，所以3sin 602CD AC =⋅=12AD =，13222BD =-=， 因为1PA=，2AB =，所以PBsin PA PBA PB ==，在直角三角形DEB中，3sin 2DE BD EBD =⋅==，在直角三角形DEC中，tan CD DEC DE ===所以二面角C ­-PB ­-A 例23．（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 上的点，平面BEF ⊥平面11ABB A ，M 是AB 的中点．（1）证明：//CM 平面BEF ；（2）若2AC AE ==，求平面BEF 与平面ABC 夹角的大小．【解析】（1）证明：在等边ABC 中，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥， 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC 平面11ABB A AB =，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥平面11ABB A ，过F 在平面BEF 内作FN BE ⊥，垂足为N ，平面BEF ⊥平面11ABB A ，平面BEF 平面11ABB A BE =，FN ∴⊥平面11ABB A ，//CM FN ∴， CM ⊂/平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//CM ∴平面BEF ．（2）由题设//CF 平面11ABB A ，平面FCMN 平面11ABB A MN =， //CF NM ∴，∴四边形CFNM 是平行四边形，又//MN AE 且12MN AE =， 所以112CF NM AE ===，延长EF ，AC ，相交于点G ，连接BG ，则C 、F 分别为AG 、EG 的中点， 则平面BEF 与平面ABC 所成的角就是二面角E BG A --，可知CG AC BC ==，BG AB ∴⊥，所以BG ⊥平面11ABB A ，EBA ∴∠是二面角E BG A --的平面角， 又AE AB =，AB AE ⊥，所以45EBA ∠=︒，即平面BEF 与平面ABC 所成的角为45︒；例24．（2022·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在线段1CD 上，12CE ED =，点F 为线段AB 上的动点．（1）若EF 平面11ADD A ，求AF FB的值； （2）当F 为AB 中点时，求二面角E DF C --的正切值．【解析】（1）过E 作1EG D D ⊥于G ，连接GA ．则∥EG CD ，而CD FA ∥，所以EG FA ∥．因为EF 平面11,ADD A EF ⊂平面EFAG ，平面EGAF 平面11ADD A GA =， 所以EF GA ∥，所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE AF =．因为12CE ED =，所以11D E GE DC D C=．所以13AF AB =， 所以12AF FB =． （2）过E 作EH CD ⊥于D ，过H 作HM DF M ⊥于，连接EM ，因为平面11CDD C ⊥平面,ABCD EH CD ⊥，所以EH ⊥平面ABCD ，因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH DF ⊥，又HM DF ⊥，所以DF ⊥平面EMH ，因为EM ⊂平面EMH ，所以DF EM ⊥．所以EMH ∠是二面角E DF C --的平面角．设正方体的棱长为3a ，则2,EH a DH a ==．在Rt ADF 中，DF =， 则11,22DHF S DF MH DH AD MH =⋅=⋅⇒=tan EH EMH MH∠∴==即二面角E DF C --例25．（2022·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB DC ∥，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，AE BE ==M 为BE 的中点．（1）求证：CM ∥平面ADE ；（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；【解析】（1）取AE 中点G ，连接,GM GD ，如图，因为M 是EB 中点，则//MG AB 且12MG AB =，又//AB CD ，2AB CD =， 所以//MG CD 且MG CD =，所以MGDC 是平行四边形，所以//CM DG ，DG ⊂平面ADE ，CM ⊄平面ADE ，所以//CM 平面ADE ；（2）取AB 中点F ，连接,EF CF ，CF 交BD 于点O ，连接OE ， 由已知//AB DC ，AB BC ⊥，2AB CD =，得CDFB 是正方形， CF BD ⊥，EA EB =，则EF AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，EF ⊂平面ABE ， 所以EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EF BD ⊥， 又BD FC ⊥，EF CF F =，所以BD ⊥平面ECF ，又OE ⊂平面BCF ，所以BD OE ⊥，所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，又2OF =，2==EF ，所以===OEsin EF EOF OE ∠==()sin sin πsin EOC EOF EOF ∠=-∠=∠= 所以平面EBD 与平面BDC．例26．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，1.2AD AB BC ==现将ABD △沿BD 折起，使得点A 到E 的位置．