中考专题专题复习——相似三角形(含详解)

专题22 相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件 技巧2：巧作平行线构造相似三角形 技巧3：证比例式或等积式的技巧 (1)基本性质：a b ＝cd ad ＝bc ； (2)合比性质：a b ＝cda ＋b b ＝c ＋dd；技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．12与3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF.【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE.参考答案1．(1)证明：∵ED∥BC，∵ED ∥BC，∴∠DE B ＝∠EBC.h△BDE表示△BDE中DE边上的高，∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BO E＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠A DB＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)， ∴△ABC ∽△DBA. ∴AB AC ＝DBDA，∠BAD ＝∠C. ∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点， ∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C. ∴∠BDF ＝∠BAD. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△DBF ∽△ADF. ∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB ＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC. (2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BDCE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF AF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD并延长交BC 于点E ，求BEEC的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BDEC.【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD. ∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE. ∴∠BEP ＝∠BFD. 又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BPBD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE. ∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝APDF .设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a. ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G. 又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG. ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝52.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE. ∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD. ∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BDCF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC. 4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，又∵∠AME ＝∠CM F ， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD. 又∵BD ＝BC ＋CD ， ∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM. ∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF. ∴BC ＝2CD.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ， EF MF∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ， ∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B. ∴△AEF ∽△BED. ∴AE BE ＝AF BD . ∵AE ＝14AB ，＝1BE.＝1BD.12．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝ABBC.9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：1011BP12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案12而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C. ∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CFAD .4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.56．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DG DE ＝DEDF .即DE 2＝DG·DF. ∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∴BG∴AP ，PE∴AB ，∴∴AEP ＝∴DEB ＝∴AGB ＝90°. ∴∴P ＋∴PAB ＝90°， ∴PAB ＋∴AB G ＝90°.89．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ， ∴∠AMB ＝∠AND ＝90°. ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD ，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝ABBC .∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC .10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠DAE ，1112．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线， ∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP. 又∵∠APC ＝∠BPA ， ∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PCPA .A 3243A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∴BC 得AD AEDB EC=，然后利用比例性质求EC 和AE的值即可【详解】∴//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE=， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=． 故选C ．例（A AB ACAB BCA B C D 例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A．30B．25C．22．5D．20【答案】D：S∆例得mA【解析】∴∴ABE=∴DCE, ∴AEB=∴CED,∴∴ABE∴∴DCE,∴AB BE CD CE=.∴BE=90m，EC=45m，CD=60m，∴()906012045AB m ⨯== 故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，∴ABC 与∴DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∴OD =1∴2，则∴ABC 与∴DEF 的面积比为（ ）A 8A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm , ∴三角尺与投影三角尺相似, ∴8：x ＝2：5, 12BD ADE 与ABC 的周长之比为（A ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成∴∴∴ABC ADE ∽， ∴∴AD ：AB =1：3， ∴13ADE ABC C C ∆∆=：：， 即ADE 与ABC 的周长比为1：3． 故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（ ）A ADB ，△∴FEB ，△A ∠=∠∴ADB ， ABD =∠，又90AEC BEC =∠=∴FEB ，ACE =∠，∴FDC △，【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3ABC 中，D 、A ∴∴ADE ∴∴ABC ，∴∴ADE 与∴ABC 的周长之比为1：2，∴∴ADE 与∴ABC 的面积之比为1：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定∴ABC 与∴DBA 相似的是（ ）ABC ∴DBA ，故选项ABC ∴DBA ，故选项B 不符合题意；ACB 与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项B B ∠=∠，ABC ∴DBA ，故选项【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．ABC ∴A B C '''，是它们的对应角平分线，若的面积比是（ ）3 B ．C ．3【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：【详解】ABC ∴A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为： :8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9． 故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB ＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．7．如图所示，要使ABC ADE～，需要添加一个条件∠=∠【答案】ADE B【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC与ADE相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B∠=∠，A A∠=∠ABC ADE∴～故答案为：ADE B∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．8(1)(2)(2)（（（2）解：∴∴ADE∴∴ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∴CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）DE DFEF DFEF DFEF DF【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（ ）A．7B．8C．9D．10，解：∴3A．B．4C D．2【答案】B【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，A 的坐标是AC ＝1，122DB=，即:B 的纵坐标是故选：B ． 4的A ．AD AFBD EF= B ．AF DFAE EB= C ．=AD AEAB ACD ．CAF FE DEB = 【答案】D∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【分析】根据DF BE∥，DE BC【详解】解：DF BE∥，AD AF∴=，BD EF故A选项比例式正确，不符合题意；DF BE∥，∴△∽△，ADF ABE5【答案】9x，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加【分析】设地面影长对应的树高为m上墙上的影长CD即为树的高度．x，【详解】解：设地面影长对应的树高为m由题意得，140.5x =， 解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ， ∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．616AD BC ，FCG ，2， CFG 的面积之比AD BC ，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==， :3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．三、解答题7，H(1)(2)(2)，证出ADK FGK ，得出比例式求出（）由正方形的性质求出出AM =4，FM =2，∴AMF 12CH AF =，根据勾股定理求出（）解：∴四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∴G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan32GKGFKFG∠===；（2）解：∴正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∴E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：则∴∴∴在∴8．如图所示，BEF的顶点AF，满足（（CEB ， BCE ∠∴=，ABCD 是矩形，∴BC DAB ∠，ACB =∠，BCE ACB ∠∠+=∴即∴90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC 中，tanBCBACAB∠===，30BAC∴∠=︒，30FAD∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC∠∠=︒=︒，，CEB，ABCE，313，3，FAE中，【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得∠。

