九年级数学下册 正弦与余弦的习题(无答案) 苏科版

专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ． 最小正周期为的奇函数B ． 最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数 D ． 最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ． －12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。

苏科新版九年级下学期《7.2 正弦、余弦》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则∠A的正弦值等于（）A．B．C．D．2．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE ＝3，则tan C•tan B＝（）A．2B．3C．4D．53．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A ＜60°D．60°＜∠A＜90°4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°6．sin240°+cos240°的值为（）A．0B．C．1D．27．已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（）A．38°B．62°C．52°D．72°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．10．当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A ＜90°D．30°＜∠A＜45°11．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．113．已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A的值等于（）A．B．C．D．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共16小题）16．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是．17．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为．18．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）19．比较大小：sin40°cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）20．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．21．比较大小：sin57°tan57°．22．已知：tan x＝2，则＝．23．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则cos B的值为．25．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．26．已知＜cos A＜sin70°，则锐角A的取值范围是．27．cos30°cos40°（填大小关系）28．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为．29．若α为锐角，且，则m的取值范围是．30．已知α为锐角，且sinα＝cosα，则α＝．31．如果α是锐角，且cotα＝tan25°，那么α＝度．三．解答题（共16小题）32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a ＝2，sin，求b和c．33．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值．34．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，求∠B的正弦、余弦值和正切值．35．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．36．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sin A，cos A，tan A．37．如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tan C＝，求：边AB的长和∠A的正弦值．38．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．39．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，cos A＝，求sin A及tan A．40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan∠A＝．求AB的长和sin ∠B的值．41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD ＝5．求∠A的三个三角函数值．42．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．43．比较大小：cos1°，tan46°，sin88°和cot38°．44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD 的值．45．根据三角函数规律解决．（1）比较sin46°和cos20°的大小；（2）比较sin20°、cos60°和tan45°的大小；（3）比较sin20°、cos80°和tan45°的大小．46．已知cotα＝2（α为锐角），求的值．47．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．苏科新版九年级下学期《7.2 正弦、余弦》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则∠A的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴∠A的正弦值等于：＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出BC的长是解题关键．2．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE ＝3，则tan C•tan B＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】由DE＝2，OE＝3可知AO＝OD＝OE+ED＝5，可得AE＝8，连接BD、CD，可证∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，∠DBA＝∠DCA＝90°，将tan C，tan B 在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴＝，＝，由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°，∵DE＝2，OE＝3，∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8，tan C•tan B＝tan∠ADB•tan∠ADC＝＝＝＝＝＝4．