2020年怀化市高三一模文科数学

2020年湖南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年高三第一次模拟考试 文科数学命题人：溆浦一中 朱良满 审题人：张理科、向重新、梁庄贵、陈秀伟、滕华Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 若{}3210，，，=A ，{}A x x y y B ∈==，2|，则A B =A ．{}20，B ． {}3210，，，C ．{}6420，，，D ． {}643210，，，，， 2．设R x ∈，则“1>x ”是“12>x ”的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 若31cos =α，)02(，πα−∈，则αtan 等于 A. 42− B. 42C. 22−D. 224. 执行下面的程序框图，如果输入的∈t [－1,3]，则输出的s 属于A. [－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－3,3]5. 若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1+=n n S n ，则51a 等于A ．56B ．65C ．130D ．306. 已知向量125||25a a b a b =⋅=−=（，）, ，，则||b 等于 A ．5 B ．52 C ．5 D ．257. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 若2a b c +=, 35c b =, 则角A 的值为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是A ．41B ．83C ．85 D ．439. 将函数1)4(cos 2)(2−+=πx x g 的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数)(x f 的图象，则下列说法正确的是A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．当R x ∈时，函数)(x f 为奇函数开始输入t s =4t-t 2s=3t输出s 结束是否t <1？C ．π=x 是函数)(x f 的一条对称轴D ．函数)(x f 在区间2π5π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为23−10. 关于函数x x x f ln 1)(−−=，下列说法正确的是A ．)(x f 在),1(+∞e单调递增 B ．)(x f 有极小值为0，无极大值 C ．)(x f 的值域为),1(+∞− D ．)(x f y =的图象关于直线1=x 对称11．已知圆C ：08622=+−+x y x 和两点)0,(t A −，)0,(t B )0(>t ，若圆C 上存在点P ，使得0=⋅BP AP ，则实数t 的取值范围是A. )3,1(B. )4,2(C. ]3,1[D. ]4,2[ 12. 若函数)(x f 在定义域R 上可导，且x x f cos )(<'，则关于x 的不等式)6sin(3)3()(ππ−+−≥x x f x f 的解集为A ．]3(π，−∞ B ．]6(π，−∞ C ．)3[∞+，π D ．)6[∞+，π第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 13.设实数0>x ，若2)(i x +是纯虚数（其中i 为虚数单位），则x = ．14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+−≤−−，，，001201x y x y x 则y x z +−=2的最小值为 ．15. 若椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为1F ，点P 在椭圆上，点O 为坐标原点，且△1OPF 为正三角形，则椭圆的离心率为_________．16.已知正方体1111D C B A ABCD −的棱长为1，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线D A 1、B A 1、B C 1、D C 1相交于点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 面积的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（本题满分12分）为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查. 现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示． (Ⅰ)求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；(Ⅱ)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？18．（本题满分12分）在等比数列{}n a 中，24=a ，55=a ．(Ⅰ)求数列{}n a lg 前8项的和；(Ⅱ)若等差数列{}n b 满足84422=+=⋅b a b a ，求数列{}n b 的通项公式．19．（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P −中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 120=∠BAD ，点E ，F 分别为BC 和PA 的中点．(Ⅰ)求证：直线BF ∥平面PED ； (Ⅱ)求证：平面BCF ⊥平面PAE ．20．（本题满分12分）若抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM 与x 轴正方向的夹角为，且△OFM 的面积为3．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若抛物线C 的准线与x 轴交于点A ，点N 在抛物线C 上，求当NFNA取得最大值时，直线AN 的方程．F6021．（本题满分12分）已知函数2)(ax e x f x −=，其中常数R a ∈．(Ⅰ)当),0(+∞∈x 时，不等式0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若1=a ，且),0[+∞∈x 时，求证：144)(2−+>x x x f ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+−=ααsin 3,cos 4y x （α为参数），2C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ββsin 3,cos 8y x （β为参数）．(Ⅰ)化1C 、2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若直线l 的极坐标方程为：7cos sin 2=−θρθρ，曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，曲线2C 上的点Q 对应的参数0=β，求PQ 的中点M 到直线l 的距离．23. (本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数3)(−+−=x a x x f ．(Ⅰ)若3<a ，且不等式5)(<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−2723|x x ，求a 的值； (Ⅱ)如果对任意R x ∈，4)(≥x f ，求a 的取值范围．2020年高三第二次模拟考试（文科数学）答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DACADCCDCBDB二、填空题（每小题5分，共20分）13.114．－115．13-16.21三、解答题（必做题第17题至第21题每小题12分，选做题第22题、23题每小题10分，共70分）17.（1）该地近视的学生人数为3200×0.1+3000×0.3+2000×0.5=2220（人），………2分该地中小学生总人数为3200+3000+2000=8200（人），………3分故该地中小学生的平均近视率为2200÷8200≈0.27，即平均近视率约为27％..………6分(2)由题意得，参与问卷调查的5名中学生中有2名初中生，3名高中生.………7分设2名初中生为1a 、2a ，3名高中生为1b 、2b 、2b ，则从这5人中随机选取2人的情况为：),(21a a 、),(11b a 、),(21b a 、),(31b a 、),(12b a 、),(22b a 、),(32b a 、),(21b b 、),(31b b 、),(32b b ，………9分共计10种情况，………10分其中全部来自高中年级的情况有3种，………11分故2人全部来自高中年级的概率是103..……………12分18.（1）由题意得公比25=q ，………1分故4)25(2-⨯=n n a ，………2分所以25lg )4(2lg lg -+=n a n ，………3分故数列{}n a lg 的前八项的和为4)5lg 2(lg 425lg 2)43(82lg 8=+=+-⨯+.……………6分（2）由（1）得2582=a ，………7分故由822=⋅b a 知252=b ，………8分.又844=+b a ，所以64=b .………9分故数列{}n b 的公差219-=d ，………10分所以44219)219)(2(25+-=--+=n n b n ……………12分19.解：（1）取线段PD 中点M ，连结线段FM 和EM .…………1分在△PAD 中，FMAD 21.………2分点E 为BC 中点，故BEAD 21，所以FM BE ，………3分所以四边形BEMF 为平行四边形，………4分所以EM //BF ，又⊄BF 平面PED ，………5分所以直线BF ∥平面PED .……………6分（2）连结AC ，由底面ABCD 是菱形，且 120=∠BAD ，故ABC ∆为等边三角形.…7分又点E 为BC 中点，故BC AE ⊥.………8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以BC PA ⊥.………9分由A PA AE = 知⊥BC 平面PAE ，………10分因为⊂BC 平面BCF ，………11分所以平面BCF ⊥平面PAE .…………12分20.（1）法一、抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设)(00y x M ，，则20px MF +=，………1分过点M 作x 轴的垂线，垂足为K ，则20px FK -=.………2分在Rt △MFK 中,60=∠MFK ，故KF MF 2=，即)2(2200p x p x -=+，即230p x =，………3分所以202032p px y ==，故p y 30=.………4分由33221210=⋅⋅=⋅=∆p py OF S MOF ，所以2=p ，………5分所以抛物线C 的方程为x y 42=.…………………6分法二、抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设)(00y x M ，，则20px MF +=，………1分又因为FM 与x 轴正方向的夹角为60，所以)2(2360sin 00px MF y +==，……2分所以3)2(832100=+=⋅=∆px p y OF S MOF ，所以082p x p =-，………3分00343()22p y x p=+=，………4分代入2002y px =得24882()2pp p p =-，解之得2p =或p =，………5分又当p =时，FM 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =，所以抛物线C 的方程为x y 42=.…………………6分（2）过N 作NQ 与准线垂直，垂足为Q ，………7分则NAFANQ NQ NA NF NA ∠=∠==cos 1cos 1，………8分则当NFNA 取得最大值时，NAF ∠必须取得最大值，此时直线AN 与抛物线相切，…9分设切线方程为)1(+=x k y 与x y 42=联立，消去y 得0)42(2222=+-+k x k x k ，…10分所以016162=+-=∆k ，得1±=k ．………11分则直线方程为1+=x y 或1--=x y ．……………12分21.（1）由题意知当),0(+∞∈x 时，不等式0)(2>-=ax e x f x恒成立，即2xe a x<恒成立.……………1分设)0()(2>=x x e x h x ，则3)2()(x e x x h x-='.……………2分当)20(，∈x 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减；……………3分当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，……………4分所以)(x h 的最小值为4)2(2e h =，故实数a 的取值范围为)4(2e ，-∞.……………5分（2）由题意得，要证144)(2-+>x x x f 成立，即证14422-+>-x x x e x成立，即证014422>+--x x e x 成立．……………6分设1442)(2+--=x x e x g x，其中),0[+∞∈x ，则44)(--='x e x g x.……………7分2ln 20<≤x ，所以函数)(x h 在)2ln 2(∞+，上单调递增；在)2ln 20[，上单调递减.……………8分设曲线)(x h y =与x 轴的交点为)0(，m ，因为03)0(<-=h ，012)2(2<-=e h ，016)3(3>-=e h ，所以32<<m ，且44+=m e m ．…………9分故当)0[m x ，∈时，0)(<'x g ；当)(∞+∈，m x 时，0)(>'x g ，……………10分所以)()(m g x g ≥222181442m m m e m -=+--=，……………11分由于32<<m ，所以0)9(2)(2>-≥m x g ，即144)(2-+>x x x f .……………12分22.（1）曲线()()22221:431,C x y C++-=，……………1分曲线2221,:1649x y C =+=，……………2分其中曲线1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆；……………3分曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.……5分（2）曲线1C 中，当2πα=时，点P 的坐标为)44(，-，……………6分同理点Q 的坐标为)08(，，……………7分故线段PQ 的中点M 的坐标为)22(，．……………8分又直线l 的普通方程为072=+-y x ，……………9分故点M 直线l 的距离为5)2(1722222=-++⨯-=d .……………10分23.（1）因为3<a ，故⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-≤++-=.3323332)(x a x x a a a x a x x f ，，，，，……………2分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅=++-⋅-5327253)23(2a a ，……………4分所以1-=a ；……………5分（2）对任意R x ∈，当3<a 时，由（1）知43≥-a ，即1-≤a ；……………6分当3=a 时，432≥-x 不恒成立；……………7分当3>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-≤++-=.3233332)(a x a x a x a x a x x f ，，，，，……………8分要使4)(≥x f 恒成立，则43≥-a ，即7≥a .……………9分综上可得1-≤a 或7≥a .……………10分。

2020年湖南省怀化市高考数学仿真试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−1<x<6}，B={x|x>0}，则A∩B=()A. (−1,+∞)B. (−1,0)C. (0,6)D. (−1,6)2.函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π43.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是()A. 116B. 18C. 38D. 3164.已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a⊂α，b⊂β，则“a⊥ι”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知复数z=(1+i√2)2(其中i为虚数单位)，则z.=()A. 1B. −iC. −1D. i6.已知a=log213，b=5−3，c=212，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b7.已知底面边为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B. 4π C. 2π D.8.函数f(x)=sin3x3x−3−x的图象大致为()A. B.C. D.9.如图，过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B两点(A在B的上方)，A，B到C的一条渐近线的距离分别为d1，d2，且d2=4d1，则C的离心率为()A. √2B. 54C. √3D. 4310.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为()A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k的直线与抛物线C相交于A、B两点，若∠AFB=60∘，则k=()A. ±12B. ±√24C. ±√22D. ±√3212.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a<e；②x1+x2<2；③x1⋅x2>1；④有极小值点x0，且x1+x2<2x0.则正确判断的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2≥0y+2≥0x+2y−6≤0，则z=x+y的最小值是________．14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=−14，a=6，△ABC的面积为3√15，则sin A的值等于______．15.程序框图如图，若输入S=1，k=1，则输出的S为______ ．16.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=6，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在①S n=2b n−1，②−4b n=b n−1(n≥2)，③b n=b n−1+2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{a n}为等比数列，a1=23，a3=a1a2，数列{b n}的首项b1=1，其前n项和为S n，______，是否存在k，使得对任意n∈N∗，a n b n≤a k b k恒成立？18.如图，在等腰梯形CDFE中，A，B分别为底边DF，CE的中点，AD=2AB=2BC=2.