2021年中考数学 专题训练：相似三角形及其应用(含答案)

2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）1．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD相交于点F（1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．2．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG 上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．4．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．5．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE＝，OG＝1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）6．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．8．在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．9．阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是．猜想证明：（2）设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为2（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．11．（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．①如图2，当点D在线段BC上时，求的值；②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．12．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝6，BC＝8．（1）试证明：△ABP∽△PCQ；（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF 的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题．如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小颖的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是；A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．（3）在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长交边AC 于点F．①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE．②如图4，若E是BF的中点，求证：AF•CD＝AC•BD15．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA ＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．17．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点P．（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE＝2，CE＝3，求线段PM的长度；（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．参考答案：1．（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴；（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD；（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，∵△PCE∽△DCB，∴＝，即＝，∴BD＝x，∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+x，∴PM＝sin45°•（4+x）＝，∴△PBD的面积S＝BD•PM＝×x×＝x2+2x．2．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．4．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE顺时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2．5．解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE＝AC，GF∥AC、GF＝AC，∴OE∥GF，OE＝GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴＝，∴△OGM∽△OEN，∴＝＝．②添加AC＝BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG＝EF＝BD、OE＝GF＝AC，∵AC＝BD，∴OG＝OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴OG＝OE、OM＝ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM＝EN．6．解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF＝BE，∴BD﹣BF＝AB﹣BE，即DF＝AE；故答案为DF＝AE；②DF＝AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE＝∠DBF，∵＝，＝，∴＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝＝，即DF＝AE；（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝＝AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，∴＝＝，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，∴＝＝，∴△ABE′∽△DBF′，∴＝＝，即DF′＝AE′．7．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，．由题意知：BM＝2t，，∴，∵BM＝BN，∴，解得：．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：．综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，∴y＝＝＝．∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．此时，．8．解：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝AP•AB；（2）①取AP的中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3﹣x，∵M是PC的中点，∴MG∥AC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴，即，∴x＝，∵AB＝3，∴AP＝3﹣，∴PB＝；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x．∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH＝，HE＝+x，∵CE2＝（）2+（+x）2，∵PB＝BE，PM＝CM，∴BM∥CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴，∴CE2＝EP•EA，∴3+3+x2+2x＝2x（x++1），∴x＝﹣1，∴PB＝﹣1．9．解：（1）∵平行四边形有一个内角是120度，∴α＝60°，∴＝＝；故答案为：；（2）＝，理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，∴＝＝，∵＝，∴＝；（3）∵AB2＝AE•AD，∴A1B12＝A1E1•A1D1，即＝，∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由（2）知＝可知＝＝2，∴sin∠A1B1C1＝，∴∠A1B1C1＝30°，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝30°．10．解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，解得：t＝，∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；（2）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，∴，即，解得：BF＝t，∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，∴y＝（PQ+MC）•FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40；（3）不存在；∵S△ABC＝＝×10×8＝40，当S四边形PQCM＝S△ABC时，y＝t2﹣8t+40＝40，解得：t＝0，或t＝20，都不合题意，因此不存在；（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，过M作MH⊥AB，交AB于H，如图所示：∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴，又∵AD＝＝6，∴，∴HM t，AH＝t，∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，在Rt△HMP中，MP2＝+＝t2﹣44t+100，又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，∵MP2＝MC2，∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，解得，t2＝0（舍去），∴t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．11．解：（1）△BDE∽△CFD，理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，∴∠BED＝∠CDF，∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；（2）①设AE＝x，AF＝y，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDE∽△CFD，∴∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，∴，∴，∴，∴；②设AE＝x，AF＝y，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠DCF＝120°，∴△BDE∽△CFD，∴∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10，∴，∴，∴＝．∵△BDE∽△CFD，∴△BDE与△CFD的周长之比为＝＝．12．解：（1）∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，而∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠APB＝∠PQC，∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ；（2）∵△ABP∽△PCQ，∴，即，则CQ＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+≥，故当x＝4时，CQ的最大值为，即BP为4时，CQ最长，最长是；（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则P A＝PQ，而△ABP∽△PCQ，则△ABP≌△PCQ（AAS），∴AB＝PC＝6，则BP＝8﹣6＝2，即BP＝2时，△APQ是等腰直角三角形．13．（1）解：如图1，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝∠AOB＝60°．∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°∴∠ACB＝∠OBC，∴CO＝OB＝AB＝OA＝3，∴AC＝6，∴BC＝AC＝；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ•sin60°＝．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，解得，t＝0．同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1．综上所述，t＝0或t＝1；（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN，∴QN＝QA∴△AQN为等边三角形，∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t，∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t，∴PN＝t+t＝2t，∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴，∴，∴∵EF∥x轴，∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30°∴EF＝BE，∴m＝BE＝OB﹣OE＝（0＜t＜3）．14．（1）解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4＜2AD＜20，∴2＜AD＜10，故答案为：2＜AD＜10；（3）①证明：如图③，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．∵AD＝DG，∠ADC＝∠GDB，CD＝DB，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，∴BG∥AC，∴∠F AE＝∠G，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠AEF，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE．②证明：延长AD到H，使得EH＝AE，连接BH．∵AE＝EH，∠AEF＝∠BEH，EF＝EB，∴△AEF≌△HEB（SAS），∴BH＝AF，∠H＝∠EAF，∴BH∥AC，∴△BDH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AF•CD＝AC•BD．15．解：（1）∵菱形OABC中，OA＝10，∴OC＝10，∵cos∠COA＝，∴点C的坐标为：（6，8），∵动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，∵cos∠COA＝＝，OP＝t，∴OQ＝t，∴QP＝t，∵OA＝10，N点与A点重合，∴t+t＝10，∴t＝∴t＝时，N点与A点重合；（2）①，②，③，④8＜t≤10，S＝104﹣8t；（3）S菱形＝80，直线OB过原点（0，0），B点（16，8），故直线OB解析式为，直线OB与PQ、MN分别交于E、F点，如图：①当0＜t≤6，，，，，若，则，，若，则，，②当6＜t≤8，，，，，若则，t＝0（舍），若，则，t3＝8；③8＜t≤10，不存在符合条件的t值．16．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．17．解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABP+∠CBF＝90°∴∠BAE+∠ABP＝90°∴∠APB＝90°，∴AE⊥BF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC＝AD，由（1）知，AE＝BF，∵BE＝2，CE＝3，BE＝CF，∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝3，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝5，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF＝＝＝，在Rt△APF中，∠APF＝90°，点M是AF中点，∴；（3）∵CQ⊥BF，∴∠BQC＝∠BCF＝90°，又∠CBQ＝∠FBC，∴△CBQ～△FBC，∴，∵AB＝BC，BE＝CF，∴，∵△QAB～△QEC，∴，∴，∴，∴BE＝CE，∴点E是BC中点。

2021中考数学专题复习:相似三角形的应用能力提升训练题1（附答案详解） 1．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（ ）A ．3．25mB ．4．25mC ．4．45mD ．4．75m 2．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m 长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，则这棵树高约有多少米( )A ．6.4米B ．5.4米C ．4.4米D ．3.4米 3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）A ．12mB ．13.5mC ．15mD ．16.5m 4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB m =，12.8BC m =，则建筑物CD 的高是( )A ．17.5mB ．17mC ．16.5mD ．18m5．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（ ）A ．13B ．12C ．2倍D ．3倍 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．43B ．42C ．6D ．47．如图一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得影子DE 的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB 为（ ）A ．8米B ．6米C ．4.5米D ．3米 8．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）.A ．18米B ．16米C ．20米D ．15米 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ）A ．4米B ．4.5米C ．5米D ．5.5米10．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（）A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m11．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_____cm的地方．12．小明在离路灯底部6m处测得自己的影子长为1.2m，小明的身高为1.6m，那么路灯的高度为_____m．13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.15．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_______m．16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径5BE =尺，立木高5AB =尺，4BD =寸0.4=尺，则井深x 为__________尺．17．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A 处前进3米到达B 处时，测得影子BC 长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D 处，此时影子DE 长为____米．18．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸l 上依次取点E ，F ，N ，使AE ⊥l ，BF ⊥l ，点N ，A ，B 在同一直线上．在F 点观测A 点后，沿FN 方向走到M 点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∠ANE ＝45°，则场地的边AB 为_______米，BC 为_______米．19．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 长是2米，则路灯的高AB 为_____米．20．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为53米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60 角时，第二次是阳光与地面成30角时，则两次测量的影长差为______米.21．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A再在河的这边选点B 和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．22．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．23．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁l和索塔h上，索塔h垂直于主梁l，垂足为D．拉索AE，BF，CG的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90°（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索AE的长．（精确到1m，参考数据：5≈2.24，2≈1.41）24．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，AB表示地面所在的直线，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，//EG AB，交AC于点F，且13CFAF=，AB长60cm，60DAB∠=︒，75ABC∠=︒，FG长24cm，CD长24cm，（1）求座板EG的长；（2）求此时椅子的最大高度（即点D到直线AB的距离）．（结果保留根号）25．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝16米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．26．学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．27．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．28．（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．29．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC 等于 ( )A .5B .6C .7D .82. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 633. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）4. (2019•巴中)如图ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶95. （2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( )A. (32，2)B. (2，2)C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR7. (2019•贺州)如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，边上的点，DE BC ∥，若23AD AB ==，，4DE =，则BC 等于A ．5B ．6C．7 D．88. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 49. