第一章勾股定理整理与复习

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

1 / 10第一章勾股定理复习专题一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；如果直角三角形两直角边分2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数 ， ， 4．直角三角形斜边上的高为------------------。

二、典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt △ABC ，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c 2。

⑵已知a=1,c=2, 求b 2。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。

例题2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

练习：1、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

例题3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC 。

例题4、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？DBA2 / 10练习。

如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．(1)求此时AD 的长． (2)求DE 的长。

2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4 CD ．5例题5、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。

练习：1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 2．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．7.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．AC DBll 2 l 3ACBABCFEDCBA专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

第一章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理的内容及由来内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见证明方法如下：cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：这1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证基本图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA二 典型例题精解题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２. ⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =。

第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2=902+1202=22500，所以AB=150（mm ）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==Q ，，32212290A A E A A E ∠=∠=o ， 322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E ===，4532A E A E ===，44332A C A C ==Q ，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A5A5E2E1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=o． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=o．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。

勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 图1 A100644.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。

八年级上册数学复习提纲整理八年级上册数学复习提纲第一章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即。

2.勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。

3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。

满足的三个正整数称为勾股数。

第二章实数1.平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果，那么是的平方根，记作：;其中叫做的算术平方根。

(2)性质：①当≥0时，≥0;当0时，无意义;②=;③。

2.立方根的概念及其性质：(1)概念：若，那么是的立方根，记作：;(2)性质：①;②;③=3.实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称;(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4.与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5.算术平方根的运算律：(≥0，≥0);(≥0，0)。

第三章图形的平移与旋转1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过平移，对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等，对应角相等。

2.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度;任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;对应点到旋转中心的距离相等。