故选：C．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A ＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】首先明确tan45°＝1，tan60°＝，再根据正切值随角增大而增大，进行分析．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，正切值随角增大而增大，又1＜＜，∴45°＜∠A＜60°．故选：C．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数定义求出sin A的值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，根据勾股定理得：BC＝＝3，则sin A＝＝，故选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．5．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．【解答】解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律．6．sin240°+cos240°的值为（）A．0B．C．1D．2【分析】根据平方关系：sin2A+cos2A＝1即可求解．【解答】解：sin240°+cos240°＝1．故选：C．【点评】考查了同角三角函数的关系，关键是熟悉sin2A+cos2A＝1的知识点．7．已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（）A．38°B．62°C．52°D．72°【分析】直接利用一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos（90°﹣∠A），即可得出答案．【解答】解：∵锐角α，且sinα＝cos38°，sin A＝cos（90°﹣∠A），∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°，∴90°﹣α＝38°，解得：α＝52°．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理可以求出AB的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，则sin A＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：根据三角函数的定义：A、sin A＝，错误；B、cos B＝，错误；C、tan A＝，正确；D、cot B＝，错误．故选：C．【点评】要注意，在三角形中，∠A、∠B、∠C所有对的边为a、b、c．10．当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A ＜90°D．30°＜∠A＜45°【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝，∴30°＜∠A＜60°．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单．11．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．13．已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【分析】利用正弦值随角度的增大而增大，再利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．【解答】解：∵sin60°＝≈0.87，sin45°＝≈0.7，正弦值随角度的增大而增大，∴sinα＝0.75，则45°＜α＜60°．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A的值等于（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义可知sin A＝，可设a＝3，c＝5，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可．【解答】解：∵sin A＝sin A＝，∴可设a＝3，c＝5，由勾股定理可求得b＝4，∴cos A＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意得到A与B互余，可得出sin B＝cos A，求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，∴sin B＝cos A＝，故选：D．【点评】此题考查了互余两角三角函数的关系，弄清三角函数的关系是解本题的关键．二．填空题（共16小题）16．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是．【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．【解答】解：连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，根据勾股定理得，AC＝，AB＝2，则tan∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．17．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为．【分析】直接连接BC，进而得出∠ABC＝90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：如图所示：连接BC，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴sin∠BAC＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．18．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，＝PN，PN＝，Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．19．比较大小：sin40°＝cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°，∴sin40°＝cos50°．故答案为：＝．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题关键．20．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【解答】解：连接CD．则CD＝，AD＝，则tan A＝＝＝．故答案是：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．21．比较大小：sin57°＜tan57°．【分析】根据正弦函数的增减性，正切函数的增减性，可得答案．【解答】解：∵sin57＜sin90°＝1，tan57°＞tan45°＝1，∴tan57°＞sin57°，故答案为：＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用正弦函数的增减性，正切函数的增减性是解题关键．22．已知：tan x＝2，则＝．