用蛮力法、动态规划法和贪心法求解01背包问题

贪⼼算法-01背包问题1、问题描述：给定n种物品和⼀背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找⼀n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最⼤.即⼀个特殊的整数规划问题。

2、最优性原理：设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的⼀个最优解.则(y2,…,yn)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解:证明:使⽤反证法。

若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述⼦问题的⼀个最优解,⽽(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。

显然有∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n)且 w1y1+ ∑wizi<= c因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的⼀个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,⽭盾。

3、递推关系：设所给0-1背包问题的⼦问题的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。

由0-1背包问题的最优⼦结构性质，可以建⽴计算m(i，j)的递归式:注:(3.4.3)式此时背包容量为j，可选择物品为i。

此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之⼀:(1)背包剩余容量是j,没产⽣任何效益；(2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ；使⽤递归C++代码如下：#include<iostream>using namespace std;const int N=3;const int W=50;int weights[N+1]={0,10,20,30};int values[N+1]={0,60,100,120};int V[N+1][W+1]={0};int knapsack(int i,int j){int value;if(V[i][j]<0){if(j<weights[i]){value=knapsack(i-1,j);}else{value=max(knapsack(i-1,j),values[i]+knapsack(i-1,j-weights[i]));}V[i][j]=value;}return V[i][j];}int main(){int i,j;for(i=1;i<=N;i++)for(j=1;j<=W;j++)V[i][j]=-1;cout<<knapsack(3,50)<<endl;cout<<endl;}不使⽤递归的C++代码：简单⼀点的修改//3d10-1 动态规划背包问题#include <iostream>using namespace std;const int N = 4;void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10]);void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[]);int main(){int c=8;int v[]={0,2,1,4,3},w[]={0,1,4,2,3};//下标从1开始int x[N+1];int m[10][10];cout<<"待装物品重量分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<w[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"待装物品价值分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<v[i]<<" ";}cout<<endl;Knapsack(v,w,c,N,m);cout<<"背包能装的最⼤价值为："<<m[1][c]<<endl;Traceback(m,w,c,N,x);cout<<"背包装下的物品编号为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){if(x[i]==1){cout<<i<<" ";}}cout<<endl;return 0;}void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10]){int jMax = min(w[n]-1,c);//背包剩余容量上限范围[0~w[n]-1] for(int j=0; j<=jMax;j++){m[n][j]=0;}for(int j=w[n]; j<=c; j++)//限制范围[w[n]~c]{m[n][j] = v[n];}for(int i=n-1; i>1; i--){jMax = min(w[i]-1,c);for(int j=0; j<=jMax; j++)//背包不同剩余容量j<=jMax<c{m[i][j] = m[i+1][j];//没产⽣任何效益}for(int j=w[i]; j<=c; j++) //背包不同剩余容量j-wi >c{m[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);//效益值增长vi }}m[1][c] = m[2][c];if(c>=w[1]){m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}}//x[]数组存储对应物品0-1向量,0不装⼊背包，1表⽰装⼊背包void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[]){for(int i=1; i<n; i++){if(m[i][c] == m[i+1][c]){x[i]=0;}else{x[i]=1;c-=w[i];}}x[n]=(m[n][c])?1:0;}运⾏结果：算法执⾏过程对m[][]填表及Traceback回溯过程如图所⽰：从m(i，j)的递归式容易看出，算法Knapsack需要O(nc)计算时间; Traceback需O(n)计算时间；算法总体需要O(nc)计算时间。