（1）试在BC 边上确定一点F ，使得BD EF ⊥；（2）若平面EBD ⊥平面BCD ，求二面角E BC D --所成角的正切值．【解析】（1）因为//AD BC ，AB AD ⊥，12AD AB BC ==，所以45ABD ADB DBC ∠=∠=∠=︒，BD =，BC ， 所以BAD ①BDC ，所以90BAD BDC ∠=∠=︒，所以BD CD ⊥，在四边形ABCD 内过点A 作AM BD ⊥于点M ，并延长交BC 于.F则点M 为BD 中点，所以F 也为BC 中点．将ABD △沿BD 折起，使得点A 到E 的位置时，有EM BD MF BD ⊥⊥，，所以BD ⊥平面EFM ，也为EF ⊂平面EFM ，所以BD EF ⊥，（2）过点M 作MN BC ⊥交BC 于点.N 则1.2MN AB = 则在三棱锥E BCD -中，因为平面EBD ⊥平面BCD ，所以EM ⊥平面.BCD因为MN BC ⊥，连接EN ，则有.EN BC ⊥所以ENM ∠即为二面角E BC D --的平面角，设122AD AB BC ===，则 1.EM MN ==所以在Rt EMN △中，tan EM ENM MN∠==所以二面角E BC D --例27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，4PA PC ==，AB BC ⊥，D ，E 分别为PC ，AC 中点，且BD AC ⊥．（1）求AB BC的值； （2）若4AC =，求二面角E BD C --的余弦值．【解析】（1）作DF AC ⊥于F ，连接DF ，BF ，①平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面C ABC A =，DF AC ⊥，PE ⊂面PAC①DF ⊥平面ABC ．①DF PE ∥．①PE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC①DF AC ⊥，①AC BD ⊥，BD DF D =，BD ，DF ⊂平面BFD ，①AC ⊥平面BFD ，BF ⊂平面BFD ，①AC ⊥BF ，①D ，E 分别为PC ，AC 中点，4PA PC ==，DF AC ⊥，①3AF FC =，①AB BC ⊥，AC ⊥BF ，①22,AB AF AC BC FC AC =⋅=⋅①AB BC ==（2）由4AC AB =⇒=2BC BE CD ED ====，取BD 中点为G ，连接DG ，CG ．由BED ，BCD △为等腰三角形，故BD EG ⊥，BD CG ⊥，则EGC ∠为二面角E BD C --的平面角．BD ==EG CG ==22221cos 5EGC +-∠==．所以二面角E BD C --的余弦值为15． 例28．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，PA ､PB ､PC 是该圆锥的三条不同母线，M ､N 分别为PA ､PB 的中点，圆锥的高为h ，底面半径为r ，:3:2h r =，且圆锥的体积为32π．（1）求证：直线MN 平行于圆锥的底面；（2）若三条母线PA ､PB ､PC 两两夹角相等，求平面MNC 与圆锥底面的夹角的余弦值．【解析】（1）连接AB ，在PAB △中，M ､N 分别为PA ､PB 的中点，所以//MN AB ，因为MN ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，所以//MN 平面ABC ； （2）由21323V r h ππ==圆锥，且:3:2h r =，可解得6,4h r === 因为三条母线PA ､PB ､PC 两两夹角相等，所以ABC为等边三角形，则边长为2sin60r ︒= 设MN 的中点为D ，点D 在底面的投影为E ，则32h DE ==， 连接,CE CD ，则DCE ∠为平面MNC 与圆锥底面的夹角，在PAC △中，cos 13PAC ∠==， 则在MAC △中，(22223713MC =+-⨯=，所以CD ===，则5CE ==，所以cos34CE DCE CD ∠===．所以平面MNC例29．（2022·天津河北·二模）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，四边形P ACQ 是矩形，1PA =，且平面PACQ ⊥平面ABCD ．（1）求直线BP 与平面P ACQ 所成角的正弦值；（2）求平面BPQ 与平面DPQ 的夹角的大小；【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OP ，四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，平面PACQ ⊥平面ABCD ，平面PACQ ⋂平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面PACQ ，BPO ∴∠即为BP 与平面ACQP 所成角．四边形PACQ 为矩形，PA AC ∴⊥，又平面PACQ ⊥平面ABCD ，平面PACQ ⋂平面ABCD AC =，PA ⊂平面PACQ ，PA ∴⊥平面ABCD ，PA AB ∴⊥，BP ∴在Rt POB △中，OB =sin OB BPO BP ∴∠==故BP 与平面ACQP（2）取PQ 的中点M ，连接BM 、DM ，由（1）知，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形PACQ 为矩形，BP BQ ∴=，DP DQ =，BM PQ ∴⊥，DM PQ ⊥，BM D ∴∠即为二面角B PQ D --的平面角，在BDM 中，BD =2BM DM ==， 由余弦定理知，22244121cos 22222BM DM BD BMD BM DM +-+-∠===-⋅⨯⨯， 120BMD ∴∠=︒， 故二面角B PQ D --的大小为120︒，则平面BPQ 与平面DPQ 的夹角为60︒．例30．