第5章 线性系统的频率响应分析法

-60
n
0
-45
ξ=1
-90
ξ=0.1
-40dB/dec
φ(ω) (deg)
角频率处幅值误差
-135
L( n ) 20 lg 2
-180
-2
10
-1
10
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
0
10 ω (rad/sec)
1
2
10
10
20
二阶微分振荡环节的Bode图
◆二阶微分振荡环节 G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1

L() 20lg

(1
2 n2
)2

(2
n
) 280
60

04,0(lg(/nn)),(

n
)
L(ω) (dB)
40 20
0



(
)

tg
1
K Ts 1
y(t) 0.5sin(2t 45)
M ym 0.5 1 L 20 lg 1 12(dB)
xm 2 4
4
解释1：系统响应振幅衰减为激励振幅的四分
之一或衰减12分贝。

y
x

(45) 15

60



6
s
解释2：系统响应比激励滞后60°或相移60°，或者响应比激励滞后π/6秒。
K
Y (s)
Ts 1
y(t) ?
Y(s) K X (s)
KA
sT 1
(sT 1)(s2 2 )
y(t)

KAT 2T 2 1
et
/
T

暂态响应
KA sin(t ), tg1(T ) 2T 2 1
稳态响应
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第5章 线性系统的频率响应分析法
21
延迟环节及其Bode图
激励x(t)和响应y(t)
y(t) x(t ),(t )
Y (s) / X (s) G(s) es
延迟1秒环节的 时间响应示意
6
M () 1,() (rad)
20 10
L(ω) (dB)
5
0
x(t)
4
-10
3
2
1
0
-1
0
2
4
2n n2 2
-20 180
135
90
φ(ω) (deg)
角频率处幅值误差
45
40dB/dec ξ=1
ξ=0.1
ξ=1 ξ=0.1
L( n ) 20 lg 2
0
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
ω (rad/sec)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
Chapter 5
Analysis of frequency response of linear
invariant-time systems 线性系统的频率响应分析
第5章 线性系统的频率响应分析
●频率响应特性 ●频率响应的Bode图 ●频率响应的Nyquist图 ●Nyquist稳定性 ●频率响应与系统性能
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第5章 线性系统的频率响应分析法
2
引例：共振与谐振
索桥：美国原塔科马海峡悬索大桥垮塌事件 回忆生活中的例子： 秋千？蹦床？军队过桥？
收音机：调幅收音机载波频率
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
3
一阶系统的正弦响应
X (s)
x(t) Asin t
14
第5章 线性系统的频率响应分析
●频率响应特性 ●频率响应的Bode图 ●频率响应的Nyquist图 ●Nyquist稳定性 ●频率响应与系统性能
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
15
基本环节的Bode图
◆比例环节（又称比例系数、静态增益）
G(s) K
20
12dB
10
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第5章 线性系统的频率响应分析法
23
Bode图绘制示例
G(s) 4(s 1) s
L() 20lg 4
20lg 1
j 20lg j 1
() 0
(90)
tg1
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Phase (deg)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
6
频率响应的概念
◆振幅比 M ym K
xm 2T 2 1
振幅比与激励振幅无关，反映线性系 统的比例性；随频率变化，又叫幅频特性、 幅值特性或动态增益。
◆相位差 (t ) t tg 1(T )
第5章 线性系统的频率响应分析法
18
一阶微分环节的Bode图
◆一阶微分环节
40
G(s) sT 1
L(ω) (dB)
20
L() 20 lg 2T 2 1

0
0, (T 1)

20Baidu Nhomakorabeag T , (T
1)
-20 90
() tg1T
60
为此，定义系统的正弦传递函数为：
G( j) G(s) s j
传递函数
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正弦传递函数
第5章 线性系统的频率响应分析法
频率响应
12
例5.2：传递函数的解读
已知：
G(s)

1 sT1 1 sT2
, (T1,T2

0)

于是有：M () G( j)
1 2T12 1 2T22
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第5章 线性系统的频率响应分析法
9
正弦响应的一般情况
X
(s)

A s2 2
Y (s) G(s) X (s) G(s)
Ys (s) Yh (s)
已知：
G(s)
Num , Den Den

n i 1
(s
pi ), Re( pi ) 0
Y (s)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
16
积分和微分环节的Bode图
Magnitude (dB)
◆积分环节 G(s) 1/ s ◆微分环节 G(s) s
L() 20lg ,() 90 L() 20lg ,() 90
Bode Diagram 20

s
b
j
留数法求待定系数：
a lim Y (s)(s j) A G( j), b a A G( j)
s j
j2
j2
系统的正弦稳态响应：
ys (t)
A G( j)e jt
j2
A G( j)e jt
j2
A G( j
e e j (t G( j ))
j (t G ( j ))
)
j2
AG( j) sin(t G( j))
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第5章 线性系统的频率响应分析法
11
频率响应与正弦传递函数
系统的频率响应：
幅值特性 相角特性
M ym G( j) M ()
xm
y x G( j) ()