【分析】分式中分子分母同时除以cos x，可得出关于tan x的分式，代入tan x的值即可得出答案．【解答】解：分子分母同时除以cos x，原分式可化为：，当tan x＝2时，原式＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tan x＝这一变换，有一定的技巧性．23．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝．【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，tan A＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，则sin B＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则cos B的值为．【分析】根据勾股定理求出BC，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝2，∴cos B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．25．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故答案为：．【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．26．已知＜cos A＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A＜30°．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．【解答】解：∵＜cos A＜sin70°，sin70°＝cos20°，∴cos30°＜cos A＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°＝cos20°是解题关键．27．cos30°＞cos40°（填大小关系）【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．【解答】解：∵余弦值随着角的增大而减小，∴cos30°＞cos40°，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数值的变化规律是解题关键．28．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为4．【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，∴cos B＝＝＝，解得：BC＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．29．若α为锐角，且，则m的取值范围是．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．30．已知α为锐角，且sinα＝cosα，则α＝45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα＝cos（90°﹣α），∴α＝90°﹣α，解得，α＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，31．如果α是锐角，且cotα＝tan25°，那么α＝65度．【分析】依据α是锐角，且cotα＝tan25°，即可得出α＝65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα＝tan25°，∴α＝65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B＝90°，那么sin A ＝cos B或sin B＝cos A．三．解答题（共16小题）32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a ＝2，sin，求b和c．【分析】先根据sin A＝知c＝＝6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a＝2，sin，∴c＝＝＝6，则b＝＝＝4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．33．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值．【分析】先利用勾股定理求得斜边AB的长，再根据余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵BC＝2、AC＝4，∴AB＝＝＝2，则cos B＝＝＝．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义．34．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，求∠B的正弦、余弦值和正切值．【分析】根据勾股定理与锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2BC，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB＝x，∴sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，tan B＝＝＝2．【点评】本题考查勾股定理与锐角三角函数的定义，在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．35．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．【分析】根据勾股定理，可得AC，根据三角函数的定义，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴．∴sin∠A＝＝，cos∠A＝＝tan∠A＝＝．【点评】本题考查了锐角三角函数，正弦函数是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边．36．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sin A，cos A，tan A．【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的三角函数列式即可．【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝12，sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．37．如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tan C＝，求：边AB的长和∠A的正弦值．【分析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sin A即可．【解答】解：过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，在△BFC中，tan C＝＝，AC＝13，设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，解得：k＝（负数舍去），即BF＝，CF＝，∵AC＝21，∴BF＝13﹣＝，在△AFB中，由勾股定理得：AB＝＝20，在△AFB中，sin A＝＝＝．