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥Q ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面QAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AB QD ⊥；（2）若点Q 到平面ABCD 的距离为2，记二面角B QD A --的正切值为m ，求1QD m +的最小值． 【解析】（1）在四棱锥Q ABCD -中，ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，因平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，则AB ⊥平面QAD ，而QD ⊂平面QAD ，所以AB QD ⊥． （2）在平面QAD 内过Q 作QM AD ⊥于M ，过点A 作AN QD ⊥于N ，连接BN ，如图，因平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，则QM ⊥平面ABCD ，即有2QM =， 由（1）知AB QD ⊥，而ABAN A =，,AB AN ⊂平面ABN ，于是得QD ⊥平面ABN ，BN ⊂平面ABN ，则BN QD ⊥，因此，ANB ∠是二面角B QD A --的平面角，2tan AB m ANB AN AN =∠==， 在QAD 中，4AN QD QM AD ⋅=⋅=，即4AN QD =，显然2QD ≥， 于是得1232AN QD QD QD m QD +=+=+≥，当且仅当2QD =时取“=”， 所以1QD m+的最小值是3． 题型四：距离问题例31．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，CD AB ∥，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若2EM AM =，求证：CE ∥平面BDM ．（2）当AE ⊥平面MBC 时，求点E 到平面BDM 的距离．【解析】（1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，①AB CD ∥，24AB CD ==，①CND ANB △△∽， ①12CD CN AB AN ==， 又因为2EM AM =， ①12CN EM AN MA==， ①CE MN ∥，又①CE ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，①CE ∥平面BDM ．（2）①AE ⊥平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，①AE BM ⊥，①AB BE =，①M 是AE 的中点，①平面ABE ⊥平面ABCD ，①点E 到平面ABCD 的距离为4sin 60d =︒=在BDM 中，BD =DM =BM =①12BDM S =⋅△ ①111223E BDM E ABD M ABD E ABD ABD V V V V S d ----=-==⨯⨯⨯△114262=⨯⨯⨯⨯①点E 到平面BDM 的距离h 满足13=，所以距离h =． 例32．（2022·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC =，PA PB =，且点C 在以点O 为圆心AB 为直径的半圆AB 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若2AC =，且PC 与平面ABC 所成角为4π，求点B 到平面PAC 的距离． 【解析】（1）连接,OP OC ，因为PA PB =，AC BC =，故AB OP ⊥，AB OC ⊥，又OP OC O ⋂=，,OP OC ⊂平面OPC ，故AB ⊥平面OPC ．又PC ⊂平面OPC ，故AB PC ⊥（2）由（1）因为AB OP ⊥，且平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC 于AB ，故OP ⊥平面ABC ，故PC 与平面ABC 所成角为4PCO π∠=，故OC OP =，又点C 在以点O 为圆心AB 为直径的半圆AB 上，AC BC =，2AC =，故OC OP OA OB ====2PA AC PC ===，设点B 到平面PAC 的距离为h ，则因为P ABC B PAC V V --=，即2111222323h ⨯⨯⨯，解得h 例33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是直角三角形，2AC BC ==，PB PC =，D 为AB 的中点．（1）证明：BC PD ⊥；（2）若3PA =，PB A 到平面PDC 的距离．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接PE ，DE ，因为底面ABC 是直角三角形，AC BC =，所以90ACB ∠=︒， 因为D 为AB 的中点，所以//DE AC ，所以DE BC ⊥， 又PB PC =，所以PE BC ⊥，因为PE ，DE ⊂平面PDE ，PE DE E =，所以BC ⊥平面PDE ， 因为PD ⊂平面PDE ，所以BC PD ⊥．（2）连接AE ，CD ，由（1），因为PE BC ⊥，112CE BC ==，PC PB ==2PE =，因为AC BC ⊥，所以AE ==又3PA =，所以222PE AE PA +=，即AE PE ⊥，因为PE BC ⊥，BC AE E =，BC ，AE ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ， 所以11142223323P ABC ABC V S PE -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为D 是AB 的中点，所以1223P ACD P ABC V V --==，因为直角三角形ABC ，所以1122CD AB ==⨯ 因为PE ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PE DE ⊥，又112DE AC ==，所以PD所以在等腰PCD 中，CD所以13222PCD S ==， 设点A 到平面PDC 的距离为d ，因为P ACD A PCD V V --=， 所以2133PCD S d =⋅，则43d =， 所以点A 到平面PDC 的距离为43．