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第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
正余弦函数图像的性质
一． 知识点
（1）三角函数的图像变换：
()1
sin sin x x y x y x ϕω
ϕ=−−−−−−−−→=+−−−−−−−→
横坐标变为原来的倍
沿轴向左平移个单位长度()()sin sin A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍
()sin y k y A x k ωϕ−−−−−−−−→=++沿轴向上平移个单位长度
例：函数sin 3sin 23y x y x π⎛
⎫=→=- ⎪⎝
⎭：
1
3
2sin sin 3x y x y x ππ⎛
⎫=−−−−−−−−→=-−−−−−−−→
⎪⎝
⎭沿轴向右平移个单位长度
横坐标缩短为原来的倍sin 23sin 233y x y x ππ⎛⎫⎛
⎫=-−−−−−−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭纵坐标伸长为原来的3倍
（2）正弦函数的性质与图像：见完全解读P88
二． 历年真题
（2005）函数y=sin （x+
2π）在区间-,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是【 B 】 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 减函数 D. 增函数
（2008）函数y=f(x)的图像由y=sinx 的图像向右平移4
π
单位得到，则f(x)=【 B 】 A. sin （x+
4π） B. sin(x -4
π) C.4π+sinx D. -4π
+sinx
（2009）函数y=cos (x -4
π
) 【 B 】 A. 在（-
4π，34π）上是增函数 B. 在（-34π，4π）上是增函数 C. 在（-4π，34π）上是减函数 D. 在（-34π，4
π
）上是减函数
（2014）若x ),(ππ-∈且cosx ﹥sinx ，则【 B 】
A. )4,
0(π
∈x B. )4,43(ππ-
∈x
C. )4,43(ππ-∈x )4,0(π⋃
D. )2,43(ππ--∈x )4
,0(π
⋃
（2007）已知0>ω，)2
,2(π
πϕ-∈. 如果函数)sin(ϕω+=x y 的最小正周期是π，
且其图象关于直线12
π
=
x 对称，则取到函数最小值的自变量是【 A 】
A. Z k k x ∈+-
=,125ππ B. Z k k x ∈+-=,65
ππ C. Z k k x ∈+=,61ππ D. Z k k x ∈+=,12
1
ππ
（2009）函数2=2sin -3sin +1y x x 的最小值是 【 A 】
A. -18
B.- 1
4
C.0
D.1
（2015）函数14cos 34sin 3+-=x x y 的最小正周期和最小值分别是【 D 】
A. π和3-1
B. π和32-1
C.
2π和3-1 D. 2
π
和32-1
（2010）（本题满分18分） 已知函数，f （x ）=sin 2x+2
3sinxcosxcos 2x 。
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）y= f （x ）图像的对称轴方程为x=a ，求a 所有可能的值； （Ⅲ）若f （x 0）= --2，x 0∈（--
125π，12
7
π），求x 0的值。
（2013）(本题满分18分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64cos 43sin ππx x y 。
① 求该函数的最小正周期。
② 当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈8,16ππx 时，求该函数的最大值。
三． 练习
1.函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是（ C ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π 2.函数)62sin(5π
+=x y 图象的一条对称轴方程是( C )
A ．12
x π
=-
B ．0x =
C ．6
x π
=
D ．3
x π
=
3.函数y = sin(12x +4π
)在[-2π，2π]内的单调递增区间是__________.
4.已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +32
5
（x ∈R ） (Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)求f (x )单调区间；
(Ⅲ)求f (x )图象的对称轴，对称中心.
5.已知函数()4cos sin()16f x x x π
=+-.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
6.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围.
7.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ
=-+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域.
8.已知函数2()cos(2)cos23
f x x x π
=-
-(x ∈R )． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若3
(),1,2
2
B f b =-
= 3,c =且,a b >试判断∆ABC 的形状，并说明理由．
9.已知函数()Asin 6f x wx π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,()0,0A w >>，(,)x ∈-∞+∞,的最小正周期为2,
且()0f =,则函数()3f =（ ）
A ．
B C ．-2
D ．2。