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形和熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．38．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．39．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，cos A＝，求sin A及tan A．【分析】cos A＝，即∠A的邻边与斜边的比是12：13，设邻边是12，则斜边是13，根据勾股定理，可以求得对边的长，再代入即可求得sin A及tan A的值．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A的邻边与斜边的比是12：13，设邻边是12，则斜边是13；根据勾股定理，对边是＝5，则sin A＝，tan A＝．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，是需要识记的内容．40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan∠A＝．求AB的长和sin ∠B的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan∠A＝＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝6，∴sin∠B＝＝＝．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD ＝5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC＝4，在Rt△ABC中求得AB＝4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，∴BC＝＝＝4，又AC＝AD+CD＝8，∴AB＝＝＝4，则sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，tan A＝＝＝．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．42．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．【解答】解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦值随锐的增大而增大．43．比较大小：cos1°，tan46°，sin88°和cot38°．【分析】根据互余函数的关系，可得同一函数，根据函数的增减性，可得答案．【解答】解：1＞cos1°＝sin89°＞sin88°，cot38°＝tan52°＞tan46°＞1＞cos1°＞sin88°，∴cot38°＞tan46°＞cos1°＞sin88°．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了互余三角函数的关系，锐角三角函数的增减性．44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD 的值．【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AB＝2a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：过D作DE垂直AB于E．设AC＝BC＝2a，根据勾股定理AB＝2a．D为AC中点，得AD＝a．由∠A＝∠ABC＝45，DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，DE＝AE＝．BE＝AB﹣AE＝tan∠ABD＝＝．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了等腰直角三角形的性质，正切函数的定义．45．根据三角函数规律解决．（1）比较sin46°和cos20°的大小；（2）比较sin20°、cos60°和tan45°的大小；（3）比较sin20°、cos80°和tan45°的大小．【分析】（1）根据一个锐角的正弦等于他余角的余弦，可把正弦转化成余弦，根据余弦函数随角增大而减小，可得答案；（2）根据一个锐角的正弦等于他余角的余弦，可把正弦转化成余弦，根据余弦函数随角增大而减小，可得答案；（3）根据一个锐角的正弦等于他余角的余弦，可把正弦转化成余弦，根据余弦函数随角增大而减小，可得答案．【解答】解：（1）sin46°＝cos44°，∵44°＞20°，∴cos44°＜cos20°，即sin46°＜cos20°；（2）sin20°＝cos70°，∵70°＞60°，∴cos70°＜cos60°＝，tan45°＝1，cos70°＜cos60°＜tan45°，即sin20°＜cos60°＜tan45°；（3）sin20°＝cos70°，cos80°＜cos70°＜cos60°＜tan45°，即cos80°＜sin 20°＜tan45°．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．46．已知cotα＝2（α为锐角），求的值．【分析】根据cotα＝，cos2α+sin2α＝1，可得答案．【解答】解：由题意，得cosα＝2sinα．＝＝＝＝＝．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用cotα＝，cos2α+sin2α＝1是解题关键．47．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．【分析】利用cos A＝sin（90°﹣∠A）及sin2A+cos2A＝1，即可求解．【解答】解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，解答本题需要掌握：cos A＝sin （90°﹣∠A），sin2A+cos2A＝1．。

宜兴外国语学校初三年级数学导学提纲课题： 7.2正弦、余弦设计人：吴静飞审核人：初三数学组姓名：班级：评价课前参与一、探索新知：1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 a m呢？2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？3、探索活动（ 1）思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值 __________；它的邻边与斜边的比值 ___________。

（ 2）正弦的定义如图，在 Rt △ABC中，∠ C＝90°，我们把锐角∠A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠ A 的______，记作________，即： sinA ＝________=________.（ 3）余弦的定义如图，在 Rt △ABC中，∠ C＝90°, 我们把锐角∠A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠ A 的______，记作 =_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠ B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看 .____________________________.4、利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

