第二讲图形的变换
教学目标：
1、使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。
2、进一步认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°。
3、初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。经典例题
例1：画一画，画出下列各图形的对称轴。
例2：
（1）指针从“12”绕点O顺时针旋转900到（）。 0（2）指针从“12”绕点O逆时针旋转60到（）。（3）指针从“1”绕点O顺时针旋转（）到“3”。
（4）指针从“6”绕点O顺时针旋转1800到（）。
（5）指针从“3”绕点O顺时针旋转（）到“4”。
例3：你会把下边的三角尺绕A点旋转90°吗？
例4：画出三角形ABC绕点C顺时针旋转180°后的图形。
例5：画出下面图形的轴对称图形。
例6：画出下面图形的轴对称图形。
例7：一块正方形土地，它的边长是18米，土地中有横、竖各两条路(如图)，路宽2米。问：这块土地可耕种的面积有多少?
例8：图中是一块长方形草地，长16米，宽10米。中间有两条路，一条是长方形路，另一条是平行四边形路。求有草部分（阴影部分）的面积有多大？
例9：你能把下图分成形状、大小完全相同的4份，而且每份中有一个圆吗？
练习：
1、在下面图形中，你还能画出其它对称轴吗？如果能，请画出来。
( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴
( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴。
2、如图
（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60°后指向
（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90°后指向
3、画出下面图形的轴对称图形。
4、（1）画出三角形绕“A”点顺时针旋转90°后的图形
（1）（2）（2）画出小旗绕“O”点逆时针旋转90°后的图形。
5、画出长方形向右平移3格后再绕点
“O”顺时针旋转90得到的图形。
6、利用旋转设计图案。
7、画出下面图形的轴对称图形。
8、一块长方形草地，长方形的长155米，宽95米，中间有两条道路，一条是长方形的，一条是平行四边形的，路宽都是5米。问有草部分的面积是多少？
9、一个正三角形形状的土地上有四口水井，要把这块地分成和它形状相同的四小块，要求每小块的面积相等，并且每一块中都要有一口水井，应该怎样分？
第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
第二讲 小数的速算与巧算（二） 【知识概述】 若干个数排成一列称为“数列”，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项（1a ），最后一项称为末项（n a ）。从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为“等差数列”，后项与前项之差称为公差（d ），数列中的数的个数称为项数（n ）。 对于等差数列，我们要熟练运用三个公式： 通项公式：第n 项＝首项＋（项数－1）×公差 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2 1、对于一个数除以两个或者两个以上的数，我们可以把多个除数先用乘积的方式算出结果，再用被除数除以所求的结果，得到最后的商 例1 计算8.376÷3.2÷2.5 解析：8.376除以3.2再除以2.5也就是8.376除以3.2与2.5的乘积 练习 计算7.68÷2.5÷0.4 2、 一个数除以另一个数就等于这个数乘以这个数的倒数，即a ÷b=a ×1/b=a/b 例2 计算（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7） 解析 ：因为乘除是同一级运算，我们可以把式子拆开，看作是（4.8÷ 2.4）×（7.5÷2.5）×（8.1÷2.7）
练习 1.1÷（1.1÷1.2）÷（1.2÷1.3）÷（1.3÷1.4） 3.数列通项公式：第n项＝首项＋（项数－1）×公差， 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1， 求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2 等差数列就是一列数，后面的数减去前面的数所得的差都是相等的例3 已知等差数列0.2，0.5，0.8，1.1，1.4，…。 （1）这个数列的第13项是多少？ （2）4.7是其中的第几项？ 解析：第13项等于首项+（n-1）×公差=0.2+（13-1）×0.3, 4.7=0.2+(n-1) ×0.3,求得的n就是第几项 练习：有一列数0.1，0.5，0.9，1.3，1.7，…。 （1）它的第1000项数是多少？ （2）492.1是它的第几项？
五年级奥数讲义：倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中，也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案. 例题选讲 例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个. 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱. 问：开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷2—24(元)， 丙：48+24+24—96(元)； 第二次在乙给甲、丙添钱之前： 甲：24÷2—12(元)， 乙：24+12+48===84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲给乙、丙添钱之前： 甲：12+42+24—78(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元. 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻
方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数
幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！
第二讲一般应用题 例1、五年级有6个班，每班人数相等。从每班选16人参加春季运动会，剩下的同学相当于原来4个班的人数，原来每班有多少人? 随堂练习 1.5位同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，5位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数，原来每人有存款多少元? 2.把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运68箱时，正好可以运走这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱? 3.老师把一批树苗平均分给4个小队栽，当每队栽6棵时，剩下的树苗总数与每队分得的棵数相同。这批树苗一共有多少棵?