沿AE将△AEF折起，使二面角F−AE−C为直二面角，连接CF、DF．(Ⅰ)证明：平面ACF⊥平面AEF；(Ⅱ)求点D到平面ACF的距离．19.(12分)按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表(单位：mm)：d[18,20)[20,22)[22,24)[24,26)[26,28)等级三级品二级品一级品特级品特级品频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个．(1)估计这批水果中特级品的比例；(2)已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F 2．(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．21.已知函数f(x)=(a−1)lnx−ax−x(a∈R)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程(2)当a<3时，若函数f(x)在[1,3]上的最大值为−2，求实数a的值．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|．(1)解不等式f(x)≤x+2；(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A∩B=(0,6)．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查三角函数的周期和周期的求解方法，属基础题．利用函数性质可得函数周期．由三角函数的周期公式可知，函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是2π12=4π．选A．3.答案：B解析：【试题解析】解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2√2，则等腰直角三角形的边长为2√24=√22，对应每个小等腰三角形的面积S=12×√22×√22=14．则阴影部分的面积为2×14=12，又正方形的面积为4，∴该点取自图中阴影部分的概率是124=18．故选：B．根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论．本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的关键，是基础题．4.答案：A解析：解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：z=(√2)2=2i2=i，则z.=−i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：log213<log21=0，0<5−3<50=1，212=√2>1；∴a<b<c．故选：A．容易得出log213<0,0<5−3<1,212>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．7.答案：D解析：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．。

2020年湖南省怀化市高考数学模拟试卷（文科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，若A⊆（M∩N），则集合A的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 83.已知数列{a n}满足a n+12＝a n a n+2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4a3，则a4a5a6＝（）A. ±8B. ﹣8C. 8D. 164.已知圆锥曲线的离心率为，则cosθ=（）A. B. C. D.5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是（）A. 月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C. 这12个月利润的中位数与众数均为30D. 这一年的总利润超过400万元6.已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. p∨（￢q）D. （￢p）∧q7.《九章算术》勾股章有一问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈（一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为（）A. B. C. D.8.设实数a，b满足log b2＜log a2＜0，则a a，a b，b a的大小关系是（）A. b a＞a b＞a aB. b a＞a a＞a bC. a a＞b a＞a bD. a a＞a b＞b a9.某四棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则当x∈[0，π]时，不等式g（x）＜1的解集为（）A. B. C. D.11.在正方体中,过AB作一垂直于BA的平面交平面于直线l,动点M在l上,则直线BM与所成角的余弦值的最大值是( )A. B. C. D. 112.对于函数：y=f（x）与y=g（x），若存在x0，使f（x0）=g（-x0），则称M（x0，f（x0）），N（-x o，g（-x o））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点“.已知函数f（x）=m（x+1），（x∈R），g（x）是定义在R上的函数，且满足g（x）+g（2-x）=0，当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f（x）与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A. （，0）B. （，-1）C. （-∞，）D. （0，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，则||=______．14.已知的展开式的系数和为16，则展开式中的常数项为______．15.已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，直线l：y=3x-2截C所得弦AB的中点的横坐标为，则C的短轴长为______．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中B为钝角，，点P在线段AC上，且2AP=PC，BP=2，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}满足a1＝1，（n≥2，且n∈N*），设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（3）求{b n}的通项公式，并求其前n项和S n．18.在五边形ABCDE中，CD∥BE，AB=AE=，BA⊥AE，BC⊥CD，BE=2BC=2CD，现将AABE沿着BE折起，使得点A到达点P的位置，且使平面PBE⊥平面BCDE，记线段PE的中点为M．（1）求证：MD∥平面PBC；（2）求三棱锥M-PCD的体积．19.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更近一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某镇团委对春节期间该镇燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：x1115172022y45678（）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明；（若＞，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r精确到0.01）（2）试用最小二乘法求出y关于工的线性回归方程（系数用分数表示），并预测：当x=25时，y的值；（精确到个位）（3）若在春节所在的那个月内，雾霾的天数y落在区间（y-2x，y+2s）的右侧（其中s为标准差），则认为雾霾将对该镇人们的生产、生活造成较大的影响，镇政府将根据该结果出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，否则将暂不采取相应措施．现巳知2019年2月该镇雾霾天数为9，问：该镇是否需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，试说明理由．附：参考数据：x i y i=537，x=1519，≈27.2，s=≈1.4．参考公式：回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=y-x，相关系数r=．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于两点，且线段的中点的横坐标为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过抛物线C上非顶点的任一点M作抛物线的切线l'与直线y=-1交于点N，问：在y轴上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0）．（1）试讨论f（x）的单调性与极值；（2）当f（x）＞0时，设函数g（x）=x2-3x+3+x lnx，若∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，+∞），使不等式g（x1）+f（x2）≥4成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（）．（1）求直线l的普通方程与圆C在直角坐标系下的标准方程；（2）设圆C与直线l交于两点，若P点的直角坐标为（1，0），求PA2+PB2的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|-2|x-3|．（1）解不等式f（x）＜6；（2）已知a，b，c都是正数，记f（x）的最大值为t，若a+b+2c=t，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵=．∴复数z的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，∴M∩N=={（-1，1），（1，1）}，∵A⊆（M∩N），∴集合A的个数为22=4．故选：C．推导出M∩N=={（-1，1），（1，1）}，再由A⊆（M∩N），能求出集合A的个数．本题考查满足条件的集合A的求法，考查交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：解：∵数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），∴{a n}是等比数列，∴a3，a5，a7同号，∵a3=1，a7=4a3，∴=2，∴a4a5a6==8．故选：C．由数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），得到{a n}是等比数列，推导出=2，a4a5a6=，由此能求出结果．本题考查等比数列的三项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：解：圆锥曲线的离心率为＞1，所以曲线是双曲线，可得：，解得cosθ=．故选：A．判断曲线是双曲线，利用离心率列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：D解析：解：由图可知月收入的极差为90-30=60，故A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.7月份的利润最高，故B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故C正确，D错误．故选：D．根据所给的折线图逐项分析即可．本题考查了统计图的识别和应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“∀x∈R，＜0或x+1=0”；则命题p是假命题，命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，为真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：D．根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，由池宽B′E=10尺，得CE=5尺，在RT△ACE中，由勾股定理，得52+（x-1）2=x2，解得x=13．即水深12尺，芦苇长13尺，∴所求的概率为P=．故选：B．由题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，求解三角形求得x值，再由测度比是长度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．先判断0＜a＜b＜1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵实数a，b满足log b2＜log a2＜0，∴0＜a＜b＜1，∴y=a x在R上是单调递减函数，故a a＞a b，∵y=x a在（0，+∞）上单调递增，∴b a＞a a，则a a，a b，b a的大小关系为b a＞a a＞.故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，属于中档题．由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，可将三视图还原成为四棱锥P—ABCD，其中PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，且PD⊥底面ABCD，显然该四棱锥可补形成棱长为1的正方体，故其外接球半径，所以所求外接球的表面积．故选：B．10.答案：C解析：【解答】解：由图象可知A=2，周期T=，∴T=π，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），图象过点（）带入可得2sin（2×+φ）=2，∵-π＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x-），f（x）的图象向左平移个单位，y=2sin[2（）-]=2sin（2x-），∴函数g（x）=2sin（2x-），不等式g（x）＜1，即sin（2x-），当x∈[0，π]时，则2x-∈[，]，结合正弦函数图象可得：≤2x-或＜2x-，解得0或＜x≤π，故选：C．【分析】由图象可知A，根据周期求出ω，将（）代入求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于一般题．11.答案：A解析：解：设该正方体的棱长为1，如图，易知与B1C垂直且过AB的平面即为平面ABC1D1，故直线l即为直线AD1，又CD1∥A1B，则直线CD1与直线BM所成角即为∠A1BM（或其补角），连接A1M，显然当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，当点M为AD1的中点时，A1M最小，其值为，此时sin A1BM===，即cos∠A1BM=，故选：A．先作出异面直线直线BM与CD1所成角，再结合图象得当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，运算即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查对新定义函数的图象和性质理解和应用，导数定义的运用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于较难题．利用函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”的定义，函数的对称性和函数的导数解得函数切线方程的切点，由对称和数形结合可得m的范围.【解答】解：设y=h（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，则h（x）=f（-x）=m（1-x）=-m（x-1），由g（x）+g（2-x）=0，知g（x）的图象关于点（1，0）对称，且g（1）=0．当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f(x)与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，由题意知函数h（x）与g（x）的图象恰有5个交点，h(x)和g（x）的图象如下图所示：设直线y=-m（x-1）与曲线y=g（x）（x＞1）的切点为（x0，y0），则-m=g′（x0）=2x0-4，∴切线方程为y-y0=（2x0-4）（x-x0），即y-x02+4x0-5=（2x0-4）（x-x0），因为点（1，0）在切线上，∴-x02+4x0-5=（2x0-4）（1-x0），解得x0=1+，或x0=1-（舍去），此时-m=2（1+）-4=2-2，因为f（-x），g（x）的图象均关于点（1，0）对称，且f（-1）=0，结合图象可知，实数-m＞2-2，即m＜2-2，故选C．13.答案：解析：解：向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，∴=4，||=1．∴-4+4=4，即1-4•1•||•cos120°+4=4，求得||=，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求得||．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.答案：-12解析：解：已知的展开式的系数和为2n=16，∴n=4，则展开式中的通项公式为T r+1=•34-r•（-1）r•x3-r，令r=3，可得常数项为-12，故答案为：-12．由题意利用二项式系数的性质求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：10解析：解：椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，所以c=5，椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点的纵坐标：=，所以中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，相减可得：，又y1+y2=-1，x1+x2=1，==3，又a2-b2=50，联立解得a2=75，b2=25．∴则C的短轴长为：10．故答案为：10．椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2-b2=50，联立解得a2，b2．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.答案：解析：解：由b-a sin A=b cos2A，可得：sin B-sin2A=sin B（1-2sin2A），可得：sin2A=2sin B sin2A，可得：sin B=，由B为钝角，可得B=，由2AP=PC，可得2=，∴2-2=-，即3=2+，两边平方可得92=42+2+4，即36=42+2+4||||cos∠ABC=42+2-2||||≥2-2||||=2||||，∴||||≤18，当且仅当2||=||时取等号，∴S△ABC=BA•BC•sin∠ABC≤=．