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．15410. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.12. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为m.13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OBA∆.已知)3,2(A，则点1A的坐标是．14. 如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．FE DBC A15. (2019•泸州)如图，在等腰Rt ABC△中，90C=︒∠，15AC=，点E在边CB上，2CE EB=，点D在边AB上，CD AE⊥，垂足为F，则AD长为__________．16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE△沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，2AE=，则DF=______，BE=______．FDBEAC17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．18. （2020·长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)PMPEPQPF ＋＝____________． (2)若MN PM PN •＝2,则NQMQ＝____________． F E NMP三、解答题（本大题共4道小题） 19. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，求DE 的长.HKFEBA21. 已知：在等边△ABC中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H .(1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ；(2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长．22. 已知在△ABC中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动（与A ，B 不重合），同时，点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动（E 不与C 重合），连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点.(1)如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且D ，E 的运动速度相等，求HFAC的值.(2)如图②，若在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D ，E的运动速度之比是：1，求HFAC的值；(3)如图③，若在△ABC 中，AB=AC ，∠ADH=∠BAC=36°，记ACBC=m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示HFAC的值.图① 图② 图③2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B [解析]∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，即=，解得BC=6，故选B .2. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．3. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx ，–ky ）.由A （4,3），位似比k ＝13，可得C （413,--）因此本题选B ．4. 【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△，∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】A【解析】解析：连接AO 并延长AO 至点N ，连接BO 并延长PO 至点P, 连接CO 并延长CO 至点M, 连接DO 并延长DO 至Q ，可知12AO BO CO DO NO PO MO QO ====，所以以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ，故答案为A.7. 【答案】B【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴AD DE AB BC=，即243BC =，解得：6BC =，故选B ．8. 【答案】A【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，AC ⊥BC ，AE ⊥DE, ∴DC ＝DE ，AE ＝AC .又∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE ＝AE ，即AB ＝2AE ＝2AC, ∴∠B ＝30°.设DE ＝x ，则BD ＝3－x .在Rt △BDE 中，x 3－x＝12，解得x ＝1，∴DE的长为1.9. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG2=x.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x2+x，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x=++=+，∴()22422222ABCDEFGHxSS x+==+正方形正方形，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH ＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝12x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD＝22DF BF+＝221()2x x+＝5x，所以AD＝5x，所以CE＝AB＝2AD＝5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE＝5x．在R t△ADE中，由勾股定理得DE＝22AD AE+＝225()(5)2x x+＝52x．因△DEF的面积为1，所以12DE·DF＝1，即12×52x·x＝1，解得x＝255，所以DE＝52×255＝5，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本题选D．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).12. 【答案】5413. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．14. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DF DF =-，所以DF ＝，故答案为5485． GF E DB CA15. 【答案】92【解析】如图，过D 作DH AC ⊥于H ，则∠AHD =90°，∵在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC =， ∴15AC BC ==，45CAD ∠=︒， ∴∠ADH =90°–∠CAD =45°=∠CAD ， ∴AH DH =，∴CH =AC –AH =15–DH ，∵CF AE ⊥，∴90DHA DFA ∠=∠=︒，又∵∠ANH =∠DNF ，∴HAF HDF ∠=∠，∴ACE DHC △∽△，∴DH CH AC CE =， ∵2CE EB =，CE +BE =BC =15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， ∴9DH =，∴2292AD AH DH =+=，故答案为：92．16. 【答案】2 5－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.18. 【答案】1；215－ 【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQ PF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；215－． F EQ N M P三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则△AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ．∵四边形EFHG 是正方形，∴EF ∥GH ，即EF ∥BC ．∴△AEF ∽△ABC ． ∴EF AK BC AD =，即8012080x x -=．∴x ＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm ．20. 【答案】解:∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD.∵AB ∥CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠CBD=∠D ，∴CD=BC=6.在Rt △ABC 中，AC===8.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴====，∴CE=AE ，DE=BE ，即CE=AC=×8=3.在Rt △BCE 中，BE===3， ∴DE=BE=×3=.21. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.22. 【答案】(1)过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图①∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD =GD ，由题意知CE =AD ，∴CE =GD∵DG ∥BC ，∴∠GDF =∠CEF ，在△GDF 与△CEF 中，GDF CEF GFD EFC CE GD ⎧⎪⎨⎪=∠=∠∠∠⎩=， ∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ， ∵DH ⊥AG ，∴AH =GH ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (2)如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图②由题意知，点D ，E 3:1， ∴3，AD CE = ∵∠ABC =90°，∠BAC =30°，∴3，AD GD = ∴，AD AD CE GD = ∴GD =CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF=∠CEF ，在△GDF 和△CEF 中，，GDF CEF GFD EFC GD CE ∠=∠∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩=∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ，∵∠ADH =∠BAC =30°，∴AH =HD ，∵∠AGD =∠HDG =60°，∴GH =HD ，∴AH =HG ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (3)如解图③，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图③∵DG ∥BC ，∴△AGD ∽△ACB ，∴=，GD BC m AG AC = ∵∠ADH =∠BAC =36°，AC=AB ，∴∠GHD =∠HGD =72°，∴GD =HD =AH ， ∴=，AH GD m AG AG= ∵AD =CE ， ∴==，GD GD GD m AD AG CE = ∵DG ∥BC ，∴△GDF ∽△ECF ，∴=，GD GF m CE CF= ∴GH +FG =m （AH +FC ）=m （AC-HF ）， 即HF =m （AC-HF ），∴1.=AC m HF m +。

中考数学总复习《二次函数中的相似三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的函数表达式为2(0y ax a a =-≠，a 为常数），点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，且2OA OB =，点A 关于x 轴的对称点为C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，以点C 为顶点的抛物线经过点D ．(1)求点,A B 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在（2）中拋物线的对称轴上有一点P ，且以点D O P 、、为顶点的三角形与AOB 相似，求出所有满足条件的点P 的坐标．2．已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线4y x =+经过A ，C 两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P ，Q 在抛物线上，并与对称轴对称，（P 点在对称轴左边），且2PQ AO =，求P ，Q 的坐标；(3)动点M 在直线4y x =+上，且ABC 与COM 相似，求点M 的坐标．3．已知：抛物线2:3L y x bx =+-交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 在第四象限的抛物线上，DE BC ⊥于点E ，若12DE BE =，求点D 的坐标； (3)如图2，抛物线L 经过平移后得到抛物线21:4H y x =-，直线OP 交抛物线的其中一个点为P ，直线PQ 与抛物线有且只有一个交点P ，且与y 轴不平行，⊥OQ OP 交PQ 于点Q ，求点Q 的纵坐标．4．如图，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点G ，抛物线的对称轴为直线=1x -，交x 轴于点E ，交抛物线于点F ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，点P 是线段BC 上一动点，过点P 作PD x ⊥轴，交抛物线于点D ，问当动点P 运动到什么位置时，四边形CEBD 的面积最大？求出四边形CEBD 的最大面积及此时P 点的坐标．(3)坐标轴上是否存在点G ，使得以A ，C ，G 为顶点的三角形与BCF △相似？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线22y ax bx =-+-经过A （4，0），B （1，0）两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点Q （点Q 不与点B 重合），使得点Q 与点B 到直线AC 的距离相等，请直接写出点Q 坐标．6．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于1,0A 和()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C -，直线2y x m =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在AE 下方的抛物线上运动，求AME △的面积最大值；(3)如图2，在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与AOD △相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．7．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式； (2)当BCE 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点A ，()4,0B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点()0,4C ，拋物线的对称轴l 与x 轴交于点N ，长为2的线段PQ （点P 位于点Q 的上方）在x 轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)求抛物线的关系式；(2)在线段PQ 运动过程中，当PC PA +的值最小时，求此时点P 的坐标；(3)如图①过点P 作PM y ⊥轴于点M ，当CPM △和QBN 相似时，求点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为()2,1D -，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M 是直线l 上的动点，当以点M 、B 、D 为顶点的三角形与ABC 相似时，求点M 的坐标． 10．如图，抛物线23y ax bx =++经过点于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点E 是第二象限内抛物线上的一点，直线AE 与BC 相交于点F ，连接CE ，BE ，若BCE 的面积3，求点E 的横坐标；(3)如图①，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 交y 轴于点G ，点P 在平面内，以点B ，C ，P 为顶点的三角形与ACG 相似且∠=∠CBP CAG 时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．11．如图，顶点为D 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，CD ，BD ．求证：ACO DBC ∽△△；(3)点P 为抛物线对称轴上的一个动点，点M 是平面直角坐标系内一点，当以点A ，C ，M ，P 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点P 的坐标．12．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A B C ，，三点．(1)求证：90ACB ∠=︒；(2)点D 是第一象限内抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求255DE BE +的最大值； ①点G 是AC 的中点，若以点C D E ，，为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．14．如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连接AC ，BD ．(1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点F 为抛物线对称轴上的动点，且BEF △与AOC 相似，请直接写出符合条件的点F 的坐标；(3)点P 为抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使BDP △是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ①x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ①BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得①BCO ＋2①PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．参考答案：1．(1)()0,4A ()2,0B(2)抛物线的解析式为24y x =-(3)满足条件的点P 的坐标为()0,4或()0,4-或()0,1或()0,1-2．(1)2142y x x =--+(2)775,,3,22P Q ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,1-3．(1)抛物线解析式为223y x x =--(2)()2,3D -(3)12Q y =-4．(1)223y x x =+-(2)当32m =-，四边形CEBD 的面积最大，最大面积为518，此时点P 的坐标为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，点G 的坐标为()()10,0,0,,9,03⎛⎫- ⎪⎝⎭5．(1)抛物线的解析式为215222y x x =-+- (2)存在，符合条件的点P 的坐标为（2，1）(3)点Q 的坐标为（3，1）或75(27,)22+-或75(27,)22---6．(1)223y x x =+-；(2)27；(3)存在，点P 的坐标为()0,12或290,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．(1)223y x x =--+；(2)3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)存在， 3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8．(1)234y x x =-++(2)35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)Q 的坐标是35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或3219,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)点M 的坐标是()2,2或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．(1)223y x x =-++(2)3172- (3)()16,3-P 263,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P ()30,9P 4129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P11．(1)223y x x =-++(3)()11，或()16，或()16-，或()10，12．(1)243y x x =-+ ()21-，(2)51351322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或51351322⎛⎫++ ⎪⎝⎭， (3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(2)①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．14．(1)()()2,0,6,0A B - ()0,3C ()2,4D (2)()2,6或()2,6-或82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()2,0-或()6,12--15．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+(3)存在 74 (4)65或125。