从 sin15 ° = ，sin30 °= ，sin75 ° = 的值，你们得到什么结论？从 cos15° =，cos30°=，cos75° =的值，你们得到什么结论？当锐角α 越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？5、锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的__________。

二、牛刀小试根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。

课中参与例 1如图，在 Rt⊿ABC中 , ∠ C=90°， AC=24，BC=7.B7求 sinA 、cosA、sinB 、 cosB，的值。

中小学教育教课资料第 7 章锐角三角函数7.2第2课时正弦、余弦值的求法知识点 1正弦、余弦值的求法1．已知 Rt △ABC中，∠C＝ 90°，BC＝ 3，AB＝ 5，那么 sin A的值是 ()3344A. 5B.4C. 5D. 3图 7－2－ 132． 2018·衢州如图 7－ 2－ 13 所示，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝ 6 cm，圆锥的侧面积为 15π cm2，则 sin ∠ABC的值为 ()3345A. 4B.5C.5D.33． 2017·常州模拟已知在Rt △ABC中，∠C＝ 90°， tan B＝4，则 cos A＝ ________．34．如图 7－ 2－14，在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°，BC＝ 5，AB＝ 13，求∠A的三个三角函数值．图 7－2－ 1415．如图 7－ 2－15，在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°， tan A＝2，求∠B的正弦值与余弦值．图 7－2－ 15知识点 2用正弦、余弦求边长36．在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°， sin A＝5，BC＝ 6，则AB的长为 ()A．4B．6C．8D．107．在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，以下式子必定建立的是() A．a＝c· sin B B．a＝c· cos BcC．a＝c· tan B D．a＝cosB8．如图 7－ 2－ 16，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若 AC＝62，∠ C＝45°，tan B ＝3，则 BD等于 ()A．2B．3C．32D．2319．在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°， cos A＝3，AC＝ 2，那么BC＝________．图 7－2－16图 7－2－ 1710． 2017·宁波如图 7－ 2－17，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至，已知ABB＝500 米，则这名滑雪运动员的高度降落了________米． ( 参照数据： sin34 °≈ 0.56 ， cos34 °≈ 0.83 ，tan34 °≈ 0.67)411．如图 7－ 2－ 18，在△ABC中，CD⊥AB, sin A＝5，AB＝ 13，CD＝ 12，求BD的长．图 7－2－ 1812．如图 7－ 2－ 19，长为 5 m的梯子MN以倾斜角62°架在墙上，求梯子的底端N到墙的距离NP.(参考数据： sin62 °≈ 0.88 ， cos62 °≈ 0.47)图 7－2－ 1913．如图 7－ 2－ 20 所示，在平面直角坐标系中，P(3， m)是第一象限内的点，且OP与 x 轴正半轴的4夹角α的正切值为3，则 sin α的值为 ()4535A. 5B.4C.5D.3图 7－2－20图 7－2－2114． 2018·宁波如图 7－ 2－ 21，在菱形ABCD中，AB＝ 2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点．连结 MD， ME，若∠ EMD＝90°，则cos B 的值为________．图 7－2－ 2215． 2017·海南如图 7－2－ 22，在矩形ABCD中，AB＝ 3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE 折叠，点 D恰巧落在 BC边上的点 F 处，那么cos∠ EFC的值是________．16．如图 7－ 2－ 23，在正方形ABCD中， M是 AD的中点， BE＝3AE，试求sin∠ ECM的值．图 7－2－ 23417．如图 7－ 2－ 24，在 Rt △ABC中，已知∠C＝90°， sin B＝5，AC＝ 8，D为线段BC上一点，且CD ＝2.(1)求 BD的长；(2)求 cos ∠DAC的值．图 7－2－ 244 18．如图 7－ 2－25，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝ 14，AD＝12，sin B＝5.求： (1) 线段DC的长；(2)tan ∠EDC的值；(3)sin∠ BAC的值．图 7－2－ 25第 7 章锐角三角函数7.2第2课时正弦、余弦值的求法1． A2． C[分析 ] ∵圆锥的侧面积为15π cm 2，则母线长l ＝2×15π÷6π＝5(cm)，利用勾股定理可得OA4＝ 4 cm ，故 sin ∠ ABC ＝ 5，应选 C.44 3. 5[ 分析 ] 如图，由 tan B ＝ 3，设 AC ＝ 4k ， BC ＝ 3k ，由勾股定理，得4．解：在 Rt △ABC 中，∵ BC ＝ 5，AB ＝ 13，∴ AC ＝12，512 5∴ sin A ＝ 13， cos A ＝ 13， tan A ＝ 12.5． [ 分析 ] 依据勾股定理与锐角三角函数的定义求解即可．AC 4k 4AB ＝ 5k ，则 cos A ＝AB ＝ 5k ＝ 5.1＝ ，则 ＝ 2 k ，＝ ，因此 sinAC 25 BC5解：由 tan ＝ ，可设＝＝5， cos ＝＝ .A 2BC kAC AB5kBABB AB56． Db，则选项 A 错误； cos a B 正确； tanb a7．B[ 分析 ] sin ＝＝ ，则选项 ＝ ，则选项 C 错误； cos ＝ ，B cB cB aB c则选项 D 错误．应选 B.8．A[分析 ] ∵＝ 62，∠ ＝45°，∴ ＝ · sin45 °＝ 6.ACCAD ACAD∵ tan B ＝ 3，∴ ＝ 3，BDAD∴BD ＝ 3 ＝2. 9．4 210．280[ 分析 ] 在 Rt △ ABC 中， AB ＝500米，∠ B ＝34°， sin B ＝AC ，∴ AC ＝ AB · sin34 °≈ 500× 0.56AB＝ 280( 米 ) ，即这名滑雪运动员的高度降落了280 米．11．解：∵ CD ⊥AB ，∴∠ CDA ＝ 90° .CD 4∵ sin A ＝ ＝ ， CD ＝ 12，AC 5∴ AC ＝15，∴ AD＝AC2－CD2＝9，∴ BD＝AB－ AD＝4.NP12．解：由题意知， cos62 °＝，则＝· cos62 °＝ 5· cos62 °≈ 2.35(m) ．