可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”一、单选题 1．若ABC A B C '''，40A ∠=︒，110B ∠=︒，则'C ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△，所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒，110B ∠=︒，所以30C ∠=︒，所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键. 2．若ABCA B C ''''，3BC =，'' 1.8B C =，则A B C '''与ABC 的相似比为（ ）A ．5∶3B ．32∶C ．23∶D ．35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△，3BC =，'' 1.8B C =，所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3．如图，已知ADEACB ，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE 的长是（ ）A ．4B ．3.2C ．20D ．5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可． 【详解】由相似三角形的性质可得：AD AEAC AB=， 则·41058AD AB AE AC ⨯===， 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．4．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（ ） A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2=C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确. 故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.5．如图所示，△ACB ∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB 即可． 【详解】解：∵△ACB ∽△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB ， ∴∠ACA′=∠BCB′， ∵∠BCB′=30°， ∴∠ACA′=30°， 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A1B1＝8，B1C1＝10B ．A1B1＝10，B1C1＝8C ．A1B1＝5，B1C1＝8D ．A1B1＝10，B1C1＝4【解答】B【详解】分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．详解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，△ABC ∽△A1B1C1，∴111111AB BC ACA B B C AC == ，∴111154816A B B C ==，∴A1B1＝10，B1C1＝8． 故选B ．点睛：本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．若ABC DEF △△，且ABC 与DEF 的相似比为m ，DEF 与ABC 的相似比为n ，则（.）： A ．m n = B ．0m n += C ．1⋅=m n D ．1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意，可判定ABC 与DEF 的相似比为m ，则DEF 与ABC 的相似比为其倒数，所以两者积为1.【详解】解：∵ABC 与DEF 的相似比为m ， ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ，即1n m=， ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.9．△ABC ∽△A′B′C′，已知AB ＝5，A′B′＝6，△ABC 面积为10，那么另一个三角形的面积为( ) A ．15B ．14.4C ．12D ．10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝5，A′B′＝6， ∴A'B'C'2536ABC S S =， ∵△ABC 面积为10， ∴解得：S △A′B′C′＝14.4． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△EBD 相似的三角形是（ ）A ．ABCB ．ADEC ．DABD ．BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°，AB=AC ，易求∠ABC=∠C=72°，而BD 是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE ∥BC ，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ，从而可证△ABD ∽△DBE ． 【详解】∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE ， 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．二、填空题11．已知111ABC A B C △△，相似比为23，111222A B C A B C △△，相似比为54，则222ABC A B C △△，其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =，112254A B A B =，故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△，相似比为23，所以1123AB A B =，因为111222A B C A B C ∽△△，相似比为54，所以112254A B A B =，所以2256AB A B =，即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12．ΔABC 与△DEF 中，65A ∠=︒，42B ∠=︒，65D ∠=︒，73F ∠=︒，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒，42B ∠=︒， ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒，73F ∠=︒， ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13．已知ABC 的三边分别是4，5，6，则与它相似'''A B C 的最长边为12，则'''A B C 的周长是________． 【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12，所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边，∴△′B′C′的另两边的长为8，10， 故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14．若ABC DEF ∽，50B ∠=，70C ∠=，则D ∠的度数为________． 【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ，再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A ． 【详解】∵50B ∠=，70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF ， ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ＝3cm ， BD ＝2cm ，则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____；若 DE ＝4cm ，则 BC ＝________．【解答】 3：5203cm ； 【详解】∵AD=3cm ，BD=2cm ， ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为：35AD AB =； ∴35DE AD BC AB ==，即435BC =， ∴BC=203. 故答案为（1）35；（2）203.点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点E 、F 分别在AB 、BC 边上，将BEF 沿直线EF 翻折后，点B 落在对边AC 的点为'B ，若'B FC 与ABC 相似，那么BF =________．【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17．如图，已知ADE ABC ∽，相似比为2:3，则:BC DE 的值为________．【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC 、DE 的比例关系．【详解】∵△ADE ∽△ABC ，且相似比为2：3， ∴BC ：DE=3：2， 故答案为3：2．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边BC 上，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，连接DE 交AC 于F ，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC 得∠B=∠C ，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ，且∠BAD=∠CAE ，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF ． 详解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======，，，∴△ABC∽△C′A′B′（2）∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======，，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例是解题的关键．20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．【解答】6.3.【详解】试题分析：已知∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．试题解析：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=，即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点：相似三角形的判定和性质．21．如图，在正方形网格上有△ABC 和△DEF ．（1）这两个三角形相似吗？为什么？ （2）请直接写出∠A 的度数 ；（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC 相似，并求出其相似比． 【解答】（1）相似，理由见解析；（2）45º；（3）见解析【提示】（1）根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度，然后根据三边对应成比例，两三角形相似解答；（2）取AC 的中点O ，连接BO ，根据网格结构可以判断∠ABO=90°，△ABO 是等腰直角三角形，即可得解；（3）把△ABC 三边扩大2倍，然后利用网格结构作出即可． 【详解】（1）AB=22152=+， AC=22026=21+， BC=5， DE=1，DF=22152=+， EF=22222=2+， ∵5AB AC BCDE EF DF===， ∴△ABC ∽△DEF ；（2）如图，取AC 的中点O ，连接BO ， 则△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠A=45°；（3）如图，△A′B′C′与△ABC 相似，它们的相似比是2．