例2、某洗衣液生产厂计划每天加工50箱洗衣液，实际每天生产56箱。这样，不仅提前3天完成原计划生产的任务，而且还多生产了120箱洗衣液。这个洗衣液生产厂实际生产了多少箱洗衣液? 练一练 1星期天楠楠一家开车去旅游，爸爸原计划每小时行50千米实际每小时多行了10千米，这样比原计划提前2小时到达了景点。楠楠家与景点两地相距多少千米? 2.昊昊骑自行车上学，原来每天每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远? 3.李双骑自行车以320米/分的速度从A地驶向B地，途中因自行车故障推车继续向前步行5分钟到距B地1800米的某地修车，15分钟后以原来速度的1.5倍继续向前驶向B地，到达B地时，比预计时间多用17分钟，则李双推车步行的速度是多少?
例3、工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米? 练一练 1、一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人? 2.甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B 地，比乙多用了4小时。已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各行多少千米? 3生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时，如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个?
五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案） 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖 问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题. （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最 多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题. （3）重要结论： ① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n 中至少有一个是偶数． ② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n． 3、棋盘中的象棋问题： 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.
1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题； 2、利用象棋知识寻找路线； 例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3 答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）． 分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题． 定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数． 例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
1 小学奥数基础教程(五年级) 2 第1讲数字迷（一）第16讲巧算24 3 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 4 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 5 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接6 第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积 7 第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积8 第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积 9 第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题10 第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）11 第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）12 第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）13 第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）14 第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）15 第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 16 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二) 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31 第1讲数字谜（一） 32 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、33 排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。 34 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。35 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号36 只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。 37 分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，38 所以应首先确定“÷”的位置。 39 当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是40 13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（5÷13-7）×（17+9）。 41 当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。 42 当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。 43 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□44 =5568。 45 解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道，将 5568分解为两个两46 位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：47 12×464， 16×348， 24×232， 48 29×192， 32×174， 48×116。 49 显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。
五年级课堂同步奥数第二讲——积的近似数与小数乘法应用【例1】妈妈给豆豆一些钱去买土豆，市场上1千克土豆86 .3元，后来妈妈打电话告诉豆豆不用买土豆了，买豆角。豆豆算了一下，这些钱能买到的土豆的质量正好是能买到的豆角的质量的2.1倍。你来算一算，市场上1千克豆角多少钱。 1、一个两位小数“四舍五入”后的近似数约是0.6，这个两位小数最大可能是（），最小可能是（）。 2、判断：近似数00 .6和0.6的大小相等，精确度也一样。（） 3、判断：把5.0 .2。（） .3 的积精确到千分位是000 999 4、每千克油菜籽可以榨47 .0千克油，105千克油菜籽大约可以榨多少千克油?（得数保留一位小数） 5、中心小学开展“勤工俭学”活动，同学们利用业余时间收集废纸。2015年5月份，全校共收集废纸685 1324千克。照这样计算，全校一年大约收集废纸多少千克？（得数保留整数）.