故答案为：．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B，由B为钝角，可得B=，由题意2=，可得3=2+，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求||||≤18，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：（1）因为a1=1，2a n2-a n-1a n-6a n-12=0，a n＞0，可得（2a n+3a n-1）（a n-2a n-1）=0，则a n=2a n-1，所以数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，又a n>0,可得a n=2n-1；所以b n=log2a n=n-1，所以b1=0，b2=1，b3=2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1-b n=n-（n-1）=1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；（3）b n=log2a n=log22n-1=n-1，前n项和为S n=n（0+n-1）=．解析：本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．（1）运用因式分解和等比数列的定义，可得a n，由对数的运算性质可得所求值；（2）运用等差数列的定义，即可得到结论；（3）由对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式，可得所求和．18.答案：解：（1）证明：如图，取PB中点N，连接MN，CN，则MN为△PBE的中位线，∴MN∥BE，且MN=，又CD∥BE，BE=2CD，∴MN∥CD，且MN=CD，∴四边形CDMN为平行四边形，∴MD∥CN，∵MD⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴MD∥平面PBC；（2）∵M为PE的中点，∴点P、E到平面MCD的距离相等，∴V M-PCD=V P-MCD=V E-MCD=V M-CDE，取BE的中点O，连接PO，则由PB=PE，得OP⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，∴OP⊥平面BCDE，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB=AE=，AB⊥AE，得BE=2，∴OP=，∴点M到平面CDE的距离d=，又，∴=，故三棱锥M-PCD的体积为．解析：（1）取PB中点N，去证MN，CD平行且相等，得到CDMN为平行四边形，进而得到MD，NC平行，得证；（2）把求M-PCD的体积转化为求M-ECD的体积，先取BE中点O，证得PO⊥平面BCDE，以下的求解不难．此题考查了线面平行的证明，转化法求三棱锥的体积，难道适中．19.答案：解：（1）由题意，计算=×（11+15+17+20+22）=17，=×（4+5+6+7+8）=6，所以相关系数r==≈0.99＞0.75，所以可以认为y与x有较强的线性关系；（2）由（1）知，计算===，=-=6-×17=-，所以y关于x的线性回归方程为=x-；当x=25时，=×25-≈9（天）；（3）由题意知s=≈1.4，所以（-2s，+2s）=（3.2，8.8）；且9＞8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．解析：（1）由题意计算、，求出相关系数r，即可得出y与x有较强的线性关系；（2）计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x=25时的值；（3）由题意知s的值，再求出（-2s，+2s），即可得出结论．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的计算问题，是中档题．20.答案：解：（1）设A，B两点坐标为（x A，y A），（x B，y B），AB的中点横坐标为x0=2，即x A2=2py A，x A2=2py A，两式相减得（x A+x B）（x A-x B）=2p（y A-y B），所以k AB====1，所以p=2，即抛物线的方程为x2=4y．（2）设M（x0，y0），则x02=2py0，由y=，求导y′=，所以直线l′的方程为y-y0=（x-x0），令y=-1，得x=，则N（，-1），假设存在点P，使得，即，设P（0，t），因此，即，所以t=1，即存在定点P（0，1），使得．解析：（1）利用点差法即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）利用导数求得M的切线方程斜率及切线方程，求得N点坐标，根据向量的坐标运算，求得P 点坐标．本题考查抛物线方程的求法，点差法的应用，考查直线的点斜式方程，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．①当a＜0时，可得：x∈（0，），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递增．∴x=时，函数f（x）取得极小值，f（）=1+．②当a＞0时，可得：x∈（0，），f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=时，函数f（x）取得极大值，f（）=1+．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）=-1-．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．g′（x）=2x-2+ln x．则g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．又g′（1）=0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=1．∴-3≥-1-，解得a≥2e2．∴实数a的取值范围是[2e2，+∞）．解析：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性即可得出极小值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-1=0．由ρ=2cos（），得ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x2+y2-2x+2y=0，即圆C在直角坐标系下的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=2；（2）点P（1，0）在直线l上且在圆C内，将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得．设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-1．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=，|PA||PB|=|t1t2|=1．∴PA2+PB2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=6-2=4．解析：（1）直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，把ρ=2cos（）右边展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|2x+1|-2|x-3|=．∵f（x）＜6，∴或，∴，∴不等式的解集为；（2）由（1）知，当x≥3时，f（x）的最大值为t=7，∴a+b+2c=t=7．∴==≥=，当且仅当a=b时取等号，∴．解析：（1）将f（x）写为分段函数的形式，根据f（x）＜6，然后分别解不等式即可；（2）由（1）可得a+b+2c=t=7，然后根据=利用基本不等式求出最小值即可得证．本题考查了解绝对值不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年湖南省怀化市综合中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为（）A．B．C．D．参考答案：C2.A． B． C．D．参考答案：D3. 已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是( ) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4参考答案：C【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．4. 已知是等差数列，且，则（）A．14 B.21 C. 28 D. 35参考答案：C略5. 若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则A．3 B．6 C．9 D．18参考答案：B6. 已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8. 若，则A. B．C．D．参考答案：D9. 已知集合，B={0,1,2}，则A∩B=（）A. {0}B. {0,1}C. {0,2}D. {0,1,2}参考答案：C试题分析：集合，所以，故选C.考点：交集的运算，容易题.10.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角,构成公差为的等差数列.若，则=__________.参考答案：略12. 若变量x,y满足约束条件则Z=2x-y的最大值为（）A.2B.5C.1D.4参考答案：B略13. 在等比数列{a n}中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5= ．参考答案：5【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质化简已知等式左边的第一与第三项，再利用完全平方公式变形求出（a3+a5）2的值，根据等比数列的各项都为正数，开方即可求出a3+a5的值．【解答】解：在等比数列{a n} 中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，解得：a3+a5 =5．故答案为：5【点评】此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的应用，根据等比数列的性质得出a32+2a3a5+a52=25是解本题的关键．14. 设半径为2的球面上四点，且满足=,=,=,则的最大值是_______________参考答案：略15. 设的二项展开式中含项的系数为，则_________.参考答案：16. 已知函数若在R上为增函数，则实数的取值范围是 __________．参考答案：略17. 在中，分别为角的对边，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年湖北省怀化市高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x−1>0}，则A∪B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|1<x≤2}C. {x|x≥0}D. {x|x>1}2.设x∈R，则“x>3”是“x2≥1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知α∈(π,32π)，cosα=−45，则tanα=()A. 43B. 34C. −43D. −344.执行下面的程序框图，如果输入的t∈[−1,3]，则输出的S属于()。

A. [−3,4]B. [−5,2]C. [−4,3]D. [−2,5]5.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+2，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2n−3B. a n=2n+3C. a n={1,n=1,2n−3,n⩾2D. a n={1,n=1,2n+3,n⩾26.向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(x,2)，若a⃗⋅b⃗ =|a⃗|，则实数x的值为()A. −1B. −12C. −13D. 17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=3，b=2，cos(A+B)=13，则c=()A. 4B. √15C. 3D. √178.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是( )A. 14B. 38C. 58D. 34 9. 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一个对称中心为( )A. (π3,0)B. (π4,0)C. (π12,0)D. (0,0)10. 关于函数f(x)=|x −1|−lnx ，下列说法正确的是( )A. f(x)在(1e ,+∞)单调递增B. f(x)有极小值为0，无极大值C. f(x)的值域为(−1,+∞)D. y =f(x)的图象关于直线x =1对称11. 已知圆C ：x 2+y 2=1和两点A (−m,2)，B (m,2)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则m 的最大值与最小值之差为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 若函数f(x)在R 上可导，且满足f(x)<xf′(x)，则( )A. 2 f (1)>f (2)B. 2 f (1)<f (2)C. 2 f (1)=f (2)D. f (1)=f (2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数(a +i)(1+2i)是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a =_________．14. 若x ，y 满足约束条件{x +2y −5≥0,x −2y +3≥0,x −5≤0,则z =x +y 的最大值为________．15. 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交于点P ，且△POF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为_______．16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2√3，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形(含三角形)的面积为y，设BP=x，则当x∈[1,5]时，函数y=f(x)的值域为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.无锡市教育局为了解学生疫情期间网络教学的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：(1)抽查的50人中，每天平均学习时间为6～8小时的人数有多少？(2)经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；(3)在(2)抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．18.在等差数列{a n}中，a3=4，a9=10．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}中，b2=1，b3=4.若c n=a n+b n，且数列{c n}是等比数列，求数列{c n}的前n项和S n．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．(1)求证：AF//平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F ，抛物线上一点P 点横坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．21. 已知函数f(x)=x +a ⋅e −x ．(Ⅰ)当a =e 2时，求f(x)在区间[1,3]上的最小值；(Ⅱ)求证：存在实数x 0∈[−3,3]，有f(x 0)>a ．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα+1(α为参数)，曲线C 2：{x =−√22s +1y =√22s −1(s 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C 3的极坐标方程为ρcos θ−ρsin θ=2，记曲线C 2与C 3的交点为P ．(1)求点P的极坐标；(2)设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|PA|2+|PB|2的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x−1>0}={x|x>1}，∴A∪B={x|x≥0}．故选：C．2.答案：A解析：解：由x2≥1，解得x≥1或x≤−1．∴“x>3”⇒“x2≥1”，反之不成立．∴“x>3”是“x2≥1”的充分不必要条件．故选：A．由x2≥1，解得x≥1或x≤−1.可得“x>3”⇒“x2≥1”，反之不成立．即可得出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵α∈(π,32π)，cosα=−45，∴sinα=−√1−cos2α=−35，则tanα=sinαcosα=34，故选：B．由α的范围及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4.答案：A解析：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t<1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．解：当−1≤t<1时，s=3t，则s∈[−3,3)，当1≤t≤3时，s=4t−t2，∵该函数的对称轴为t=2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，∴s max=4，s min=3，∴s∈[3,4]，综上知s∈[−3,4]．故选A．5.答案：C解析：本题考查数列递推式，熟练掌握“利用当n=1时，a1=S1.当n≥2时，a n=S n−S n−1求a n”是解题的关键．利用当n=1时，a1=S1. 当n≥2时，a n=S n−S n−1即可得出．解：当n=1时，a1=S1=1−2+2=1．当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−2n+2−[(n−1)2−2(n−1)+2]=2n−3．∴a n={1,n=12n−3,n≥2．故选C．6.答案：A解析：本题考查向量的数量积及向量的模，考查计算能力，属于基础题．利用向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，b⃗ =(x,2)，∴a⃗⋅b⃗ =3x+8，|a⃗|=√32+42=5．又a⃗⋅b⃗ =|a⃗|，∴3x+8=5，解得x=−1，故选A．7.答案：D解析：本题考查余弦定理及诱导公式，考查计算能力，属于基础题．由题意求出cos C，利用余弦定理求出c即可．解：∵cos(A+B)=13，，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=−13，∴c2=a2+b2−2abcosC=9+4−2×3×2×(−13)=17，∴c=√17．故选Ｄ．8.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=23=8，他们有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m=2×3= 6，由此能求出他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．解：某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，基本事件总数n=23=8，他们有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m=2×3=6，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p=mn =68=34．。

