梁的应力和强度计算

t max [t ]
c max c
( Stresses in Beams)
Example 1: An overhanging beam ABC is loaded and supported as shown in Fig 1(a) ,the sizes of the cross section as shown in Fig 1(b). Determine the allowable load on the beam if [ ]=140MPa and RB F a=50mm. RA 20 2a a A x B 14 Solution: C 30 M max Fig 1 (a) Pa 1(b) [ ] M 1)from Wz + arrive at M max Pa
( Stresses in Beams)
第七章
梁的应力和强度计算
( Stresses in Beams)
引言
m M
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m
FS
( Stresses in Beams)
m

m
M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成剪力
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 压
拉
y
y
中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。
M.y Iz
式中: M Iz y
(Flexure Formula)
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 横截面上的弯矩(bending moment in the beam) 横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the cross section of the beam) 求应力的点到中性轴的距离 (distance from the neutral axis of the beam to the fibers)
( Stresses in wenku.baidu.comeams)
M.y Iz
讨论 应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。 若横截面存在剪力，当l/h≥5，公式仍然适用
应力的分布规律
建立公式
( Stresses in Beams)
2、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
( Stresses in Beams)
dx
d
dx o
o
x o y
z b
图（a）
y
b
b’
o’
z
y
o’
x b’
图（b）
图（c）
b ' b ' y d
这一力系简化，得到三个内力分量
M
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ Mz
z
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN A dA
0
0
(1) (2)
My
y
M y dM y z dA
A A
dFN dA
M z dM Z y dA
A A
M(3)
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形， 提出假设
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
( Stresses in Beams)
纯弯曲梁加载过程 纯弯曲梁加载过程
( Stresses in Beams) 1、实验（ Experiment）
（1）变形现象（Deformation phenomenon ) 纵向线 各纵向线段弯成弧线，
bb dx OO O ' O ' d
y

( y )d d
d

应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
( Stresses in Beams)
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力FS 内力 切应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力(normal stresses )，
弯矩M
正应力
又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
纯弯曲（pure bending)
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN

A
E
y

dA 0
E

A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
Neutral axis
Neutral surface
Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3
( Stresses in Beams)
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律
( Stresses in Beams)
§7–2 梁的正应力强度条件和应用
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
max
M y max Iz
1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
IZ WZ ymax
( Stresses in Beams) 对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的
t c
且梁横截面的 中性轴 (neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的
t max c max
（两者有时并不发生在同一横截面上） 要求分别不超过材料的 许用拉应力(allowable tensile stress) 和 许用压应力 (allowable compressive stress) 。
简支梁 CD 段的特点： 其任一横截面上：
P
P BB
AA C
a
P
D
a
剪力等于零，而弯矩为常量。 +
若梁在某段内各横截面的 P
弯矩为常量 ，剪力为零，
则该段梁的弯曲就称为 +
P. a
纯弯曲(pure bending)。
( Stresses in Beams)
§7–1 梁的正应力 (Normal stresses in beams )
( Stresses in Beams)
推论（Inference）:
横截面的转动将使梁的凹边的纵向 线段缩短，凸边的纵向线段伸长， 由于变形的连续性，中间必有一层 纵向线段 无长度改变。此层称为 中 性层 (Neutral surface)。中性层与横
截面的交线称为 中性轴( neutral
axis).
且靠近顶端的纵向线缩短，
靠近底端的纵向线段伸长 横向线 各横向线仍保持为直线，
θ
相对转过了一个角度,
仍与变形后的纵向弧线垂直
( Stresses in Beams)
（2）提出假设 ( Assumptions）
(a)平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变
形后的梁轴线.
(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.
变形的分布规律

y

应力的分布规律
建立公式
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
E
y
M
?
O
z
E
x

?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
z
Iz
Wz
3 23 1.4 2 3 1.07 cm 4 12 12 M max Wz [ ] Iz 1.07 3
ymax 1 1.07cm
Wz [ ] 1.07 106 140 106 P 3000 N 2 a 5 10
( Stresses in Beams) 例题2：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的 抗拉许用应力为 [t] = 30MPa ,抗压许用应力为[C] =160MPa 。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm, 校核梁的强度。
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
M E Iz
1
( Stresses in Beams)
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设
中性层、中性轴
变形的分布规律

y

y
应力的分布规律
E
1

建立公式
M EI Z
My Iz
中性轴过横截面形心
( Stresses in Beams)
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y


A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)
A
将应力表达式代入(3)式，得
ydA M(3)
A
y

M
E

A
y dA
2
M
E

Iz
yt max
和
yc max
直
M
接代入公式 z
yt max
y
My Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
σ t max
My t max IZ
σ c max
σ c max
My c max IZ
yc max
M
z
yt max
y
σ t max
( Stresses in Beams)
D 3
32
(1 )
4

d D
z y
( Stresses in Beams) 2)对于中性轴不是对称轴的横截面 (The cross sections unsymmetrical about the neutral axis): 应分别以横截面上受拉和 受压部分距中性轴最远的 距离
yc max
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律

y

y
应力的分布规律
E

建立公式
( Stresses in Beams)
4、静力关系 (Static relationship） 横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系
max M WZ
C
ymax
Z
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
Iz W ymax
实心圆截面
d z
4
Iz d 64 d W d 2 d 2 32
3
y
b
h
矩形截面
W
bh 12 bh h 2 6 h 2
Iz
3
2
z y D d
空心圆截面 W
F1=9KN F2=4KN
80
20
A
1m
c
1m
B
1m
z
D
y1
y2
20
120
( Stresses in Beams)
RA F1=9KN RB F2=4KN
80
20
A
1m
c
1m
B
1m
z
D
y1
y2
20
120
解：
R A 2.5KN
RB 10.5KN
( Stresses in Beams)
RA F1=9KN RB F2=4KN