导数的应用___单调性(一)

积分下限
注：一般的，定积分是一个数值；不定积分是一个函数
2.定积分：
(1)含义： (2)运算方法及性质：
①方法： i:定义法
分割取近似，求和取极限
ii:基本定理法
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
②定积分的性质
b
b
i: kf (x)dx k f (x)dx
a
a
b
b
b
ii: [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
x1, x2 的值，若当 x1 ＜ x2 时，都有 f (x1) ＞ f (x2 )
则称函数 f (x) 在区间D上是减函数
说明：①单调区间D是定义域I的子区间
②单调性是针对一个区间定义的
2.判定：
①基本函数②复合函数：同增异减
背诵法 ③原函数与反函数的单调性相同
④奇同偶反⑤和差函数：同加不变异减看前
当x＞0时，解 f (x) 0 得f(x)在(0, 1)上↗ 当x＞0时，解 f (x) 0 得f(x)在 (1,＋∞)上↘
练习2.定义域优先
(8)判定函数的 h(x) 1 单调性 x
解：因
h(x)
1 x2
0
在R
上恒成立
故函数 h(x) 在R上单调递增
(2)课本P：24 例2 ③
解：因 f (x) cos x 1 0 在 (0, ) 上恒成立 故函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递减
(3)课本P：31 A组 Ex1
练习1.求导到显然 书写要简明
当f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗
附：几个常用函数的导数
① ex / ex
② ln x/ 1 x
③ cf (x)' cf '(x)
④
f(
1x( x))/
1 x2
⑤
(
f
(xx))/
1 2x
⑥ (tan x)/ sec2 x
⑦
(an
x
n
an1
xn1
...
a1
x
/
a0)
nan xn1 (n a 1) n1 xn2 ...2a2 x a1
③
f x' gx
f 'xgx f xg'x
gx2
分母分母要平方 子前母后要相减
④ f (g(h(x)))/ f '(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x)
复合函数框套框 一直框到纯字母 从外向内逐个导 导后相乘剥洋葱
复合函数的求导法则
复合函数框套框 一直框到纯字母 从外向内逐个导 导后相乘剥洋葱
注3：书写格式要简明
①当 f(x) 单调时…… ②当 f(x) 不单调时……
一、单调性的基础知识：
1.定义： 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
x1, x2 的值，若当 x1 ＜ x2 时，都有 f (x1) ＜ f (x2 )
则称函数 f (x) 在区间D上是增函数
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
求导的逆运算——积分
1.不定积分： 2.定积分：
(1)含义：四大步 参课本P：39～45
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
(7)判定函数的 f (x) ln x x 单调性
解：因 f (x) 1 x x
解 f (x) 0 得f(x)在(0, 1)上↗
解 f (x) 0 得f(x)在(－∞,0), (1,＋∞)上↘
当x＞0时，解 f (x) 0 得f(x)在(0, 1)上↗ 当x＞0时，解 f (x) 0 得f(x)在 (－∞,0), (1,＋∞)上↘
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘ (4)课本P：24 例2 ②
解：因 f (x) 2(x 1)
解 f (x) 0 得f(x)在(1,＋∞)上↗
解 f (x) 0 得f(x)在(－∞,1)上↘
(5)课本P：24 例2 ④
解：因 f (x) 6x2 6x 24 6(x 1 17 )(x 1 17 )
①当 f(x) 单调时…… ②当 f(x) 不单调时……
导数概述
导
①求切线斜率 ②判定单调性
数 ③求极值 ④求最值
数 学 概求应
⑤堪根 ⑥解证不等式 ⑦证等式……
念导用
其 他 学
积 ⑧曲边梯形面积 分 ⑨数列求和
科
函数求导有技巧 先变后导隐函数 最终结果若要好 因式分解及配方
常见的积分法
三法一表 先变后积
§214 导数的应用——单调性(一)
一、单调性的基础知识：
1.定义：
2.判定： 3.应用：
二、导数法判定单调性：
第一确定定义域 第二求导到显然 ①
三解不等得结论 书写格式要简明
②
③
注1：最终结果要显然 乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
②
③
注1：最终结果要显然 乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
故f(x)在Domain上↗（↘） ②当f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗
x
x
S3:求极限
f (x) lim y x0 x
注：将上述中的x换成x0，即为求函数在点x0处的导数
导数的概念 一差二比三极限
S1:求函数的改变量(增量) y f (x x) f (x)
S2:求平均变化率(比值)
y f (x x) f (x)
x
x
S3:求极限
f (x) lim y x0 x
ax ' ax ln a
③[ log a
f x]/
[
f
1
xln
a
]
•
f
/ x
log
a
x'
1 x ln
a
④[sin f x]/ [cos f x]• f / x
sin x' cos x
⑤[cos f x]/ [－sin f x]• f / x cos x' sin x
求导的逆运算——积分
1.不定积分：
(6)课本P：26 练习1
①解：因 f (x) 2(x 1)
解 f (x) 0 得f(x)在(1,＋∞)上↗
解 f (x) 0 得f(x)在(－∞,1)上↘
②解：因 f (x) ex 1
解 f (x) 0 得f(x)在(0,＋∞)上↗ 解 f (x) 0 得f(x)在(－∞,0)上↘