动态规划法求01背包问题思路状态表⽰:f[i][j]表⽰前i个物品在容量为j的背包下的最⼤价值v[i]表⽰第i个物品的价值,w[i]表⽰第i个物品的重量状态转换:对于第i个物品如果当前背包不可以装下这个物品,那么当前的f[i][j] = f[i - 1][j],也就是上⼀个状态的最⼤价值如果当前背包可以装下这个物品,那么当前的f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]和f[i - 1][j]取较⼤的那⼀个,第⼀个是考虑把第i个物品装⼊背包,那么背包物品的价值就是前i-1个物品装⼊容量为j-w[i]再加上第i个物品v[i]的价值,第⼆个是不把当前物品装⼊背包的价值,两个取⼤的那⼀个作为最优解代码详解：1. 0/1背包问题#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++ )cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = c; j >= 0 && j >= v[i]; j --)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[c] << endl;return 0;}}完全背包问题（每个物品可以使⽤⽆数次f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])完全背包问题本来应该是在背包问题上再加⼀个循环的，但是可以推导出下⾯这个样⼦f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])为什么呢，只是把0/1背包问题的f[i - 1][j - v[i] + w[i])的i-1换成了i就可以了？从头来说：完全背包问题，对于第i个物品，假设剩下的背包容量还可以装n个这个物品，那么⼀共就有n+1中决策⽅案，还有⼀种⽅案就是⼀个都不选那么对于第i个物品:它的最⼤价值就是f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]), f[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i]....)⼀直到n为⽌（①式）令 j = j - v[i] 那么f[i][j - v[i]] = max(f[i - 1][j - v[i]], f[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i].....)（②式）然后发现⼆式中的右边⽐较像⼀式中的第⼆项到最后⼀项，就是每⼀项都少了⼀个w[i]把⼆式带⼊⼀式，那么⼀式就是 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]), 就是下⾯这个状态⽅程啦 ;#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N][N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ ){for(int j = 1; j <= c; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][c] << endl;return 0;}完全背包优化：#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i]; for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = v[i]; j <= c; j ++ )//从前往后更新 f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[c] << endl;return 0;}。

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。

将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。

背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。

一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。

此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。

二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。

假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。

当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。

根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中,可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。

实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题实验目的1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同；2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。

实验内容：0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。

在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。

根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。

背包的数据结构的设计：typedef struct object{int n;//物品的编号int w;//物品的重量int v;//物品的价值}wup;wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数int c;//背包的总重量1、蛮力法蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。

蛮力法的关键是依次处理所有的元素。

用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。

所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）∑=ni i i x v 1max （式2）void force(int a[16][4])//蛮力法产生4个物品的子集{int i,j;int n=16;int m,t;for(i=0;i<16;i++){ t=i;for(j=3;j>=0;j--){m=t%2;a[i][j]=m;t=t/2;}}for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组{for(j=0;j<4;j++){printf("%d ",a[i][j]);}printf("\n");}｝以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:void panduan(int a[][4],int cw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0{int i,j;int n=16;int sw,sv;for(i=0;i<16;i++){sw=0;sv=0;for(j=0;j<4;j++){sw=sw+wp[j].w*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][j];}if(sw<=c)cw[i]=sv;elsecw[i]=0;}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。

算法设计与分析期末论文题目用贪心法求解“0-1背包问题”专业计算机科学与技术班级09计算机一班学号0936021姓名黄帅日期2011年12月28日一、0-1背包问题的算法设计策略分析1.引言对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，例如，在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起决定性的作用。

算法是解决问题的一种方法或一个过程。

程序是算法用某种设计语言具体实现描。

计算机的普及极大的改变了人们的生活。

目前，各行业、各领域都广泛采用了计算机信息技术，并由此产生出开发各种应用软件的需求。

为了以最小的成本、最快的速度、最好的质量开发出适合各种应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则。

设计一个高效的程序不仅需要编程小技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的素算法，这正是计算机科学领域数据结构与算法设计所研究的主要内容。

2. 算法复杂性分析的方法介绍算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的量称为空间复杂性。

这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。

如果分别用N 、I 和A 表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C 表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。

一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T 和S 来表示，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。

（通常，让A 隐含在复杂性函数名当中最坏情况下的时间复杂性：最好情况下的时间复杂性：平均情况下的时间复杂性：其中DN 是规模为N 的合法输入的集合；I*是DN 中使T(N, I*)达到Tmax(N)的合法输入； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法输入；而P(I)是在算法的应用中出现输入I 的概率。

算法复杂性在渐近意义下的阶：渐近意义下的记号：O 、Ω、θ、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。

O 的定义：如果存在正的常数C 和自然数N0，使得当N ≥N0时有f(N)≤Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N))。