2020年怀化市高考数学仿真试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣5x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，4}D．{1，5}2．函数f（x）＝|sin（x+π3）|的最小正周期是（）A．πB．2πC．3πD．4π3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD，在正方形ABCD内任取一点P，则该点落在正方形EFGH内的概率为（）A．14B．15C．16D．184．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则“α∥β”是“m⊥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条作C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．据记载，欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式，若复数eπ4i的共轭复数为z，则z=（）A．−√22−√22i B．−√22+√22i C．√22+√22i D．√22−√22i6．若a＝20.5，b＝log20.5，c＝log52，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c7．已知一块形状为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）的实心木材，AB＝2，AA1＝3．若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为（）A．92πB．8√23πC．43πD．17√176π8．函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x cos x的部分图象大致是（）A．B．C．D．9．设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交C于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（）A．√5B．√3C．√2D．√5210．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：以下四个选项错误的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群的80%11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k 的直线与抛物线C相交于A，B两点，若∠AFB＝60°，则k＝（）A．±12B．±√24C．±√22D．±√3212．已知函数f（x）＝|x|−1x−3，f'（x）是f（x）的导函数．①f（x）在区间（0，+∞）是增函数；②当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最大值为﹣1；③y＝f（x）﹣f'（x）有2个零点；④f'（x）﹣f'（﹣x）＝2．则上述判断正确的序号是（）A．①③B．①④C．③④D．①②二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，则原点O到点P的距离的最小值为．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若bc＝16，√3（b cos C+c cos B）cos A ＝a sin A，则△ABC的面积为．15．如程序框图所示，若输入a＝1010，k＝8，n＝4，则输出b＝．16．若a→，b→是两个非零向量，且|a→|=|b→|=λ|a→+b→|，λ∈[√3，则b→与a→−b→的夹角的3，1]取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．已知{a n}为等差数列，各项为正的等比数列{b n}的前n项和为S n，且2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，_____．在①λS n＝b n﹣1（λ∈R）；②a4＝S3﹣2S2+S1；③b n=2λa n(λ∈R)．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18．图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2，DC=3，AD=√3，CE=2ED，以BE为折痕将△BCE折起，使C到达C1的位置，且AC1=√6，如图2．（Ⅰ）证明：平面BC1E⊥平面ABED；（Ⅱ）求点B到平面AC1D的距离．19．按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）：d[18，20）[20，22）[22，24）[24，26）[26，28）等级三级品二级品一级品特级品特级品频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个．（1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．20．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，A，B两点分别是椭圆C的上，下顶点，△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF1交椭圆C于D点，且△ADF2的周长为4√2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP与直线l：y＝﹣2分别相交于M，N两点，点Q（0，﹣5），求证：△MNQ的外接圆恒过原点O．21．已知函数f（x）=−1x2．（1）若直线y＝﹣2x+m与曲线y＝f（x）相切，求m的值；（2）对任意x∈（0，+∞），alnx﹣f（x）﹣1≥0成立，求实数a的值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，圆C1，C2，C3的方程分别为ρ＝4sinθ，ρ=4sin(θ+2π3)，ρ＝4sin（θ−2π3）．（1）若C1，C2相交于异于极点的点M，求点M的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）；（2）若直线l：θ＝α（p∈R）与C1，C3分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2，g（x）＝﹣|x+2|+3．（1）解不等式：g（x）≥﹣5；（2）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上1．设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣5x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，4}D．{1，5}【分析】根据A∩B＝{1}即可求出m的值，进而得出集合B．解：∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1﹣5+m＝0，解得m＝4，∴B＝{x|x2﹣5x+4＝0}＝{1，4}．故选：C．2．函数f（x）＝|sin（x+π3）|的最小正周期是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】先求出y＝sin（x+π3）的周期，再由函数y＝|sin（x+π3）|是函数y＝sin（x+π3）的图象x轴上方的图象不动，将x轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．解：对于y＝sin（x+π3），T＝2π，函数y＝|sin（x+π3）|是函数y＝sin（x+π3）的图象x轴上方的图象不动，将x轴下方的图象向上对折得到的，故T'=T2=π．故选：A．3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD，在正方形ABCD内任取一点P，则该点落在正方形EFGH内的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．18【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论． 解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2√2，则EF =2√24=√22，则正方形EFGH 的面积为：(√22)2=12，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自正方形EFGH 的概率为：124=18， 故选：D ．4．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则“α∥β”是“m ⊥n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条作 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：∵直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，∴若α∥β可得m ⊥β，m ⊥n ；若m ⊥n ，则m 不一定垂直β，∴α与β不一定平行；∴“α∥β”是“m ⊥n ”的充分不必要条件． 故选：A ．5．据记载，欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x ＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式e πi +1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式，若复数e π4i 的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．−√22−√22iB ．−√22+√22iC ．√22+√22iD ．√22−√22i【分析】复数e π4i =cos π4+i sin π4，进而得出共轭复数为z ．解：复数e π4i =cos π4+i sinπ4=√22+√22i ， 则共轭复数为z =√22−√22i ，故选：D ．6．若a ＝20.5，b ＝log 20.5，c ＝log 52，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】可以得出20.5＞1，log 20.5＜0，0＜log 52＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 解：∵20.5＞1，log 20.5＜log 21＝0，0＝log 51＜log 52＜log 55＝1， ∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．7．已知一块形状为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）的实心木材，AB ＝2，AA 1＝3．若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为（ ） A ．92πB ．8√23πC ．43πD ．17√176π 【分析】若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱的侧面相切的球，结合球体积公式可求． 解：因为AB ＝2，AA 1＝3即AB ＜AA 1，若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱的侧面相切的球， 从而R ＝1， 所以V =4π3． 故选：C ．8．函数f （x ）＝（2x ﹣2﹣x ）sin x cos x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的奇偶性，函数的零点以及特殊点的函数值即可得出选项．解：f （﹣x ）＝（2﹣x ﹣2x ）sin （﹣x ）cos （﹣x ）＝（2x ﹣2﹣x ）sin x cos x ＝f （x ），则f（x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除A ； f(π2)=0，f(π)=0，f(1)=32sin1cos1＞0，f(2)=154sin2cos2＜0，可排除C ，D ； 故选：B ． 9．设双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5B ．√3C ．√2D ．√52【分析】根据条件可不妨F （c ，0）（c ＞0），分别表示出A ，B ，渐近线方程，根据条件可得a ＝b ，进而可求的离心率．解：根据条件不妨令F （c ，0）（c ＞0），则A （c ，b 2a），B （c ，−b 2a），且F 为圆心，又渐近线方程为y ＝±bax ，则F 到渐近线的距离d =√a 2+b=b ，则b=b 2a，所以a＝b，故c2＝2a2，所以e=√c2a2=√2，故选：C．10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：以下四个选项错误的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群的80%【分析】根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断．解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8＝80%，故A、D对；由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故B错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确；故选：B．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k 的直线与抛物线C相交于A，B两点，若∠AFB＝60°，则k＝（）A．±12B．±√24C．±√22D．±√32【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，过点M作斜率为k的直线方程设为y＝k（x+1），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率k ．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，M （﹣1，0）， 过点M 作斜率为k 的直线方程设为y ＝k （x +1），联立抛物线方程，可得 k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0，k ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1， 则△＝（2k 2﹣4）2﹣4k 4＞0，即﹣1＜k ＜1，且k ≠0， x 1+x 2=4k2−2，x 1x 2＝1，可得|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(4k2−2)2−4=4•√1−k 4k 2，在△AFB 中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF |2+|BF |2﹣2|AF |•|BF |•cos60° ＝（x 1+1）2+（x 2+1）2﹣2（x 1+1）（x 2+1）•12=（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）﹣2＝（4k 2−2）2+（4k 2−2）﹣2=16k4−12k2=16(1−k 4)k4，解得k ＝±√32，故选：D ．12．已知函数f （x ）＝|x |−1x−3，f '（x ）是f （x ）的导函数．①f （x ）在区间（0，+∞）是增函数；②当x ∈（﹣∞，0）时，函数f （x ）的最大值为﹣1；③y ＝f （x ）﹣f '（x ）有2个零点；④f '（x ）﹣f '（﹣x ）＝2． 则上述判断正确的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．③④D ．①②【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的导数的应用求出函数的额单调区间和函数的极值和最值，进一步求出正确的结果．解：函数f （x ）＝|x |−1x −3，f '（x ）是f （x ）的导函数．所以①当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x −1x −3，所以f′(x)=1+12＞0，所以①f （x ）在区间（0，+∞）是增函数；正确．②当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝﹣x −1x −3，所以f′(x)=1x 2−1=1−x 2x2，令f ′（x ）＝0，解得x ＝±1，由于x ∈（﹣∞，0），所以x∈（﹣∞，﹣1）为减函数，x∈（﹣1，0）上为增函数，所以函数存在极小值即f （﹣1）＝﹣1，即为最小值．故错误．③当x＞0时，f(x)=x−1x −3，所以所以f′(x)=1+1x2＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）是增函数；函数具有单调性f（0）•f（4）＜0，所以函数在（0，+∞）上存在一个零点，当x＜0时，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x−1x−3，所以f′(x)=1x2−1=1−x2x2=−(x+1)(x−1)x2，令f′（x）＝0，解得x＝±1，由于x∈（﹣∞，0），所以x∈（﹣∞，﹣1）为减函数，x∈（﹣1，0）上为增函数，所以函数有1个零点，故y＝f（x）﹣f'（x）有2个零点；故正确．④当x＞0时，f′(x)−f′(−x)=1+1x2−(1+1x2)=0≠2，故错误．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，则原点O到点P的距离的最小值为2√2．【分析】由约束条件作出可行域，然后判断原点到点P的距离的最小值，求解即可．