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定是以及它的应用．其知识结构如下：在学习勾股定理时应注重知识的形成过程，即勾股定理的探索过程，有意识地培养自己探索新知识的能力．在运用勾股定理时一定要有直角三角形这个前提条件，因此，通过有关具体问题时，有时需添加适当的辅助线以构造直角三角形来帮助解题．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形．勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，这一点同学们也应牢牢掌握．典例精讲例1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．方法指导：可设CD 长为xcm ，再寻找等量关系利用方程思想来解，而在直角三角形中，等量关系往往是勾股定理表达式222c b a =+．解：设CD=xcm ，则BD=BC —CD=（8—x ）cm ． 由题知△ACD 与△AED 关于AD 对称，∴AE=AC=6cm ，DE=CD=xcm ，∠AED=∠C=90°．在Rr △ACB 中，由勾股定理得：cm BCACAB 10862222=+=+=，∴BE=AB —AE=10—6=4cm ． 在Rt △BED 中，由勾股定理得：222BE DEBD +=．∴2224)8(+=-xx ，解得x=3cm ．方法总结：折叠问题应把握折叠前后两部分图形关于折痕对称，从而可以利用对称的有关性质来帮助解题目．例2 已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．方法指导：可设BD 长为xcm ，然后寻找含x 的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．解：设BD 长为xcm ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， ∵AB=AC=10，∴△ABC 为等腰三角形， ∴cmx BD BC DC cm x BD BE DE cm BC CE BE )16(,)8(,821-=-=-=-====，在△AEC 中，由勾股定理得：cm CEACAE 68102222=-=-=．在Rt △AED 中，22222)8(6x DE AE AD -+=+=， 在Rt △DAC 中，2222210)16(--=-=x ACDCAD ，∴222210)16()8(6--=-+x x ．解得cmx 27=．方法总结：勾股定理通常与等腰三角形的性质结合起来使用．举一反三 如图：A 、B 两点与建筑物底部D 在一直线上，从建筑物顶部C 点测得A 、B 两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20cm ，求建筑物CD 的高．解：m CD 310=例3 甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C 、B 两船相距40海里，问乙船的速度是每小进多少海里？方法指导：可根据题意画出图形，易知△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出AB 距离，从而求出乙船速度．解：由题知△ABC 是直角三角形且∠BAC 为直角．∴24212=⨯=AC ，BC=40． 由勾股定理得3224402222=-=-=AC BCAB （海里）．∴乙船速度为：16232=（海里/时）．方法总结：凡是实际问题，应根据题意构造直角三角形来求解．举一反三 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定，小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h ，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与速速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？解：因为小汽车的速度为：hkm h km s m /70/72/20240>==，因此小汽车超速了．例4 如图，海中有一小岛A ，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45°的B 处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C 处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由．方法指导：要想知道有无触礁危险只需算出点A 到BC 的距离，再比较即知．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． 由题知：∠BAD=45°，∠CAD=30°． 设AD=x （海里），则BD=x （海里），CD=（x —20）（海里）， 我们知道有一内角为30°的直角三角形三边比值为2:3:1．∴13=CDAD，即1320=-x x．解得1032.4713320>≈-=x ． 故无触礁危险．方法总结：此题若直接用勾股定理也可得关于x 的方程，但是是一元二次的，目前无法解出来，故应熟记特殊直角三角形的三边比值，如等腰直角三角形三边比值为2:1:1．举一反三 如图，点A 是一个半径为300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000m 的笔直公路将两村连通．经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．解：不会穿过公园．例5 一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？方法指导：梯子靠在墙上即构成直角三角形，可利用勾股定理来求解．解：（1）如图，在Rt △POQ 中，由勾股定理得：247252222=-=-=OQPQPO ．即梯子的顶端距离地面24m ；（2）由题知梯子底端移动的距离为OB ， 设QB=x ，则OA=OP —AP=24—4=20m ， 梯子下滑过程中长度不变即AB=QP=25m ， 在Rr △AOB 中，由勾股定理得： m OAABOB 1520252222=-=-=．∴QB=OB —OQ=15—7=8m ． 即梯子底端移动了8m ．方法总结：这是一类“梯子下滑问题”，解此类题应把握两点：梯子靠在墙上即构成直角三角形；梯子滑动过程中长度不变．举一反三 如图，一个梯子AB 长2．5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1．5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0．5m ，求梯子顶端A 下落了多少m ？解：梯子顶端A 下落了0．5m ． 例6 若△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足c b a c b a 108650222++=+++，那么△ABC 是何种形状？解：由c b a c b a 108650222++=+++得0)2510()168()96(222=+-++-++-c cb ba a，即0)5()4()3(222=-+-+-c b a ， ∴a=3，b=4，c=5．∵22225c b a ==+，由勾股定理逆定理知△ABC 是直角三角形．方法总结：要判断三角形形状，应寻找三边关系或三角之间的关系再作出判断． 举一反三 若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足0222=---++ca bc ab c b a ．探索△ABC 的形状，并说明理由．解：等边三角形． 例7 如图，CD 是△ABC 的AB 边上的高，且有DB AD CD ⋅=2．求证：△ABC 是直角三角形．方法指导：先依题意画图，再利用勾股定理的逆定理来证． 解：在Rt △ACD 中，由勾股定理得： DB AD ADACCD⋅=-=222．∴AB AD AC⋅=2，同理，AB BD BC⋅=2，222)(AB AB BD AD AB BD AB AD BCAC=⋅+=⋅+⋅=+．由勾股定理逆定理知：△ABC 是直角三角形．方法总结：证明直角三角形或两直线的垂直关系通常用勾股定理逆定理来解决． 举一反三 如图，已知在△ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，22BDAB -与22DC AC-有怎样的关系？