线性相关和线性无关的结论
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线性相关和线性无关的
结论
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§性质定理总结:
一、线性相关的判别:
1、m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 ,使得
1122m m k k k .ααα++=0
2、1α线性相关⇔ 1α=0.
3、12,αα线性相关⇔ 1α与2α的对应分量成比例.
4、m ααα ,,21线性相关⇔其中至少有一个向量能用其余向量线性表示.
5、n 个n 维向量线性相关⇔它们构成的行列式等于零.
6、m ααα ,,21线性相关 ⇔m ααα ,,21的秩小于m .
7、对调坐标不改变向量组的线性相关性.
8、部分相关⇒整体相关.
9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关.
二、线性无关的判别:
1、m ααα ,,21线性无关⇔如果1122,m m k k k ααα++=0则有
.021====m k k k 2、整体无关⇒部分无关.
3、无关则加长无关
三、线性相关的性质:
m ααα ,,21线性无关,12m ,,,αααβ线性相关⇒β可由m ααα ,,21线性表 示,且表示法唯一.
四、线性无关的性质:
1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,且向量组Ⅰ线性无关,则Ⅰ的元素个数
≤Ⅱ的元素个数.
2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质:
1、矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩.
A的不等于零的子式对应于A的行(列)向量组的线性无关组;
A的行(列)向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式.
2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩.
3、等价向量组的秩相同.
六、矩阵的初等行(列)变换不改变列(行)向量组的线性关系.