正余弦函数图像的性质
- 格式:doc
- 大小:149.62 KB
- 文档页数:6
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图(描点法):正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,五个关键点是:)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像:把x y sin =,]2,0[π∈x 的图象,沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为π2,就得到R x x y ∈=,sin 的图像,此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知: (1)定义域:R(2)值域:[]1,1- ; 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以1|sin |≤x , 即 1sin 1≤≤-x ,也就是说,正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
(3)奇偶性:奇函数由x x sin )sin(-=-可知:x y sin =为奇函数,正弦曲线关于原点O 对称(4)单调递增区间:z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ;(5)单调递减区间:z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ; (6)对称中心:(0,πk );(7)对称轴:2ππ+=k x(8)最值:当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ;当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
(9)最小正周期:π2=T一般地,对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期,最小正周期是π2注意:1.周期函数定义域M x ∈,则必有M T x ∈+, 且若0>T ,则定义域无上界;0<T 则定义域无下界;2.“每一个值”只要有一个反例,则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的(如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期)周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像:(1)定义域:R (2)值域:[]1,1- (3)奇偶性:偶函数(4)单调递增区间:[]πππk k 2,2-,Z k ∈ (5)单调递减区间:[]Z k k k ∈+,2,2πππ(6)对称中心:(0,2ππ+k )(7)对称轴:πk x =(8)最值:当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ; 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意:图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
(1)定义域、值域、单调性、最值、对称性:
将ϕω+x 看作一个整体,与相应的简单三角函数比较得出; (2)奇偶性:只有当ϕ取特殊值时,这些复合函数才具备奇偶性:
)sin(ϕω+=x A y ,当πϕk =时为奇函数,当2
ππϕ±=k 时为偶函数;
(3)最小正周期:ω
π2=T
3. y =A sin(ωx +φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅; (2)2T πω
=称为周期;
(3)1f
T
=
称为频率;
(4)x ωϕ+称为相位;
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0).余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1).2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y =sin x y =cos x y =tan x图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2+k π,k ∈Z }值域[-1,1][-1,1]R单调性[-π2+2k π,π2+2k π](k ∈Z )上递增; [π2+2k π,3π2+2k π](k ∈Z )上递减 [-π+2k π,2k π](k ∈Z )上递增;[2k π,π+2k π](k ∈Z )上递减(-π2+k π,π2+k π) (k ∈Z )上递增最值x =π2+2k π(k ∈Z )时,y max =1;x =-π2+2k π(k ∈Z )时,y min =-1x =2k π(k ∈Z )时,y max =1;x =π+2k π(k ∈Z )时,y min =-1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π,0)(k ∈Z ) (π2+k π,0) (k ∈Z ) (k π2,0)(k ∈Z ) 对称轴方程x =π2+k π(k ∈Z ) x =k π(k ∈Z )周期2π2ππ※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )=a 是周期函数,它没有最小正周期. ( √ ) (2)y =cos x 在第一、二象限上是减函数. ( × ) (3)y =tan x 在整个定义域上是增函数.( × )(4)y =k sin x +1(x ∈R ),则y max =k +1. ( × )2、函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的图象的一条对称轴是( )A .x =π4B .x =π2C .x =-π4D .x =-π2解析:方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x -π4=k π+π2,k ∈Z ,∴x =k π+3π4,k ∈Z . 取k =-1,则x =-π4.方法二 用验证法.x =π4时,y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-π4=0,不合题意,排除A ; x =π2时,y =sin ⎝⎛⎭⎫π2-π4=22,不合题意,排除B ; x =-π4时,y =sin ⎝⎛⎭⎫-π4-π4=-1,符合题意,C 项正确; x =-π2时,y =sin ⎝⎛⎭⎫-π2-π4=-22,不合题意,故D 项也不正确. 3、若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,则ω等于( )A .23B .32C .2D .3解析:∵f (x )=sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y =sin ωx 是增函数;当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y =sin ωx 是减函数. 由f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增, 在⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减知,π2ω=π3,∴ω=32.例1 求函数y =1+sin ⎝⎛⎭⎫-12x +π4,x ∈[-4π,4π]的单调减区间. 解析:y =1+sin ⎝⎛⎭⎫-12x +π4=-sin ⎝⎛⎭⎫12x -π4+1. 由2k π-π2≤12x -π4≤2k π+π2(k ∈Z ).