试证明你的结论．解：相等（提示：可证明22222BCCDBDACAB =-=-，再作移项变形．）综合练习（时间90分钟，满分120分） 一、填空题（3分×10=30分）1．在△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边． （1）c=25，b=24，那么a=_________． （2）a=30，b=16，那么c=_________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边． （1）3,222==ba，那么当c=___________时，∠B=90°．（2）15,622==c a ，那么当b=____________时，∠C=90°．3．在△ABC 中，∠C=90°，AB=40，AC=24．则斜边AB 上的高是__________． 4．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 满足2))((b c a c a =-+，那么△ABC 是以____________为斜边的直角三角形． 5．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出： （1）一个面积为2的直角三角形． （2）一个面积为2的正方形．6．如图，△ABC 中，BC=12，AB=10，△ABC 的面积是48．那么BD=__________．7．一个三角形的一个外角等于和它相邻的内角，如果此三角形的两条边长分别是5，2，那么以第三条边为半径的圆的面积是___________（保留π）．8．边长为2的正三角形的面积为__________，边长为a 的正三角形面积为___________． 9．如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是_________． 10．为得到湖两岸A 点和B 点间的距离，一个观测者在C 点设桩，使∠ABC 为直角（如图），并测得AC 长20m 、BC 长16m ，A ，B 两点间的距离是_________．二、选择题（7分×3=21分） 11．有下列命题：（1）如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么4a ，4b ，4c 仍是勾股数； （2）如果直角三角形的两边长是3，4，那么斜边必是5；（3）如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形； （4）一个等腰直角三角形的三边长为a ，b ，c （a>b>c ），那么1:1:2::222=c b a ．其中正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4）12．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AB=13，BD=5，则△ABC 的面积是（ ） A ．65 B ．120 C ．60 D ．3613．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，如果△ABC 的面积是8，那么腰长是（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．1614．如图，B 在A 的北偏西α方向的6m 处，C 在A 的北偏东β方向的8m 处，并且︒=β+α90，那么B 、C 两点相距（ ）A ．6mB ．8mC ．10mD ．12m15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上的一点，且有DA=DB=5，又△DAB 的面积是10，那么DC 的长是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．4．516．在△ABC 中，AB=AC ，如果AB=17，BC=16，则BC 边上的中线长是（ ） A ．8 B ．15 C ．10 D ．617．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°．以AC 为直径的圆恰好过点B ．AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）A ．24100-πB ．48100-πC ．2425-πD ．4825-π三、阅读理解题（5分）18．阅读下列解题过程，并回答问题．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状． 解：∵442222b a c b c a -=-， ① ∴))(()(2222222b ab ab ac -+=-． ②∴222b ac +=， ③∴△ABC 是直角三角形．（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出代号___________． （2）错误的原因为__________．（3）本题正确结论为____________．四、解答题（64分） 19．（8分）下面同学对各题的解答是否正确？为什么？ （1）在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，求c ；（2）已知直角三角形两条直角边为40和9，求第三边的长；（3）已知△ABC 中，AB=10，AC=17，BC 边上的高AD=8，求BC 的长． 解：（1）由勾股定理得： 222c ba =+，∴5,2543222==+=c c ． （2）由勾股定理得：222c ba =+，∴1681940222=+=c ， ∴c=41，答：第三边的长为41． （3）根据勾股定理： 6481022222=-=-=AD AB DB ，∴DB=8； 22581722222=-=-=ADACDC，∴DC=15．故BC=15+8=24． 20．（8分）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边为多少？21．（8分）给出一组式子：222222222222261024,17815,1068,543=+=+=+=+．（1）你能发现关于上式中的一些规律吗？（2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子． （3）请你证明你所发现的规律． 22．（8分）在△ABC 中，已知a=15，b=17，c=8，求△ABC 的面积． 23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，DE ⊥BC ，E 为垂足，已知AC=6，AB=10．求（1）CD 的长；（2）DE 的长．24．（8分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AE 为BC 边上的中线，已知AB=5，BC=12，△ABC 的面积是24．求（1）AD 的长；（2）判断△ABE 的形状，并说明理由．25．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高．试说明22222AB CDBDAD=++．26．（8分）如图，在△ABC 中，AM 是BC 边的中线，AE 为BC 边上的高．试判断22ACAB +与22BMAM+的关系，并说明理由．参考答案1．（1）7 （2）34 2．（1）1 （2）3 3．19．2 4．a 5．略 6．6 先由面积公式4821=⋅=∆AD BC S ABC ，求出AD=8． 7．π21或π29 先说明此三角形为直角三角形，但因为谁是斜边没有确定，故有两种情况．8．243;3a9．12cm 10．12cm 11．C 12．C 13．A821=⨯⨯=∆BC AC S ABC ，则4,1622====BC AC BCAC． 14．C ︒=β+α90，得∠BAC=90°，由勾股定理可求得BC=10． 15．B ∵△ADB 的AD 边上的高为BC ，∴BCAD S ADB ⋅=∆21．即BC⨯⨯=52110，∴BC=4．在Rt △BCD 中求得CD=3． 16．B 17．C 18．（1）③ （2）22ba -可能为0． （3）△ABC 为直角三角形或等腰三角形 19．几个题的解法均有问题．（1）错误的原因是没有弄清哪个角是直角，盲目地运用勾股定理，当∠B=90°，应该有222b ca =+． （2）没有确定所求得的边是直角边，还是斜边．（3）考虑不完整，忽视了高AD 在△ABC外部的情况． 20．3或4121．（1）22222]1)1[()]1(2[]1)1[(++=++-+n n n （2）222371235=+ （3）按完全平方公式展形，进行证明即可． 