MN NP MN13．A[ 分析 ] 如图，过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE＝ 3，PE＝m，在 Rt△POE中，tan α＝PE m＝＝OE 34，因此 m＝4，则 OP＝5，故sinα＝4. 3514.3－1[ 分析 ] 延伸EM，交DA的延伸线于点G，连结 ED. 2∵M是AB的中点，∴ AM＝BM.又∵四边形ABCD是菱形，∴ GD∥ BC，∴∠ GAB＝∠ ABC.又∵∠ AMG＝∠ BME，∴△ AMG≌△ BME(ASA)，∴GM＝EM， AG＝BE.又∵ MD⊥ GE，∴ DG＝ DE.设 BE＝ x，则 DE＝ x＋2.222在 Rt△ABE中，AE＝AB－BE，在 Rt△中，2＝2－2，ADE AE DE AD∴ 2－2＝2－2，即 22－x 2＝( ＋2) 2－ 22，AB BE DE AD x解得 x＝3－1(负值已舍去)．BE3－1在 Rt△ABE中， cos B＝AB＝2.3＝＝ 5，∠＝∠ ＝ 90°，∴∠＋∠＝ 90°. 又∵∠＋15. [ 分析 ] 由翻折的性质可得5AF AD AFE D EFC AFB BAFAB 3∠AFB＝90°，∴∠ EFC＝∠ BAF，∴cos∠EFC＝cos∠ BAF＝AF＝5.16．解：设AE＝ x，则 BE＝3x， BC＝4x， AM＝MD＝2x， CD＝4x，∴CE＝（3x）2＋（ 4x）2＝5x，EM＝x2＋（ 2x）2＝5x，CM＝（2x）2＋（4x）2＝25x.222＋ (22222∵ EM＋CM＝(5x)5x)＝ 25x＝ (5 x)＝ CE，∴△ CEM是直角三角形，EM 5∴sin ∠ECM＝＝ .CE 517．解： (1) 在 Rt △ABC中，AC 4∵sin B＝＝，AC＝ 8，∴AB＝ 10，AB 5∴BC＝ AB2－AC2＝6.∵CD＝2，∴ BD＝ BC－ CD＝6－2＝4.(2) 在 Rt △ACD中，∵AD＝AC2＋CD2＝217，∴ cos ∠＝AC 417＝.DAC AD174AD 418．解： (1) ∵ sin B＝，∴＝.5AB 5∵AD＝12，∴ AB＝15.在 Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.∵BC＝14，∴DC＝BC－ BD＝14－9＝5.(2)∵E 为边 AC的中点， AD是边 BC上的高，∴ AE＝EC＝ DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ，中小学教育教课资料∴∠ EDC＝∠ ECD，AD 12∴tan ∠EDC＝ tan ∠ECD＝＝ .DC 5(3)如图，过点 C作 CF⊥AB.∵S△ABC＝12BC· AD＝12×14×12＝84，1∴2AB·CF＝84，56∴CF＝5.在 Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝13，CF 56∴sin ∠BAC＝＝ .AC 65。

【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

7.2 正弦、余弦（课后作业）-苏科版九年级下册一．选择题1．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则图中线段的比不能表示sin A的式子为（ ）A．B．C．D．2．已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°3．三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）A．sin70°＞cos70°＞tan70°B．tan70°＞cos70°＞sin70°C．tan70°＞sin70°＞cos70°D．cos70°＞tan70°＞sin70°4．在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（ ）A．都扩大为原来的2倍B．都缩小为原来的一半C．都没有变化D．不能确定5．如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．40B．45C．30D．656．如图，已知AB为⊙O的直径，∠ADC＝30°（ ）A．B．1C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝（ ）A．6B．6C．12D．88．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别位于AB的两侧，则cos∠BDC＝（ ）A．B．2C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（ ）A．a2+b2＝c2B．sin B＝cos AC．D．sin2A+cos2A＝110．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin A+cos A的值是（ ）A．大于1B．小于1C．等于1D．不能确定二．填空题11．已知△ABC中，∠B＝32°，tan B＝ ．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，则cos A的值为 ．13．比较大小：sin37° cos37°．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3．（1）BC＝ ；（2）sin A的值为 ．15．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α ．三．解答题16．（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．17．如图，定义：在Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，即cosα＝＝．根据余切的定义如图，已知，其中∠A为锐角18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，c＝5．（1）求sin A，cos B的值．（2）求cos A，sin B的值．（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．（4）计算tan A与tan B，比较它们的值有何关系．你还有哪些发现？19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，∠B，∠C的对边．（1）求sin A，cos B；（2）求tan A，tan B，tan A•tan B；（3）观察（1）（2）中的计算结果，若α+β＝90°，tanα与tanβ之间有什么关系吗？（4）应用：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2 ．20．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1＝ ；sin2A2+sin2B2＝ ；sin2A3+sin2B3＝ ．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°2A+sin2B＝ ．（2）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，证明你的猜想．。

