偏导数及高阶偏导数
第九章习题二偏导数及高阶偏导数班级学号姓名
习题二偏导数及高阶偏导数
一、是非题
解:1.(?)由二元函数偏导数的定义.
,zz,x，siny2.(×)，则. ,1,x
3.(?).
(0,0)4.(?)由定义，函数在点的两个偏导数为
fxf(0，,,0),(0,0)f,(0,0),lim,0x,x,0x,
fyf(0,0，,),(0,0)f(0,0),lim,0, y,y,0y,
xy(0,0),但是不存在，所以函数在点不连续.limf(x,y)lim22x,x,00，xyy,y,00
二、填空题
fx，,xy,fx,,xy,z(,)(,),,,解:1. 原式. lim22,x,0,x,x2
,z,z2,2y2. ，则，. ,1z,x，y,y,x
(x,y)3. 两个二阶混合偏导数在点连续.
,z,z2,9y三、解:1. , . ,4x,y,x
,z,z223,6xy2. , . ,4xy,y,x
,z1x,z,0，x,3. , ， ,2x，lny,yyy,x
89
第九章习题二偏导数及高阶偏导数班级学号姓名
222,z,zx,z1, ,2，，. ,,222,y,xy,x,yy
,f,fxy,f,xarctanz4. ，，,. ,yarctanz2,y,z1，z,x
,z11,z,四、证:，, ,,y,x2x(x，y)2y(x，y),z,zxyx，y，= ,x,y2x(x，y)2y(x，y)
yx，yx1，==，证毕.=22(x，y)2(x，y)2(x，y)
90