用动态规划法求解0/1背包问题实验目的：1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

2、使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。

实验要求：1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

2、使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。

实验内容：1、问题描述：给定n种物品和一个背包，物品I的重量是Wi，其价值为Vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？2、算法描述。

3、程序实现给出实例测试结果。

程序清单：#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;int c[50][50];int w[10],v[10];int x[10];int n;void KNAPSACK_DP(int n,int W){for(int k=0;k<=W;k++)c[0][k]=0;for(int i=1;i<=n;i++){c[i][0]=0;for(int k=1;k<=W;k++){if(w[i]<=k){if(v[i]+c[i-1][k-w[i]]>c[i-1][k])c[i][k]=v[i]+c[i-1][k-w[i]];elsec[i][k]=c[i-1][k];}elsec[i][k]=c[i-1][k];}}}void OUTPUT_SACK(int c[50][50],int k) {for(int i=n;i>=2;i--){if(c[i][k]==c[i-1][k])x[i]=0;else{x[i]=1;k=k-w[i];}}x[1]=(c[1][k]?1:0);for(int i=1;i<=n;i++)cout<<setw(4)<<x[i];}void main(){int m;cout<<"输入物品个数:";cin>>n;cout<<"依次输入物品的重量:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];cout<<"依次输入物品的价值:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];cout<<"输入背包最大容量:";cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++)cout<<setw(4)<<i;cout<<endl;KNAPSACK_DP(n,m);cout<<"构造最优解过程如下:"<<endl; for(int j=1;j<=5;j++){for(int k=1;k<=m;k++)cout<<setw(4)<<c[j][k];cout<<endl;}cout<<"最优解为:"<<endl;OUTPUT_SACK(c,m);}运行结果：输入物品个数:5依次输入物品的重量:3 4 7 8 9依次输入物品的价值:4 5 10 11 13输入背包最大容量:171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 构造最优解过程如下:0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 40 0 4 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 90 0 4 5 5 5 10 10 10 14 15 15 15 19 19 19 19 0 0 4 5 5 5 10 11 11 14 15 16 16 19 21 21 21 0 0 4 5 5 5 10 11 13 14 15 17 18 19 21 23 24 最优解为:0 0 0 1 1实验体会：通过该实验，使用动态规划法编程，求解0/1背包问题，掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。

注：0/1背包问题：给定n 种物品和一个容量为C 的背包，物品i 的重量是i w ，其价值为i v ，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100 //最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign; //物品序号int w; //物品重量int p; //物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];//存储最优路径 bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1; //装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0; //不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n); //输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C); //输入背包容量for (int i=0;i<n;i++) //输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]: ",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题 printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("] 装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：)2()(n O n T 。

python实现贪婪算法解决01背包问题⼀、背包问题01背包是在M件物品取出若⼲件放在空间为W的背包⾥，每件物品的体积为W1，W2⾄Wn，与之相对应的价值为P1,P2⾄Pn。

01背包是中最简单的问题。

01背包的约束条件是给定⼏种物品，每种物品有且只有⼀个，并且有权值和体积两个属性。

在01背包问题中，因为每种物品只有⼀个，对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。

如果不选择将其放⼊背包中，则不需要处理。

如果选择将其放⼊背包中，由于不清楚之前放⼊的物品占据了多⼤的空间，需要枚举将这个物品放⼊背包后可能占据背包空间的所有情况。

⼆、求解思路 当遇到这样的问题，我们可以换⼀种⾓度去思考，假设在⼀个100m3的房⼦⾥⾯，现在要将房⼦装满，同时要保证放⼊的物品个数最多以及装⼊的东西最重，现在⾝边有铁球和棉花，请问⼤家是放铁球进去好呢还是放棉花进去好呢？显⽽易见，放⼊铁球进去是最优选择。

但是原因是什么呢？很简单，就是因为铁球的密度较⼤，相同体积的铁球和棉花相⽐，铁球更重。

不过前提是放⼊第⼀个铁球时，铁球的体积V1⼩于等于100m3 ；放⼊第⼆个铁球时，铁球的体积V2 ⼩于等于(100-V1)m3;……；放⼊第n个铁球时，铁球的体积⼩于等于（100-∑n1Vn-1）m3 ，要是第n个铁球的体积⼤于（100- ∑n1Vn-1）m3 ，还真是不如放点单位体积更轻的棉花进去，说的极端点就是所有铁球的体积都⼤于100m3 ，还真不如随便放⼊点棉花进去合算。