22．∵22217815=+，∴222c a b +=，∴△ABC 为直角三角形，∴608121=⨯⨯=∆ABC S ． 23．（1）4．8．先求出BC=8．则由面积公式可求出CD ． （2）3．84 在△ACD 中求得AD=3．6，所以BD=6．4，在△BCD 中运用面积公式求DE ，即DBCD BC DE ⨯⨯=⨯⨯2121．则484.68.4=⨯=DE ． 24．（1）4 由面积公式2421=⨯⨯AD BC ，得4122124=⨯=AD ． （2）等腰三角形．在Rt △ABD 中，AB=5，AD=4，则BD=3，因为E 为BC 的中点，∴BE=6，DE=3，AE=5=AB ．△ABE 为等腰三角形．25．左边2222222222)()(BCAC CDBDCD ADCDCDBDAD+=+++=+++===2AB右边26．)(22222BMAMAC AB+=+．222222222)()(2MC EM EM BM AEECAEBEAEAC AB++-+=+++=+22222222MCMC EM EMEMEM BM BM AE+⋅+++⋅-+=．∵MC BM =，∴2222222222222)(2222BMAMBMEMAEBM EMAEAC AB+=++=++=+)(222BMAM+=．期中测试题（时间90分钟，满分120分） 一、选择题（3分×10=30分）1．已知xy=1，则)1)(1(y y x x +-的值为（ ） A ．22x B ．22y C ．22x y - D ．22y x -2．有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则代数式b a ba +-的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不能确定3．若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为（ ） A ．3 B ．3或—3 C ．—3 D ．04．化简ab a ba+-222的结果是（ ）A ．a ba 2- B ．aba - C ．ab a + D ．b a ba +-5．若x<2，则|2|2--x x 的值为（ ） A ．—1 B ．0 C ．1 D ．26．xy yx1022+中，x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．保持不变 D ．缩小5倍 7．如果反比例函数的的图象经过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ） A ．)23,2(- B ．)32,9( C ．)32,3(- D ．)23,6( 8．一个矩形的面积是6，则这个矩形的一组邻边长x 与y 的函数关系图象大致是（ ）9．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 可能的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．一等腰直角三角形的周长为2P ，其面积为（ ） A ．P )222(+ B ．P )22(-C ．2)223(P - D ．2)221(P -二、填空题（3分×10=30分）11．在分式11||+-x x 中，x=______________时，分式无意义，当x=____________时，分式的值为零．12．当4,21-==y x 时，________)(2=-÷-xy y x x xy ．13．若去分母解方程x x x--=-3323，出现增根，则增根为_____________．14．在分式123-x 中，当x=_____________时，分式的值为1；当x 的值____________时，分式值为正数．15．已知32572=+-y x x y ，且0≠y ，则________=y x．16．反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点P ，如图所示．根据图象可知，反比例函数的解析式为____________．17．某蓄电池的电压为定值，如图所示的是该蓄电池电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系图象，则其函数解析式是______________．18．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例关系，已知400度近视眼镜片的焦距为0．25m ，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为___________．19．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，321,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，225,8131==S S ，则___________2=S ．20．如图，为了求出湖两岸A ，B 两点之间的距离，观测者从观测点A ，B 分别测得∠BAC=90°，∠ABC=30°，又测得BC=160m ，则A ，B 两点之间的距离为__________m （结果保留根号）．三、解答题（60分）21．先化简，再求值．（5分×2=10分）（1）)2122(24--+÷--x x x x，其中43-=x ．（2）11123213222+++--+÷-+x x x x x x x ，其中132-=x ．22．解分式方程．（5分×2=10分）（1）1613122-=-++x x x （2）416312546---=-x x x ．23．（8分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，6=+BC AC ，AB=2，求这个三角形的面积． 24．（8分）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？25．（8分）如图，已知Rt △ABC 的顶点A 是一次函数y=x+m 与反比例函数x m y =的图象在第一象限内的交点，且3=∆AOB S ．该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．26．列方程解应用题．（8分×2=16分）（1）某厂原计划在规定期限内生产通信设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术，每天生产的台数比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通信设备多少台．（2）为了方便广大游客到昆明参加“世博会”，铁道部门临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通列车平均速度的1．5倍．直达快车比普通列车晚出发2h ，比普通列车是4h 到达昆明．求两车的平均速度．参考答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B10．C 11．—1；1 12．1 13．x=3 14．2；大于2115．174-16．x y 2=17．R I 36=18．x y 100=19．144 20．380 21．（1）原式3341-=+-=x （2）原式2312=+=x22．（1）x=1为增根，原方程无解 （2）x=2． 23．将6=+BC AC 两边平方，得22)6()(=+BC AC ，即6222=⋅++BC AC BCAC．∴4222==+ABBCAC．∴4+2AC ·BC=6．∴AC ·BC=1．∴2121=⨯⨯=∆BC AC S ABC ． 24．设AE=x km ，由勾股定理，得2222)25(1015x x-+=+，解得x=10． 25．设B （a ，0），则),(a m a A ，其中a>0，m>0．在Rt △ABO 中，aOB am AB ==,．则321=⨯⨯=∆am a S ABO ．∴m=6．所以一次函数的解析式为y=x+6．反比例函数的解析式为x y 6=． 26．（1）设原计划每天生产通信设备x 台，那么改进操作技术后每天生产1．5x 台，依题意，得25.16060=-xx，解得x=10．经检验，x=10是原方程的解．当x=10时，1．5x=15． （2）设普通列车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1．5x km/h ，依题意，得x xx 5.18286828-，解得x=46．经检验，x=46是原方程的解．∴x=46，1．5x=69．。