九年级数学下册7.2.2正弦、余弦值的求法同步练习（共2套苏科版）[7.2 第2课时正弦、余弦的求法]一、选择题．在Rt△ABc中，∠c＝90°，AB＝5，Ac＝2，则cosA的值为链接听课例1归纳总结A.215B.52c.212D.25．已知在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosB＝12，则tanA的值为链接听课例3归纳总结A．2B.32c.3D.33．XX?常州模拟在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝35，则sinB的值为链接听课例3归纳总结A.54B.45c.53D.35．如图－27－1，直径为10的⊙A经过点c和点o，B是y 轴右侧⊙A优弧上一点，则∠oBc的余弦值为图－27－1A.12B.34c.32D.45．XX?菏泽如图－27－2，△ABc与△A′B′c′都是等腰三角形，且AB＝Ac＝5，A′B′＝A′c′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABc与△A′B′c′的面积比为2－27图－A．25∶9B．5∶3c.5∶3D．55∶33二、填空题．如图－27－3，在Rt△ABc中，∠AcB＝90°，cD⊥AB，垂足为D.若Ac＝5，Bc＝2，则sin∠AcD的值为__________．图－27－3．如图－27－4，△ABc的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．．比较大小：sin24°________cos66°，cos15°________tan55°.链接听课例3归纳总结图－27－4．如图－27－5，在△ABc中，AB＝Ac＝5，Bc＝8.若∠BPc ＝12∠BAc，则tan∠BPc＝________．图－27－50．如图－27－6，AB是半圆的直径，点o为圆心，oA＝5，弦Ac＝8，oD⊥Ac，垂足为E，交半圆o于点D，连接BE.设∠BEc＝α，则sinα的值为________．图－27－61．XX?泰安如图－27－7，在矩形ABcD中，AB＝6，Bc＝10，将矩形ABcD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点c，则sin∠ABE的值为________．7－27图－三、解答题．分别求出图－27－8中∠A，∠B的正弦、余弦和正切值.链接听课例1归纳总结图－27－83．如图－27－9，在△ABc中，cD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，cD＝6，tanA＝32，求sinB＋cosB的值．图－27－914．在△ABc中，若∠c＝90°，cosA＝1213，求sinB的值；如图－27－10，在正方形ABcD中，是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠Ec的值．图－27－1015．如图－27－11所示，在△ABc中，AD是Bc边上的高，E为边Ac的中点，Bc＝14，AD＝12，sinB＝45.求：线段Dc的长；tan∠EDc的值．图－27－11数形结合思想学习了正切值、正弦值、余弦值的求法后，我们知道tan30°＝33，tan60°＝3，tan45°＝1，那么tan67.5°的值是多少？如图－27－12，在Rt△ABc中，∠c＝90°，cB＝cA，延长cB到点D，使BD＝AB，则∠cAD＝67.5°.设Ac＝，则Bc ＝，BD＝AB＝2，∴cD＝，∴tan∠cAD＝tan67.5°＝cDAc＝＝2＋1，即tan67.5°＝2＋1.请模仿以上解法，求sin15°的值．图－27－12详解详析[课堂达标]．[解析]D 在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝AcAB＝25.．[解析]D 在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosB＝12，∴设Bc＝x，则AB＝2x.根据勾股定理求出Ac＝3x，∴tanA＝BcAc ＝33.．[解析]D ∵在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝35，∴sinB＝cosA＝35.故选D.．[解析]c 本题是易错题．易错误地认为∠oBc的余弦值等于BoBc.产生错误的原因就是没有正确理解三角函数的定义．可以连接cA并延长，交x轴于点D.根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得cD是圆的直径，并且∠D＝∠oBc，所以cos∠oBc＝cosD＝5310＝32.．[解析]A 如图，过点A作AD⊥Bc于点D，过点A′作A′D′⊥B′c′于点D′.∵△ABc与△A′B′c′都是等腰三角形，∴∠B＝∠c，∠B′＝∠c′，Bc＝2BD，B′c′＝2B′D′，∴AD＝AB?sinB，′＝c′B，cosB?2AB＝2BD＝Bc′，sinB′?B′A′＝D′A．2B′D′＝2A′B′?cosB′.∵∠B＋∠B′＝90°，∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB.∵S△ABc＝12AD?Bc＝12AB?sinB?2AB?cosB＝25sinB?cosB，S△A′B′c′＝12A′D′?B′c′＝12A′B′?sinB′?2A′B′?cosB′＝9sinB′?cosB′，∴S△ABc∶S△A′B′c′＝25∶9.．[答案]53[解析]根据勾股定理可得AB＝22＋5＝9＝3.由题意，可知∠AcD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠AcD＝∠B，∴sin ∠AcD＝sinB＝AcAB＝53.55．[答案]＝＜[解析]cos66°＝sin＝sin24°，0＜cos15°＜1，1＝tan45°＜tan55°，∴cos15°＜1＜tan55°.故答案为＝，＜.．[答案]43[解析]如图，过点A作AE⊥Bc于点E.∵AB＝Ac＝5，∴BE＝12Bc＝12×8＝4，∠BAE＝12∠BAc.∵∠BPc＝12∠BAc，∴∠BPc＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE＝AB2－BE2＝52－42＝3，∴tan∠BPc＝tan∠BAE＝BEAE＝43.故答案为43.0．[答案]31313[解析]如图所示，连接Bc.∵AB为半圆o的直径，∴∠BcA＝90°.∵oD⊥Ac，∴cE＝AE＝12Ac＝12×8＝4.在Rt△AoE中，oE＝oA2－AE2＝52－42＝3.∵AE＝cE，Ao＝Bo，∴oE是△ABc的中位线，∴Bc＝2oE＝6.在Rt△BcE中，BE＝Bc2＋cE2＝62＋42＝213，∴sinα＝BcBE＝6213＝31313.1．[答案]1010[解析]由折叠知∠BA′E＝∠A＝90°，AE＝A′E，A′B＝AB＝6，故在Rt△A′Bc中，由勾股定理，得A′c＝Bc2＝DE，8＋x＝cE，则x＝E′A＝AE设8.＝62－102＝B2′A－10－x.在Rt△cDE中，由勾股定理，得2＝62＋2，解得x＝2.在Rt△ABE中，BE＝22＋62＝210，所以sin∠ABE＝AEBE ＝2210＝1010.．解：由勾股定理，得Ac＝62－22＝42，sinA＝BcAB＝26＝13，cosA＝AcAB＝426＝223，tanA＝BcAc＝242＝24；sinB＝AcAB＝426＝223，cosB＝BcAB＝26＝13，tanB＝AcBc＝422＝22.