③解：因 f (x) 3(x 1)(x 1)
曲线
1个交点
椭圆，圆
1个交点
抛物线,双曲线 1个交点
相切 相切 相切
§214 导数的应用——单调性(一)
一、单调性的基础知识：
1.定义：
2.判定： 3.应用：
二、导数法判定单调性：
第一确定定义域 第二求导到显然 ①
三解不等得结论 书写格式要简明
②
③
注1：最终结果要显然 乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
k
f / (x0 )
y0 x0
y1 x1
y0 kx0 b
P0 (x0 , y0 ) P1 (x1 , y1 )
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
直线与曲线位置的分类
相交 相离
相割 相切 其他
注1：切线是割线的极限位置
注2：不同曲线交点个数与相切的关系
1个交点与相切的关联
注：将上述中的x换成x0，即为求函数在点x0处的导数
将定义 f (x) lim y 中的条件“ lim ”去掉
x0 x
x0
则定义可修正成： f ( ) y
x
即 f ( ) f (b) f (a)
ba
中值定理
导数的几何意义
割线极限是切线 必须切点横坐标 知一有二基本功
一导本身是斜率 切点坐标及斜率 在即切点过待定
a
a
a
b
c
b
iii: f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
导数的概念
1.总纲 又名瞬间变化率 点点可导线可导 2.形法 连续平滑切斜率 3.数法
一差二比三极限
S1:求函数的改变量(增量) y f (x x) f (x)
S2:求平均变化率(比值)
y f (x x) f (x)
形 法 从左到右持续升（降）
导数法
数法
定义法
增大减小○驻点 含参反用必须等 具体函数比较法 抽象函数配凑法
3.应用：
①基本应用：知二有一 x1 ＜x2 ; y1 y2 ;↗(↘)
②引申： ①°求极值②°求最值③°堪根④°解证不等式⑤°解等式
二、导数法判定单调性：
第一确定定义域 第二求导到显然
①
三解不等得结论 书写格式要简明
1.基本积分表（24个公式） 2.分项积分法 3.换元积分法 4.分部积分法
函数的求导运算
1.六个简单函数的求导公式： 2.复杂函数的求导法则：
六
复
个 简 ±×÷复合法则 杂
单
函
函
数
数
六个公式两特例 简单函数两标准 单个函数纯字母 不符条件用法则 哪里不符那里变 一直变到纯字母
六个简单函数的求导公式 (参课本P：14)
2
2
解 f (x) 0 得f(x)在 (, 1 17 ), (1 17 ,) 上↗
2
2
解 f (x) 0 得f(x)在 (1 17 , 1 17 ) 上↘
2
2
练习1.求导到显然 书写要简明
当 f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
故f(x)在Domain上↗（↘）
当 f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗ 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
①若 f x C,则 f 'x 0
②若 f x xn,则 f 'x nxn1
③若 f x sin x,则 f 'x cos x
来自百度文库
④若 f x cos x,则 f 'x sin x
⑤若 f x ax,则 f 'x ax ln a
特别地 若 f x ex ,则 f 'x ex
⑥若
f
x
log a
x,则f
'x
1 x ln
a
特别地 若 f x ln x,则 f 'x 1 x
C' 0
xn ' nxn1
sin x' cos x
cos x' sin x
ax ' ax ln a ex ' ex
log a
x'
1 x ln
a
ln x' 1 x
六个公式是基础 特别留意纯字母 常见特例要背熟 不符条件用法则
② dx x C
③
xndx
x n 1
n1
C(n
1)
⑤ exdx ex C
④
1 x
dx
ln
|
x
|
C
⑥ axdx ax C ln a
⑦ sin xdx cos x C
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
(1)含义：
① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x)的全体原函数，称 f (x)的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
积 被 被积
x
原
任
分 积 积分
的函
意
号 函 表变 数 达量 式
微数 分
常 数
(2)常见的不定积分公式
① 0dx C
特别地
(ax3
bx
2
cx
d
/
)
3ax2
2bx c
复杂函数的求导法则
法则要用文字背
① af x bgx chx/af 'x bg'x ch'x
加减求导可换序 系数能提是特例
② f x gx hx /
f 'x gx hx f x g'x hx f x gx h'x
先乘后导如何求 逐个求导再相加
解 f (x) 0 得f(x)在(-1,1)上↗
解 f (x) 0 得f(x)在(－∞,-1), (1,＋∞)上↘
④解：因 f (x) 3(x 1)(x 1) 3
解 f (x) 0 得f(x)在 (, 1), (1,) 上↗ 3
解 f (x) 0 得f(x)在 ( 1 ,1) 上↘ 3
练习2.定义域优先
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
练习1.求导到显然 书写要简明
当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
故f(x)在Domain上↗（↘）
(1)课本P：24 例2 ①
解：因 f (x) 3(x2 1) 0在R 上恒成立 故函数 f (x) 在R上单调递增
(1)三重复合函数的求导法则:
f (g(h(x)))/ f '(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x)
（2）二重复合函数的求导公式
①[ ( f x)n ]/ [ n( f x)n1]• f / x
xn ' nxn1
②[ a f x]/ [ a f x ln a]• f / x