2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的应用1（附答案）1．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）2．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A．0种B．1种C．2种D．3种3．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米4．如图，已知直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝﹣x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是．5．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝．6．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y 轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y＝x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长＝；△A1B2A2的边长＝；△A2007B2008A2008的边长＝．7．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH ⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是．9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．11．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝m．12．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝14m，则旗杆AB的高为m．13．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．15．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．17．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．18．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P A+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）19．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E 与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．21．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．参考答案1．解：∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上，∴4＝a×（﹣2）2，解得：a＝1∴解析式为 y＝x2，∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4），∴OB＝OD＝2，∵Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，∴CD∥x 轴，∴点 D 和点 P 的纵坐标均为 2，∴令 y＝2，得 2＝x2，解得：x＝± ，∵点 P 在第一象限，∴点 P 的坐标为：（ ，2）故选：C．2．解：∵两根铝材的长分别为 27cm、45cm，若 45cm 为一边时，则另两边的和为 27cm，27＜45，不能构成三角形，∴必须以 27cm 为一边，45cm 的铝材为另外两边，设另外两边长分别为 x、y，则（1）若 27cm 与 24cm 相对应时，11 / 31＝＝，解得：x＝33.75cm，y＝40.5cm， x+y＝33.75+40.5＝74.25cm＞45cm，故不成立； （2）若 27cm 与 36cm 相对应时，＝＝，解得：x＝22.5cm，y＝18cm，x+y＝22.5+18＝40.5cm＜45cm，成立； （3）若 27cm 与 30cm 相对应时，＝＝，解得：x＝32.4cm，y＝21.6cm，x+y＝32.4+21.6＝54cm＞45cm，故不成立； 故只有一种截法． 故选：B． 3．解：设小明在 A 处时影长为 x，B 处时影长为 y． ∵AC∥OP，BD∥OP， ∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x＝5， ，∴y＝1.5，12 / 31∴x﹣y＝3.5， 减少了 3.5 米． 故选：D．4．解：当 x＝0 时，y＝﹣ x+3＝3，则 B（0，3）， ∵点 P 的横坐标为 a，PQ∥y 轴， ∴P（a，﹣ a2+2a+5），Q（a，﹣ a+3），∴PQ＝|﹣ a2+2a+5﹣（﹣ a+3）|＝|﹣ a2+ a+2|＝| a2﹣ a﹣2|，BQ＝＝| a|，∵PQ＝BQ， ∴| a2﹣ a﹣2|＝| a|，当 a2﹣ a﹣2＝ a 时，整理得 a2﹣8a﹣4＝0，解得 a1＝4+2 ，a2＝4﹣2 ，当 a2﹣ a﹣2＝﹣ a 时，整理得 a2﹣3a﹣4＝0，解得 a1＝4，a2＝﹣1，综上所述，a 的值为 4+2 或 4﹣2 或 4 或﹣1．故答案为 4+2 或 4﹣2 或 4 或﹣1．5．解：设 A 点坐标为（0，a），（a＞0），则 x2＝a，解得 x＝ ，13 / 31∴点 B（ ，a），＝a，则 x＝ ， ∴点 C（ ，a）， ∵CD∥y 轴， ∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ， ∴y1＝（ ）2＝3a， ∴点 D 的坐标为（ ，3a）， ∵DE∥AC， ∴点 E 的纵坐标为 3a，∴ ＝3a，∴x＝3 ， ∴点 E 的坐标为（3 ，3a）， ∴DE＝3 ﹣ ，＝＝3﹣ ．故答案为：3﹣ ． 6．解：作 B1A⊥y 轴于 A，B2B⊥y 轴于 B，B3C⊥y 轴于 C．设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3 中，AA1＝a，BA2＝b，CA2＝c． ①等边△A0B1A1 中，A0A＝a，14 / 31所以 B1A＝atan60°＝ a，代入解析式得 ×（ a）2＝a，解得 a＝0（舍去）或 a ＝ ，于是等边△A0B1A1 的边长为 ×2＝1； ②等边△A2B2A1 中，A1B＝b， 所以 BB2＝btan60°＝ b，B2 点坐标为（ b，1+b）代入解析式得 ×（ b）2＝ 1+b， 解得 b＝﹣ （舍去）或 b＝1， 于是等边△A2B1A1 的边长为 1×2＝2； ③等边△A2B3A3 中，A2C＝c， 所以 CB3＝btan60°＝ c，B3 点坐标为（ c，3+c）代入解析式得 ×（ c）2＝ 3+c， 解得 c＝﹣1（舍去）或 c＝ ， 于是等边△A3B3A2 的边长为 ×2＝3． 于是△A2007B2008A2008 的边长为 2008． 故答案为：1，2，20087．解：①如图 1，当∠POQ＝∠OAH＝30°，若以 P，O，Q 为顶点的三角形与△AOH 全 15 / 31等，那么 A、P 重合； ∵∠AOH＝60°， ∴直线 OA：y＝ x，联立抛物线的解析式得：，解得：或，故 A（ ，3）； ②如图 2，当∠POQ＝∠AOH＝60°，此时△POQ≌△AOH， 易知∠POH＝30°，则直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，故 P（ ， ），那么 A（ ， ）； ③如图 3，当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝60°时，此时△QOP≌△AOH； 易知∠POH＝30°，则直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，16 / 31解得：或，故 P（ ， ）， ∴OP＝＝ ，QP＝ ，∴OH＝OP＝ ，AH＝QP＝ ， 故 A（ ， ）； ④如图 4，当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝30°，此时△OQP≌△AOH； 此时直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，∴P（ ，3）， ∴QP＝2，OP＝2 ， ∴OH＝QP＝2，AH＝OP＝2 ， 故 A（2，2 ）． 综上可知：符合条件的点 A 有四个，分别为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ） 或（2，2 ）． 故答案为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．17 / 318．解：设正方形的对角线 OA 长为 2m， 则 B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把 A，C 的坐标代入解析式可得：c＝2m①，am2+c＝m② ， ①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝﹣ ，则 ac＝﹣ •2m＝﹣2．9．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK＝∠A， 而∠CKD＝∠AHD， ∴△CDK∽△DAH，∴ ＝ ，即 ＝ ，18 / 31∴CK＝．答：KC 的长为步．故答案为．10．解：如图 1，∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD＝ED，DE∥CF， 设 ED＝x，则 CD＝x，AD＝12﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x＝ ， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CP⊥AB 于 P，交 DG 于 Q， 设 ED＝x，19 / 31S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CP，12×5＝13CP，CP＝ ，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x＝，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步），故答案为： ．11．解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB＝（米）．20 / 31故答案为：100．12．解：∵OD＝4m，BD＝14m，∴OB＝OD+BD＝18m，由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得AB＝9，即旗杆AB的高为9m．故答案为：9．13．解：法一：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝，∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，∴＝，＝，∴＝，解得BD＝52m，∴＝，解得AB＝54m．法二：设AB＝x．则BH＝2x，BG＝x，则有2x﹣x＝54，解得x＝54，故答案为：54．14．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△P AC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．15．解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；16．解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S最大．矩形MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．17．解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴于点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．18．解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a＝，抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣）；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时P A+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，当x＝3时，y＝，故点P（3，）；（3）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，则S四边形OEBF＝OB×|y E|＝5×|y E|＝12，点E在第四象限，故：则y E＝﹣，将该坐标代入二次函数表达式得：y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，解得：x＝2或4，故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．19．解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，则由△GDC∽△EOC得，即，整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，由△FBA∽△EOA得，即，整理得：1.6b＝2a﹣ax②，将②代入①得：3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，∴a＝32，即OE＝32，答：楼的高度OE为32米．20．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴AB＝17（m），经检验：AB＝17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．21．解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF＝x，EG＝y，∵△AEF∽△ABC∴，∴y＝80﹣x∴矩形面积S＝xy＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．22．解：（1）该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；故答案是：平行；（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB＝EF＝2，ND＝GH＝3，ME＝BF＝10，NG＝DH＝5．所以AM＝10﹣2＝8，由平行投影可知，＝，即＝，解得CD＝7，即电线杆的高度为7米．23．解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m31 / 31。

2021年上海中考数学相似三角形专项训练一、选择题1．（2021.1松江）如果两个相似三角形对应边的比为1:4，那么它们的周长比是（ ） （A ）1:2；（B ）1:4；（C ）1:8；（D ）1:16．2．（2021.1崇明）已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误．．的是（ ） (A)BD CD =； (B)AG GD =； (C)2AG GD =； (D)2BC BD =．3．（2021.1青浦）如图1，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD =2，AB =3， AC =6，那么AE 等于（ ） （A ）125； （B ）185； （C ）4； （D ）9．4. （2021.1奉贤）如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =3AD ，对角线AC 、BD 交于点O ，EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD 、AC 分别交于点G 、H ，如果△OGH 的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）（A ）12； （B ）14； （C ）16； （D ）18.5. （2021.1杨浦）在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ） （A ）DOC AOB S S ∆∆=； （B ）AOB BOC S OD S OB ∆∆=； （C ）AOD BOC S OA S OC ∆∆=； （D ）ABD ABC S ADS BC∆∆=. 6. （2021.1宝山）如图，AB ∥DE ，BC ∥DF ，已知n m FB AF ::=，a BC =，那么CE 等于（ ）（A ）nam； （B ）m an ； （C ）nm am +； （D ）nm an+. （B ）二、填空题7．（2021.1崇明）已知线段6AB =cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么EDCBA （图1）ADHG F E BCO图2AB CDEF图3线段AC 的长为 cm ．8．（2021.1黄浦）已知线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，则其较长 线段MP 的长是 ．9.（2021.1奉贤）已知点P 是线段AB 上一点，且AB AP BP •=2，如果AB =2厘米， 那么BP = 厘米． 10．（2021.1崇明）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 ．11．（2021.1黄浦）在△ABC 中，AB =5，BC =8，∠B =60°，则△ABC 的面积是 ． 12.（2021.1奉贤）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么这两个三角形对应边上的高之比为 ．13. （2021.1杨浦） 如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG =2，BC =4，那么cos GCB ∠= ．14．(2021.1松江)如图4，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知△ABC 的边BC =16cm ，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为_________cm.15．（2021.1虹口）如图5，AB //CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作EF //CD 交BD 于点F ，如果AB =3，CD=6，那么EF 的长是 ．16．（2021.1黄浦）已知一个矩形的两邻边长之比为1∶2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 ． 17. （2021.1杨浦）如图6，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BDB D的值为 .18．（2021.1普陀）如图8，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE 翻折得到△AFE ，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果:3:2BE EC =，那么:AF FG 的值等于 ．（图4） E H AB C D F GAD CFEB A 图5 图6CB A A DCB EF G三、解答题 19、（2020年5月徐汇二模）如图，已知直线22+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，矩形ACBE 的顶点B 在第一象限的反比例函数xmy =图像上，过点B 作OC BF ⊥．垂足为F ，设t OF =． （1）求ACO ∠的正切值；（2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）； （3）已知直线22+=x y 与反比例函数xmy =图像都经过第一象限的点D ，联结DE ，如果x DE ⊥轴，求m 的值．20、（2020年5月杨浦二模）如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON=OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN .（1） 如果EN //BD ，求证：四边形DMNE 是菱形； （2） 如果EN ⊥DC ，求证：2AN NC AC =⋅.（第19题图）AD C BEOxy F第20题图ADCHMON E21、（2020年5月长宁二模）如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上（点F 与点C 、D 不重合），EF BE ⊥，且︒=∠+∠45CEF ABE ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形； （2）联结BD ，交EF 于点Q ，求证：DF CE BC DQ ⋅=⋅．22、（2020年5月长宁二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线n mx x y ++=2经过点)2-2(，A ，对称轴是直线1=x ，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C . （1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积；（3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，51=PQ BQ ， 求点P 的坐标.ADCBEF第21题图第22题图-1-2 -3 -412 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 Oxy第24题图EDCABGFH23、（2020年5月长宁二模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是DB 延长线上的一点，且EA EC =，分别延长AD 、EC 交于点F . （1）求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如果2AEC BAC ∠=∠，求证：EC CF AF AD ⋅=⋅．24、（2020年5月静安二模）已知：如图8，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE=AB ，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．（1）求证：BG =GF ；（2）如果AC =2AB ，点F 是DE 的中点，求证：BH GH AH ⋅=2．第23题图ABCDEFO25、（2020年5月闵行二模）如图，已知在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且∠DFC=∠EGC ．（1）求证：CG=DG ； （2）求证：2CG GM AG =⋅．26、（2020年5月浦东二模）已知：如图，在菱形ABCD 中，AC =2，∠B =60°．点E 为BC 边上的一个动点（与点B 、C 不重合），∠EAF =60°，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE =x ，EG = y ．（1）求证：△AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG =EO 时，求x 的值．ABEGCFD（第25题图）M N（第26题图）GFEDCBA参考答案一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D二、填空题7. 3 8.2 9.15-10. 1﹕16 11.12. 1:4 13.2314.801315. 2 16. 1，2，12．17. 18.214三、解答题 19.解：（1）由题意，得，；∴，；在中，，)0,1(-A )2,0(C 1=AO 2=OC AOC Rt ∆︒=∠90AOC∴． （2）∵四边形是矩形，∴；∵，∴；又，； ∴；∴； 又， ∴； ∴．（3）设轴，垂足为，与轴的交点为．又轴，∴；∴，； ∵四边形是矩形，∴，；∴；∴；又， ∴≌；∴； ∴；∴；∴； ∵点、在反比例函数图像上， ∴； 解得或（不合题意，舍去）； ∴． 20.证明：（1）如图1，∵四边形是正方形，∴……（1分）21tan ==∠OC OA ACO ACBE ︒=∠90ACB OC BF ⊥︒=∠90BFC ︒=∠+∠90BCF ACO ︒=∠+∠90BCF FBC ACO FBC ∠=∠21tan tan =∠==∠ACO BF CF FBC t OF CO CF -=-=2t CF BF 242-==),24(t t B -x DE ⊥H AE y G x CO ⊥CO DH //AEH AGC ∠=∠DHCOAH AO =ACBE BC AE =BC AE //BCF AGC ∠=∠BCF AEH ∠=∠︒=∠=∠90BFC AHE AEH ∆BCF ∆t BF AH 24-==DHt 2241=-t DH 48-=)48,23(t t D --B D xmy =m t t t t =-=--)24()48)(23(56=t 2=t 254856)5624(=⨯⨯-=m ABCD OA OB OC OD AC BD ===⊥，∵，∴，∴………………（1分） 又∵，∴…………（1分） ∵， ，∴≌…………………………（1分 ∴，∵，∴ ∴………………………………………（1分）∴，∴平行…………………………（1分）（2）如图2， ∵，∴……………………（1分） ∵四边形是正方形，∴，…（1分） ∴，又∵，∴，…………………（1分）∴………………………………（1分） ∵∴……………………………………………（1分） ∴, ∴………………（1分） 21.