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• 1.理解极值的有关概念． • 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分
条件． • 3.会用导数求函数的极大值和极小值.
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重点难点
重点:利用导数知识求函数的极值 难点:对极大、极小值概念的理解及求可导 函数的极值的步骤
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观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系？
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三．求函数极值的步骤
例1 求函数 f (x) 1 x3 4x 4的极值. 3
如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配 依据是什么？ 各区间对应导数的符号如何判定
图像
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求解函数极值的一般步骤
• (1)确定函数的定义域，求导数 f (x) • (2)求方程 f (x)=0的根 • (3)用方程 f (x)=0的根，顺次将函数的定义域
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．
答案：(－2,2 )
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检测提升
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3
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求函f (x) x 1 的极值 x
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3．已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果 函数 f(x)在 x＝1 处取极值－43，则 b＝________，c＝________.
4、 已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
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归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 ３、求极值的步骤。
思想方法总结： 观察、转化、数形结合。
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直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三 个公共点，则a的取值范围是________．
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练习：
下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
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归纳
二 函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件分别是什么？
y y fx
a ob x
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一 极值的定义
• 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称 为函数y=f(x)的极小值，
• 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称 为函数y=f(x)的极大值 。
• 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小 值统称为极值
注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。
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探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点两侧的导数符号有什么规律？
y
y fx
o Cd e f g h
结论:极值点处导数值为0
x
演示
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探究:极值点两侧导数符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
极小值点两侧
bx
分成若干小开区间，并列成表wk.baidu.com. • (4)检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如
果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值。
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例 2．已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都 取得极值．
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值．
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观察函数y=f(x)的图像
y
y fx
o Cd e f
g
h
x
探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？
2、极大值一定比极小值大么？
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函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的，是局部性质。因此一个函数在其 整个定义区间上可能有多个极大值或极小 值，并对同一个函数来说，在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。
