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本教材习题和参考答案及部分习题解答
第二章
2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk
pk δδδδδ=;
答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;
解：(3)()ijp klp ki lj
ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij
ji a a =，则0ijk jk e a =。
（需证明）
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：
2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a c
b a b b b
c a b c c a c b c c
证：因为1
231
111232221
2
33
3
3i i i i i i i i i i i i i i
i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以
1
231111232221
2
33
3
3
1
231
1112322212
333
3det det()i i
i i i i i i
i i i i i i
i i
i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即得 123111
2
123222123333
[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：
()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c 证明：()()⨯⨯=a b c d ⋅
2 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试
求矢量u 在新坐标系中的分量。
答案： 112cos sin u u u θθ'=+，
212sin cos u u u θθ'=-+，
33u u '=。
2.6设有二阶张量ij i j T =⊗T e e 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系
中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。 提示：坐标变换系数与上题相同。 答案：
11221122122111cos2sin2222T T T T T T
T θθ''+-+=
++， 12211221221112cos2sin2222
T T T T T T
T θθ''-+-=++，
131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。
2.7设有3n
个数12n i i i A ⋅⋅⋅，对任意m 阶张量12m j j j B ⋅⋅⋅，定义 121212
12
n m
n
m
i i i j j j i i i j j j C A B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
若1212n m i i i j j j C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为n m +阶张量，试证明12n i i i A ⋅⋅⋅是n 阶张量。
证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则
2.8设A 为二阶张量，试证明tr =I A A ⋅⋅。 证：
2.9设a 为矢量，
A 为二阶张量，试证明：
(1)()T T ⨯=-⨯a A A a ，(2)()T T ⨯=-⨯A a a A
证：(1) ()()()T T T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -⨯=-⊗⨯=-⊗A a e e e e e ()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-⊗=-⊗e e e e k k jn j n a A =⨯⊗=⨯a A e e e 。 证：(2) ()T T -⨯=a A
图2.4
3
2.10已知张量T 具有矩阵
123[]456789=⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
T
求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：
2.11已知二阶张量T 的矩阵为
310[]130001-=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
T
求T 的特征值和特征矢量。 解：
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
αβ=+⊗A I m m ，=⊗+⊗B m n n m
其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
()()αβαβ⋅=+⊗⋅=+A m I m m m m ，
所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。设a 是和m 垂直的任意单
位矢量，则有
()αβα⋅=+⊗⋅=A a I m m a a
所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特
征方程的重根。 令
2)-m n e
，3)+m n e ，123⨯e =e e 则有
23)m e +e
，23)-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。张量B 可以表示成 1122330=⊗-⊗⊗B e e e e +e e
所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。