所以总是放铁球进去，不考虑是否放⼊棉花，容易产⽣闲置空间，最终会得不到最优选择，可能只是最优选择的近似选择。

现在再次回到背包问题上，要使得背包中可以获得最⼤总价值的物品，参照铁球的例⼦我们可以知道选择单位重量下价值最⾼的物品放⼊为最优选择。

但是由于物品不可分割，⽆法保证能将背包刚好装满，最后闲置的容量⽆法将单位重量价值更⾼的物品放⼊，此时要是可以将单位重量价值相对低的物品放⼊，反⽽会让背包的总价值和单位重量的价值更⾼。

算法综合实验报告学号：姓名：一、实验内容：分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题或者0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。

二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：1、蛮力法(1)数据结构:使用一维数组存储物品的价值和重量还有下标。

(2)函数组成除主函数外还有一个subset（）函数，在此函数中列出所有的子集列出子集的同时求解最大价值，并且物品总重量要小于背包总容量。

(3)输入/输出设计首先通过键盘输入物品的总重量，再输入背包总容量，依次输入每个物品的重量，对应输入相应重量的价值，循环直至输入所有物品的重量和价值。

最后输出物品的最大价值。

本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。

（根据实际程序情况，还可以选择随机产生输入数据、将输出数据输出到文件等其它方式）(4)符号名说明w[1001]为物品重量的集合，v[1001]为物品价值的集合，n为物品数量，m为背包总容量,x[1001]用来存储物品是否装入背包，0为不装入，1为装入。

用a[1001]来存储下标，用下标找出所有子集。

(5)算法描述采用增量构造的方法来构造出物品的所有子集，对物品的下标应用此方法进行构造，下标与物品相对应，选出子集时物品的重量加之前重量小于背包总重量时将价值加上去，最后选出能装入背包的物品的最大值。

2、 动态规划法(1)数据结构：使用一维数组存储各个物品价值，重量，使用一个二维数组存储动态规划的整体求解的表，并以背包容量为最大列号，物品个数为最大行号。

(2)函数组成：除主函数外由两个函数组成，一个是求解两个数中的大的一个的函数，另一个则是进行动态规划求解的函数，在使用动态规划方法具体求解时调用求最大值函数，在主程序之中调用动态规划函数。

(3)输入/输出设计：首先通过键盘输入物品的总重量，再输入背包总容量，依次输入每个物品的重量，对应输入相应重量的价值，循环直至输入所有物品的重量和价值。

动态规划基础之背包问题01背包问题是最经典的背包问题，没有之⼀。

关于背包问题，我举过⼀个例⼦，有⼀天，阿⾥巴巴背着⼀个背包来到了⼭洞⾥，⾯对⼤量的⾦银财宝，他的背包却容量有限，他要如何选择呢？假如说这些财宝可以⽆限分割，例如是⾦粉，银粉，铜粉，他只要贪⼼地先放⾦，再放银，最后放铜，直到装满，那么如果这些财宝各有体积且⽆法切割，很显然，贪⼼⽆法解决这个问题，那么就只能使⽤动态规划了。

举个例题Bone CollectorTime Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 128982 Accepted Submission(s): 51264Problem DescriptionMany years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?InputThe first line contain a integer T , the number of cases.Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.OutputOne integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 231).Sample Input1 5 10 12345 5 4 3 2 1Sample Output14本题为01背包裸题，其状态转移⽅程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，dp[i][j]表⽰遍历到第i个物品，使⽤了j的容量时得到的最⼤价值，其值由是否将这个物品放⼊决定。

动态规划之01背包问题01背包问题问题描述：给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。

现挑选物品放⼊背包中，假定背包能承受的最⼤重量为 V，问应该如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤？针对这个问题，本⼈理解了多次，也了看各种题解，尝试各种办法总还觉得抽象；或者说，看了多次以后，只是把题解的状态转移⽅程记住了⽽已，并没有真正的“掌握”其背后的逻辑。