6、明明去水果店买水果，他拿的钱正好可以买6.2千克荔枝。现在荔枝的单价是苹果的3.2倍，明明如果用这些钱都买苹果，他大约可以买多少千克苹果?（得数保留一位小数） 【例2】为了鼓励节约用电，某地电力公司规定了以下的电费计算方法：每月用电不超过150度时，按每度6.0元收费；每月用电超过150度时，超过的部分按每度65 .0元收费。小明家七月份用电216度，他家应付电费多少钱？ 【例3】邮局邮寄信函的收费标准如下表： （1）小亮寄给本埠同学一封135g的信函，应付邮费多少钱？ （2）小琪要给外埠的叔叔寄一封262g的信函，应付邮费多少钱？
1、某地电费收取办法规定如下：每月用电在200千瓦时（含200千瓦时）以内的，每千瓦时电收费0. 55元；每月用电超过200千瓦时的，超过部分每千瓦时电优惠0. 10元。小强家10月份用电情况如图，他家10月份应付电费多少元？ 2、某地每次打固定电话前3分钟内收费22.0元，超过3分钟的部分，每分钟收费11.0元（不足1分钟按1分钟计算）。萌萌一次通话9分49秒，应付多少钱？ 课外奥数拓展 1、为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1. 2元收费，超过15吨的部分按3. 5元收费，欢欢家上月缴水费28. 5元，欢欢家上月用水多少吨？ 0781 1049 10月1日 11月1日 电表读数 电表读数
平均数第二讲 例1小莉读一本小说，第一天读74页，第二天读82页，第三天读71页，第四天读63页，第五天读的页数比这5天中平均每天读的少6页，小莉第五天读多少页？ 举一反三1： 1.一个技术工人带4个普通工人完成了一项工作，每个普通工人各得200元，这位技术工人的收入比他们5人的平均收入还多80元，问这位技术工人得多少元？ 2.小宇与五名同学一起参加数学竞赛，那五名同学的成绩分别为79分，82分，90分，85分，84分，小宇的成绩比6人的平均成绩高5分，求小宇的数学成绩。 例2 一位同学在期中测验中，除了数学外，其他几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分，已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？ 举一反三2： 1.小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把数学的平均成绩提高到86分，问这是他第几次数学测验？ 2.老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵，如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵，求有多少人在做花？ 例3 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均91.5分，语文、英语两科平均84分，政治、英语两科平均86分。英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？
举一反三3： 1.甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？、 2.小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？ 课堂巩固练习 1.两组工人加工零件，第一组有30人，平均每人加工60个零件。第二组有25人，平均每人比两组工人加工的平均数多6个，两组工人平均每人加工多少个零件？ 2.小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分，小明要连续考多少次满分？ 3.五个数排一排，平均数是9.如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？ ·
第27讲最小公倍数（二） 一、专题简析： 最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。 二、精讲精练 例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？ 练习一 1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？ 2、一个数能被 3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？
例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？ 练习二 1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？ 2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？ 例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
练习三 1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。 2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？ 例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？ 练习四 1、插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如 果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
第二讲列方程解应用题 【专题精析】列方程解应用题是运用方程来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的， 运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。 列方程解应用题的一般步骤是： （1）弄清题意，找出未知数，用x表示（直接设），也可以把一种量用x表示，待求出x的数值后再求出未知数（间接设） （2）找出应用题中数量之间的相等关系，列出方程，对于所设的未知数要当作已知数来用，通过已知与未知的有关数组成两个表示同一个数量的式子，构成一个方程 （3）解方程； （4）检验，写出答案。（也可以用算术解法检验） 【我的心得】列方程解应用题通常有两个等量关系，我们可以用第一个等量关系设未知数，用第二个等量关系 列方程。 列方程的方法通常可以这样做： 1、提炼出题中的等式，抄在纸上。 2、将文字语言转化为数学语言。 3、代入数字解方程。 如这道题：修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米？ （1）提炼： 未修长度是已修长度的3倍。（解：设已修长度为x米，则未修长度是3x米。） 未修的长度就是已修的2倍。 （2）转化：未修的长度=已修×2 (小窍门：将文中的关键字如：是、等于、比、相当于等用“=”代替。) （3）带入求值。3x-300=(x+300)×2 基础提炼 例1一种香梨的价格比橘子的2倍还多0.3元，已知4千克与9千克的价格一样多，每千克香梨和橘 子各多少元？ 例2修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条 公路长多少米？ 例37年前爸爸的岁数是小华的3倍，7年后是小华的2倍，小华今年多少岁？例4甲、乙两人原来身上的钱分别是丙身上钱的6倍和5倍，后来甲又收入180元，乙又收入30 元，甲身上的钱就是乙的1.5倍，原来甲、乙、 丙三人钱数之和是多少？ 例5今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个 孙子的年龄和？ 例6被除数和除数的和是80，如果被除数和除数都减去13，那么被除数除以除数的商是5，求原来 的被除数和除数。
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象授课教师 授课时间授课题目 课型使用教具 教学目标年龄问题在应用题中的运用 教学重点和难点年龄问题中的不变量 参考教材 教学流程及授课详案 知识概括： 我们先来看一个笑话： 小华和小明在一起比年龄，小华今年七岁，小明今年九岁。小明神气的对小华说：“我比你大两岁。”小华不服气的说：“大两岁又怎么样，过两年了，我们俩不就一样大了。” 如果你看了一定会抱腹大笑，它的可笑之处在于小华没有弄明白人年龄的变化特点。 你的年龄在一岁岁的增长，你的妈妈的岁数也在增长。不知你发现没有：不管两人的年龄怎么变化，但两人的年龄差是不会变的。 年龄问题与和（差）倍问题、和差问题都有联系，你有兴趣探讨么？ 例1． 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸 爸、妈妈各多少岁？ 分析： 爸爸和妈妈的年龄差始终不变，现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为 和差问题。 解： 今年妈妈的年龄为 （82-6）÷2=38（岁） 今年爸爸的年龄为 38+6=44(岁) 答：今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。 练习1. 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？ 例2． 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的 3倍？ 分析 : 今年妈妈与小红年龄的差是（35-7）=28（岁），这个年龄差是不变的。 在妈妈年龄正好是小红的3倍时，年龄差仍为28岁。问题转化为差倍 问题，利用差倍公式解决问题。 解： 小红的年龄为时间分配及备注
