7.5.1正弦函数的图像与性质

2 y
1 o -1.
y sinx, x [0,2π]
. π
2

.
3π 2
.
2
x
y=sinx-1, x∈[0， ]
.
3. 作 出 下 列 函 数 的 图 象 y 3 si n x x [0 , 2 ]
x 0

sinx
3Sinx
0
2 1
3

0
0
3 2
2
0
0
-1
-3
y
3 o
0
1
1P 1

6
y
/ p1
(3) 平移 (4) 连线


2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-
-
3.正弦函数y=sinx,x∈R的图 象
叫做正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
5 7 2) sin 与 sin 8 8
分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
0 2 8 10 并且f(x)=sinx在 , 上是增函数，所以 2 2

sin(
2）因为


7 2 8 8
8 5
) sin(
解：
sin( ) sin 18 10

（２）
2 3 3 , 2 3 4 2 2 3 sin sin 3 4
3 且y=sinx在 , 上是减函数， 2 2
例2 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并 求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。
解： y max 2 sin x max 2 1 3
以后我们说到 三角函数的周期， 一般指的都是 最小正周期
ymin 2 sin x min 2 (1) 1
周期 T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是： x x 2 k , k Z

2

3 2
2
y sinx, x [0,2]
一、正弦函数 y=sinx 的性质
y
1
y 1

2
2



2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2 k 1 2 当x=________________ 时， ymax _____
（2）值域
2 当x=________________ 时，
π 2
1.
o -1
y 1 sinx, x [0,2π]
.
.

. 3π
2
2
x
y sinx, x [0,2π]
例2.作出 y= -sinx, x [0, 2 ]
解：(2)
的图象。
3π 2
x
y=sinx
y
0
0
π 2
π
0
2
0
1
-1
y=-sinx 0
1
-1
0
1
0
. ０
-1
2
.
.

三、巩固练习
1、比较下列各组正弦值的大小：
4 5 (1) sin 与 sin 7 7
2 2 (2) sin( )与 sin( ) 5 7
2、求下列函数在x取何值时到最大值？在x取何值是到达 最小值？
1 (1) f ( x) sin( x ); 2 3
(2) g ( x) 5 sin( 3 x ) 2
引入：
在研究三角函数的图象和性质时，我们 通常采用弧度制来度量角，用x表示自变量，
用y表示函数。
我们采用弧度制来度量角时，一个角就 是一个实数（弧度数）
引入：
1. 正弦函数是以角（实数）为自变量的函数 .
y sin x, x R
2. 常用的函数画图的方法: 列表描点法 y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 3 而 sin 0.866, 不便于描点 3 2 故介绍另一种画法:几何法(即利用三角函 数线画图)
五点 :
0 , 0
-
图象的最低点
( 32 ,1)
, 1 2

, 0
3 , 1 2
2
, 0
例1.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(1)
x
sinx
1 sinx
0 0
1
π 2
π
0
3π 2
1
-1
2 0
1
2
1
0
y
.


2 k
ymin _____ 1
值域是：
1， 1
（3）周期性 sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z),
周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
周期是2k（ , k Z,k 0）
周期函数
1.周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周 期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数来说，如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小的 正数就叫做这个函数的最小正周期
（4）正弦函数的单调性
y
1
-3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx


2
…
0 0
…
2
…
源自文库 0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR) 2 k , 2 k , k Z 其值从-1增至1 增区间为 [ ， ] 2 22
-
y sin x, x [0,2]
y sin x, x R
4.五点作图法
y
1-
图象的最高点 ( 与x轴的交点

6

2
,1)
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1
o
-1 -


2
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
y= -sinx, x [0,2 .]
3 2
2
.
x
y sinx, x [0,2π]
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
. . 2
1 o -1
π 2
y=sinx+2, x∈[0， ]
y
.
.

3π 2
2
x
y sinx, x [0,2π]
2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图
f ( x) sin( 2 x

6
) 在 2x



2k 处到达最大值1。即，
达到最大值1。
f ( x) sin( 2 x ) 在 2 x 2k 处达到最小值-1。即， 6 6 2 x k ( k z ) 当 时， f ( x) sin( 2 x ) 达到最小值-1。 3 6

四、课堂小结 ：正弦函数的性质
定义域
值 域 奇偶性
R
[-1,1] 奇
周期性
T＝2k
最小正周期 : 2
当 x [ 2 k
单调性

2
2 3 当 x [ 2 k ＋ , 2 k ] 减 2 2
,2k

] 增
最值
ymax 1
y min －1
作业
书34页 2；3； 书40页6.（1）（3）；7.（1）；9.（1）
2
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：
x x 2 k , k Z 2
求函数
f ( x) sin( 2 x

6
) 在x取何值时到达
最大值？在x取何值是到达最小值？
关键点：把 2 x 看作一个整体。 6
解：
6 2 当 x k ( k z ) 时， f ( x) sin( 2 x ) 6 6

10
)
并且f(x)=sinx在 [

5 7 sin sin 8 8
2
, ]上是减函数，所以
练习、不求值，比较下列各对正弦值的大小：
（１） sin(

18
)与 sin(

10
（２）sin )
2 3 与 sin 3 4
, 且y=sinx在 , 上是增函数， （１） 2 10 18 2 2 2
回顾：
1、正弦线
设任意角 的终边与单位 圆交于点P，过点p做x轴 的垂线，垂足M，称向量 MP为角 的正弦线
P(a, b ) r O
h
M A
函数 2、
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
作法: (1) 将圆12等分， 再把x轴上从0到2π 这一段12等分 (2) 作正弦线
减区间为 [ 2
2 3 3 ， ] k , k Z 其值从 1减至-1 22k , 2 2 2
（5）正弦函数的奇偶性
y
1
y 1

2
2



2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR)是奇函数
图象关于原点对称
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
二、正弦函数性质的简单应用
例1
比较下列各组正弦值的大小：
1) sin( )与 sin( ) 8 10
解： 1）因为