证明：（1）∵EF BE ⊥ ∴︒=∠90BEF 即︒=∠+∠90CEF BEC (1分)∵BAC ABE BEC ∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠90CEF BAC ABE 又∵︒=∠+∠45CEF ABE ∴ ︒=∠45BAC 又∵四边形ABCD 是矩形 ∴ ︒=∠90ABC ∴ ︒=∠+∠90BCA BAC ∴︒=∠=∠45BCA BAC ∴ BC AB = (4分)∴四边形ABCD 是正方形 (1分) （2）设BD AC 、相交于点O∵四边形ABCD 是正方形 ∴BD AC ⊥ ∴︒=∠90EOQ (1分) ∴︒=∠+∠90OEQ EQOON OM =ON OMOC OD=//MN CD //EN BD DMNE 四边形是平行四边形AOM DON ∆∆在和中90AOM DON ∠=∠=︒OA OD OM ON ==，AOM ∆DON ∆OMA OND ∠=∠90OAM OMA ∠+∠=90OAM OND ∠+∠=︒90AHN ∠=︒DN ME ⊥DMNE 四边形是菱形//MN CD AN AMNC ME=ABCD //AB DC AB DC =，90ADC ∠=AD DC ⊥EN DC ⊥//EN AD AC DCAN DE=//AB DC ，AM ABME DE=AN ACNC AN =2AN NC AC =⋅第23题图1ADCHMON E B第23题图2ADCH MON E又∵︒=∠+∠90OEQ CEB ∴CEB EQO ∠=∠ (1分)∵四边形ABCD 是正方形∴ ︒=∠=∠90ADC BCD ，AC 、BD 分别平分ADC BCD ∠∠、∴ ︒=∠=∠45ECB QDF (1分)又∵ EQO DQF ∠=∠ ∴CEB DQF ∠=∠ (1分)∴DQF ∆∽CEB ∆ (1分)∴ BC DF CE DQ =即 DF CE BC DQ ⋅=⋅22.（本题满分12分，每小题各4分）解：（1） 抛物线n mx x y ++=2经过点)2,2(-A ，对称轴是直线1=x∴42212m n m ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22m n =-⎧⎨=-⎩ （2分）∴抛物线的解析式为222y x x =--，顶点B 的坐标是(1,3)- （2分）（2）抛物线222y x x =--与y 轴交于点），（2-0C 平移后的抛物线表达式为： 223y x x =-- ，点D 的坐标是(3,0) （2分）过点B 做y BH ⊥轴，垂足为点H∴=S S S BCD BCH COD BHOD S ∆∆∆--梯形1111=(13)31123=22222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ （2分） （3）∵直线OA 经过点00O （，）、)2,2(-A ，∴直线OA 的表达式为：y x =- 设对称轴与直线OA 相交于点E ，则11E （，-） ∵ (1,3)B - ∴2BE = （1分） 过点P 作PF//BE ，交直线OA 于点F设点）（22,2--t t t P 1t >（），则）（t t F -, ∴22PF t t =-- （1分）∵ PF//BE ∴15BE BQ PF PQ == ∴22125t t =-- ∴2120t t --= ∴3t =- （舍去）或4t = （1分） ∴)6,4(P （1分）23. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AO CO =． ··········································································· （2分） ∵EA EC =，∴EO AC ⊥． ························································· （2分） ∴四边形ABCD 是菱形． ····························································· （2分）（2）∵四边形ABCD 是菱形,∴2BAD BAC ∠=∠，AD CD =． ······················································· （2分） ∵2AEC BAC ∠=∠，∴BAD AEC ∠=∠． ∵AB //CD ，∴BAD CDF ∠=∠．∴AEC CDF ∠=∠． ········································································· （1分） 又∵F F ∠=∠， ∴△FCD ∽△FAE ． ············································· （1分） ∴CF CDAF AE=． ················································································· （1分） ∴AE CF AF CD ⋅=⋅．∴EC CF AF AD ⋅=⋅． ······································································ （1分）24.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB //CD ． ···································································· （1分） ∵AB =AE ，∴AE =CD ． ··································································· （1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形．························································· （1分） ∴AC//DE ．···················································································· （1分）∴． ··········································································· （1分） 1==AEABGF BG∴BG =GF ． ··················································································· （1分） （2）∵AB =AE ，∴BE =2AE ． ∵AC =2AB ，∴BE =AC ．∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AC=DE ． ∴DE=BE ． ··················································································· （1分） ∵点F 是DE 的中点，∴ DE=2EF ． ∴AE= EF ． ··················································································· （1分） ∵∠E =∠E ，∴△BEF ≌△DEA ． ······················································· （1分） ∴∠EBF =∠EDA ． ·········································································· （1分） ∵AC //DE ，∴∠GAH =∠EDA ． ∴∠EBF =∠GAH ．∵∠AHG=∠BHA ，∴△AHG ∽△BHA ． ·············································· （1分）∴． ∴． ······································································ （1分） 25. 证明：（1）∵□ABCD ，CE=AB ，∴AB=CD=EC ；…………………………（1分）又∵∠DFC=∠EGC ，∠BCD=∠BCD ，∴△ECG ≌△DCF ；……（1分） ∴CG=CF ．…………………………………………………………（1分）∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ；………………………………（1分）∴CG=12CD ，即：CG=DG ．……………………………………（1分）（2）延长AG 、BC 交于点H ．∵△ECG ≌△DCF ，∴∠CEG=∠CDF ．…………………………（1分） ∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAH=∠H ，∠ADC=∠DCH ．∴△ADG ≌△HCG ，∴AG=HG ．…………………………………（1分） ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG ．………………（1分）∴∠CEG=∠H ，∴∠CDF=∠DAH ．………………………………（1分） 又∵∠AGD=∠DGA ，∴△ADG ∽△DMG ．…………………………（1分）∴MG DG DG AG=，∴2DG GM AG =⋅…………………………………（1分） 又∵CG=DG ，∴2CG GM AG =⋅．……………………………………（1分）26.解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠ACB =∠ACF ． ……………（1分）∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AB =AC ，∠B =∠BAC =∠ACB=∠ACF =60°． …………………………（1分） ∵∠BAC=∠EAC +∠BAE =60°，∠EAF=∠EAC +∠CAF =60°，∴∠BAE =∠CAF ．………………………………………………………… （1分）∴△BAE ≌△CAF ．…………………………………………………………（1分） ∴AE =AF ．AHGHBH AH =BH GH AH ⋅=2∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．………………………………（1分）（2）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠B=60°，AB=2，∴AH BH=1．在Rt△AEH中，∠AHE=90°，AH，EH=1x-，∴AE．………………………………………………………（1分）∵∠AEG+∠CEG=∠B+∠BAE，∠B=∠AEG=60°，∴∠CEG=∠BAE．∵∠B=∠GCE=60°，∴△BAE∽△CEG．………………………………（1分）∴BA AE CE=．∴2x=．………………………………………………………（1分）∴y=…………………………………………………（1分）（0 < x < 2）．…………………………………………………………（1分）（3）过点E作EM⊥AC，垂足为点M．在Rt△CEM中，∠CME=90°，∠ECM=60°，CE=x，∴CM=12x．∵点O是线段AC的中点，∴CO=1．∴OM=112x -．∵EO=EG，EM⊥AC，∴GM=OM=112x -．………………………………（1分）∴CG=1x-．…………………………………………………………………（1分）∵△BAE∽△CEG．∴BA BE CE CG=．∴22xx-=．………………………………………………………………（1分）∴x=（负值舍去）…………………………………………………（1分）。

《图形相似》提升训练.一．选择题（共14小题）1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（）①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A．B． +1﹣C．﹣D．﹣13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A．B．C．D．4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB 于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：109．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P 作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A．B．C．D．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：612．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（）①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则S△EDH =13S△CFH．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为cm．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=．18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G 为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是．（填序号即可）①△BEF∽△CHE②AG=1③EH==3S△AGH④S△BEF19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A2022的坐标为三．解答题（共7小题）20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC 于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．（1）求证：CD=CF；（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（）（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：=；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF 的数量关系并说明理由．（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（）①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②【解答】解：①由折叠可得，AD=AF，DG=FG，在△ADG和△AFG中，，∴△ADG≌△AFG（SSS），∴∠ADG=∠AFG，故①正确；②∵GF∥DC，∴∠EGF=∠DEG，由翻折的性质可知：GD=GF，DE=EF，∠DGE=∠EGF，∴∠DGE=∠DEG，∴GD=DE，∴DG=GF=DE=EF，∴四边形DEFG为菱形，故②正确；③如图所示，连接DF交AE于O，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴=，即DE2=EO•AE，∵EO=GE，DE=DG，∴DG2=AE•EG，故③正确；④由折叠可得，AF=AD=5，∴Rt△ABF中，BF==3，∴CF=5﹣3=2，设CE=x，则DE=EF=4﹣x，∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴CE=，故④错误；故选：B．2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A．B． +1﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG 中，∠BED=45°，则GE=GB．在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，∴△CDF∽△BDG，∴==，∴==，∴DG=，BG=，∵GE=GB，∴y+=，∴2y2+x（﹣x）=﹣x，在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，∴1+x2=4y2，∴+x（﹣x）=﹣x，整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），∴BD=﹣x=﹣1．故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，∵BC===8，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=．故选：C．4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD∴共4对故选：D．5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB 于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，∴=，∵D、E为OB的三等分点，∴==2，∴=2，∴BC=2OF，∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH=4，CH=3，∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论不正确；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=OB，FG∥OB，∵OB=3DE，∴FG=DE，∴=，过C作CQ⊥AB于Q，如图3．S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，∴4×8=5CQ，∴CQ=，S△OCF=OF•OH=×4×4=8，S△CGB=BG•CQ=××=8，S△AFG=×4×2=4，∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴=（）2=，∴=，∴S四边形DEGF =S△CFG=；所以③结论正确；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，∴OB==，∴OD=，所以④结论不正确；本题结论正确的有：①③．故选：C．6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∴∠OFC=∠DAP，∵∠DAP+∠AMD=90°，∴∠GFM+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠PCM，∴∠PCM=∠H，∵∠CPM=∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴=，∴PC2=PM•PH，根据对称性可知：PA=PC，∴PA2=PM•PH．④正错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC=2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选：B．7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OC M=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，的最小值是1﹣=，故⑤正确；此时S△OMN综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选：D．9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，∴GF⊥AD，由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，∴∠AHG=30°，∠EHM=90°﹣30°=60°，∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，∴△MEH为等边三角形，故①正确；∵∠EHM=60°，HE=HF，∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，∴△PHE∽△HAE，故③正确；设AD=2=AH，则AG=1，∴Rt△AGH中，GH=AG=，Rt△AEH中，EH===HF，∴GF==AB，∴==，故④正确，综上所述，正确的结论是①②③④，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P 作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得AB=5，∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，∴==，即==∴PQ=x，QB=xS △APQ =PQ ×AQ=+x= ∴当x=时，△APQ 的面积最大，最大值是．故选：C ．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果S △ACD ：S △ABC =1：2，那么S △AOD ：S △BOC 是（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6【解答】解：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，而且S △ACD ：S △ABC =1：2，∴AD ：BC=1：2；∵AD ∥BC ，∴△AOD ～△BOC ，∵AD ：BC=1：2，∴S △AOD ：S △BOC =1：4．故选：B ．12．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．故选：C．13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（）①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；=13S△CFH．④若=，则S△EDHA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF=∠HDC ，∴∠AEH +∠ADH=∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC=∠AEF +∠ADF=180°，故②正确；③由②知：△EHF ≌△DHC ，故③正确； ④∵=，∴AE=2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH=GH ，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG +∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，，∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG=∠DHF ，EH=DH ，∠DHE=∠EHG +∠DHG=∠DHF +∠DHG=∠FHG=90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM=x ，则CF=2x ，∴DF=2FC=4x ，∴DM=5x ，DH=x ，CD=6x ，则S △CFH =×HM ×CF=•x•2x=x 2，S △EDH =×DH 2=×=13x 2， ∴则S △EDH =13S △CFH ，故④正确；其中结论正确的有：①②③④，4个；故选：D ．14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故②正确；③∵△EHF≌△DHC（已证），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC =×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH =13S△DHC，故④正确；故选：D．二．填空题（共5小题）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（15﹣5）cm．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB=×10=5﹣5，∴PB=AB﹣PA=10﹣（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案为（15﹣5）．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）．【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan∠DCF==，∵△DFP∽△BPH，∴==，∵BP=CP=CD，∴==，故②正确；∵PC=DC，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴，即PD2=PH•CP，又∵CP=CD，∴PD2=PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD∵S△BPD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4，∴=，故④错误；故答案为：①②③．17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G 并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=7．