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，网格结构的特点是解题的关键．22．已知：如图AB//CD//EF ，AC 、BD 相交于点O ，E 在AC 上，F 在BD 上，且AE:EC=2:3，BD=10.（1）求BF 的长；（2）当AB=12，CD=8时，求EF 的长.【解答】（1）4 （2）4【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得出BF ：FD 的值，从而得出BF 与FD 的数量关系，再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.（2）先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式，再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+，代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解：（1）∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=（2）AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，比例的性质.（1）中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键；（2）中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形，建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23．如图，直线EF 分别交ABC 的边AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证：AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△，根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证：BF BA BC BD ⋅=⋅，∴AB BC BD BF =， 又ABC DBF ∠=∠，∴ABC DBF ∽△△，∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC=，即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠BDE ＝∠CAD.求证：△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析：由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.试题解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD ＝2BD．(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明【解答】（1）证明见解析；（2）BE=3BD【提示】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.【详解】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°，∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中，EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ，∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ；(2) BE=3BD ，理由如下：在AB 上找一点M ，连接EM ，使EM=ED ，如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？2．（2003•厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．3．（2003•金华）如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．4．（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．5．（2002•盐城）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF：FD的值．6．（2002•黄冈）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．7．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F．（1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系；（2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由；（3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？考点：相似三角形的判定与性质。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习（含答案解析）一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．【答案】5【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．【答案】①③④【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB+∠DCF＝90°，∵∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴tan∠CDF＝，故①正确，∵BE∥CD，∴＝＝＝，∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，∴CF＝a，DF＝a，∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，∴GQ＝GP，∵＝＝，∴＝，∴BG＝DG，∵DM∥BN，∴＝＝1，∴GM＝GN，∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，∴×a×a＝××GP+×a×GQ，∴GP＝GQ＝a，∴FG＝a，过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，∴3m＝a，∴m＝a，∴FN＝m＝a，∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠HCD，∵＝＝，＝＝，∴＝，∴△BEF∽△HCD，故④正确．故答案为：①③④．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB ＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【答案】A【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C ＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B 点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC＝2，∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤【答案】B【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC＝90°．∴∠BOE＝∠COF．在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF．在△BAE和△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，∴∠APB＝90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO＝∠ABO＝45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO＝45°，OH⊥OP，∴OH＝OP＝HP，∴HP＝OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB＝90°．∴∠AOH＝∠BOP．∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，∴∠OAH＝∠OBP．在△AOH和△BOP中，，∴△AOH≌△BOP（ASA），∴AH＝BP．∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE＝2：3，∴设BE＝2x，则CE＝3x，∴AB＝BC＝5x，∴AE＝＝x．过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB＝45°，∴EG＝GC＝EC＝x，∴AG＝＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE＝，∴tan∠CAE＝＝＝．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．∴．∴．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE＝S△OFC，∴．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【答案】【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OD中点，∴E（﹣，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．【答案】3或2【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【答案】或5【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【答案】【解答】解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【答案】【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，∴n＝5m，CN＝4m，由△BB′C∽△MNH，可得＝2m，∴AM＝BH＝3m，∴＝＝＝，故答案为：．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．【答案】2+2【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：2+2．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．【答案】90°，．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴•AE•AF＝•EF•AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴DH＝．故答案为：90°，．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．【答案】①②③【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）【答案】①②【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．【答案】1.8；．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD ＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10，（10+）【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN ⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．49。