直到我看了，在此感谢作者并记录于此。

01背包问题之另⼀种风格的描述：假设你是⼀个⼩偷，背着⼀个可装下4磅东西的背包，你可以偷窃的物品如下：为了让偷窃的商品价值最⾼，你该选择哪些商品？暴⼒解法最简单的算法是：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最⾼的组合。

这样显然是可⾏的，但是速度⾮常慢。

在只有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；当有4件商品的时候，你需要计算16个不同的集合。

每增加⼀件商品，需要计算的集合数都将翻倍！对于每⼀件商品，都有选或不选两种可能，即这种算法的运⾏时间是O(2ⁿ)。

动态规划解决这样问题的答案就是使⽤动态规划！下⾯来看看动态规划的⼯作原理。

动态规划先解决⼦问题，再逐步解决⼤问题。

对于背包问题，你先解决⼩背包（⼦背包）问题，再逐步解决原来的问题。

⽐较有趣的⼀句话是：每个动态规划都从⼀个⽹格开始。

（所以学会⽹格的推导⾄关重要，⽽有些题解之所以写的不好，就是因为没有给出⽹格的推导过程，或者说，没有说清楚为什么要”这样“设计⽹格。

本⽂恰是解决了我这⽅⾯长久以来的困惑！）背包问题的⽹格如下：⽹格的各⾏表⽰商品，各列代表不同容量（1~4磅）的背包。

所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算⼦背包的价值。

⽹格最初是空的。

你将填充其中的每个单元格，⽹格填满后，就找到了问题的答案！1. 吉他⾏后⾯会列出计算这个⽹格中单元格值得公式，但现在我们先来⼀步⼀步做。

⾸先来看第⼀⾏。

这是吉他⾏，意味着你将尝试将吉他装⼊背包。

算法综合实验报告一、实验内容：分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。

二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：1、蛮力法1.1数据结构注：结构体obj用来存放单个物品的价值和重量typedef struct obj{int w;//物品的重量int v;//物品的价值};1.2 函数组成void subset(int s[][10],int n)：用来生成子集的函数void judge(int s[][10], obj obj[],int mark[],int n,int c)：判断子集的可行性int getmax(int mark[],int n,int &flag)：求解问题的最优解void outputObj(int flag,int s[][10],int n):输出选择物品的情况 1.3 输入/输出设计本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。

1.4 符号名说明1.5 算法描述算法的伪代码描述如下：输入：背包的容量c,物品的个数n,n个物品的重量 w[n],价值v[n]输出：装入背包的物品编号以及产生的最大价值1.初始化最大价值 max=0,结果子集 s=φ;2.对集合{1,2,......n}的每一个子集T，执行下述操作：2.1初始化背包的价值 v=0，背包的重量 w=0;2.2对子集t的每一个元素j2.2.1 如果w+wj<c,则 w=w+wj,v=v+vj;2.2.2 否则，转步骤2考察下一个子集；2.3如果max<v,则 max=v;s=t;3.输出子集S中的各元素2、动态规划法2.1 数据结构该程序不涉及任何数据结构2.2 函数组成int max(int i,int j);比较并返回两个数中的较大值int KnapSack (int w[],int v[],int x[],int n,int c);求解背包取得的最大值2.3 输入/输出设计本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。

0-1背包问题蛮⼒法求解（c++版本）// 0.1背包求解.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。

//#include "stdafx.h"#include <iostream>#define N 5#define ST 10using namespace std;int main() {//给定n个重量，价值为不同的个物品和容量为c的背包，求这些物品中⼀个最有的价值的⼦集int a[N] = { 2, 1, 3, 4, 7 };int b[N] = { 2, 5, 4, 1, 2 };int sum1 = 0;//sum1表⽰最终的价值for (int i = 0; i<N; i++)//这是对每次的{int STS = 0;//⾦⼦的总个数int QS = 0;//价值的总个数for (int j = 0; j<N; j++){if (STS + a[i]<ST)//如果⾦⼦每放完，则继续放{cout << "⾦⼦个数：" << a[j] << " ";cout << "对应的价值为：" << a[j] * b[j] << endl;STS += a[j];QS += a[j] * b[j];}//否则则不进⾏}//直到这个循环结束后就出来求出总的价值cout << "第" << i + 1 << "次的总价值为：" << QS << endl;cout << endl;if (QS>sum1){sum1 = QS;}}cout << "蛮⼒法背包最⼤的价值为：" << sum1 << endl;return 0;}结语> 如果你还需要了解更多技术⽂章信息，请继续关注的博客。