解：点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，作出可行域如图，A（2，2），原点O到P的距离的最小值为：如图所示，可知A与P重合时，|OP|＝2√2．故答案为：2√2．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若bc＝16，√3（b cos C+c cos B）cos A ＝a sin A，则△ABC的面积为4√3．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：∵√3（b cos C+c cos B）cos A＝a sin A，∴√3（sin B cos C+sin C cos B）cos A＝sin A sin A，所以√3sin（B+C）cos A=√3sin A cos A＝sin A sin A，因为sin A≠0，所以tan A=√3，所以A=13π，∴S△ABC=12bcsinA=12×16×√32=4√3．故答案为：4√3．15．如程序框图所示，若输入a＝1010，k＝8，n＝4，则输出b＝520．【分析】根据框图的算法功能，从i＝2开始确定b的值，一直到i＝5时结束，此时循环体执行了四次！解：由题意得：i＝1时，b＝0+0×81﹣1＝0，i＝2时，b＝0+1×82﹣1＝8，i＝3时，b＝8+0×83﹣1＝8，i ＝4时，b ＝8+1×84﹣1＝520．这次循环后，i ＝4+1＝5． 此时i ＞4，结束循环．故输出b 的值为520． 故答案为：520．16．若a →，b →是两个非零向量，且|a →|=|b →|=λ|a →+b →|，λ∈[√33，1]，则b →与a →−b →的夹角的取值范围是 [2π3，5π6] ．【分析】不妨设|a →+b →|＝1，则|a →|＝|b →|＝λ．令OA →=a →，OB →=b →，以OA 、OB 为临边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB为菱形．故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，b →与a →−b →的夹角等于π﹣θ，且0＜θ＜π2．△OAC 中，由余弦定理求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到b →与a →−b →的夹角的取值范围．解：∵|a →|=|b →|=λ|a →+b →|，λ∈[√33，1]，不妨设|a →+b →|＝1，则|a →|＝|b →|＝λ．令OA →=a →，OB →=b →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0＜θ＜π2．而由题意可得，b →与a →−b →的夹角，即OB →与 BA →的夹角，等于π﹣θ．△OAC 中，由余弦定理可得 OC 2＝1＝OA 2+AC 2﹣2OA •AC •cos2θ＝λ2+λ2﹣2•λ•λcos2θ， 解得 cos2θ＝1−12λ2．再由 √33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，∴−12≤cos2θ≤12，∴π3≤2θ≤2π3，∴π6≤θ≤π3， 故2π3≤π﹣θ≤5π6，即b →与a →−b →的夹角π﹣θ的取值范围是[2π3，5π6]， 故答案为：[2π3，5π6]．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．已知{a n}为等差数列，各项为正的等比数列{b n}的前n项和为S n，且2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，_____．在①λS n＝b n﹣1（λ∈R）；②a4＝S3﹣2S2+S1；③b n=2λa n(λ∈R)．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题设条件求出等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得其通项公式；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和的办法求得前n项和T n．解：选①解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2+a8＝10，∴2a1+8d＝10，∴a1＝1，d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n，由b1＝2，λS n＝b n﹣1，当n＝1时，有λS1＝λb1＝b1﹣1，即2λ＝2﹣1，解得：λ=12，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2（b n﹣1）﹣2（b n﹣1﹣1），即b n＝2b n﹣1，所以{b n}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴b n=2×2n−1=2n；（2）由（1）知：a n+b n＝n+2n，∴T n＝（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=n(n+1)2+2(1−2n) 1−2=2n+1﹣2+n(n+1)2．选②解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则q＞0，依题意得a4＝（S3﹣S2）﹣（S2﹣S1）＝b3﹣b2＝b1（q2﹣q）＝4，∵b1＝2，∴2（q2﹣q）＝4，解得q＝2．∵2a1＝2，a2+a8＝10＝2a1+8d，解得：a1＝1，d＝1，∴a n＝n，b n＝2n；（2）由（1）知：a n+b n＝n+2n，∴T n＝（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=n(n+1)2+2(1−2n) 1−2=2n+1﹣2+n(n+1)2．选③解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2+a8＝10，∴2a1+8d＝10，∴a1＝1，d＝1，a n＝n．∵b n=2λa n(λ∈R)，2a1＝b1＝2，令n＝1，得：b1＝2λa1，即2＝2λ，∴λ＝1，∴b n=2a n，∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n，∴b n=2n；（2）由（1）知：a n+b n＝n+2n，∴T n＝（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=n(n+1)2+2(1−2n) 1−2=2n+1﹣2+n(n+1)2．18．图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2，DC=3，AD=√3，CE=2ED，以BE为折痕将△BCE折起，使C到达C1的位置，且AC1=√6，如图2．（Ⅰ）证明：平面BC1E⊥平面ABED；（Ⅱ）求点B到平面AC1D的距离．【分析】（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，求解三角形可得EB＝EC＝BC＝2．连接AC交EB与M点，可得M为BE的中点，则CM⊥BE．进一步证明C1M⊥MA，结合C1M⊥BE由直线与平面垂直的判定得C1M⊥平面ABED，则平面ABED⊥平面C1EB；（Ⅱ）设B到平面AC1D的距离为d，则d=V B−AC1D13S△AC1D，然后利用等体积法求出B﹣AC1D的体积与三角形AC1D的面积，则答案可求．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，由AB=2，DE=1，AD=√3，解得EB＝EC＝BC＝2．连接AC交EB与M点，则△ECM≌BAM，∴M为BE的中点，则CM⊥BE．∴C1M=MA=√3，又∵C1A=√6，∴C1M⊥MA，又∵C 1M ⊥BE ，BE ∩AM ＝M ，∴C 1M ⊥平面ABED ， 又C 1M ⊂平面C 1EB ，∴平面ABED ⊥平面C 1EB ； （Ⅱ）解：设B 到平面AC 1D 的距离为d ，则d =V B−AC 1D13S △AC 1D， 又V B−AC 1D =V C 1−ABD =13S △ABD ×C 1M =13×12×2×√3×√3=1．∵DM ＝AM =√3，C 1M =√3，∴C 1D =√6， ∴S △AC 1D=12×√3×(√6)2−(√32)2=3√74．∴d =V B−AC 1D13S △AC 1D=13×374=7=4√77． 即点B 到平面AC 1D 的距离为4√77．19．按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d 的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm ）：d [18，20） [20，22） [22，24） [24，26） [26，28） 等级 三级品 二级品 一级品 特级品 特级品 频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个． （1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案： 方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．【分析】（1）由已知得{1+m +29+n +7=100n+729=42，求出m ，n ，然后求解这批水果中特级品的比例．（2）选用方案A ，种植户的收益为，选用方案B ，求出种植户的收益，然后判断即可． 解：（1）由已知得{1+m +29+n +7=100n+729=42，解得m ＝12，n ＝51， 所以特级品的概率为51+7100=0.58，所以这批水果中特级品的比例为58%． （2）选用方案A ，种植户的收益为 20000×6.5＝130000（元），选用方案B ，种植户的收益为20000×20×120×(3100+12×4100+29×5100+58×8100)=132000．∵132000＞130000，所以选用方案B ．20．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△AF 1F 2是等腰直角三角形，延长AF 1交椭圆C 于D 点，且△ADF 2的周长为4√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝﹣2分别相交于M ，N 两点，点Q （0，﹣5），求证：△MNQ 的外接圆恒过原点O ．【分析】（1）由椭圆的定义可得a =√2，结合b ＝c ，且a 2＝b 2+c 2，即可求出b ，c 的值，从而求出椭圆C 的标准方程（2）直线AP 与BP 的斜率之积为−12，设直线AP 的斜率为k ，则直线AP ：y ＝kx +1，直线BP ：y =−12k x −1，可求M （−3k ，﹣2），N （2k ，﹣2），进而求出点E （k −32k，−52），从而得到|OE |＝|NE |，即点O ，M ，Q ，N 四点共圆，故△MNQ 的外接圆恒过y轴上定点（0，0）．解：（1）∵△ADF 2的周长为4√2，由椭圆的定义可知，|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|DF 1|+|DF 2|＝2a ，∴4a ＝4√2，∴a =√2，又∵△AF 1F 2是等腰直角三角形，且a 2＝b 2+c 2，∴b ＝c ＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1；（2）证明：设P （x 0，y 0）（x 0≠0），则x 022+y 02=1，∴直线AP 与BP 的斜率之积为y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 02=−x 022x 02=−12，设直线AP 的斜率为k ，则直线AP ：y ＝kx +1，直线BP ：y =−12kx −1， 由{y =kx +1y =−2，可得M （−3k ，﹣2）， 同理可得N （2k ，﹣2），∴线段MN 与OQ 的中垂线交点E 的坐标为E （k −32k ，−52）， 又|OE|2=(k −32k )2+(−52)2=k 2+94k 2+134，|NE|2=(k +32k )2+14=k 2+94k 2+134， ∴|OE |＝|NE |，即点O ，M ，Q ，N 四点共圆，∴故△MNQ 的外接圆恒过y 轴上定点（0，0）． 21．已知函数f （x ）=−1x 2． （1）若直线y ＝﹣2x +m 与曲线y ＝f （x ）相切，求m 的值；（2）对任意x ∈（0，+∞），alnx ﹣f （x ）﹣1≥0成立，求实数a 的值．【分析】（1）设切点，根据切线性质，在切点的导数等于切线斜率，列等式求参数． （2）对函数求导，讨论参数，求最值，求出解．解：（1）设直线y ＝﹣2x +m 与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0）， 因为f '（x ）=2x 3， 则有{2x 3=−2−1x 02=−2x 0+m，解得{x 0=−1m =−3，所以m ＝﹣3．（2）令g （x ）＝alnx ﹣f （x ）﹣1＝alnx +1x 2−1，x ∈（0，+∞）， 则g '（x ）=a x−2x3=ax 2−2x3． （i ）当a ≤0时，因为x ∈（0，+∞），所以g '（x ）＜0，g （x ）在x ∈（0，+∞）单调递减，由g （1）＝0，但x ∈（0，+∞）时，g （x ）＜0，不满足题意．（ii ）当a ＞0时，因为x ∈（0，+∞），令g '（x ）＝0，解得x =√2a， 当x ∈（0，√2a）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（√2a，+∞）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）min ＝g （√2a）=a 2ln 2a +a 2−1，由题意知g （x ）≥0，可得g （x ）min ≥0， 所以g （√2a ）≥0， 令t =2a ，（t ＞0），则1t lnt +1t −1≥0，即lnt ﹣t +1≥0，令h （t ）＝lnt ﹣t +1，则h '（t ）=1t −1=1−t t ， 当t ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，1）单调递增；当t ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减；所以t ＝1时，h （t ）max ＝h （1）＝0，即lnt ﹣t +1≤0，②，由①②可知，当且仅当t ＝1时，lnt ﹣t +1＝0，即a ＝2时，g （x ）≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，综上所述，a ＝2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在以O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，圆C 1，C 2，C 3的方程分别为ρ＝4sin θ，ρ=4sin(θ+2π3)，ρ＝4sin （θ−2π3）． （1）若C 1，C 2相交于异于极点的点M ，求点M 的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）； （2）若直线l ：θ＝α（p ∈R ）与C 1，C 3分别相交于异于极点的A ，B 两点，求|AB |的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离和极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）圆C 1，C 2的方程分别为ρ＝4sin θ，ρ=4sin(θ+2π3)，相交于点M ， 所以{ρ=4sinθρ=4sin(θ+2π3)，由于ρ＞0，0≤θ＜2π， 所以θ=π6，所以ρ＝2，故点M （2，π6）． （2）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），所以|AB |＝|ρ1﹣ρ2|=|4sinα−4sin(α−2π3)|=4√3|sin(α+π6)|≤4√3．， 所以|AB |的最大值为4√3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+2，g （x ）＝﹣|x +2|+3．（1）解不等式：g （x ）≥﹣5；（2）当x ∈R 时，f （x ）﹣g （x ）≥m +2恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）依题意，即解绝对值不等式|x +2|≤8，直接求解即可；（2）构造函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），作出函数h （x ）的图象，由图象可知h(x)≥32，依题意，m −2≤32，解出即可得到实数m 的取值范围．解：（1）∵g （x ）＝﹣|x +2|+3，∴g （x ）≥﹣5，即为|x +2|≤8，∴﹣8≤x +2≤8，解得﹣10≤x ≤6，∴不等式的解集为[﹣10，6]；（2）∵f （x ）＝|2x ﹣1|+2，g （x ）＝﹣|x +2|+3，∴h(x)=f(x)−g(x)={ −3x −2，x ≤−2−x +2，−2＜x ＜123x ，x ≥12， 作出函数h （x ）的图象如下图所示，由图可知，h(x)min=h(12)=32，即h(x)≥32，又∵当x∈一、选择题时，h（x）＝f（x）﹣g（x）≥m﹣2恒成立，∴m−2≤3 2，∴m≤−12，即实数m的取值范围为(−∞，−12]．。

2020年湖南省怀化市文溪中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数定义域为，若与都是奇函数，则（）A. 是偶函数B. 是奇函数C.D. 是奇函数参考答案：D略2. 已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396021 506 318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（）A. 0.25B. 0.30C. 0.35D. 0.40参考答案：B【分析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】解：由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663，共6组随机数，∴所求概率为，故选B．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．3. （5分）（2014秋?庐江县月考）数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2），则S n等于（）．B．C参考答案：B分析：由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．解答：解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n=[2+3+…+（n+1）]==，故选：B．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，以及累加法求数列的通项公式．4. 已知命题p：，；命题q：，，则A.“”是假命题B.“”是真命题C.“”是真命题D.“”是假命题参考答案：B5. 函数的定义域为( )A．(0，) B．(2，＋∞)C．(0，)∪(2，＋∞)D．(0，]参考答案：C(log2x)2－1>0，(log2x)2>1，∴log2x<－1或log2x>1，∴0<x<或x>2.6. 以下四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;②若为假命题,则均为假命题;③命题“”, 则命题的否定为“”;④在中,是的充分不必要条件;其中真命题为( )A. ①B. ①②C.①②③ D. ①②③④参考答案：C7. 已知等差数列的前项和为，且且，则下列各值中可以为的值的是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D略8. 已知集合、}，则集合B非空真子集有（）A．3个B． 6个C．7个D．8个参考答案：B 9. 若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是()A．a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5 D．a≤5参考答案：D略10. 已知满足，则的最小值为( )A. 5B. -5 C . 6 D. -6参考答案：D做出可行域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最小。