《勾股定理》专题复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2, b2= c2—a2 .2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方—最小边的平方=中间边的平方。

③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角。

④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2=c2的三个正整数，称为勾股数.注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.常见勾股数有：（3,4，5）（5，12,13）(6,8，10)（7，24，25）（8，15，17）(9，12,15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短.二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:（1）阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、四边形ABCD 中，∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

考点二:在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 ．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 . 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（)A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5,b=12，则c=___________；②若a=15，c=25,则b=___________;③若c=61，b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

《勾股定理》全章复习与巩固 要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．222BD AB BC =+类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定是以及它的应用．其知识结构如下：在学习勾股定理时应注重知识的形成过程，即勾股定理的探索过程，有意识地培养自己探索新知识的能力．在运用勾股定理时一定要有直角三角形这个前提条件，因此，通过有关具体问题时，有时需添加适当的辅助线以构造直角三角形来帮助解题．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形．勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，这一点同学们也应牢牢掌握．典例精讲例1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．方法指导：可设CD 长为xcm ，再寻找等量关系利用方程思想来解，而在直角三角形中，等量关系往往是勾股定理表达式222c b a =+．解：设CD=xcm ，则BD=BC —CD=（8—x ）cm ． 由题知△ACD 与△AED 关于AD 对称，∴AE=AC=6cm ，DE=CD=xcm ，∠AED=∠C=90°．在Rr △ACB 中，由勾股定理得：cm BC AC AB 10862222=+=+=，∴BE=AB —AE=10—6=4cm ．在Rt △BED 中，由勾股定理得：222BE DE BD +=．∴2224)8(+=-x x ，解得x=3cm ．方法总结：折叠问题应把握折叠前后两部分图形关于折痕对称，从而可以利用对称的有关性质来帮助解题目．例2 已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．方法指导：可设BD 长为xcm ，然后寻找含x 的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．解：设BD 长为xcm ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， ∵AB=AC=10，∴△ABC 为等腰三角形， ∴cm x BD BC DC cm x BD BE DE cm BC CE BE )16(,)8(,821-=-=-=-====，在△AEC 中，由勾股定理得：cm CE AC AE 68102222=-=-=．在Rt △AED 中，22222)8(6x DE AE AD -+=+=， 在Rt △DAC 中，2222210)16(--=-=x AC DC AD ，∴222210)16()8(6--=-+x x ．解得cm x 27=．方法总结：勾股定理通常与等腰三角形的性质结合起来使用．举一反三 如图：A 、B 两点与建筑物底部D 在一直线上，从建筑物顶部C 点测得A 、B 两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20cm ，求建筑物CD 的高．解：m CD 310=例3 甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C 、B 两船相距40海里，问乙船的速度是每小进多少海里？方法指导：可根据题意画出图形，易知△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出AB 距离，从而求出乙船速度．解：由题知△ABC 是直角三角形且∠BAC 为直角．∴24212=⨯=AC ，BC=40． 由勾股定理得3224402222=-=-=AC BC AB （海里）．∴乙船速度为：16232=（海里/时）．方法总结：凡是实际问题，应根据题意构造直角三角形来求解．举一反三 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定，小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h ，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与速速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？解：因为小汽车的速度为：h km h km s m /70/72/20240>==，因此小汽车超速了．例4 如图，海中有一小岛A ，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45°的B 处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C 处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由．方法指导：要想知道有无触礁危险只需算出点A 到BC 的距离，再比较即知．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． 由题知：∠BAD=45°，∠CAD=30°． 设AD=x （海里），则BD=x （海里），CD=（x —20）（海里）， 我们知道有一内角为30°的直角三角形三边比值为2:3:1．∴13=CDAD ，即1320=-x x ． 解得1032.4713320>≈-=x ．故无触礁危险．方法总结：此题若直接用勾股定理也可得关于x 的方程，但是是一元二次的，目前无法解出来，故应熟记特殊直角三角形的三边比值，如等腰直角三角形三边比值为2:1:1．举一反三 如图，点A 是一个半径为300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000m 的笔直公路将两村连通．经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．解：不会穿过公园．例5 一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？方法指导：梯子靠在墙上即构成直角三角形，可利用勾股定理来求解．