解得4k π-π2≤x ≤4k π+32π(k ∈Z).令k =0时,-π2 ≤x ≤32π; 令k =1时,72π≤x ≤4π+32π. 令k =-1时,-4π-π2≤x ≤-52π;∵-4π≤x ≤4π,∴函数y =1+sin ⎝⎛⎭⎫-12x +π4的单调减区间为 [-4π,-52π],[-π2,32π],[72π,4π].变式:(1)已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )A .[12,54]B .[12,34]C .(0,12]D .(0,2](2)已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 对任意实数x 有f (x +π4)=f (-x )成立,且f (π8)=1,则实数b 的值为( )A .-1B .3C .-1或3D .-3解析:(1)由π2<x <π得π2ω+π4<ωx +π4<πω+π4,由题意知(π2ω+π4,πω+π4)⊆[π2,3π2],∴⎩⎨⎧π2ω+π4≥π2,πω+π4≤3π2,∴12≤ω≤54,故选A.解析:由f (x +π4)=f (-x )可知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 关于直线x =π8对称,又函数f (x )在对称轴处取得最值,故±2+b =1,∴b =-1或b =3. 故选C. 例2 求函数f (x )=lg sin x +16-x 2的定义域.解析:由题意,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4sin x >0,作出y =sin x 的图象,如图所示.结合图象可得:x ∈[-4,-π)∪(0,π). 例3 求下列函数的周期.(1)y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 (x ∈R); (2)y =cos(1-πx )(x ∈R); (3)y =|sin x | (x ∈R). 解析:(1)方法一 令z =2x +π3,∵x ∈R ,∴z ∈R ,函数f (z )=sin z 的最小正周期是2π,就是说变量z 只要且至少要增加到z +2π,函数f (z )=sin z (z ∈R)的值才能重复取得, 而z +2π=2x +π3+2π=2(x +π)+π3,所以自变量x 只要且至少要增加到x +π,函数值才能重复取得,从而函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 (x ∈R)的周期是π..方法二 y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3(x ∈R)的周期为2π2=π. (2)设f (x )=cos(1-πx ),则f (x )=cos(πx -1).∵cos[(πx -1)+2π]=cos[(πx +2π)-1]=cos[π(x +2)-1]=co s(πx -1). ∴f (x +2)=f (x ),从而函数y =cos(1-πx )(x ∈R)的周期是2. (3)作出y =|sin x |(x ∈R)的图象.由图象可知,y =|sin x |(x ∈R)的周期为π.例4 (1) 求函数y =cos ⎝⎛⎭⎫x +π6,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的值域. (2) 求函数y =sin 2x -sin x +1,x ∈R 的值域.解 (1)∵0≤x ≤π2,∴π6≤x +π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x +π6≤cos π6,∴-12≤y ≤32(2)设t =sin x ,t ∈[-1,1],f (t )=t 2-t +1. ∵f (t )=t 2-t +1=⎝⎛⎭⎫t -122+34. ∵-1≤t ≤1, ∴当t =-1,即sin x =-1时,y max =f (t )max =3; 当t =12,即sin x =12时,y min =f (t )min =34.∴函数y =sin 2x -sin x +1,x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34,3.巩固提高※夯实基础1.下列函数中,周期为π,且在⎣⎡⎦⎤π4,π2上为减函数的是( A )A .y =sin(2x +π2)B .y =cos(2x +π2)C .y =sin(x +π2)D .y =cos(x +π2)2、函数y =2sin(2x +π3)(-π6≤x ≤π6)的值域是________.[0,2]3、求函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π3x +π4的定义域、周期、单调区间和对称中心. 解析:①由π3x +π4≠k π+π2,k ∈Z ,得x ≠3k +34,k ∈Z .∴ 函数的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠3k +34,k ∈Z }.②T =ππ3=3,∴函数的周期为3.③由k π-π2<π3x +π4<k π+π2,k ∈Z . 解得3k -94<x <3k +34,k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k -94,3k +34,k ∈Z . ④由π3x +π4=k π2,k ∈Z . 解得x =3k 2-34,k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2-34,0,k ∈Z . 4. 设|x |≤π4,求函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值.解析:f (x )=cos 2x +sin x =1-sin 2x +sin x =-⎝⎛⎭⎫sin x -122+54. ∵|x |≤π4,∴-22≤sin x ≤22. ∴当sin x =-22时,f (x )min =1-22.5. 已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, ∴-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈[-2a ,a ]. ∴f (x )∈[b,3a +b ], 又∵-5≤f (x )≤1, ∴b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5. (2)由(1)得,f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +7π6-1 =4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, 又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6>12, ∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z , 其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π,k π+π6,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .※能力提高6、将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4,0,则ω的最小值是 ( )A.13B .1C.53D .2解析:根据题意平移后函数的解析式为y =sin ω⎝⎛⎭⎫x -π4, 将⎝⎛⎭⎫3π4,0代入得sin ωπ2=0,则ω=2k ,k ∈Z ,且ω>0,故ω的最小值为2. 7、函数y =|sin x +cos x |-1的定义域是( )A .[k π,k π+π2](k ∈Z )B .