数学欣赏五
分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着
重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析
（一）对变量或参数的分类讨论
１.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ．
２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ．
３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈
分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还
是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1
a
谁大谁小的问题，因而又需作一次
分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>
（）当时，原不等式化为2011
0a a x x a ≠--<()()
①若，则原不等式化为a x x a
<-->011
0()()
Θ10
11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a
x 1
1
②若，则原不等式化为a x x a
>--<011
0()()
（）当时，，不等式解为i a a a x ><<<1111
1
()ii a a
x 当时，，不等式解为==∈∅11
1
()iii a a x a
当时，，不等式解为011111
<<><<
综上所述，得原不等式的解集为
当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫
⎬⎭011；{}当时，解集为a x x =>01|；
当时，解集为0111<<<<
⎧
⎨⎩
⎫
⎬⎭
a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
111。
４.已知R m ∈，求函数m x x m x f +--=2)34()(2在区间]1,[o 上的最大值．
5.设R a ∈,二次函数a x ax x f 22)(2--=,若o x f >)(的解集为
A ,}31|{<<=x x
B ,∅≠B A I ,求实数a 的取值范围.
（二）对题设给出条件的分类讨论
1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为 ． ２. 已知R a ∈，若关于x 的方程o a a x x =+-++|||4
1
|2有实根，则a 的取值范围是 ．
３. 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=为，求数列|}{|n a 的前n 项和n P ．
（三）解题过程中的分类讨论
１.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。
２.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)3()2
1
(31
2≥-=---n S S n n n ，且
2
3
,121-==S S ，求数列}{n a 的通项公式．
３.已知a 是实数，函数)()(a x x x f -= （１）求函数)(x f 的单调区间；
（２）设)(a g 为)(x f 在区间]2,[o 上的最小值；①写出)(a g 的表达式； ②求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g ．
（四）简化和避免分类讨论的方法 直接回避－反证法，求补法，消参法； 变更主元－分离参数后变参置换或换元；
合理运算－用函数的奇偶性，变量的对称变换及公式的合理选用； 数形结合－用图象的直观性和对称特点；
１.∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==125
13
分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A 进行分类。 解：Θ051322<=
13
οοB B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===12303
2
ο 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin =
=+>1
2
150180οο 这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A ≠150ο []∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π