湖南省怀化市示范性普通高级中学2020年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a，b，c均为实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】对取特殊值代入选项中验证，运用排除法可得选项.【详解】∵，且，不妨，令，则，可排除A；，可排除B；，可排除D；对于C，当时，由指数函数的单调递增的性质可知，，又因为对数函数在上单调递增，所以成立，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查不等式的性质的运用，在运用时注意需严格地满足不等式的性质所需的条件，在判断不等式是否成立时，还可以代入特殊值，运用排除法，属于基础题.2. 某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。

已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。

A、20B、19C、16D、15参考答案：B略3. 已知全集，集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：B由得：B＝，故。

4. 若,且,则与的夹角是A. B. C.D.参考答案：D略5. 若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】由于双曲线的渐近线与x2+y2﹣4y+3=0相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：取双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线bx﹣ay=0．∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线与x2+y2﹣4y+3=0相切，∴（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，∴=1，化为2b=c，两边平方得c2=4b2=4（c2﹣a2），化为3c2=4a2．∴e==．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质，属于中档题．6. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W=A．12 B．18C．22 D．26参考答案：7. 已知函数，若，则实数的值等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．3参考答案：A略8. 已知扇形的弧长8，半径是4，则扇形的中心角的弧度数是 ( )A．1 B．2C．或2 D．参考答案：B9. 某几何体的主视图与俯视图如图，主视图与左视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为．参考答案：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1，所以原几何体的体积为。

湖南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．53．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．17．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．610．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即N={x|﹣1＜x＜2}，∵M={x|x＜0}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解，然后求出复数的模即可．【解答】解：复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，可得z===2+1．|z|==．故选：C．3．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由a2+b2≥2ab得：（a﹣b）2≥0，∀a，b是R恒成立，推不出a＞0，b＞0，不是必要条件，由“a＞0，b＞0”能推出“a2+b2≥2ab，是充分条件，故“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件，故选：B．4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得到，从而由便可得到，进行向量数量积的运算便可得到，从而便可得出向量，的夹角．【解答】解：根据条件，；∴由得，；∴；∴向量的夹角为．故选：D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】的零点，即方程f（x）﹣的根，也就是f（x）=的根，即函数y=f（x）与y=交点的横坐标，画出图形得答案．【解答】解：由f（x）﹣，得f（x）=，作出函数y=f（x）与y=的图象如图，由图可知，函数的零点个数为3．故选：A．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足的可行域，由图易得：当x=4，y=2时z=x+2y﹣3的最大值为5，故选：B．7．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件个数，由此能求出这两次出现的点数之和大于点数之积的概率．【解答】解：现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，基本事件总数n=6×6=36，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为p=．故选：D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．6【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P 的坐标，代入双曲线的方程，解得a=1，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，由题意可得c=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，n=±2，将P（3，±2）代入双曲线的方程，可得﹣=1，且a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的实轴长为2a=2．故选：B．10．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n﹣a n+1=2a n a n+1变形可知﹣=2，进而可知a n=，并项相加即得结论．【解答】解：∵a n﹣a n+1=2a n a n+1，∴﹣=2，又∵=5，∴=+2（n﹣3）=2n﹣1，即a n=，∴a n a n+1=（a n﹣a n+1）=（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故选：A．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，解得R=，∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：C．12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f=f （2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f=22=4，故答案为：4．14．在等比数列{a n}中，，则a3+a4= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}的公比为q，由于，可得q4（a1+a2）==8，解得q2，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴q4（a1+a2）==8，解得q2=4．则a3+a4=q2（a1+a2）==2．故答案为：2．15．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为20 米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，用AB表示出BC，BD，在△BCD中使用余弦定理列方程解出AB．【解答】解：由题意知CD=20，∠BCD=120°，∠ACB=45°，∠ADB=30°．AB⊥BC，AB⊥BD．设AB=h，则BC=h，BD=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，即3h2=h2+400+20h，解得h=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数，且f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，利用周期公式即可解得ω的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得f（x）的单调减区间．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2sin（2x﹣）+1，由x的范围，可求，由正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵=，∵，∴ω=1，…从而：，令，得，∴f（x）的单调减区间为．…（Ⅱ）∵，…∵，∴，∴当，即时，g（x）max=2×1+1=3．…18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求解m、n即可．（Ⅱ）利用已知条件直接列出联列表，然后情况k2，即可判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015解得m=0.0025，n=0.0035…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：高消费群非高消费群合计男15 35 50女10 40 50合计25 75 100…根据上表数据代入公式可得所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．…19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，因为AB=BC，所以BF⊥AC，又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，所以BF⊥平面ACD，…因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，因为EM⊄面ABC，BF⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；…解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM⊂面EMC，所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，又EM⊥AD，所以M为AD的中点，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，，在△DCM中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为．…20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，求得c，运用椭圆的离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得椭圆的上顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线的方程；（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），求得向量FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，联立抛物线的方程，运用判别式为0，化简整理，计算即可得到k，m的值，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故物线C2的标准方程为x2=8y．（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，即（*），联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去），联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得，经检验，m=﹣1符合要求．故直线PQ的方程为．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．【解答】解：（Ⅰ），∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）∵恒成立，即，①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，令，则g′（x）=，再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；综合①②可得：k=2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC 的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数式，讨论x的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为f（x）min≤a﹣，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，当x≥1时，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，3x＜2，即x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，﹣x﹣2＜2，即x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣．综上可得，不等式的解集为（﹣4，）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min=﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3．即有a的取值范围是[﹣1，3]．。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年高三仿真考试 文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上 1．设集合{}1,2,5A =，{}250B x x x m =-+=，若{}1A B =I，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,4D ．{}1,52．函数)3sin()(π+=x x f 的最小正周期是A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD ，在正方形ABCD 内任取一点P ，则该点落在正方形EFGH 内的概率为 A ．14B ．15C ．16D ．184．已知直线⊥m 平面α，直线⊂n 平面β，则βα//是n m ⊥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．据记载，欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”． 特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”． 根据欧拉公式，若复数z = 4ie π的共轭复数为z ,则z = A ．2222i -- B ．2222i -+ C ．2222i + D ．2222i - 6．若0.5252,log 0.5,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>7．已知一块形状为正四棱柱1111ABCD A B C D -（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）的实心木材, 12,3AB AA ==． 若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为A ．92πB ．823π C ．43π D ．17176π 8．函数()()22cos sin x x f x x x -=-的部分图象大致是9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交C 于M 、N 两点．若以线段MN 为直径的圆与C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为 A ．5 B ．3 C ．2 D ．510．某保险公司为客户定制了5个险种：甲为一年期短险；乙为两全保险；丙为理财类保险；丁为定期寿险；戊为重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：以下四个选项错误的是 A ．54周岁以上参保人数最少 B ．18—29周岁人群参保总费用最少 C ．丁险种更受参保人青睐D ．30周岁以上的人群约占参保人群的80%11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴相交于点M ，过点M 作斜率为k 的直线与抛物线C 相交于A 、B 两点，若60AFB ∠=o，则k =A ．12±B ．24±C ．22±D ．32±12．已知函数1()||3f x x x=--，'()f x 是()f x 的导函数． ①()f x 在区间()0+∞，是增函数；②当(),0x ∈-∞时，函数()f x 的最大值为1-； ③)()(x f x f y '-=有两个零点；?>i n 1=+i i 是结束输出b 开始,输入，a k n开始0=b 1=i 否把的右数第位数字赋给a i t 1-=+⋅i b b t k ④2)()(=-'-'x f x f ． 