解：（1）如图，在Rt △POQ 中，由勾股定理得：247252222=-=-=OQ PQ PO ．即梯子的顶端距离地面24m ；（2）由题知梯子底端移动的距离为OB ， 设QB=x ，则OA=OP —AP=24—4=20m ， 梯子下滑过程中长度不变即AB=QP=25m ， 在Rr △AOB 中，由勾股定理得：m OA AB OB 1520252222=-=-=．∴QB=OB —OQ=15—7=8m ． 即梯子底端移动了8m ．方法总结：这是一类“梯子下滑问题”，解此类题应把握两点：梯子靠在墙上即构成直角三角形；梯子滑动过程中长度不变．举一反三 如图，一个梯子AB 长2．5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1．5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0．5m ，求梯子顶端A 下落了多少m ？解：梯子顶端A 下落了0．5m ． 例6 若△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足c b a c b a 108650222++=+++，那么△ABC 是何种形状？解：由c b a c b a 108650222++=+++得0)2510()168()96(222=+-++-++-c c b b a a ，即0)5()4()3(222=-+-+-c b a ， ∴a=3，b=4，c=5．∵22225c b a ==+，由勾股定理逆定理知△ABC 是直角三角形．方法总结：要判断三角形形状，应寻找三边关系或三角之间的关系再作出判断． 举一反三 若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足0222=---++ca bc ab c b a ．探索△ABC 的形状，并说明理由．解：等边三角形． 例7 如图，CD 是△ABC 的AB 边上的高，且有DB AD CD ⋅=2．求证：△ABC 是直角三角形．方法指导：先依题意画图，再利用勾股定理的逆定理来证． 解：在Rt △ACD 中，由勾股定理得：DB AD AD AC CD ⋅=-=222．∴AB AD AC ⋅=2，同理，AB BD BC ⋅=2，222)(AB AB BD AD AB BD AB AD BC AC =⋅+=⋅+⋅=+．由勾股定理逆定理知：△ABC 是直角三角形．方法总结：证明直角三角形或两直线的垂直关系通常用勾股定理逆定理来解决．举一反三 如图，已知在△ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，22BD AB -与22DC AC -有怎样的关系？试证明你的结论．解：相等（提示：可证明22222BC CD BD AC AB =-=-，再作移项变形．）综合练习（时间90分钟，满分120分） 一、填空题（3分×10=30分）1．在△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边． （1）c=25，b=24，那么a=_________． （2）a=30，b=16，那么c=_________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边．（1）3,222==b a ，那么当c=___________时，∠B=90°． （2）15,622==c a ，那么当b=____________时，∠C=90°．3．在△ABC 中，∠C=90°，AB=40，AC=24．则斜边AB 上的高是__________．4．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 满足2))((b c a c a =-+，那么△ABC 是以____________为斜边的直角三角形．5．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出： （1）一个面积为2的直角三角形． （2）一个面积为2的正方形．6．如图，△ABC 中，BC=12，AB=10，△ABC 的面积是48．那么BD=__________．7．一个三角形的一个外角等于和它相邻的内角，如果此三角形的两条边长分别是5，2，那么以第三条边为半径的圆的面积是___________（保留π）．8．边长为2的正三角形的面积为__________，边长为a 的正三角形面积为___________． 9．如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是_________． 10．为得到湖两岸A 点和B 点间的距离，一个观测者在C 点设桩，使∠ABC 为直角（如图），并测得AC 长20m 、BC 长16m ，A ，B 两点间的距离是_________．二、选择题（7分×3=21分） 11．有下列命题：（1）如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么4a ，4b ，4c 仍是勾股数； （2）如果直角三角形的两边长是3，4，那么斜边必是5；（3）如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形； （4）一个等腰直角三角形的三边长为a ，b ，c （a>b>c ），那么1:1:2::222=c b a ．其中正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4）12．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AB=13，BD=5，则△ABC 的面积是（ ） A ．65 B ．120 C ．60 D ．3613．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，如果△ABC 的面积是8，那么腰长是（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．1614．如图，B 在A 的北偏西α方向的6m 处，C 在A 的北偏东β方向的8m 处，并且︒=β+α90，那么B 、C 两点相距（ ）A ．6mB ．8mC ．10mD ．12m15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上的一点，且有DA=DB=5，又△DAB 的面积是10，那么DC 的长是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．4．516．在△ABC 中，AB=AC ，如果AB=17，BC=16，则BC 边上的中线长是（ ） A ．8 B ．15 C ．10 D ．617．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°．以AC 为直径的圆恰好过点B ．AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）A ．24100-πB ．48100-πC ．2425-πD ．4825-π三、阅读理解题（5分）18．阅读下列解题过程，并回答问题．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．解：∵442222b a c b c a -=-， ①∴))(()(2222222b a b a b a c -+=-． ② ∴222b a c +=， ③ ∴△ABC 是直角三角形．（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出代号___________． （2）错误的原因为__________． （3）本题正确结论为____________．四、解答题（64分） 19．（8分）下面同学对各题的解答是否正确？为什么？ （1）在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，求c ；（2）已知直角三角形两条直角边为40和9，求第三边的长；（3）已知△ABC 中，AB=10，AC=17，BC 边上的高AD=8，求BC 的长． 