第二章 波函数

二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p (r, t ) Ne
i ( Et pr )
15
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r, t ) c(p) p (r, t )
p
由于p可以连续变化
(r, t ) c(p, t ) p (r )dp x dp y dp z
Aei (krt )
E h p k

（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一个函数来描
写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的，
衍射图样应该与粒子流强度有关，但实验证明它们两者却无关。
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。 定态与定态波函数
23
定态薛定谔方程
2 2 U (r ) E 2
哈密顿算符
2 ˆ H U (r ) 2
2
本征值方程
ˆ E H
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当体系处于能量本征态 n 时，粒子的能量有确定值En
(r, t ) Ae
i ( pr Et )
Ae
i ( k r t )
i E （1） t
p 2
2 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin
利用波函数在边界处连续，
( a ) ( a ) 0
体系的能量
E

2
2 2
8m a
n , n 1, 2, 3, ...
2
28
相应的归一化的波函数为
n 1 sin ( x a ), 2a n a 0,
定态波函数为
xa x a
n ( x, t ) n e
c11 c12 c1 c2 12 c1c2 12 2 2
2
2
14
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c1 1 c2 2 ... cn n cn n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
26
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
0 U ( x)
x a x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解
释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0,
x a
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（2）阱内（a> x > -a）
2 2 E 2 2m x
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
22
2 i U (r) t 2
2
考虑一种特解
(r, t ) (r) f (t )
2
i df 1 2 [ U (r ) ] 常数＝E f dt 2
Et ( r, t ) ( r )exp( i ) ( r)exp( i t )
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2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c11 c2 2
c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
c11 c2 2 ( c1 1 c2 2 )( c11 c2 2 )
11
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r, t ) A exp[i (k r t )]
E hv
p k
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1s (r, , ) 1s (r ) e
r / a
函数。
2.3 薛定谔方程
如何获取波函数 经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程 17
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件：
（1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
dW ( x, y , z, t ) ( x, y , z, t ) d
几率密度为：
2
w( x, y , z, t ) ( x, y , z, t )
2
归一化条件可表示为：


( x, y, z, t ) d 1
2
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
5
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分布1(x) ＋2(x)
6
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
7
（3）电子 的双缝衍射
i En t
1 n sin ( x a)e 2a a
i En t
29
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0 基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
30
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附
近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以
*
w i * * ( ) t 2
令
i * J ( * ) 2
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粒子数守恒定律
高斯定理
w J 0 t
w V t d V Jd S J dS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的：标准化条件
*
* w * t t t
几率密度随时间的变化率
Baidu Nhomakorabea
利用薛定谔方程
2 2 i 2 U (r ) i U (r ) ; t 2 t 2 i i 2 * U (r ) * t 2 i
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 微观态的波函数描述及其统计诠 释 2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程
1
经典粒子的物理描述
• • • • • 1、参照系 (坐标系) 2、坐标 r 3、速度（动量） v or (p) 4、加速度 a 5、宏观实践中结果很好
及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。 质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
2 px 1 H m 2 x 2 2m 2
定态薛定谔方程
2 d 2 1 2 2 ( x ) m x ( x ) E ( x ) 2 31 2m dx 2
令
m x x,
2
m
2E
d 2 ( ) 0 2 d
首先考虑方程的渐近解
d 2 0, 2 d
2

32
~e
2 / 2
因为波函数在无穷远处为有限，
~e
2 / 2
e

2
2
H ( )
代入薛定谔方程，得
d H dH 2 ( 1) H 0 2 d d
设入射电子
流很微弱， 几乎是一个 一个地通过 双缝。图中
的照片是在
不同时间下 拍的。
8
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的
双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢? 在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
2
二、能量和动量算符
E i t
p i
19
三、薛定谔方程
一般情况下
p E U (r ) 2
2
根据能量和动量算符
2 2 i U (r) t 2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
20
几率密度
w(r, t ) (r, t ) (r, t )
2
电子的双缝衍射实验 ——经典理解
电 子 束
3
看电子的双缝衍射实验
1、设入射 电子流很微 弱，几乎是
一个一个地
通过双缝。 图中的照片 是在不同时 间下拍的。
2、强电流
短时曝光
4
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。
x Y A cos[2 ( t )] r n A cos[2 ( t )] A cos[ k r t ]
2 2 2 2 2 2 2 x y z
（2）
18
利用自由粒子
p E 2
2
和上面方程（1）、（2）
得：
2 2 i t 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin 2 2 2 2 2 2 x y z
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
n (r, t ) n (r )e
iEnt
(r , t ) cnn (r , t ) cn n (r )e
n n
iEnt
25
转至第三章“一维定态问题”
• 具体阐述薛定谔方程的求解过程， • 波函数的获取方法 • 熟悉几个重要的应用过程中需要的物理 模型
用级数解法，H只能为一个中断多项式，得到
2
2n 1,
n 0, 1, 2, ...
33
1 En (n ) , n 0, 1, 2, ... 2
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
式中
1 ipr / p (r) e 3/ 2 (2)
1 c(p, t ) 3/ 2 (2)
(r, t )e
i pr
dxdydz
16
1 (r, t ) 3/ 2 (2)
c(p, t )e
i pr
dpx dpy dpz
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波
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解
根据归一化的定义，我们有
2 3 2
2 r / a r / a d r dxdydz 4 r ( e ) e dr 1s 1s 0
4 r 2 e 2 r / a dr a 3
0

归一化的波函数为
~ 1s
1
a 3
e r / a
在经典物理学中，波函数 ( x, y, z, t ) 和 A( x, y, z, t ) 代表了能 量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
10
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
描写粒子的波称为几率波
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（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。 在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。