背包问题贪心法和动态规划方案法求解嘿，大家好！今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的背包问题。

这个问题可是算法领域的经典难题，不过别怕，今天我会用贪心法和动态规划两种方法帮你轻松搞定它！来个简单直接的背景介绍。

背包问题，简单来说，就是给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，你需要在不超过背包承载重量的前提下，挑选出价值最大的物品组合。

听起来是不是有点像生活中的购物决策？哈哈，没错，这就是背包问题的魅力所在。

好，下面咱们直接进入主题。

一、贪心法贪心法，顾名思义，就是每一步都选择当前看起来最优的方案。

对于背包问题，贪心法的核心思想就是：每次都选取价值密度最大的物品。

1.计算每个物品的价值密度，即价值除以重量。

2.然后，按照价值密度从大到小排序。

3.从排序后的列表中依次选取物品，直到背包装满或者没有物品可选。

二、动态规划法动态规划，这是一种更加严谨、也更复杂的方法。

它的核心思想是：通过把大问题分解成小问题，逐步求解，最终得到最优解。

1.定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择，背包容量为j时的最大价值。

2.我们考虑第i个物品是否放入背包。

如果放入，则前i-1个物品在容量为j-w[i]时的最大价值加上w[i]的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+w[i]。

如果不放入，则前i-1个物品在容量为j时的最大价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

3.通过比较这两种情况，取最大值作为dp[i][j]的值。

整个过程中，我们需要遍历所有物品和所有可能的背包容量，最终得到dp[n][W]就是我们要找的最大价值。

现在，让我们用一段代码来具体实现一下动态规划法：defknapsack(W,weights,values):n=len(values)dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=50weights=[10,20,30]values=[60,100,120]print(knapsack(W,weights,values))怎么样？是不是觉得动态规划法虽然复杂，但逻辑清晰，更容易找到最优解？通过上面的分析，我们可以看到，贪心法简单高效，但有时候并不能得到最优解；而动态规划法虽然计算复杂度较高，但可以得到最优解。

用蛮力法、动态规划法和贪心法求解01背包问题(总13页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-算法设计与分析项目名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题作者姓名：余武丹李红波刘红梅完成日期：2013年9月20日目录第一章：简介（Introduction）第二章：算法定义（Algorithm Specification）第三章：测试结果（Testing Results）第四章：分析和讨论第一章：简介（Introduction ）0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。

在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。

根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。

背包的数据结构的设计：typedef struct object{int n;*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][j];}if(sw<=c)cw[i]=sv; elsecw[i]=0;∑=n i ii x v 1max （式2） ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。

以下是找出最优解的算法：int findmax(int x[16][4],int cv[]);/wp[k-1].w<wp[k].v/wp[k].w); =wp[k-1].v; =wp[k-1].w;wp[k-1].n=wp[k].n;wp[k-1].v=wp[k].v;wp[k-1].w=wp[k].w;wp[k].n=;wp[k].v=;wp[k].w=;flag=1;}}if(flag==0)break;}}然后再用贪心策略选择的算法如下：int tx_findmaxvalue(wup wp[],int x[])<cw) -1]=1; ;; -1]=0; }return maxvalue;}⎩⎨⎧>+---<-=ii i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V }),1(),,1(max{),1(),(第三章：测试结果（Testing Results）1.蛮力法测试结果：输入完毕后按Enter键有如下结果：2.动态规划法调试结果3.贪心法调试结果：(1).空间最优的贪心策略结果(2).价格最优的贪心策略结果(3).价格空间比最优的贪心策略结果第四章：分析和讨论算法的时间复杂度和空间复杂度的分析，对算法进一步改进的讨论。