解：（1）由勾股定理得：222c b a =+，∴5,2543222==+=c c ． （2）由勾股定理得：222c b a =+，∴1681940222=+=c ， ∴c=41，答：第三边的长为41． （3）根据勾股定理：6481022222=-=-=AD AB DB ，∴DB=8；22581722222=-=-=AD AC DC ，∴DC=15．故BC=15+8=24． 20．（8分）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边为多少？21．（8分）给出一组式子：222222222222261024,17815,1068,543=+=+=+=+．（1）你能发现关于上式中的一些规律吗？（2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子． （3）请你证明你所发现的规律． 22．（8分）在△ABC 中，已知a=15，b=17，c=8，求△ABC 的面积． 23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，DE ⊥BC ，E 为垂足，已知AC=6，AB=10．求（1）CD 的长；（2）DE 的长．24．（8分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AE 为BC 边上的中线，已知AB=5，BC=12，△ABC 的面积是24．求（1）AD 的长；（2）判断△ABE 的形状，并说明理由．25．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高．试说明22222AB CD BD AD =++．26．（8分）如图，在△ABC 中，AM 是BC 边的中线，AE 为BC 边上的高．试判断22ACAB +与22BM AM +的关系，并说明理由．参考答案1．（1）7 （2）34 2．（1）1 （2）3 3．19．2 4．a 5．略 6．6 先由面积公式4821=⋅=∆AD BC S ABC ，求出AD=8． 7．π21或π29 先说明此三角形为直角三角形，但因为谁是斜边没有确定，故有两种情况．8．243;3a 9．12cm 10．12cm 11．C 12．C 13．A 821=⨯⨯=∆BC AC S ABC ，则4,1622====BC AC BC AC ． 14．C ︒=β+α90，得∠BAC=90°，由勾股定理可求得BC=10． 15．B ∵△ADB 的AD 边上的高为BC ，∴BCAD S ADB ⋅=∆21．即BC ⨯⨯=52110，∴BC=4．在Rt △BCD 中求得CD=3． 16．B 17．C 18．（1）③ （2）22ba -可能为0． （3）△ABC 为直角三角形或等腰三角形 19．几个题的解法均有问题．（1）错误的原因是没有弄清哪个角是直角，盲目地运用勾股定理，当∠B=90°，应该有222b c a =+． （2）没有确定所求得的边是直角边，还是斜边．（3）考虑不完整，忽视了高AD在△ABC外部的情况． 20．3或41 21．（1）22222]1)1[()]1(2[]1)1[(++=++-+n n n （2）222371235=+ （3）按完全平方公式展形，进行证明即可． 22．∵22217815=+，∴222c a b +=，∴△ABC 为直角三角形，∴608121=⨯⨯=∆ABC S ． 23．（1）4．8．先求出BC=8．则由面积公式可求出CD ． （2）3．84 在△ACD 中求得AD=3．6，所以BD=6．4，在△BCD 中运用面积公式求DE ，即DB CD BC DE ⨯⨯=⨯⨯2121．则484.68.4=⨯=DE ． 24．（1）4 由面积公式2421=⨯⨯AD BC ，得4122124=⨯=AD ． （2）等腰三角形．在Rt △ABD 中，AB=5，AD=4，则BD=3，因为E 为BC 的中点，∴BE=6，DE=3，AE=5=AB ．△ABE 为等腰三角形．25．左边2222222222)()(BC AC CD BD CD AD CD CD BD AD +=+++=+++===2AB 右边26．)(22222BM AM AC AB +=+．222222222)()(2MC EM EM BM AE EC AE BE AE AC AB ++-+=+++=+22222222MC MC EM EM EM EM BM BM AE +⋅+++⋅-+=． ∵MC BM =， ∴2222222222222)(2222BM AM BM EM AE BM EM AE AC AB +=++=++=+)(222BM AM +=．期中测试题（时间90分钟，满分120分）一、选择题（3分×10=30分）1．已知xy=1，则)1)(1(y y x x +-的值为（ ） A ．22x B ．22y C ．22x y - D ．22y x -2．有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则代数式b a ba +-的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定3．若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为（ ）A ．3B ．3或—3C ．—3D ．04．化简ab a b a +-222的结果是（ ）A ．a b a 2-B ．a b a -C ．a b a +D ．b a ba +-5．若x<2，则|2|2--x x 的值为（ ）A ．—1B ．0C ．1D ．26．xy y x 1022+中，x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ）A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．保持不变D ．缩小5倍7．如果反比例函数的的图象经过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）A ．)23,2(-B ．)32,9( C ．)32,3(- D ．)23,6( 8．一个矩形的面积是6，则这个矩形的一组邻边长x 与y 的函数关系图象大致是（ ）9．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 可能的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．一等腰直角三角形的周长为2P ，其面积为（ ） A ．P )222(+ B ．P )22(-C ．2)223(P -D ．2)221(P -二、填空题（3分×10=30分）11．在分式11||+-x x 中，x=______________时，分式无意义，当x=____________时，分式的值为零．12．当4,21-==y x 时，________)(2=-÷-xy y x x xy ．13．若去分母解方程x x x --=-3323，出现增根，则增根为_____________． 14．在分式123-x 中，当x=_____________时，分式的值为1；当x 的值____________时，分式值为正数．15．已知32572=+-y x x y ，且0≠y ，则________=y x ．16．反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点P ，如图所示．根据图象可知，反比例函数的解析式为____________．17．某蓄电池的电压为定值，如图所示的是该蓄电池电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系图象，则其函数解析式是______________．18．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例关系，已知400度近视眼镜片的焦距为0．25m ，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为___________．19．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，321,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，225,8131==S S ，则___________2=S ．20．如图，为了求出湖两岸A ，B 两点之间的距离，观测者从观测点A ，B 分别测得∠BAC=90°，∠ABC=30°，又测得BC=160m ，则A ，B 两点之间的距离为__________m （结果保留根号）．