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

相似模型【相似模型一: A 字型】 特征 模型 结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】 特征 模型 结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】 特征 模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】 特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】 特征模型 结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】 特征模型 结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】 特征 模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。

九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。

一、相似三角形的概念如图所示：在△ABC 和△A'B'C' 中，如果则△ABC 和△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作“相似于” 。

注：当相似比为1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。

二、相似三角形的判定方法（4种方法）1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见图形及其变换四、例题讲解例题1、下列说法错误的是（ C ）A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；B、全等的两个三角形一定相似；C、对应角相等的两个多边形相似；D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似。

例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点G 。

① 求证：△ABE∽△DEF；② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。

注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。

例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。

自学资料一、相似三角形的概念【知识探索】1．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．【说明】用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上．【错题精练】例1．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A. ADDB =DEBC；B. FBBC =EFAD；C. AEEC =BFCF；第1页共30页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训D. FEAB =DEBC．【答案】C例2．如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝_____．【答案】143【举一反三】1．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=__________ .第2页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴= ，即=解得：BC=6【答案】6二、相似三角形的性质【知识探索】1．（1）相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【说明】（1）研究和运用相似比的性质时，要注意相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关；（2）性质定理1和性质定理2可以概括为：相似三角形中对应线段（高线、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比．【错题精练】例1．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）；A. √5−12；B. √5−14；C. 3−√52D. 3−√5．4【答案】C第3页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A. EAEB =EGEFB. EGGH =AGGDC. ABAE =BCCFD. FHEH =CFAD【答案】C例3．如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴ABAD第4页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训=BCDE，即3018=20DE，解得DE=12cm．例4．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB-AP=（8-2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当BPBA=BQBC，即第5页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训8-2x8=4x16时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当BPBC=BQBA，即8-2x16=4x8时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．例5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB 的长为x。