[2k π,2k π+π2](k ∈Z )C .[-π2+k π,k π](k ∈Z )D .[-π2+2k π,2k π](k ∈Z )解析:|sin x +cos x |-1≥0⇒(sin x +cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0,∴2k π≤2x ≤2k π+π,k ∈Z ,故原函数的定义域是[k π,k π+π2](k ∈Z ).8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ,其中ϕ为实数,若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立,且)()2(ππf f >,则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 解析:∵|)6(|)(πf x f ≤, ∴)6(πf 为)(x f 的最小值或最大值,∴ 1)62sin()6(±=+⨯=ϕππf , ∴ Z k k ∈+=+,23ππϕπ,∴ Z k k ∈+=,6ππϕ.当6πϕ=时,2167sin )622sin()2(-==+⨯=ππππf ,216sin )62sin()(==+=ππππf . 这与)()2(ππf f >矛盾,舍去。
教师姓名 学生姓名 年 级 高一 上课时间学 科数学课题名称正余弦函数图像及其性质一.知识梳理:1.正余弦函数的图像(1)正弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则有MP ry==αsin ,向线段MP 叫做角α的正弦线. (2)用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象(几何法):(3)用五点法作正弦函数的简图(描点法):正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,五个关键点是:)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π然后将这五点大致连线,画出正弦函数的图像。
(4)正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像:正余弦函数图像及其性质第2页把x y sin =,]2,0[π∈x 的图象,沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为π2,就得到R x x y ∈=,sin 的图像,此曲线叫做正弦曲线。
2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像:3.函数性南 函数 sin y x =cos y x =定义域 R R值域 []1,1-[]1,1-有界性 有界函数sin 1x ≤有界函数cos 1x ≤奇偶性奇函数偶函数对称性对称轴方程:2x k ππ=+对称中心:(),0k π对称轴方程:x k π= 对称中心:,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭周期性周期函数(2)T π= 周期函数(2)T π=单调性单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦单调增区间[]2,2k k πππ-单调减区间32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调减区间[]2,2()k k k Z πππ+∈最值性max min 2,(),122,(),12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-max min 2,(),12,(),1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-二、例题讲解:1. 基础梳理1:图像简单应用例1.画出函数1π3sin()24y x =-在[0,2]π上的图象,并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论 答案:例2.定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩,根据函数的图像与性质填空:(1) 该函数的值域为_______________;(2) 当且仅当________________时,该函数取得最大值; (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数;(4) 当且仅当______________时,()0f x >.答案:(1) 2[1,]2-;(2) 2,4x k k Z ππ=+∈; (3) 2π; (4) 22()2k x k k Z πππ<<+∈ 例3.求下列函数的定义域与值域(1)x y 2sin 21=(2)x y cos 2-= 答案:定义域为R ,值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121-, 定义域为)(,23222z k k x k ∈+≤≤+ππππ,值域为0,2⎡⎤⎣⎦.第4页例4.求下列函数的最大值,以及取得最大值时的x 值 (1) y=sinx+cosx (2)y=asinx+b答案:(1)(分析:这个函数不是sinx 或cosx 型函数,而是asinx+bcosx 型) ∴y=sinx+cosx=2sin(4π+x )≤2,当224πππ+=+k x 时取“=”, 即当x=2kπ4π+时,y max =2 (2)显然|sinx|≤1,∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a| ∴asinx+b≤|a|+b;当a>0时,asinx+b≤a+b 当sinx=1即x=2kπ+2π时取“=” ∴此时,当x=2kπ+2π时,y max =a+b 当a<0时,∴当x=2kπ+23π时,y max =-a+b (以上K ∈Z )2. 基础梳理2:函数性质 例5.判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性,并写出的单调区间.答案:sin()=cos 2y x x π=--,为偶函数,单调递增区间为[]2,2()k k k Z πππ+∈,单调递减区间为[]2,2()k k k Z πππ-∈.例6.设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值,则M m +等于( ) A .32 B .-32C .-34 D .-2 答案:D例7.判断下列函数的奇偶性 (1)1sin cos ()1sin cos x x f x x x+-=++ (2)44()sin cos cos 2f x x x x =-+答案:(1)非奇非偶 (2)既是奇函数又是偶函数例8.(1)函数3sin(2)3y x π=+的对称轴方程是(2)若函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于3x π=对称,则a =答案:(1)1212x k ππ=+, (2)33a =-例9.设()sin (0)53kf x x k π⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭(1)求当3k =时,函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.(2)求最小正整数k ,使得当自变量在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数至少取得一次最大值M 和最小值m .答案:(1)55,318k x k Z ππ=+∈,55(,0),39k k Z ππ-∈ (2)32k =3. 难点分析1:函数复合与最值例10.