三、解答题（60分）21．先化简，再求值．（5分×2=10分）（1）)2122(24--+÷--x x x x ，其中43-=x ．（2）11123213222+++--+÷-+x x x x x x x ，其中132-=x ．22．解分式方程．（5分×2=10分）（1）1613122-=-++x x x （2）416312546---=-x x x ．23．（8分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，6=+BC AC ，AB=2，求这个三角形的面积．24．（8分）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？25．（8分）如图，已知Rt △ABC 的顶点A 是一次函数y=x+m 与反比例函数x m y =的图象在第一象限内的交点，且3=∆AOB S ．该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．26．列方程解应用题．（8分×2=16分）（1）某厂原计划在规定期限内生产通信设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术，每天生产的台数比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通信设备多少台．（2）为了方便广大游客到昆明参加“世博会”，铁道部门临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通列车平均速度的1．5倍．直达快车比普通列车晚出发2h ，比普通列车是4h 到达昆明．求两车的平均速度．参考答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．C 11．—1；1 12．1 13．x=3 14．2；大于21 15．174- 16．x y 2= 17．R I 36= 18．x y 100= 19．144 20．380 21．（1）原式3341-=+-=x （2）原式2312=+=x 22．（1）x=1为增根，原方程无解 （2）x=2． 23．将6=+BC AC 两边平方，得22)6()(=+BC AC ，即6222=⋅++BC AC BC AC ．∴4222==+AB BC AC ．∴4+2AC ·BC=6．∴AC ·BC=1．∴2121=⨯⨯=∆BC AC S ABC ． 24．设AE=x km ，由勾股定理，得2222)25(1015x x -+=+，解得x=10． 25．设B （a ，0），则),(a m a A ，其中a>0，m>0．在Rt △ABO 中，a OB a m AB ==,．则321=⨯⨯=∆a m a S ABO ．∴m=6．所以一次函数的解析式为y=x+6．反比例函数的解析式为x y 6=．26．（1）设原计划每天生产通信设备x 台，那么改进操作技术后每天生产1．5x 台，依题意，得25.16060=-x x ，解得x=10．经检验，x=10是原方程的解．当x=10时，1．5x=15． （2）设普通列车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1．5x km/h ，依题意，得x x x 5.18286828-，解得x=46．经检验，x=46是原方程的解．∴x=46，1．5x=69．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c 2＝ ＋ ． 化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）AC160abc图1－1 【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、122、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 - ab c^ 2ab c 22大正方形面积为 S =(a - b)2=a 22ab - b 2化简可证方法三：S 弟形=-(a b) (a b)2S 弟形1 1=2S ADE • S ABE =2 — ab — C 2，化简得证3 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明存在的数量关系，它只 三角形的三边就不具有 了所考察的对象是直角勾股定理的复习—、勾股定理的内容1、 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2亠b 2 =c 23、 证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是用拼图的方法验证勾股定理思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式推导出勾股定理4 1 ab (b -a)2=c 2，化简可证： a? - b =c 22方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.三角形4 .勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在AABC 中, /C=90，贝V c = . a 2■ b 2, b = ,c 2—a 2, a = .c 2-b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题(注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)， 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.)5、在数轴上作出表示、n (n 为正整数)的点.ab易错点：(1)已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论.(2)另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；使用勾股定理的前提是直角三角形；(2)在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；例3.若（二）、例题解析 考点一：已知两边求第三边 例1 .在 ABC 中，.C =90 . ⑴已知 AC =6， BC =8 .求AB 的长 ⑵已知AB =17, AC =15，求BC 的长例4:在Rt △ ABC 中, a , b , c 分别是三条边, 求边长c . 剖析：由于审题不仔细，容易忽视了/B=90°错把c 当成了斜边.温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用 c2=a2+b2例2.如图，由Rt △ ABQ 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm,则正方形M 与正方形N 的面积之和为 ______________ cm 2a 、b 、c, a 2 =144,b 2 =25,则c 2 二 ______________例5:已知一个Rt △ ABC 的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长 4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论.温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论.例6：已知a,b,c 为/ ABC 三边，a=6, b=8, b<c ，且c 为整数，则c= 剖析：此题并没有告诉你/ ABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理.正解：由b<c ，结合三角形三边关系得 8vcv6+8，即8vcv14，又因c 为整数，故c 边 长为 9、10、11、12、13.温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中 是否为直角三角形.例2.已知两线段的长为6cm 和8cm 当第三条线段取 ___________________ 时，这三条线段能组 成一个直角三角形。