专题02 三角形相似综合训练1．如图，在矩形ABCD 中，将ADC △绕点D 逆时针旋转90︒得到FDE B F E ，、、三点恰好在同一直线上，AC 与BE 相交于点G ，连接DG ．以下结论正确的是( )①AC BE ⊥；BCG GAD ~②；③点F 是线段CD 的黄金分割点；④CG EG = A ．①②③ B ．①③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【详解】证明：FDE ADC ≌，∴AD DF DC DE ==，又∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒， ∴90DAC DCA ∠+∠=即DAG DEF ∠+∠=即BGC 是直角三角形，而AGD 不是直角三角形，∴②错误；Rt FCB 和Rt 中， BFC EFC ∠=∠Rt FCB Rt FDE ∽， FC BCDF DE=， BC AD DF DE DC ===，FC DFDF DC=， F 是线段CD 的黄金分割点，和DEG '中，∴SAS DCG DEG '≌（DG DG CDG ='∠=，90CDG GDA ∠+∠=︒90EDG GDA ∠'+∠=90GDG ∠'=︒，∴GDG '是等腰直角三角形，2GG DG '=EG CG '=EG EG ='故选：D ．【我思故我在】2．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点(不与B 、C 重合)，连结AM 交DE 于点N ，则( )A ．ADANANAEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM,AN ANNE DN NEAM AMMCBMMC，故选相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握3．如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为( )A ．2aB ．52aC ．3aD ．72aACD BCA ∆，再由相似三角形的性质得到答案ACD BCA ∆，2AC BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BCA ∆的面积为的面积为：．4．如图，在矩形ABCD 中，E，F分别为边BC 、CD 中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点G ，H ．设矩形ABCD 的面积为S ，则以下4个结论中：①AG ：GE =2：1 ②BG ：GH ：HD =1：1：1；③12325S S S S ++=；④ 246124S S S =：：：：正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∴,BGE DGA ∽ 2,AG AD BGGE BE DG===②∴AG AD BGGE BE DG==13BG BD =，1所以本题的3个结论符合题意； 故选：C ．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出以下结论：①3BE AE =；②DFP BPH ；③2DP PH PC =⋅；④若2AB =，则1BPD S △．其中正确结论的是( )A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①③④从而证明DFP BPH ，正确；利用DPH CPD ~，得DP PC ，将ΔBPD S 转化为S 四边形解：BPC ∆是等边三角形，BC ，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=ABCD 中，AB BC CD =，A ∠30ABE DCF ∴∠==︒2BE AE ∴=故①错误PC CD =PDC ∴∠=FDP ∴∠=DBA =∠DFP ∠=DFP BPH ∴~，故②正确；30PDH PCD ∠=∠=︒DPH CPD ∴~，∴DP PHPC DP=， 2DP PH PC ∴=⋅，故③正确；如图，过点P 作PM正方形的边长6．如图， 在平行四边形ABCD 中， 点,M N 分别是AD BC 、上的点， 且22AM DM BN CN ==，， 点O 是CM ， DN 的交点， 直线AB 分别与CM DN ，的延长线交于点,P Q ． 若平行四边形ABCD 的面积为144 ， 则POQ △的面积为( )A ．72B ．216C ．268D ．300∴AMP DMC ∽， AP AMDC DM=， 2AM DM = 2AP AMDC DM==， 2AP CD =， ∴COD POQ ∽， 1215h CD h PQ ==， ∴∴POQ 的高为56h ，144ABCDS CD h =⋅=151POQS=故选：D 【我思故我在】的性质及平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上一点，且12GC BG =，连接DG 交对角线AC 于F 点，过D 点作DE DG ⊥交CA 的延长线于点E ，若5AE =，则DF 的长为( )A ．BC ．92D ，证明DEH DGC ∽，推出，求出5EH HA ==延长线于H ，DE DG ⊥EDG ∠∴21∴∠+∠1∠∠∴=DEH DGC ∴∽，∴EH DHGC DC =， 12GC BG =， ∴设GC x =，则BG =∴3EH DHGC x=， AC 是正方形DAC ∴∠EAH ∠=HEA ∴∠=EH HA ∴=2EH HA ∴+EH HA ∴=在正方形8．已知，如图，平行四边形ABCD 中，:1:3=CE BE ，且1EFC S =△，那么ABCS=_____．ACD ABC SS =，证明1:4AD =，则CE AD =． 9．