求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合,并说出最大值是什么. (1) y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xx cos 3cos 3+- 答案:(1) x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 (2)当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 (3) 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2例11.求下列函数的值域(1)sin 3cos ,,62y x x x ππ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭(2)2cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦(3)1cos 3cos x y x -=+答案:(1)[)2,1y ∈-(2)125,24y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦(3)(,3][1,)-∞-∞U第6页例12.已知函数()23sin sin cos f x x x x =+⋅,,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最大值和最小值. 答案: 31π3()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+(). 因为π[,π]2x ∈,所以π2π5π2[]333x -∈,. 当π2π233x -=,即π2x =时,()f x 的最大值为3; 当π3π232x -=,即11π12x =时,()f x 的最小值为312-+。
正余弦函数图像的性质
一. 知识点
(1)三角函数的图像变换:
()1
sin sin x x y x y x ϕω
ϕ=−−−−−−−−→=+−−−−−−−→
横坐标变为原来的倍
沿轴向左平移个单位长度()()sin sin A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍
()sin y k y A x k ωϕ−−−−−−−−→=++沿轴向上平移个单位长度
例:函数sin 3sin 23y x y x π⎛
⎫=→=- ⎪⎝
⎭:
1
3
2sin sin 3x y x y x ππ⎛
⎫=−−−−−−−−→=-−−−−−−−→
⎪⎝
⎭沿轴向右平移个单位长度
横坐标缩短为原来的倍sin 23sin 233y x y x ππ⎛⎫⎛
⎫=-−−−−−−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭纵坐标伸长为原来的3倍
(2)正弦函数的性质与图像:见完全解读P88
二. 历年真题
(2005)函数y=sin (x+
2π)在区间-,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是【 B 】 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 减函数 D. 增函数
(2008)函数y=f(x)的图像由y=sinx 的图像向右平移4
π
单位得到,则f(x)=【 B 】 A. sin (x+
4π) B. sin(x -4
π) C.4π+sinx D. -4π
+sinx
(2009)函数y=cos (x -4
π
) 【 B 】 A. 在(-
4π,34π)上是增函数 B. 在(-34π,4π)上是增函数 C. 在(-4π,34π)上是减函数 D. 在(-34π,4
π
)上是减函数
(2014)若x ),(ππ-∈且cosx ﹥sinx ,则【 B 】
A. )4,
0(π
∈x B. )4,43(ππ-
∈x
C. )4,43(ππ-∈x )4,0(π⋃
D. )2,43(ππ--∈x )4
,0(π
⋃
(2007)已知0>ω,)2
,2(π
πϕ-∈. 如果函数)sin(ϕω+=x y 的最小正周期是π,
且其图象关于直线12
π
=
x 对称,则取到函数最小值的自变量是【 A 】
A. Z k k x ∈+-
=,125ππ B. Z k k x ∈+-=,65
ππ C. Z k k x ∈+=,61ππ D. Z k k x ∈+=,12
1
ππ
(2009)函数2=2sin -3sin +1y x x 的最小值是 【 A 】
A. -18
B.- 1
4
C.0
D.1
(2015)函数14cos 34sin 3+-=x x y 的最小正周期和最小值分别是【 D 】
A. π和3-1
B. π和32-1
C.
2π和3-1 D. 2
π
和32-1
(2010)(本题满分18分) 已知函数,f (x )=sin 2x+2
3sinxcosxcos 2x 。
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期和最小值;
(Ⅱ)y= f (x )图像的对称轴方程为x=a ,求a 所有可能的值; (Ⅲ)若f (x 0)= --2,x 0∈(--
125π,12
7
π),求x 0的值。
(2013)(本题满分18分)已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64cos 43sin ππx x y 。
① 求该函数的最小正周期。
② 当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈8,16ππx 时,求该函数的最大值。
三. 练习
1.函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是( C )
A .π4
B .π2
C .π
D .
2
π 2.函数)62sin(5π
+=x y 图象的一条对称轴方程是( C )
A .12
x π
=-
B .0x =
C .6
x π
=
D .3
x π
=
3.函数y = sin(12x +4π
)在[-2π,2π]内的单调递增区间是__________.
4.已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +32
5
(x ∈R ) (Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)求f (x )单调区间;
(Ⅲ)求f (x )图象的对称轴,对称中心.
5.已知函数()4cos sin()16f x x x π
=+-.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
6.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭(0ω>)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,上的取值范围.
7.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ
=-+-+
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域.
8.已知函数2()cos(2)cos23
f x x x π
=-
-(x ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,若3
(),1,2
2
B f b =-
= 3,c =且,a b >试判断∆ABC 的形状,并说明理由.
9.已知函数()Asin 6f x wx π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,()0,0A w >>,(,)x ∈-∞+∞,的最小正周期为2,
且()0f =,则函数()3f =( )
A .
B C .-2
D .2。