则上述判断中正确的序号是A ．①③B ．①④C ．③④D ．①②二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知点),(y x P 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则原点O 到点P 的距离的最小值为_______．14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若16bc =，()3cos cos cos sin b C c B A a A +=，则△ABC 的面积为____．15．如右侧框图所示，若输入1010,8,4a k n ===，则输出b =_____．16．若,a b r r 是两个非零向量，且3,,1,3a b a b λλ⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦r r r r则b a b -r r r与的夹角的取值范围是____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分17．（12分）已知{}n a 为等差数列，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2211==b a ，1082=+a a ， ．在①1()n n S b R λλ=-∈；②43212a S S S =-+；③2()na nb R λλ=∈这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}+n n a b 的前n 项和n T18．（12分）图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90,2,3,3,D AB DC AD ∠====o2CE ED =,以BE 为折痕将BCE ∆折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =,如图2．（1）证明：平面⊥E BC 1平面ABED ； （2）求点B 到平面1AC D 的距离．19．（12分）按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d 的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm ）：d )20,18[)22,20[)24,22[)26,24[)28,26[等级 三级品二级品一级品特级品特级品频数1 m 29 n 7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个． （1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案： 方案A ：以6．5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．20（12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，,A B 分别是椭圆C 的上，下顶点，△21F AF 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且△2ADF 的周长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别相交于,M N 两点，点(0,5)Q -，求证：△MNQ 的外接圆恒过原点O ．21（12分） 已知函数21().f x x=-（1）若直线2y x m =-+与曲线()y f x =相切，求m 的值；（2）对任意()0,,ln ()10x a x f x ∈+∞--≥，不等式)0,,ln ()10x a x f x ∈+∞--≥恒成立，求实数 a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)如图，在以O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，圆123,,C C C 的方程分别为22=4sin =4sin +=4sin -.33ππρθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， （1）若12,C C 相交于异于极点的点M ，求点M 的极坐标()0,02ρθ<π>≤；（2）若直线l ：()R θαρ=∈与13,C C 分别相交于异于极点的A ，B 两点，求||AB 的最大值．23［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知函数212)(+-=x x f ，32)(++-=x x g ． （1）解不等式：5)(-≥x g ；（2）当R x ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年高三第三次模拟考试文科数学参考答案及评分参考一.选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADADBCBCBDA二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．题号 13141516 答案22 43 5202536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解： 选①解：(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==Q ∴1(1)1.na n n =+-⨯=…………………………………………………………………2分由12,1,n n b S b λ==-111111,2212n S b b λλλλ===-⨯=-=当时，有则有，即……………………………4分1122(1)2(1)n n n n n n b S S b b --≥=-=---当时，{}12,22n n n b b b -=即所以是一个以为首项，为公比的等比数列1222n n n b -∴=⨯=…………………………………………………………………………6分n n n a +b n 2=+21（）由（）知12312=1+2+2+2+3+22(12+)(222)n n nn T n T n ∴+++∴=++++++L L L21(1)2(12)422122n n n n n n n T ++⨯-+-∴=+=+-………………………….12分选②解：(1) 设等差数列｛n a ｝的公差为d,24322132112411()()....................................................44, 2.20,21222...............................................................n n n a S S S S b b b q b q a b q q q q b -∴=---=-=-==∴--===-∴=⨯=Q 分又解得或（舍去）........................6分n n n a +b n 2=+21（）由（）知12312=1+2+2+2+3+22(12)(222)nn nn T n T n ∴+++=+++++++L L L21(1)2(12)422122n n n n n n n T ++⨯-+-∴=+=+-. ………………………12分选③解（1）设等差数列n a ｛｝的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==Q ,1(1)1.n a n n =+-⨯= …………………………………………………………………2分 112,1,2,n a n b a b λ===Q{}128114432122,10,2810,1,11(1)1...............................................................................................24(0)2n n a a a a d a d a n n a b q q a S S S =+=∴+=∴===+-⨯=∴=>=-+Q Q 分，设等比数列的公比为111,2,22,1,2n a a n n b b λλλ===∴=∴=令得即, (4)分1(1)1,2n n n a n n b ∴=+-⨯=∴=……………………………………………………………………………………6分（2）解法同选②的第（2）问解法相同, ………………………12分18题（1）证明：在图 1 中，连结 AE ，由已知得 AE =2CE //BA 且 CE =BA =AE,∴四边形 ABCE 为菱形， 连结 AC 交 BE 于点 F ，CF BE ∴⊥, (2)分又∵在RT △ACD 中，AC=223323+=， ∴AF=CF= 3,········· ·····3分 在图2中，AC 1=6,∵AF 2+C 1F 2=A 21C ,∴C 1F ⊥AF, ·· ·····4分 由题意可知C 1F ⊥BE,∴C 1F ⊥面ABED ，又C 1F 1,BC E ⊂平面∴平面BC 1E ⊥平面ABED; ……………………………………….…6分（2）解：如图，取AD 中点N ，连接FN,C 1N 和BD ，设点B 到平面AC 1D 的距离为h ，在直角梯形ABED 中，FN 为中位线，则FN ⊥AD,FN=32, 由（1）得C 1F ⊥平面ABED, ,AD ABED ⊂平面 所以C 1F ⊥AD,又1FN C F F ⋂=,得111,,AD C FN C N C FN ⊂⊥平面又平面所以1C N ⊥AD,且2211921342C N FN C F =+=+= ………………………...…9分 在三棱锥C 1-ABD 中11,C ABD B AC D V V --=即111111.3232AB AD C F C N AD h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 所以11234721AB C F h C N ⋅===即点B 到平面AC 1D 47. …………….12分19.解：（1）1+29710074292m n n +++=⎧⎪+⎨=⎪⎩由已知得……………………………………2分解得m=12,n=51,…………（3分）所以特级品的概率为51+7=0.58100， 所以这批水果中特级品的比例为58%。

2020年湖南省怀化市第一中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则满足的集合N的个数是（）A．2 B．3 C．4D．8参考答案：C2. 已知集合，，则A． B． C． D．参考答案：A考点：集合的运算，，所以。

3. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2B. C. D. 2参考答案：答案：D解析：的展开式中的系数=x3，则实数的值是2，选D4. 在中，，，，则角等于（）参考答案：A略5. 若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，+∞）参考答案：C略6. 已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．7. 已知等差数列的前13项之和为，则等于（）A．—1 B．C．D．1参考答案：A略8. 已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）（A）（B）或（C）（D）或A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=? C．A∪B={x|x＜} D．AUB=R参考答案：A【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．9. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1B由=,则【思路点拨】先求出集合B再求出交集。

2020届湖南省怀化市高三下学期一模数学（文）试题一、单选题1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =（ ）A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,, 【答案】C【解析】先求集合B ，再根据并集定义求结果. 【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝. 故选：C 【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件 3．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．-B ．C ．4-D 【答案】A【解析】先求出sin α，然后利用同角三角函数的商数关系可求出tan α的值. 【详解】,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，222sin 1cos 3αα∴=--=-，因此，sin tan 22cos ααα==-.故选：A. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，在计算时要结合角的取值范围判断所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.4．执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]【答案】A【解析】试题分析：此程序为分段函数，当时，，当时，，所以函数的值域为：，故选A ．【考点】程序框图5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S n =+，则51a =（ ） A ．56B ．65 C ．130D ．30【答案】D【解析】11(2),(1)n n n a S S n n n -=-=≥+又111,2a S ==符合上式，故1(),(1)n a n N n n *=∈+515630a ∴=⨯=6．已知向量(1,2)a =，5a b →→⋅=，||a b →→-=，则||b →等于（ ） A．B．C ．5 D ．25【答案】C【解析】根据||a b →→-=两边平方，即可得答案； 【详解】||a b →→-=，∴2222()220525||20||5a b a a b b b b -=-⋅+=⇒-⨯+=⇒=，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的求解，考查运算求解能力.7．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a b c +=，35c b =，则角A 的值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】将ABC 的三条边都用b 表示，再利用余弦定理求A 的值. 【详解】107233b b a c b b =-=-=，53bc =， ∴222221519cos 10223bb c a A bc b -+-===-，0A π<<，∴23A π=， 故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 8．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．14B ．38C ．58D ．34【答案】D【解析】利用古典概型的概率计算，即可得答案； 【详解】3名顾客都可领取其中一件礼品的所有等可能结果：2228N =⨯⨯=， 有且仅有2人领取的礼品种类相同共有：236⨯=，∴他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率6384P ==， 故选：D. 【点睛】 ，本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.9．将函数2()2cos 14g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．当x ∈R 时，函数()f x 为奇函数 C ．x π=是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为【答案】C【解析】根据已知条件先用二倍角公式转化()g x ，再利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，求得()f x 的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，判断各个选项是否正确. 【详解】将函数2()2cos 1cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，可得cos 2cos 242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()cos f x x =，则函数()f x 的最小正周期221T ππ==，故A 选项错误； 当x ∈R 时，函数()cos f x x =为偶函数，故B 选项错误； 函数()cos f x x =的对称轴为()x k k Z π=∈，故C 选项正确；函数()cos f x x =在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，故D 选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律以及三角函数的性质和图像，属于一般题.10．关于函数()|1|ln f x x x =--，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 有极小值为0，无极大值C ．()f x 的值域为(1,)-+∞D ．()y f x =的图象关于直线1x =对称【答案】B【解析】先去绝对值得到分段函数，再利用分段函数的单调性来判断选项是否正确. 【详解】()()1ln ,1()1ln 1ln ,01x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨--<<⎪⎩，∴当1x ≥时，1()10'=-≥f x x ，则()f x 单调递增； 当01x <<时，1()10f x x'=--<，则()f x 单调递减；即函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，故A 选项不正确； 当1x =时，函数()f x 有极小值(1)0f =，无极大值，故B 选项正确； 因为函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，则函数()f x 有最小值(1)0f =，即()f x 的值域为[0,)+∞，故C 选项不正确； 因为11113331211ln ln 2,1ln ln 2222222232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+=--=+≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象不关于直线1x =对称，故D 选项不正确； 故选：B【点睛】本题考查了利用导数来求函数的单调性以及极值和值域，属于一般题.11．已知圆22:680C x y x +-+=和两点(,0)A t -，(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得0AP BP →→=，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(2,4)C ．