P 是ABC 边上的任一点(P 不与A 、B 、C 重合)，过点P 的一条直线截ABC ，如果截得的三角形与ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的∴ABC 的“相似线”．Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，当点P 是边BC 上一个三等分点时(PB PC >)，过点P 的ABC 的“相似线”最多有___________条．【答案】4【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与ABC 有一个公共角，分①公共角为A ∠时；②公共角为B ∠时；③公共角为C ∠时；三种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：①当公共角为A ∠时，不存在；②公共角为B ∠时，过点P 作PD BC ⊥，交AB 于点D ，如图所示：∴90DPB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BCA ∽；过点P 作PD AB ⊥于点D ，如图所示：∴90PDB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BAC ∽△△；③公共角为C ∠时，连接AP ，如图所示：∴30B ∠=︒，∴2AB AC =，设AC a =，则2AB a =，∴ACP BCA∽；过点P作PD AB∥，交∴CDP CAB∽；综上分析可知，过点的ABC的“相似线故答案为：4.【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．10．如图，在ABC中，6BC=，AE AFEB FC=，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP∠的平分线交CE于点Q，当14CQ CE=时，EP BP+的值为______．【答案】18【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB PG=，EP PB EG+=，由EG BC∥，11．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是,==∠=︒∠=︒，则BC的长度是___________．3,6,30,45BE CD FED FDE【答案】3##3+【分析】作FN DE ⊥于点N ，延长DE 交CB 的延长线于点M ，先证FND ∆是等腰直角三角形，设FN x =，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出DN ，EF ，NE 的长度，FDE ∠=DFN ∴∠FND ∴∆是等腰直角三角形．由题意得：设FN x =FED ∠=2EF FN ∴=NE ∴=DE DN ∴=3BE =，AE BE ∴=又EAD ∠=EAD ∴∆∆≌AD BM ∴=EBM ∠=EBM ∴∆∽BM BE MN NF ∴=解得：BM 12．如图，在ABC 中，146AB AC ==，，在AC 上取一点D ，使2AD =，如果在AB 上取点E ，使ADE 和ABC 相似，则AE =___________．①ABC AED ；②ABC ADE ；可根据各四条线段的比例关系式求出AE 的长．此时ADE ACB ，::AC AE AD =，146AC AD ==，，此时ADE ABC ，::AC AD AE =，146AC AD ==，，67=， 故答案为：143或67．13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA 、OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ．测得8.5m MC =，13m CD =，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为23：．则点O 、M 之间的距离等于___________m ；【答案】10【分析】连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，通过证明HMC EFG HAO ∽∽△△△，通过相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】解：连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果23CE BE =，求FE EG的值．15．矩形ABCD 中，AC BD ，为对角线，6cm 8cm AB BC ==，，E 为DC 中点，动点P 从点A 出发沿AB 方向，向点B 运动，动点Q 同时以相同速度，从点B 出发沿BC 方向向点C 运动，P 、Q 的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x 秒．()06t <<(1)PQ AC ∥时，求运动时间t ；(2)PQ BD ⊥时，求运动时间t ；(3)当t 为何值时，以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与QCE 相似？(4)连接PE PQE ，△的面积能否达到矩形ABCD 面积的三分之一，若能求出t 的值；若不能，说明理由．7BP BQBP BQ为顶点的三角形与QCE相似216．解答题=；(1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD、CE，求证，BD CE[类比探究](2)如图2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，连接BD CE ，．求BD CE的值．[拓展提升](3)如图3，ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AE AB AD==．连接BD CE 、，延长CE 交BD 于点F ，连接AF ．