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵△ADE的面积为4，=16，∴S△ABC∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，∴=，又EG=CG，∴△DEG≌△FCG（AAS），∴DE=CF，∴BF=3DE，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∴==，∵AD=BD，=S△ADE=4，∴S△BDE∵AE=CE=2EG，∴S △DEG =S △ADE =×4=2， ∵=，∴S △ODE =S △BDE =×4=1，∴S △OEG =S △DEG ﹣S △ODE =×4=1，∵S 四边形DBCE =S △ABC ﹣S △ADE =3×4=12，∴S 四边形OBCG =S 四边形DBCE ﹣S △BDE ﹣S △OEG =7．故答案为：7．18．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，BC=6，E 为BC 中点，F 是AB 上一点，G 为AD 上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG 交AC 于点H ，下列结论正确的是①②③．（填序号即可）①△BEF ∽△CHE②AG=1③EH=④S △BEF =3S △AGH【解答】解：∵菱形ABCD 中，∠B=60°，∠FEG=60°，∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH ，∴△BEF ∽△CHE ，故①正确；∴=，又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，∴，即CH=4.5，又∵AC=BC=6，∴AH=1.5，∵AG∥CE，∴△AGH∽△CEH，∴，∴AG=CE=1，故②正确；如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，∴Rt△EFP中，EF==，又∵，∴EH=EF=，故③正确；∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，∴9S△AGH =S△BEF，∴S△BEF =4S△AGH，故④错误；故答案为：①②③．19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A2022的坐标为（0，32021）【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，∴A1（0，1）．∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2（0，3）．同理可得A3（0，9）…∴A2022（0，32021）．故答案为：（0，32021）．三．解答题（共7小题）20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC 于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，∴，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F=∠DAE，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴，∴BF•DE=AB•AD．21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．（1）求证：CD=CF；（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，在△ADC和△ABC中∴△ADC≌△ABC，∴CD=CB，∵CE⊥AB，EF=EB，∴CF=CB，∴CD=CF；（2）解：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC=∠B，∵CF=CB，∴∠CFB=∠B，∴∠ADC=∠CFB，∴∠ADC+∠AFC=180°，∵四边形AFCD的内角和等于360°，∴∠DCF+∠DAF=180°，∵CD=CF，∴∠CDG=∠CFD，∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°，∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG，∵∠DAB=2∠DAC，∴∠CDG=∠DAC，∵∠DCG=∠ACD，∴△DGC∽△ADC；（3）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC=∠ADC，=，∵∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，∴∠HAG=∠DGC，=，∴∠HAG=∠AHG，=，∴HG=AG，∵∠GDC=∠DAC=∠FAG，∠DGC=∠AGF，∴△DGC∞△AGF，∴==，∴=．22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C 是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（）（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是113（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．【解答】解：（1）∵点C是AB的中点，∴OC=AB，∴点C的运动轨迹是以O为圆心，AB长为半径的圆弧，经过的路程的圆周．故选甲．（2）过D作DH⊥OP于H，设DH=a，在Rt△OHD中，∵∠AOD=90°﹣600=300，∴OD=2a，OH=a，∵DH⊥OA，OQ⊥OA，∴DH∥QO，∴=，当AD=时，BD=，∴=，∴AH=a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴a2+a2=，解得a=，OD=，当AD=1时，BD=1，∴=，∴AH=a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴3a2+a2=1，解得a=，OD=1，当AD=时，BD=，∴=，∴AH=2a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴12a2+a2=，解得a=，OD=．（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为≈113cm，所以这根木棒最长可以是113cm．故答案为113cm．23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：=；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．【解答】（1）证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴=；（2）AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，∵=，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD．24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=2．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴=，∴PB2=PA•PC=12，∴PB=2；故答案为：2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系DF=AE；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF 的数量关系并说明理由．（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE，故答案为：DF=AE；②DF=AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵=，=，∴=，∴△ABE∽△DBF，∴==，即AE与DF的数量关系是：DF=AE；（2）①AE与DF的数量关系是：DF=AE；理由：在图3中，作FM⊥AD，垂足为M．∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，∴四边形AEFM是矩形，∴FM=AE，∵AD=BC=mAB，∴Rt△ABD中，BD==AB，∵MF∥AB，∴△DMF∽△ABD，∴==，∴DF=MF=AE；②AE′和DF′的数量关系：DF'=AE'．如图3，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=mAB，∴B D==AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴=，∴==，如图4，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，∴==，∴△ABE′∽△DBF′，∴==，即DF′=AE′．。

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是 个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。

2021中考 临考专题训练：相似三角形及其应用一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则( )A. AD AB ＝12B. AE EC ＝12C. AD EC ＝12D. DE BC ＝122. 下列命题是真命题的是( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶93. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB ，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 634. （2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．5B ．2C ．4D ．255. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．57. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC ＝3，则DE 的长为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4二、填空题9. 如图，在△ABC 中，∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. (2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .13. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF14. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE ，则DF =______，BE =______．FDBE A C15. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t △ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．三、解答题 17. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．18. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.19. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.20. （2019·上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ∶DE ＝2∶3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADEABC S S 的值．21. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD 的延长线于点F . (1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，若MG=nME ，求n 的值.22. 如图，AB是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ； (2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．23. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．24. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．2021中考 临考专题训练：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AE AC ＝13，∴AE EC ＝12，故选B .2. 【答案】B3. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．4. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．5. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．6. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=，∴AD =4CD=，∴CD = 故选C ．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得x＝1，∴DE的长为1.二、填空题9. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】3【解析】∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.13.2【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:21:22．14. 【答案】25－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x－x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．15. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形， ∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥， ∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，．16. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题17. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =， 解得，2FG =．18. 【答案】解:(1)证明:∵C 是的中点，∴=. ∵AB 是☉O 的直径，且CF ⊥AB ，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG 和△CDG 中，∵∴△BFG ≌△CDG (AAS).(2)如图，过C 作CH ⊥AD ，交AD 延长线于H ，连接AC ，BC ，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.19. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.20. 【答案】解：（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1 2∠BAC，同理∠ABD＝12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝12(∠ABC＋∠BAC)＝90°－12∠C，∴∠E＝90°－(90°－12∠C)＝12∠C ． （2）解：延长AD 交BC 于点F ．∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠E ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ， ∴∠E ＝∠CBE ，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，＝，∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC ＝＝＝．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°，∴∠ABC 中必有一个内角为90° ∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E ＝12∠C ，∴∠ABC ＝∠E ＝12∠C ，∵∠ABC ＋∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时＝2－．当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E=12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°， ∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时＝2－．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，＝2－3或2－2．21. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FDBAM ＝DM∠AME ＝∠DMF， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，解图①∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 在△AEM 和△HMG 中，⎩⎨⎧AM ＝GH∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， FMG EMG ≌△△∴， ∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，解图②∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ，∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MGEM ＝ 3.∴n =322. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ， 又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°， 又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CECB，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2， ∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k >1)， ∴aa 1＝k .∴a ＝ka 1，又∵c ＝a 1，∴a ＝kc . (2)解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2. 此时a a 1＝b b 1＝cc 1＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1.(3)解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1.理由如下： 若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1. 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c ， ∴b ＝2c .(12分)∴b ＋c ＝2c ＋c ＜4c ＝a ，与b ＋c >a 矛盾， 故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2.24. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S=， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE AB S =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， 即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14， ∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形． 证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EMAB，∵AB ＝5， ∴445-，x x=解得x ＝209，21 ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ， 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。