()

G(
j)

tg 1T1

tg 1T2
若T1>T2，有 M () 1,() 0 ，该环节有 超前、放大作用。
若T1<T2，有 M () 1,() 0 ，该环节有 滞后、衰减作用。
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第5章 线性系统的频率响应分析法
13
例5.3：频率响应的图示
其幅值特性和相角特性分别为
L()

20 lg
G(
j)

n i 1
20lg Gi (
j)

n i 1
Li ()

( )

G(
j)

n i 1
Gi (
j)

n i 1
i ()
结论：一般系统的幅值特性和相角特性由基本
系统的幅值特性和相角特性分别叠加构成。
4
正弦响应波形（K=2,T=2,A=1,ω=1）
1.5
响 应 y(t)
激 励 x(t)
1
幅 值 x(t),y(t)
0.5
暂态
0
-0.5 稳 态 响 应
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
时间t
结论：系统的正弦响应最终归于稳态响应。
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第5章 线性系统的频率响应分析法
时间t (sec)
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y(t)
6
8
φ(ω) (deg)
-20 0
-90 -180 -270 -360 -450 -540 -630
-1
10
第5章 线性系统的频率响应分析法
0
10 ω (rad/sec)
1
10
22
由基本环节描述的一般系统
基本环节串联形式描述的一般系统为
n
G(s) Gi (s) i 1
5
激励与正弦稳态响应的比较
x(t) Asin t
K Ts 1
yss (t)
KA sin(t ) 2T 2 1
比较激励与正弦稳态响应，总结规律： 1、频率：相同，都是ω。
2、振幅：不同，相差一个倍数
M ym
K
xm 2T 2 1
3、相位：不同，相差一个角度
(t ) t tg1(T )
L(ω) (dB)
0
L() 20 lg K
-10

(
)

0, (K 0) 180 , (K
0)
-20 0
φ(ω) (deg)
思考：K(>0)改变 -45 -90
时，幅值曲线和 -135
相角曲线会怎样 -180
-1
变化？
10
K=4 K=-4
0
1
10
10
ω (rad/sec)
相位差与激励作用初始时刻无关，反 映线性定常系统的时不变性；随频率变化， 又叫相频特性、相角特性或相移。
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第5章 线性系统的频率响应分析法
7
频率响应的含义
x(t) xm sin(t x )
K Ts 1
y(t) ym sin(t y )
◆振幅比（幅值）
Bode Diagram 20
10
15
Magnitude (dB)
10
0
-10
20dB/dec 5 6dB/oct
0
-20
-5
-89
91
-89.5
90.5
Phase (deg)
-90
90
-90.5
89.5
-91
89
-1
0
10
10
1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
A

(s j)(s j)
n
num (s pi )
i 1

a

b
n

ci
s j s j i1 s pi
稳态响应 Ys (s) 暂态响应 Yh (s)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
10
正弦稳态响应的一般性求解
Ys (s)

s
a
j
2
(s
/ n )
1

L() 20lg

(1
2 n2
)2

(2
n
)220
0
ξ=0.1

0, ( n ) 40lg( / n
),(

n
)



(
)


tg
1
2n n2 2
L(ω) (dB)
-20
ξ=1
角频率ω -40
M

ym xm
1 1
放大 衰减
幅值的分贝表示→ L

20 lg
M

0 0
放大 衰减
◆相位差（相移）

y
x


0 0
超前 滞后
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第5章 线性系统的频率响应分析法
8
例5.1 频率响应的计算与解释
x(t) 2sin(2t 15)
角频率1/T
3dB
φ(ω) (deg)
角频率处幅值误差 30
L( 1 ) 20lg
2

3dB0 -2 10
-1
10
0
10
1
10
2
10
T
ω (rad/sec)
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第5章 线性系统的频率响应分析法
19
二阶振荡环节的Bode图
◆二阶振荡环节
G(s)

(s
/ n
)2

1
思考：横轴增大10倍频时，纵轴会变化多少？
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第5章 线性系统的频率响应分析法
17
Phase (deg)
一阶惯性环节的Bode图
◆一阶惯性环节
角频率（转折频率）
20
L(ω) (dB)
G(s) 1 sT 1
0
-3
-20
L() 20 lg 2T 2 1

-40
0, (T 1)
0
φ(ω) (deg)


20 lg
T
, (T
1)
-30
-45
() tg1T
-60
1/T -20dB/dec
-90
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
ω (rad/sec)
思考：参数T变化时频率响应曲线会怎样变？
2019年12月2日星期一
已知： G( j2) 0.25e j60
L( )
0.3 lg
ImG
0
12
( )
lg
0
60
波德图(Bode)
Re G 0
G( j2)
奈奎斯特图 (Nyquist)
2019年12月2日星期一
第5章 线性系统的频率响应分析法
L( )
60
0 () 12
尼科尔斯图 (Nichols)