（35-7）÷（3-1）=14 答：小红年龄为14岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍。 练习2 明明今年3岁，妈妈今年27岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？ 例3． 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问：母亲今年多少岁？ 分析: 六年前母子年龄和为（78-6-6）=66（岁），6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。 解： 六年前儿子的年龄为 （78-6-6）÷（5+1）=11（岁） 六年前母亲的年龄为 11×5=55（岁） 今年母亲的年龄为 55+6=61（岁） 答：母亲今年61岁。 练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。 父子两人3年后各是多少岁？ 例4． 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。 问：甲、乙现在各为多少岁？ 分析: “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁，那么就是乙的年龄的4倍，问题转化为差倍问题。 解： 现在乙的年龄为 （6+3）÷（4-1）=3（岁） 现在甲的年龄为 3+6=9（岁） 答：甲、乙现在各为9岁、3岁。 练习4. 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4，甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问：甲、乙现在各为多少岁？ 例5． 小象对大象说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就31岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有1岁。”问：大、小象现在各为多少岁？ 分析: 由小象的话可知（大象的年龄）+（大、小象的年龄差）=31 有大象的话可知（小象的年龄）-（大、小象的年龄差）=1
五年级奥数上册：第二讲质数、合数和分解质因数 五年级奥数上册：第二讲质数、合数和分解质因数 一r基本慨念和知识 L质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数〉. 一个数除了1和它本身，还有别陶约数,这个数叫做台数。 要特别记住’ 1不是质教，也不是台数。 Z质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数.那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数埔质因数相乘的形式春示出耒，叫做分解质因数。 例’把孔分解质因数。 解建30=2X3X5e 其中2、3s 5叫做孔的质因数。 又如12 = 2X2X3二上X3* 2. 3都叫做12的质因数。
二例题 例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数- 解，V210=2X3X5X7 ???可知这三个数是5、&和7。 例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40 二17+23=11 + 29=33。 717X23 = 391> 11X29 = 319>3 X 37= 111. ???所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。 例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么*? 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1?9中有4个质数2、3、§、7）。 如杲这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有$个?这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有J个质数。 例5把5、6、7. 14. 15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解；丁5=5, 7=7, 6=2X3, 14=2*7, 15=3X5,
↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑ 第一讲 整数问题 第1课 数的整除 一、知识要点 1. 整除——因数、倍数 2. 相关基础知识点回顾 （1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。 3. 数整除的性质 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。 例如：如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。 必要条件： （1）a 、b 、c 三个数是整数 （2）b ≠0 （3）a ÷b=c 结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a ，则a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的因数。 记作：b ｜a
例：如果7｜14，14｜28，那么7｜28。 4.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。 （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。 （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。 （4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。 例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因为4｜64， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。 （5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。 例：29375能否被125整除？ 解：29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……) 例：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。 （7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 例：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。
第二讲图形的变换 教学目标： 1、使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 2、进一步认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°。 3、初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。经典例题 例1：画一画，画出下列各图形的对称轴。 例2： （1）指针从“12”绕点O顺时针旋转900到（）。 0（2）指针从“12”绕点O逆时针旋转60到（）。（3）指针从“1”绕点O顺时针旋转（）到“3”。 （4）指针从“6”绕点O顺时针旋转1800到（）。 （5）指针从“3”绕点O顺时针旋转（）到“4”。 例3：你会把下边的三角尺绕A点旋转90°吗？ 例4：画出三角形ABC绕点C顺时针旋转180°后的图形。 例5：画出下面图形的轴对称图形。