若AFC ∠恰好等于90︒，请直接写出此时AF BF CF ，，之间的数量关系．证明BAD CAE ∽，从而得出结果；B 作BH CF ⊥，垂足为点AOF BOH ∆∽，根据对应边成比例，【详解】(1)解：∴ABC 和ADE 都是等边三角形，AC ，AD AE =，∠∠DAE BAC =BAC BAE ∠-∠，即：在BAD 和CAE 中，AB AC DAB EAC AD AE =∠=∠=，(SAS BAD CAE ≌△△BD CE =．∴ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45BAC =∠=︒，ADE ∠ADE △∽，AE AC ，则AD AB AE AC=，BAE BAC -∠=∠-∠在BAD 和CAE 中，DAB EAC =∠，AD AE ∴BAD CAE ∽，BD AB CE AC =， 令AB x =，根据勾股定理可得：2BD AB x CE AC x===(3)∴BAD CAE ∽，ACE ABD ∠=∠，在FOB ∆和AOC ∆中，ACE ABD ∠=∠，∠60OFB OAC ∠=∠=设FH x =，OH y =，则17．在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．(1)如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为 ； (2)如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； (3)在(2)的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．18．在∴ABC 中，CA CB =，ACB α∠=，点P 在平面内不与点A ，C 重合，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD BD CP ．(1)如图①，当60α=︒，BD CP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． (2)如图②，当90α=︒时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并说明理由． (3)当90α=︒时，若点E ，F 分别是,CA CB 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出当C ，P ，D 在同一直线上时，求AD CP 的值． ，ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明，利用相似的性质即可得解；上，和P 在线段解：如图，延长CP 交60︒，∴ABC 是等边三角形，由题意可知∴PAD 是等边三角形，PAD ∠=∠CAP ∠+∠在CAP 和BAD 中，CA BA CAP BAD AP AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CAP BAD △≌△ (SAS),PC BD ACP =∠=∠在AOC 和△1BD PC=，直线BD ∴ABC 是等腰直角三角形，CAB ∠=∠∴ AB AC =AB AD AC AP∴=CAB ∠+∠AD是ABC的中位线，2219．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点(点F与点B，点C不重合)，线段DE和:AF相交于点P，连接PC．(1)若在线段DP 上取一点Q ，使得2DP EQ =，连接AQ ，猜想PC 与AQ 的关系并证明；(2)若AF DE ⊥时，8,10AB AD ==，求BF 的长；(3)当点F 为BC 的中点时，求AP PF 的值． AEQCDP ∆，即可得出结论；，再判断出DAE ABF ，即可得出结论；，先判断出(AAS)ADE BGE ∆≅∆，再判断出2,2AD BF BG BF ==，进而判断出，即可得出结论．∴90BAF AED ．90BAF AFB ∠+∠=︒，AED AFB ∠=∠，90DAE ABF ∠=∠=︒，∴DAEABF ， AD AE AB BF =，即1083.2BF =；(3)解：如图，延长AD GC ，APD FPG ∆，23AD GF ==．【我思故我在】此题查了矩形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．。

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝；②∠ACF的度数为；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；（3）若AC＝8，tan A＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO ⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．（1）求证：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度数；（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．9．（2022•湖北）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．10．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．11．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．①求证：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．。

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。