2021中考数学三轮冲刺：相似三角形及其应用一、选择题1. 下列命题是真命题的是 ( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶92. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则 ( )A .=B .=C .=D .=3. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( )4. (2019•雅安)若34ab =∶∶，且14a b +=，则2a b -的值是A ．4B ．2C ．20D ．145. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4D ．1:56. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)7. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（）A．5B．2C．4D．25 8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为 m.11. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ．ABCDEF12. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______． 15. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C16. （2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABDS △CBD＝________．ODCBA三、解答题 17. （2020·通辽）如图，⊙O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ， 求证：AB ⊥CD ．PDCBO A18.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC.P 为△ABC 内部一点，且∠APB=∠BPC=135°. (1)求证:△P AB ∽△PBC ; (2)求证:P A=2PC ;(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证:=h 2·h 3.19. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ，垂足为F .（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，△ABC中，∠ACB ＝90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．22. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点.51-. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.A CB HGADPE FDA图① 图 ② 图③23. 如图，AB为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ；(3)求AOOF 的值．24. （2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ﹦∠CDE ﹦90°，连接BD ，AB ﹦BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．ABC DEF EDCBA图（1） 图（2） 备用图答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C[解析]根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论. ∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴=，∴=.故选C .3. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A 1B 1C 1各边长分别为1，，选项A 中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .4. 【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =，所以43ab =． 所以由14a b +=得到：4143aa +=， 解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．5. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．7. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，BC=2,AC=5.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH ＝2，所以BH ＝BD 2－DH 2＝1，又可得△DHB ∽△ADB ，所以有BD 2＝BH·BA ，(3)2＝1×BA ，AB ＝3.二、填空题 9. 【答案】 [解析]∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴=，即=， ∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为2所以周长比为2故答案为：22．12. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3，∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18， ∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．15. 【答案】21 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1－1，x 2－1．经检验，x 1－1，x 2－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x－1，即BE1．16. 【答案】332【解析】法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，∴AO OE ＝OD OB ＝34，由tan ∠ACB ＝12，可得CE ＝2BE ＝4AE ， ∴S △ABDS △CBD＝AO OC ＝34＋(3＋4)×4＝332． 法2：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ，得到△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，进而得出对应边成比例，AB BC ＝ANNM ＝tan ∠ACB ＝12，BC DM ＝OB OD ＝43；又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠NAD ＝90°，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，得出对应边之间关系，AB BC ＝DNNA ＝12，设AB ＝a ，DN ＝b ，则BC ＝2a ，NA ＝2b ，MN ＝4b ，得DM ＝32a ，∴4b ＋b ＝32a ，即ODCBAEb＝310a，进而表示三角形的面积，得到S△ABDS△CBD＝12AB⋅DN12BC⋅NB＝ab2a⋅(a＋2b)＝310a22a⋅1610a＝332．三、解答题17. 【答案】解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴APDP=CPBP，∴PC•PD＝PB•P A，∵PC2＝PB•P A，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．PDCBOA18. 【答案】证明:(1)在△ABP中，∠APB=135°，∴∠ABP+∠BAP=45°，又△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，∴∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=135°，∴△P AB∽△PBC.(2)由(1)知△P AB∽△PBC，∴===，∴=·=2，即P A=2PC.(3)方法一:如图①，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，PR=h2，PS=h3，在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，∴=，即h 3=2h 2.又由△P AB ∽△PBC ，且=，得:=，即h 1=h 2， ∴=h 2·h 3.方法二:如图②，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，连接SQ ，SR ，RQ ，易知四边形ASPQ ，四边形BRPQ 都有外接圆， ∴∠PSQ=∠P AQ ，∠PQR=∠PBR ，由(1)可知∠P AB=∠PBC ，∴∠PSQ=∠PQR.又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，∴△PSQ ∽△PQR ， ∴=，即PQ 2=SP ·PR ，∴=h 2·h 3.19. 【答案】 解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =.∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，222262210AE AB BE +=+=.又∵4AD BC ==，∴6210DF=，∴610DF =.20. 【答案】(1)证明：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠B ＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC ＝∠FDB ，∴FB ＝FD ，∴△BDF 是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF ＝a ，则AD ＝7a ，解图如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由(1)得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝AC －AE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1，在Rt △DCE 中，tan 30°＝CE DC ＝1－a 7a 2－1＝33， 解得a ＝－2(舍去)或a ＝12，(5分)∴AF ＝12，在△CAF 和△BAC 中，CA AF ＝BA AC ＝2，且∠CAF ＝∠BAC ＝60°， ∴△CAF ∽△BAC ，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)AB 与⊙O 相切．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠AEC ＝90°，又∵∠AEC ＝∠CDF ，∠CAE ＝∠ADF ，∴∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠ADC ＝90°，又∵CD 为⊙O 的直径，∴AB 与⊙O 相切．(3分)(2)如解图，连接CF ，解图∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CDF ＋∠DCF ＝90°，又∵∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠DCF ＝∠ADF ，又∵∠CAE ＝∠ADF ，∴∠CAE ＝∠DCF ，又∵∠CPA ＝∠FPC ，∴△PCF ∽△PAC ，∴PC PA ＝PF PC ，(6分)又∵PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，故设PF ＝a ，则PC ＝2a ，∴2a a ＋5＝a 2a ， 解得a ＝53，∴PC ＝2a ＝2×53＝103.(8分)22. 【答案】解： （1）10.解：∵AB AC =，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：∴EJ=∴AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点. J（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE= a. ∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴BF=AE= a.∴AF BF BF AB =,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.23. 【答案】(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ， ∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ， ∴AE ＝BD ；解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x ＝1＋ 2.24. 【答案】（1）是；（2）结论成立．理由如下：∵BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴∠BDC ＋∠CDF ﹦90°，∠EDF ＋∠CDF ﹦90°． ∴∠BDC ﹦∠EDF ．∵AB ﹦BD ，∴∠A ﹦∠BDC ．∴∠A ﹦∠EDF ．又∵∠A ﹦∠E ，∴∠E ﹦∠EDF ．∴EF ﹦FD ．又∠E ＋∠ECD ﹦90°，∴∠ECD ﹦∠CDF ．∴CF ﹦DF ．∴CF ﹦EF ．∴F 为CE 的中点．（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ．∴GD ﹦12 EC ﹦92 ．又BD ＝AB ＝6，在Rt △GDB 中，GB ＝62＋(92)2 ＝152 ．∴CB ＝152 —92 ＝3．在Rt △ABC 中，AC ＝62＋32 ＝3 5 ． 由条件得：△ABC ∽△EDC ．∴3 5 9 ＝3CD ．∴CD ＝9 5 5 ． ∴AD ＝AC ＋CD ＝3 5 ＋9 5 5 ﹦24 5 5 ．FE D CB A A BC D EG。

2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图1，抛物线()221y x m m =--+（m 为常数）与x 轴交于A B 、两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）下列说法：①抛物线开口向上，①点C 在y 轴正半轴上；①12m >；①抛物线顶点在直线21y x =-+上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线21y x =-+与该抛物线交于M N 、两点（点M 在点N 下方），试说明：线段MN 的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线21y x =-+与y 轴交于点D ，连接BM BN BD 、、，当:1:2DN MN =时，求此时m 的值，判断MBN △与MDB △是否相似，并说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax ax c a =-+>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ，连接BD ，且ABD △与ABC 的面积之比为1：2．（1）顶点C 的横坐标为__________； （2）求点B 的坐标；（3）连接CO ，将BCO 绕点C 按逆时针方向旋转一定的角度后，点B 与点A 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，求抛物线的表达式．3．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标； （3）如图2，设AB 的中点为点N ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接CD 、CN ，使得以C 、D 、F 三点为顶点的三角形与CNO 相似，请直接写出点D 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）如图1，点E 为第四象限抛物线L 上一动点，过点E 作EG BC ⊥于点G ，求EG 的最大值，及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接,AC BC ，过点O 作直线//l BC ，点,P Q 分别为直线l 和抛物线L 上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点,P Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ①CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ①x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与①PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA '与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，当:PD OD 的值最大时，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使90CMN ∠=︒，且CMN △与BOC 相似，若存在，请直接写出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；①在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标； （3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．11．综合与实践如图1，抛物线y ＝﹣83x 2﹣94x +6与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的表达式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以54个单位长度/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒，当①OPQ 的平分线恰好经过OC 的中点时，求t 的值．12．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACPACDSS =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD △相似，直接写出点M 的坐标．13．如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tanB 4=，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(2)3，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A 和点()10B ,，交y 轴于点()0,3C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作直线MN x ⊥轴交抛物线于点N ，是否存在点M ，使得AMN 与OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标xoy 系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c ，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；①试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与①ABF 相似．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，0），E （1，3），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ ∥AC ，交直线BC 于点Q ，作PM ∥y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM ∽△COA ； ②求线段PQ 的长度的最大值．19．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(m,0)E 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若BPD ∆直角三角形，求点E 的坐标；①点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD CBO ∠+∠=︒．请直接写出m 的值．20．如图，点A ，B 都在x 轴上，过点A 作x 轴的垂线交抛物线24y x x =-+于点C ，过点B 作x 轴的垂线交该抛物线于点D ，点C ，D 都在第一象限，点D 在点C 的右侧，DE AC ⊥于点E ，连结CD ，BE ，//CD EB ．（1）若2OA =，求AB 的长．（2）若点A 是线段OB 的中点，求点E 的坐标．（3）根据（2）的条件，连结OD ，动点P 在线段OB 上，作PQ OD ⊥交OD 于点Q ，当PDQ 与CDE △相似时，求OQOD的值．答案1．（1）①①①；（3）m =3，相似；m =1，不相似2．（1）3；（2）（5，0）；（3）2y 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3D ；（3）57,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥ 5．（1）（2）①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．6．（1）213222y x x =--；（2）max ()=EG E 的坐标为(2,3)-；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭． 7．（1）A （-1，0），B （1，0），C （0，-1）；（2）四边形ACBP 的面积为4；（3）M 点的坐标为（-2，3）或（43，79）或（4，15）． 8．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-． 9．（1）2 246y x x =-++；（2）点P 的坐标为315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点M 的坐标为939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10．（1）2134y x x =--；（2）①4；①1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤ 11．（1）直线AC 的表达式为364y x =+；（2）点E 1的坐标为20(3,)3--；点E 2的坐标为(3,10)-；点E 3的坐标为(3,3-+；点E 4的坐标为(3,3--；（3）t 的值为5．12．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）⎝⎭P 或⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 14．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，； （3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．15．（1）223y x x =--+，()1,4-；（2）()2,3P -；（3）存在，()2,0-或2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭17．（1）2142y x x =--+；（2）①6；①存在，E (62--或(62--18．（1）二次函数表达式为：213222y x x =-++ ；（2）△ABC 为直角三角形；（3）； 19．（1）234y x x =-++；（2）①(2,0)或(3,0)；①7m =或134．20．（1；（2）1296,749E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2或4932。

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。

2021中考数学 二轮专题汇编：相似三角形及其应用一、选择题1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则( )A .=B .=C .=D .=2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( )3. (2019•雅安)若34ab =∶∶，且14a b +=，则2a b -的值是 A ．4 B ．2 C ．20 D ．144. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为 ( )A .B .C .D .5. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB ，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 636. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．307. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:58. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．5二、填空题9. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .10. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为 ．11. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．12. (2019•百色)如图，ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()22A ，， ()34B ，，()61C ，，()68B'，，则A'B'C'△的面积为__________．13. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.14.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4， CD ⊥AB ，垂足为D ， E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________．FE DB CA15. (2019•泸州)如图，在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC =，点E 在边CB 上，2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为__________．16. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.三、解答题 17. （2020·杭州）如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．FED CBA（1）求证：E BDE FC ∽△△． （2）设12AF FC =， ①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．18. (2019•广东)如图，在ABC △中，点D 是边AB 上的一点．(1)请用尺规作图法，在ABC △内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若2ADDB =，求AE EC的值．19. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG 在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40 cm，AD=30 cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;(2)求这个正方形的边长与面积.20. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC 的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O 相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接P A，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.22. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O 于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求FGFC的值．23. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD ＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．24. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？2021中考数学二轮专题汇编：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故选C.2. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，，选项A中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B.3. 【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =，所以43a b =． 所以由14a b +=得到：4143aa +=， 解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．4. 【答案】A[解析]如图所示.设DM=x ，则CM=8-x ，根据题意得:(8-x +8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得: BM===5.过点B 作BH ⊥水平桌面于H ，∵∠HBA +∠ABM=∠ABM +∠DBM=90°， ∴∠HBA=∠DBM ， ∵∠AHB=∠D=90°， ∴△ABH ∽△MBD ，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.5. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．8. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=，∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△，∴AD AE DEAC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=， ∴6AD y =，∴46CDy =，∴26CD =， 故选C ．二、填空题 9. 【答案】5410. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC == ，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．11. 【答案】12【解析】∵32x y x +=，∴223x y x +=， 故2y =x ，则12y x =，故答案为：12．12. 【答案】18【解析】∵ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()34B ，，()68B'，，∴位似比为31=62， ∵()22A ，，()61C ，， ∴()()44122A'C'，，，， ∴A'B'C'△的面积为：1116824662818222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：18．13. 【答案】[解析]如图①，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=ED=CF .设ED=x ，则CD=x ，AD=12-x.∵DE ∥CF ，∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴=，∴=，∴x=.如图②，四边形DGFE 是正方形，过C 作CP ⊥AB 于P ，交DG 于Q ，∵S △ABC =AC ·BC=AB ·CP ，则12×5=13CP ，∴CP=. 设ED=y ，同理得:△CDG ∽△CAB ，∴=，∴=，y=<，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.14. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝12CD＝65，EG＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DFDF=-，所以DF＝，故答案为5485．GFE DBC A15. 【答案】92【解析】如图，过D作DH AC⊥于H，则∠AHD=90°，∵在等腰Rt ABC△中，90C=︒∠，15AC=，∴15AC BC==，45CAD∠=︒，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴AH DH=，∴CH=AC–AH=15–DH，∵CF AE⊥，∴90DHA DFA∠=∠=︒，又∵∠ANH=∠DNF，∴HAF HDF∠=∠，∴ACE DHC△∽△，∴DH CHAC CE=，∵2CE EB=，CE+BE=BC=15，∴10CE=，∴151510DH DH-=，∴9DH=，∴2292AD AH DH=+=，故答案为：2．16. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答题17. 【答案】解： （1）∵DE ∥AC ，∴∠BED ＝∠C ．∵EF ∥AB ，∴∠B ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ．（2）①∵EF ∥AB ，∴BE EC ＝AF FC ＝12．∵BC ＝12，∴12BE BE-＝12，∴BE ＝4． ②∵EF ∥AB ，∴△EFC △BAC ，∴EFC BACS S ∆∆＝2()EC BC ．∵BE EC ＝12，∴EC BC ＝23．又∵△EFC 的面积是20，∴20BACS ∆＝22()3，∴S △ABC ＝45，即△ABC 的面积是45．18. 【答案】(1)如图所示：(2)∵ADE B ∠=∠， ∴DE BC ∥． ∴2AE ADEC DB==．19. 【答案】[解析](1)根据EH ∥BC 即可证明.(2)设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形，设正方形边长为x ，利用△AEH ∽△ABC ，得=，列出方程即可解决问题.解:(1)证明:∵四边形EFGH 是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC.(2)如图，设AD与EH交于点M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM.设正方形EFGH的边长为x cm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2.20. 【答案】(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴AEDE＝EF EA，∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．解图21. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以P A=PC，所以∠PCA=∠P AC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠P AC=∠ABC，所以∠P AC+∠BAC=90°，所以P A⊥AB，所以P A是☉O的切线.(2)因为∠P AO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△P AO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.22. 【答案】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD . ∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ， 又∵∠COD ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠BAC ， ∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°， ∴∠ABD ＝90°， 即OB ⊥BD ，又∵OB 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图，连接CE 、BE ， ∵OE ＝ED ，∠OBD ＝90°， ∴BE ＝OE ＝ED ，∴△OBE 为等边三角形， ∴∠BOE ＝60°， 又∵AC ∥OD ， ∴∠OAC ＝60°， 又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形， ∴AC ＝OA ＝OE ，∴AC ∥OE 且AC ＝OE ，∴四边形OACE 是平行四边形，而OA ＝OE ， ∴四边形OACE 是菱形；解图(3)解：∵CF ⊥AB ， ∴∠AFC ＝∠OBD ＝90°，而AC ∥OD ， ∴∠CAF ＝∠DOB ， ∴Rt △AFC ∽Rt △OBD ， ∴FC BD ＝AF OB ，即FC ＝BD ·AF OB ， 又∵FG ∥BD ，∴△AFG ∽△ABD ， ∴FG BD ＝AF AB ，即FG ＝BD ·AF AB ，∴FC FG ＝ABOB ＝2， ∴FG FC ＝12.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)； (2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8， ∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ， ∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133.∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4， 又∵HM ∥AC ， ∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG ，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ， ∴BP EK ＝GB GE ，∴BP ＝261315.24. 【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为 x 2＋b a x ＋ca ＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图① 图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆． x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ， ∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°， ∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ， ∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°， ∴△AOD ∽△DEB ，(6分) ∴AO DE ＝OD EB ，即15－m＝m 2，∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a ，c a )或(0，1a )，(－ba ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N.由(2)知△PMD∽△DNQ，∴n1m2－x＝x－m1n2，(12分)∴x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0与ax2＋bx＋c＝0同解，∴－ba＝m1＋m2；ca＝m1m2＋n1n2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m的等量关系，从而使问题得以解决．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题09 相似三角形一、单选题1．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）A ．四条边对应成比例的两个四边形相似B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【详解】A 、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B 、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C 、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ）A ．AOB DOC S S =△△ B ．AOB BOC S OD S OB =△△ C ．AOD BOC S OA S OC =△△ D ．ABD ABC S AD S BC=△△ 【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．【详解】解：如图所示：∵AD∵BC ，∵∵AOD∵∵COB ，ABC DBC S S =，ABD ABC S AD S BC=△△，故D 正确， ∵OA OD OC OB =，∵22AOD BOC S OA S OC=△△，故C 错误； ∵,DOC OBC ABC AOB OBC DBC S S S S S S =+=+△△，∵AOB DOC S S =△△，A 正确； ∵AOB BOC S OA S OC=△△，即AOB BOC S OD S OB =△△，故B 正确；故选C ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知ABC 与DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°【答案】D【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∵C ，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∵D 可能的度数，从而作出判断．【详解】解：∵ABC 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒∵∵C=180°－∵A －∵B=80°∵ABC 与DEF 相似∵∵D=∵A=40°或∵D=∵B=60°或∵D=∵C=80°∵D ∠不可能是100°.故选：D ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键．4．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A ．am nB ．an mC ．am m n +D ．an m n+ 【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形，DF BE ∴=， ::AF FB m n =，AF mAB m n∴=+，//DF BC ，ADF ACB ∴∽ AF DF ADAB BC AC ∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n ∴==+，BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a - 【答案】D【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE 与BC 的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED 的值．【详解】解：∵//DE BC ，∵DE AD BC AB=， ∵2AD =，3BD =，∵223DE BC =+，∵25DE BC =． ∵BC a =，∵ED =25a -．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）A ．两个矩形必相似B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似C ．两个菱形必相似D ．两个含30角的直角三角形必相似【答案】D【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B 、如果一个等腰三角形的顶角是45︒，另一等腰三角形的底角是45︒，则不相似，此项错误；C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．7．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，己知在ABC中，点D、点E是边BC上的两点，连接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∵CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD【答案】D【分析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可．【详解】解：∵ABE∵CBA，∵AB BEBC AB=，∵BAE＝∵C，∵AEB＝∵CAB，∵AB2＝BE•BC，（故选项A正确）∵AD＝AE，∵∵ADE＝∵AED，∵∵ADE＝∵CAB，又∵∵C＝∵C，∵CDA∵CAB，∵CD ADAC AB=，∵CD•AB＝AD•AC，（故选项B正确）∵∵ADE＝∵AED，∵BAE＝∵C，∵ABE∵CAD，∵AE BE CD AD=，∵AE•AD＝CD•BE，又∵AD＝AE，∵AE2＝CD•BE，（故选项C正确）∵∵ADE＝∵AED＜90°，∵∵ADB＝∵AEC＞90°，∵AB＞AD，AC＞AE，∵AB•AC＞AE2，即AB•AC＞CD•BE，（故选项D错误）故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．8．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AE BF AC BC = C ．BD BF AD DE = D ．DG BF GF FC= 【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．【详解】解：∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵四边形DFCE 是平行四边形，∵DE=CF ，DF=CE ，∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵BFD∵∵BAC ，∵AD DE AB BC=，故A 错误； AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC=，故B 错误； ∵DF∵AC ，∵BD BF BF AD CF DE==，故C 正确； ∵DE∵BC ，∵DG DE CF GF BF BF==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，对角线的交点为点O ．如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）A ．点O 到边AB 的距离B ．点O 到边BC 的距离 C ．点O 到边CD 的距离D ．点O 到边DA 的距离【答案】D 【分析】变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '，利用平行证出∵ABO∵∵CDO ，∵ABO '∵C D O '''△列出比例式即可证出BO BO DO D O '=''，从而证出OO '∵DD '，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论． 【详解】解：如下图所示，变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '由题意易知：CD=C D ''∵AB∵CD ，AB∵C D ''∵∵ABO∵∵CDO ，∵ABO '∵C D O '''△ ∵AB BO CD DO =，AB BO C D D O '=''''∵BO BO DO D O '=''∵OO '∵DD ' 根据平行线之间的距离处处相等，可得点O 和点O '到DA 的距离相等，点O 和点O '到AB 、BC 、CD 的距离不一定相等∵不变量是点O 到边DA 的距离故选D ．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出OO '∵DD '是解题关键．10．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∵ACD=∵B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）A ．2AE AF AD =⋅B ．2AC AD AB =⋅C ．2AF AE AC =⋅D ．2AD AF AB =⋅【答案】C【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．【详解】解：∵DE //BC ，EF //CD ，∵∵ADE=∵B ，∵ACD=∵AEF ，又∵∵ACD=∵B ，∵∵ADE=∵AEF ，∵∵ADE=∵AEF ，∵A=∵A ，∵AEF∵ADE ，∵AE ADAF AE=，∵2AE AF AD =⋅，故选项A 正确； ∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵ACD∵ABC ，∵AC AD AB AC=，∵2AC AD AB =⋅，故选项B 正确； ∵DE //BC ，∵AE AD AC AB =，∵EF //CD ，∵AE AF AC AD=，∵AF AD AD AB =，∵2AD AF AB =⋅，故选项D 正确； ∵EF //CD ，∵AE AF AC AD =，∵AF AC AE AD ⋅=⋅，故选项C 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =，8CB =，∴142CD BD BC ===， GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △，∴EG AGCD AD =，21AG GD =，∴23AG AD =， ∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．12．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C 【分析】设AD=2x ，BC=6x ，根据EF 是梯形ABCD 的中位线，求得EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，证得GH=AD ，由此得到1OGH AOD S S ∆∆==，39BOC OGH S S ∆∆==，033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，即可求出答案．【详解】设AD=2x ，BC=6x ，∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点，EF∵AD∵BC ，∵EF=1()24AD BC +=x ， ∵EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，∵GH=2x ，∵GH=AD ，∵GH∵AD,∵∵OAD∵∵OHG, ∵1OD AD OG GH==，∵OG=OD ，1OGH AOD S S ∆∆==， ∵GH∵BC,∵∵OGH∵∵OBC ，∵2163GH x BC x ==∵99BOC OGH S S ∆∆==， ∵O 是DG 的中点，G 是BD 的中点，∵033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，133916ABCD S ∴=+++=， 故选：C ．．【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．13．