例6：画出下面图形的轴对称图形。 例7：一块正方形土地，它的边长是18米，土地中有横、竖各两条路(如图)，路宽2米。问：这块土地可耕种的面积有多少? 例8：图中是一块长方形草地，长16米，宽10米。中间有两条路，一条是长方形路，另一条是平行四边形路。求有草部分（阴影部分）的面积有多大？ 例9：你能把下图分成形状、大小完全相同的4份，而且每份中有一个圆吗？ 练习： 1、在下面图形中，你还能画出其它对称轴吗？如果能，请画出来。 ( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴
( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴。 2、如图 （1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60°后指向 （2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90°后指向 3、画出下面图形的轴对称图形。 4、（1）画出三角形绕“A”点顺时针旋转90°后的图形 （1）（2）（2）画出小旗绕“O”点逆时针旋转90°后的图形。 5、画出长方形向右平移3格后再绕点 “O”顺时针旋转90得到的图形。
专题一认识负数 知识要点 同学们已经认识了自然数，并初步认识了分数和小数，本章节中，要结合熟悉的生活情境，进一步认识负数，一方面拓宽知识面，同时激发你们的学习兴趣；另一方面也为以后进一步理解有理数的意义及有理数的运算打下基础 典例评析 例 1 一次数学测试，杨老师用下列方法统计成绩：凡是得分为100分的记作+10分，得分为87分的记作-3分，得分为93的记作+3分。李明在这次测试中得89分，应记作多少？周方在这次测试中得98分，应记作多少？ 【分析】由于题中将“100分记作+10分，87分记作-3分，93分记作+3分”所以要找出杨老师将多少分记作0分的。100-10=90（分）或87+3=90（分），93-3=90（分），可以看出杨老师是将90分记作0分的。如果高于90分的，高出部分用正数表示，低于90分的，低出部分用复数表示。 例2 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠点，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客人数的变化情况： 停靠站起点站中间 第1站中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点站 上下站人数+21 -3 +8 -4 +2 +4 -7 +1 -9 +6 -7 -12 （1）中间6个站一共有多少人上车？多少人下车？ （2）中间的6个站，哪站没有人上车，哪站没有人下车？ 【分析】此题中将毎站中上车的人数记作正数，下车的人数记作负数，这样的记法可以看出毎站中车上人数的增减变化情况，也可以计算出“一共有多少人上车？多少人下车？哪个站没有人上车？哪个站没有人下车？” 例3 中国最大的咸水湖----青海湖高于海平面3193米。 世界最低最咸的湖----死海低于海平面400米。 想一想青海湖与死海的海拔相差多少米呢？ 【分析】可以先用正、负数表示各自的海拔高度，然后画个数周进行比较。
五年级思维第二讲 基础知识： 1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除. 性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a . 性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a . 性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除. 2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾. 3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除. 4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除； 被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除. 例题： 例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？ 解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0 或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85. 例2、求所有的x ，y 满足使得72∣. 解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意. 例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143 ∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13 ∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元. 例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？ 解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60. 例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除. 解：168=3?7?8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3
专题二二进制问题 知识要点 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。 除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。 任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的 =9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。乘积的和的形式，如9758 （10） 任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与 =1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101 （2） ×20 典例评析 化成二进制 例1 将139 （10） 【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。 解因为 的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139 （10）
五年级奥数 第1讲数字迷（一）第16讲巧算24 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积 第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22 用割补法求面积 第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)
第1讲数字谜（一） 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。 例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。 例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。 例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。 FORTY TEN + TEN SIXTY 例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。 2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替 字母，使竖式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C 3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。 4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。 5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。 6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。 7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。