[1,3]D ．[2,4]【答案】D【解析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径，设(),P a b 在圆C 上，运用向量的加减和数量积运算可得2222t a b OP →=+=，即实数t 的取值就是圆C 上的点到原点的距离的值，即可得到答案. 【详解】圆22:680C x y x +-+=得到()2231x y -+=即圆心()3,0C ，半径1r =，设(),P a b 在圆C 上，则(),AP a t b →=+，(),BP a t b →=-，2220AP BP a t b →→=-+=即2222t a b OP →=+=，所以实数t 的取值就是圆C 上的P 点到原点的距离取值， 且3OC =，1r =，则4,2CO r OC r +=-=， 因此实数t 的取值范围为[]2,4 故选：D. 【点睛】本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题. 12．若函数()f x 在定义域R 上可导，且()cos f x x '<，则关于x 的不等式()36f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫≥-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ）A ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()36F x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用导数研究函数的单调性，进而得到不等式的解集. 【详解】令()()36F x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴'''()()36F x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos f x x '<，∴'3()cos cos()(cos cos )(sin sin )03622F x x x x x x x x ππ⎛⎫<+--=-+-= ⎪⎝⎭，∴()F x 在R 上单调递减，且()()066666F f f πππππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴,6x π⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，()0F x ≥，故选：B. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、解抽象不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数的构造是解题的关键.二、填空题13．设实数0x >，若2()x i +是纯虚数（其中i 为虚数单位），则x =_____． 【答案】1【解析】化简复数2()x i +，再根据纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】22(12)x i x i x =-++，∴210,10,x x x ⎧-=⇒=±⎨≠⎩， 0x >，∴1x =，故答案为：1.本题考查复数中纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.14．若x，y满足约束条件x y102x y10x0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y2=-+的最小值为______．【答案】-1【解析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y2=-+的最小值．【详解】画出约束条件10210x yx yx--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y2=-+过点A时取得最小值，由{x0x y10=--=，解得()A0,1-，代入计算()z011=+-=-，所以1z x y2=-+的最小值为1-．故答案为1-．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15．若椭圆()222210x ya ba b+=>>的左焦点为1F，点P在椭圆上，点O为坐标原点，且1OPF为正三角形，则椭圆的离心率为______．31【解析】由于1OF为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率解：∵椭圆上存在点P 使1OPF 为正三角形，1OF c =，不妨P 在第二象限，∴点P的坐标为,22c c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：22223441c ca b +=， 即2222231444c c a a c +=- ∴22231444e e e +=-，解得1e =．1． 【点睛】此题考查椭圆的离心率的求法，考查了计算能力，属于基础题.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D 、1A B 、1C B 、1C D 相交于点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 面积的最大值为________． 【答案】12【解析】如图所示，设EF t =，根据面面平行性质定理可得//EF BD ，从而有1A BD 为正三角形，则1A F t =，从而得到FG t =，写出四边形面积表达式，再利用基本不等式，即可求得最大值. 【详解】如图所示，设(0EF t t =<<，截面垂直于棱1AA ，∴面//EFGH 面ABCD ， 根据面面平行性质定理可得//EF BD ，同理11//FG AC ，11AC BD ⊥，∴截面EFGH 为矩形，1A BD 为正三角形，∴12A F t BF t =⇒=-，同理BFG 为正三角形，∴2FG t =-，∴221(2)()22S t t =-≤=，等号成立当且仅当2t =，故答案为：12. 【点睛】本题考查正方体中截面面积的最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.三、解答题17．为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查．现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示．（1）求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；（2）为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？【答案】（1）27.07%；（2）110P = 【解析】（1）根据近视率计算近视人数，再除以总人数，即可得答案；（2）根据分层抽样可得高中抽取2名，初中抽取3名，写出试验的所有等可能结果，再利用古典概型的概率公式计算.【详解】（1）近视率=320010%300030%200050%100%27.07%300032002000⨯+⨯+⨯⨯≈++； （2）根据分层抽样的特点，高中取2名，初中取3名，记高中两名为,A B ，初中3名为1,2,3，则所有等可能结果为(,),(,1),(,2),(,3),(,1),(,2),(,3),(1,2),(1,3),(2,3)A B A A A B B B 共10个，记事件M 为“此2人全部来自高中年级”有(,)A B ，共1个， ∴110P =. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，求解时注意列出所有等可能结果，再求概率.18．在等比数列{}n a 中，42a =，55a =．（1）求数列{}lg n a 前8项的和；（2）若等差数列{}n b 满足22448a b a b ⋅=+=，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）4；（2）19442n b n -=+ 【解析】（1）根据等比中项的性质可得4127845()⋅⋅⋅=⋅a a a a a a ，再根据对数运算，即可得答案；（2）求出等差数列的公差，再代入通项公式中，即可得答案；【详解】（1）48128127845lg lg lg lg()lg()4lg104=+++=⋅⋅⋅=⋅==S a a a a a a a a a ， ∴数列{}lg n a 前8项的和为4；（2）5452aqa==，3411516()22125a a a=⋅=⇒=，211658125225a a q=⋅=⨯=，∴22825ba==，4448268a b b=⇒=-+=，∴4262519222bdb--===-，∴21919(2)25(2)4422nbnb n d n+-⋅=--=⋅=-+.【点睛】本题考查对数运算法则、等差数列与等比数列基本量法运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19．已知四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，120BAD∠=︒，点E，F分别为BC和PA的中点．（1）求证：直线//BF平面PED；（2）求证：平面BCF⊥平面PAE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）取PD的中点M，连FM，ME，证明四边形BEMF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理，即可得答案；（2）BC⊥面PAE，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；【详解】（1）取PD的中点M，连FM，ME，E ，F 分别为BC ，PA 的中点， ∴1//,2FM AD FM AD =，1//,2BE AD BE AD =， ∴//,FM AD FM AD =，∴四边形BEMF 为平行四边形，则BF //EM又BF ⊄面PED ，EM ⊂面PED ，∴//BF 面PED ；（2）底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，∴AE BC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PA ⊥，又AE PA A =，∴BC ⊥面PAE ，BC ⊂面BCF ，∴平面BCF ⊥平面PAE ．【点睛】本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.20．若抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM 与x 轴正方向的夹角为60°，且OFM △3.（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点A ，点N 在抛物线C 上，求当||||NA NF 取得最大值时，直线AN 的方程.【答案】(1) 24y x =；(2) 1y x =+或1y x =--【解析】(1)先设M 的坐标为(),M x y ，根据向量FM 与x 轴正方向的夹角为60°，可得出2MF p =，再利用三角形的面积公式可求得p 的值即可求出抛物线C 的方程；(2) 先设N 的坐标为(),N a b ，利用两点间的距离公式分别求出NA ，NF ，再利用基本不等式求出||||NA NF 取得最大值时N 点的坐标，即可求出直线AN 的方程. 【详解】(1))设M 的坐标为(),M x y ，(如图)因为向量FM 与x 轴正方向的夹角为60°,,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22p MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 根据抛物线定义得：2p MF x =+， 即222p p x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：32p x =即2MF p =， 则211sin 2sin122232034OMFp S OF MF OFM p p ︒==⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=， 解得：2p =即抛物线C 的方程为：24y x =；(2) 设N 的坐标为(),N a b ，()1,0A -，则()()22221,1NA a b NF a b =++=-+ 因为点N 在抛物线C ：24y x =上，即有：24b a =，所以()()222211461NA a b a a a a =++=++=++，NF==，因此||||NANF==≤===当且仅当1aa=即1a=时等号成立，此时()1,2N±，()1,0A-，所以直线AN的方程为：1y x=+或1y x=--【点睛】本题考查了抛物线定义、两点间距离公式以及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.21．已知函数2()xf x e ax=-，其中常数a R∈．（1）当(0,)x∈+∞时，不等式()0f x>恒成立，求实数a的取值范围；（2）若1a=，且[0,)x∈+∞时，求证：2()414f x x x>+-．【答案】（1）24ea<；（2）证明见解析【解析】（1）利用参变分离将问题转化为2xeax<在0x>恒成立，再构造函数2()xeg xx=，求出函数的最小值，即可得答案；（2）若1a=，则2()414f x x x>+-224140xe x x⇔--+>在0x≥恒成立，利用隐零点法，可证得不等式成立.【详解】（1）()0f x>在0x>恒成立2⇔<xeax在0x>恒成立，令2()xeg xx=，则2'432(2)()x x xe x e x e xg xx x-⋅-==，'()02g x x >⇒>，'()002g x x <⇒<<，∴()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， ∴2min()(2)4e g x g ==， ∴24e a <. （2）若1a =，则2()414f x x x >+-224140x e x x ⇔--+>在0x ≥恒成立， 令2()2414x p x e x x =--+，∴'()44xp x e x =--， ''''()40ln 4,()00ln 4,x p x e x p x x =->⇒><⇒<<∴'()p x 在(0,ln 4)单调递减，在(ln 4,)+∞单调递增，又'(0)3p =-，'2'3(2)120,(3)160p e p e =-<=->， ∴存在唯一的0(2,3)x ∈使得0'00()440x p x e x =--=，∴()p x 在0(0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，∴022min 000()2414218x p x e x x x =--+=-+，0(2,3)x ∈，022min 000()2414218x p x e x x x =--+=-+(0,10)∈，∴2()2414x p x e x x =--+0>恒成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22．已知曲线1C 的参数方程为：4cos ,3sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），2C 的参数方程为：8cos ,3sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）. （1）化1C 、2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若直线l 的极坐标方程为：2sin cos 7ρθρθ-=，曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，曲线2C 上的点Q 对应的参数0β=，求PQ 的中点M 到直线l 的距离.【答案】(1) 1C ：()()22431x y ++-=；2C ：221649x y +=；1C 以圆心为()4,3-，半径为1的圆，2C 以坐标原点为中心，焦点在x 轴的椭圆；【解析】(1)直接利用参数方程组消去参数即可得到它们的普通方程；(2)根据已知条件分别求出P 、Q 两点坐标以及M 点坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】(1)曲线1C 的参数方程为：4cos 3sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）， 即cos 4sin 3x yαα=--⎧⎨=-⎩，且22sin cos 1αα+=，则 1C ：()()22431x y ++-=； 2C 的参数方程为：8cos 3sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）， 即cos 8sin 3x yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，且22sin cos 1ββ+=，则 2C ：221649x y +=； 1C 以圆心为()4,3-，半径为1的圆，2C 以坐标原点为中心，焦点在x 轴的椭圆；(2)曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，所以()4,4P -，曲线2C 上的点Q 对应的参数0β=，所以()8,0Q ，所以PQ 的中点M 的坐标为(2,2)M ，因为直线l 的极坐标方程为：2sin cos 7ρθρθ-=，即直线l 的普通方程为：270x y -+=，所以PQ 的中点M 到直线l的距离d ==【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程以及点到直线的距离，考查了学生的计算能力，属于较易题.23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-. （1）若3a <，且不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （2）如果对任意x ∈R ，()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-；(2) 7a ≥或1a ≤- 【解析】(1)由含两个绝对值转化为分段函数，再根据已知条件即可求出a 的值；(2)对a 进行3,3,3a a a >=<三种情况进行讨论，即可得出a 的取值范围.【详解】(1)若3a <，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，因为不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以当72x =时，()2345f x x a a =--=-=， 解得：1a =-；(2)①当3a <时，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：1a ≤-；②当3a =时，()|||3|2|3|f x x a x x =-+-=-，则()f x 的最小值为0，不符合条件，舍去；③当3a >时，()()()23,()33,323,3x a x a f x x a x a x a x a x ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：7a ≥，综上：a 的取值范围7a ≥或1a ≤-【点睛】本题考查了含两个绝对值的不等式，求含两个绝对值的不等式的最值，属于一般题.。