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEFS=，那么ABCS的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】证明∵BAC∵∵FEC ，得219EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，DF∵AB ，∵∵ACB=∵FCE=∵BDE=90°又∵FEC=∵BED∵∵F=∵B∵∵ABC∵∵EFC∵()22211tan 39EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1CEFS=∵99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题14．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为________．【答案】1:16【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∵两三角形的相似比为1：4，∵两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．15．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为__________．【答案】4：9【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可直接得出结果．【详解】解∵两个相似三角形的相似比为4：9，∵这两个相似三角形的周长比为4：9．故填：4：9．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．16．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么这两个三角形对应边上的高之比为_______________________．【答案】1:4【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∵两个相似三角形的相似比为1：4，∵这两个三角形对应边上的高之比为1：4，故答案为：1：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上， //DE BC ，如果AED 和四边形DECB的面积相等，BC = DE 的长是 _____ ．【答案】2【分析】根据题意可得∵ADE∵∵ABC ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】∵//DE BC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵2ADE ABCS DE SBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵AED 和四边形DECB 的面积相等，∵12ADE ABCS S=， ∵212DEBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即：222DE BC ===，故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．18．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∵AFC ＝∵FAE ＝90°，继而在Rt∵AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt∵AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =∵ABC DAC △∽△∵2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠∵AB AC ==32AD CD ==，∵2BC =又ACB CAD ∠=∠，∵//BC AD ，∵AB ＝AC 又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∵AF∵BC ，AF∵AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，即∵AFC ＝∵FAE ＝90°，在Rt∵AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∵在Rt∵AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．19．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________． 【答案】5:4【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∵其相似比为5：4， ∵这两个相似三角形的周长的比为5：4．故答案为：5：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【答案】207【分析】作CM∵AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明∵CGF∵∵CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM∵AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∵设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB 2＝AC 2＋BC 2，即：102＝（2k ）2＋k 2，解得：k ＝∵BC ＝25，AC ＝45，∵CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于∵ABC ，∵GF ＝EF ＝MN ，GF∵AB ，∵∵CGF∵∵CAB ， ∵CN GF =CM AB ，即4EF EF 410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．【答案】15【分析】如图，记,AH DG 的交点为M ， 设,DG x = 2,402,DE x AM x ==-再证明：,ADG ABC ∽利用相似三角形的性质可得：,DG AMBC AH=再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：如图，记,AH DG 的交点为M ，设,DG x = 2DE DG =， 2,DE x ∴= ,AH BC ⊥ 四边形DEFG 为矩形，40AH =，2,402,MH DE x AM x ∴===- ,AH DG ⊥ //,DG EF ,ADG ABC ∴∽ ,DG AMBC AH∴= 60BC =，402,6040x x -∴= 402400120,x x ∴=- 1602400,x ∴= 15,x ∴= 15.DG ∴=故答案为：15.【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∵AED =∵B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为____．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定得出∵AED∵∵ABC ，得出比例式，代入求出AB 即可． 【详解】AC=AE+CE=3+1=4，∵∵A=∵A ，∵AED=∵B ，∵∵AED∵∵ABC ，∵=AD AEAC AB ，∵23=4AB，∵AB=6，∵BD=6-2=4，故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能求出∵AED∵∵ABC 是解此题的关键． 23．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∵CFE∵∵CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB ∵∵CFE∵∵CAB 又∵12AF FC =∵32AC FC =，∵94ABC FEC S S =△△ 设∵ABC 的面积为x 则9254x x =-，解得，x=45，经检验x=45是原方程的根,故答案为：45 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．24．（2021·上海闵行区·九年级一模）在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果：25DE BC =，那么AEEC=__________． 【答案】23【分析】如图，由//DE BC ，可得：ADE ABC △△∽，从而有：25DE AE BC AC ==，设2AE x =，则=5AC x ，求解3EC x =，从而可得答案．【详解】解：如图，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，2,5DE AE BC AC ∴== 所以设2AE x =，则=5AC x ，3,EC AC AE x ∴=-= 2.3AE EC ∴=故答案为：2.3【点睛】本题考查的是比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 25．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在AB 、AC 上，已知ABC 的边16BC cm =，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为___．【答案】8013【分析】高AH 与边DG 的交点为P ，由四边形DEFG 是正方形，得到DE DG PH ==，//DG EF ，所以ADG B ∠=∠，又因为DAG BAC ∠=∠，可证ADG ∵ABC ，根据相似三角形边之比等于高之比得到DG APBC AH=，代入数据求解即可． 【详解】高AH 与边DG 的交点为P ，如图，四边形DEFG 是正方形，∴//DG EF ，DE DG PH ==， 设正方形DEFG 的边长为x cm ，则DE DG PH x ===，10AH =，∴10AP AH PH x =-=-，//DG EF ，∴ADG B ∠=∠，DAG BAC ∠=∠（公共角），∴ADG ∵ABC ，∴DG APBC AH=， 16BC =，10AH =，∴101610x x -=，∴8013x =．故答案为：8013．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是注意图中公共角这个隐含条件．26．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果3AB =，6CD =，那么EF 的长是________．【答案】2【分析】选证明ABE DEC △∽△得到3162AE AB ED CD ===，利用比例性质得到23DE DA =，再证明//EF AB ，则可判断DEF DAB ∽，然后利用相似比可得到23EF AB =，问题可解． 【详解】解：/AB/CD ，ABE DEC ∴∽△△3162AE AB ED CD ∴===23DE DA ∴=， ∵//,//EF CD AB CD ，∵//EF AB ，DEF DAB ∴∽，∴23EF DE AB AD ==， ∵223233EF AB ==⨯=，故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形时，应注意利用图中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．27．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，4=AD ，9BC =，那么BD =______．【答案】6【分析】根据题意可知∵ABD∵∵DCB ，利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案． 【详解】解：在直角梯形ABCD 中，∵//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，∵∵ADB=∵DBC ，∵A=∵BDC ，∵∵ADB∵∵DCB,∵AD BDDB CB= 又∵AD=4,,BC=9,∵BD=6故答案为:6．【点睛】本题考察了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出∵ABD∵∵DCB ．28．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知△ABC 和△A 'B 'C '，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '，B '，C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，那么A D ''的长是________． 【答案】85【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应边上的中线的比进而得出答案．【详解】解：如图，∵∵ABC∵∵A 1B 1C 1，3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，∵BC AD B C A D ='''' 即3 2.4=2A D ''∵85A D ''=．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．29．（2021·上海金山区·九年级一模）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG=______．【答案】34【分析】根据已知条件得出G 点是重心，再通过证明BEG ∵BFD △得出比例关系即可．【详解】∵ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，∵G 为ABC ∆的重心， ∵DG BG =12，GE AE =13；∵BG BD =23∵DF //AE ，∵BEG ∵BFD △ ∵EG DF =23∵GE AE =13∵DF AG =34．故答案为34． 【点睛】本题考查了重心的判定和性质与相似三角形的判定与性质，找到重心和两个相似三角形是解题的关键．30．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCD Rt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵BED 是由∵BCD 翻折得到，∵Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，∵4AD BC ==，AB CD ED ==，∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB∵Rt DAB Rt BCD ∆≅∆∵Rt DAB Rt BED ∆≅∆∵AB ED =，ABD EDB ∠=∠∵四边形ABDE 是等腰梯形，∵CE BD ⊥，//AE BD ∵CE AE ⊥，∵EAD ADB DBC =∠=∠∵∵90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=∵∵DBC FCD =∠∵Rt BCD Rt CDF ∆∆∵FD CD CD BC =，即14CD CD =∵2CD =或-2（舍去） 在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠===，∵∵EAD DBC =∠ ∵1tan 2EAD ∠=在Rt AEF ∆中，12EF AE =由勾股定理得，222AE AF EF =-即2221()()2AE AD FD AE =--∵2221(41)4AE AE =--解得：AE =． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．31．（2021·上海九年级一模）如果两个相似三角形的周长比为2:3，那么它们的对应角平分线的比为_________________． 【答案】23【分析】结合题意得：23AP AB =；再根据角平分线的性质，通过证明ABN APM △∽△，即可得到答案． 【详解】如图，ABC APQ △∽△，BAC ∠的角平分线AN 交BC 于点N ，交PQ 于点M∵APQ B ∠=∠∵APQ 和ABC 周长比为2:3∵23AP AB = ∵BAC ∠的角平分线AN 交BC 于点N ，交PQ 于点M ∵12PAM BAN BAC ∠=∠=∠ ∵ABN APM △∽△∵23AM AP AN AB ==故答案为：23．【点睛】本题考查了相似三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、角平分线的性质，从而完成求解．32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC的值为_____．【答案】13【分析】由题意可以得到∵AOE∵∵COD ，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO ：OC 的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵∵OAE=∵DCO ，∵OEA=∵ODC ，∵∵AOE∵∵COD ，∵AO AE AE OC CD AB ==，∵122AE EB AE EB =∴=，， ∵133AE AE AE AB AE EB AE ===+，∵13AO OC =，故答案为13． 【点睛】本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．33．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且//DE BC ，//EF AB ．如果ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，那么四边形BFED 的面积是________．【答案】8【分析】根据平行线的性质可得∵AED=∵C ，∵A=∵CEF ，从而证出∵ADE∵∵EFC ，然后根据相似三角形的性质即可求出AE EC ，从而求出AE AC，然后利用平行证出∵ADE∵∵ABC ，根据相似三角形的性质求出ADE ABC S S ，即可求出ABC S ，最后根据S 四边形BFED =ABC S －ADE S －CEF S △即可证出结论．【详解】解：∵//DE BC ，//EF AB ∵∵AED=∵C ，∵A=∵CEF∵∵ADE∵∵EFC∵ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，∵12AE EC ==== ∵31AE AC =∵//DE BC ∵∵ADE∵∵ABC∵219ADE ABC S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△∵219ABCS =△ ∵18ABC S =∵S 四边形BFED =ABC S －ADE S －CEF S △=8故答案为：8．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．34．（2021·上海浦东新区·九年级一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，∵C=90°，AC=12，BC=5，AD∵AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF∵CE 交DE 于点F ，那么BF=______．【答案】2625【分析】分别过点C 、B 作CH∵AB ，BG∵EF ，垂足分别为点H、G ，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= 6013，再证明FBE∵ACB，根据相似三角形的性质可得BF BGAC CH=，由此计算即可．【详解】解：如图，分别过点C、B作CH∵AB，BG∵EF，垂足分别为点H、G，∵∵ACB=90°，AC=12，BC=5，13 ==，∵CH∵AB，∵CH=6013 AC BCAB⋅=，∵DE//AB，BG∵DE，AD∵AB，AD=0.4，∵BG=AD=0.4，∵FEB=∵ABC，∵BF∵CE，∵ACB=90°，∵∵ACB=∵FBE=90°，∵∵FEB=∵ABC，∵ACB=∵FBE=90°，∵FBE∵ACB，又∵CH∵AB，BG∵EF，∵BF BGAC CH=，∵0.4601213BF=，解得：2625BF=，故答案为：2625．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到BF BGAC CH=是解决本题的关键．35．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M 的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC 相交于点E、F，那么线段BE的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，， 84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．36．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∵BC ，如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么DE 的长为____．【答案】6【分析】先设DE=x ，CE=y 根据线段数量关系得出AD=DE+CE=x+y ，由相似三角形对应线段成比例得到关于x ，y 的二元一次方程组，解得x 即可求解．【详解】如图：设DE=x ，CE=y∵四边形BCED 的周长为21，BC =9，∵BD+DE+CE=21-9=12=AB=BD+AD即AD=DE+CE=x+y∵DE ∵BC ，∵∵ADE∵∵ABC ∵AD AE AB AC = 即6126x y y +-= DE AE BC AC = 即696x y -= 整理得：3122318x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：x=6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，以及解二元一次方程，正确设未知数是解题的关键． 37．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明∵AEF∵∵DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∵∵A+∵B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∵EFG=∵DGF=90︒,∵∵AFE=∵BGD=90︒，∵∵A+∵AEF=90︒,∵∵AEF=∵B ，∵∵AEF∵∵DBG ，∵EF AF BG DG =，∵49x x=， 解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明∵AEF∵∵DBG 是解题的关键． 38．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在ABC 中，2AB AC =，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，那么ACD ABCS S =△△__________． 【答案】14【分析】由∵A=∵A ，∵ACD=∵B ，得到∵ABC∵∵ACD ，根据相似三角形的性质即可得到结果．【详解】∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵∵ACD∵∵ABC ，∵AB=2AC ， ∵22ACD ABC 1124S AC S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：14． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用了“相似三角形面积的比等于相似比的平方”． 39．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知点D ．E 分别在ABC 的边AB 和AC 上，//DE BC ，34DE BC =，四边形DBCE 的面积等于7，则ADE 的面积为____．【答案】9【分析】由//DE BC 易证∵ADE∵∵ABC 利用相似三角形的性质2ADE 2ABC S DE =S BC ∆∆利用分比性质ADE ABC ADE S 9=S S 169∆∆∆--，由ABC ADE S S ∆∆-S 四边形DBCE =7，代入ADE DBCE 9S =S 7∆四边形即可． 【详解】∵点D ．E 分别在ABC 的边AB 和AC 上，//DE BC ，∵∵ADE=∵ABC ，∵A 共用，∵∵ADE∵∵ABC ，∵34DE BC =，∵2ADE 2ABC S DE 9==S 16BC ∆∆ ， ∵ADE ABC ADE S 9=S S 169∆∆∆--，∵ADE DBCE S 9=S 7∆四边形，∵S 四边形DBCE =7，∵ADE DBCE 99S =S =7=977∆⨯四边形． 故答案为：9．【点睛】本题考查三角形相似的判断与性质，会证三角形相似，能利用相似三角形的性质列出面积比，会利用比例性质解决问题是关键．40．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．【答案】4。