例34．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，//,AB DC AB BC ⊥，33,6AB DC BC ===，点P 在面11ADD A 上，过点P 和棱1BB 的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．（1）求截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的正切值； （2）求棱1DD 到截面的距离．【解析】（1）如图所示，作出截面为1BB PQ 交AD 于Q ，A 1D 1于Q 1．1111ABCD A B C D -为直棱柱，1BB ∴⊥平面1111D C B A ，11,BQ BC BB BB ∴⊥⊥QBC ∴∠为截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的平面角．过Q 作QH AB ⊥，垂足为11,H AB B C ⊥，,//QH BC QBC BQH ∴∴∠=∠，由题意可得：212ABCD ABQ S S ∴==，1362ABQ S QH ∴=⨯⨯=，4QH ∴=． 过Q 作QM BC ⊥，垂足为M ，则()11412622QBCD MBQ MCDQ S S S QM QM ∴==⨯⨯++⨯+⨯=，解得：53QM =， 所以4,335BH AH ==， 115tan tan 12QM PB C QBM BM ∴∠=∠==． 即截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的平面角的正切值为512． （2）因为1//DD 截面，所以棱1DD 到截面的距离即为点D 到截面的距离．1BB ⊥平面,ABCD ∴平面1BB PQ ⊥平面ABCD ，交线为BQ ，过D 作DT BQ ⊥，垂足为,T DT ∴⊥平面1BB PQ ，则DT 的长度为棱1DD 到截面所在平面的距离．因为16132BCD S =⨯⨯=△，162QBCD ABCD S S ==，3QBD QBCD BCD S S S =-=， 即132QBD S BQ DT =⨯⨯=．因为133BQ =，所以332181313DT ⨯⨯== 所以棱1DD 到截面所在平面的距离为1813． 例35．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知ABC 为等边三角形，D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，把ADE 沿DE 折起，使点A 到达点P ，平面PDE ⊥平面BCDE ，若4BC =．。

线面角与二面角专题复习编辑\ 审核：黄志平说明红色为必做题（课堂上展示的），其它题可选做，练手感。

一、线面角1、如图，四棱锥S ABCD -中，AB//CD,BC CD ⊥， 侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．2、如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．（Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值；3、如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；D 1C 1B 1A 1PDCBADPDBCAEPBCA4、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离.（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。

5、如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB . （1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;（2）求二面角P AC B --的大小的余弦值.图4 图5二、二面角6．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD (I) 求证：平面PAD ⊥平面PCD(II) 当AD = AB 时，求二面角A －PC －D 的余弦值.DPA C P7. 如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长 为1的棱形，且060DAB ∠=,2PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点， （1）证明：AD DEF ⊥平面; （2）求二面角P AD B --的余弦值.8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角.（1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥； （2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成 角的余弦值；（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.9、如图5，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的中点． （Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值。