由勾股定理，得AB＝Ac2＋Bc2＝62＋22＝210，sinA＝BcAB＝2210＝1010，cosA＝AcAB＝6210＝31010，tanA＝BcAc＝26＝13；sinB＝AcAB＝6210＝31010，cosB＝BcAB＝2210＝1010，tanB＝AcBc＝62＝3.3．[解析]根据锐角三角函数的定义，找准对边、邻边、斜边．解：在Rt△AcD中，cD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BcD中，Bc＝82＋62＝10，∴sinB＝cDBc＝35，cosB＝BDBc＝45，∴sinB＋cosB＝75.．解：∵在Rt△ABc中，∠c＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝1213.设AE＝x，则BE＝3x，Bc＝4x，A＝D＝2x，cD＝4x，∴cE＝2＋2＝5x，E＝x2＋2＝5x，c＝2＋2＝25x，∴E2＋c2＝cE2，∴△cE是直角三角形，且∠cE＝90°，∴sin∠Ec＝EcE＝55.．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝45，且AD＝12，∴12AB＝45，∴AB＝15，∴BD＝152－122＝9，∴Dc＝Bc－BD＝14－9＝5.方法一：∵E为Ac的中点，∠ADc＝90°，∴DE＝12Ac＝Ec，∴∠EDc＝∠c.在Rt△ADc中，tanc＝ADDc＝125，∴tan∠EDc＝tanc＝125.方法二：过点E作EH⊥Dc于点H，则EH∥AD，∴cEAc＝cHcD＝EHAD.∵E为Ac的中点，∴12＝cH5＝EH12，∴cH＝2.5，EH＝6，125.＝EHcH∴又∵DH＝cH＝2.5，∴EHDH＝125，∴tan∠EDc＝125.[素养提升]解：如图，在Rt△ABc中，∠c＝90°，∠cBA＝30°，延长cB到点D，使BD＝AB，则∠cDA＝15°.设Ac＝，则BD＝AB＝2Ac＝2，Bc＝3，∴cD＝，∴AD2＝Ac2＋cD2＝2＋22＝2＝22，∴AD＝，∴sin∠cDA＝sin15°＝AcAD＝＝6－24，即sin15°＝6－24.。

7.2 正弦、余弦同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知是锐角，且，则的值为（）A. B. C. D.2. 在中，，，则A. B. C. D.3. 在中，如果各边的长度都扩大两倍，那么锐角的各三角函数（）A.都扩大两倍B.都缩小一半C.没有变化D.不能确定4. 在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.5. 在中，已知，都是锐角，且，，则的度数为（）A. B. C. D.6. 已知，下列各式正确的是（）A. B.C. D.7. 若а，则的值为（）D.A. B. C.8. 在中，，，那么等于（）A. B. C. D.9. 已知为锐角，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.10. 在中，，若，则A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 计算：________．12. 若，为锐角，则的值是________．13. 中，若，，，则的值为________．14. 在中，已知，，则________，________．15. 若，则________度．16. 计算：________．17. 在中，＝，＝，＝，则的值为________．18. 已知角是锐角，且，则________．19. 如果是锐角，且十，那么________度．20. 如图，中，，，则________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 在中，，，求的值．22. 在中，，，，求的长．23. 在中，，若，求，，．24. 已知为锐角，，求的值．25. 已知如图，，，，四点的坐标分别是，，，，探索和的大小关系，并说明理由．26. 已知：如图，，、是上的两点，．（1）求证：；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．。

7.2正弦、余弦（1）-苏科版九年级数学下册 培优训练一、选择题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则sin B 的值为( )A.135B.1213C.512D.5132、在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则cos B ＝( )A.512B.125C.513D.1213 3、在如图的正方形网格中，sin ∠AOB 的值为( )A.12 B ．2 C.55 D.2554、Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，则sin A ＋sin B ＝____．5、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的各三角函数值( )A ．都扩大为原来的2倍B ．都缩小为原来的12C ．都不变D ．都扩大为原来的4倍6、如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) A.43 B.34 C.35 D.457A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ) A.12 B.34 C.32 D.458、如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( )A.513B.1213C.1013D.512 二、填空题9、在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33，则cos B ＝____．10、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝_____11、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是_____．12、等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是______13、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝33； ④tan B ＝ 3.其中正确的结论是________．(填序号)14、在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝________________． 三、解答题15、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值．16、如图，在△CDE 中，∠E ＝90°，DE ＝6，CD ＝10，求∠D 的三个三角函数值．17、如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：(1)OA ，OB 的长． (2)tan α与sin α的值．18、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边BC 上，AD ＝BD ＝5，sin ∠ADC ＝45，求cos ∠ABC 的值．7.2正弦、余弦（1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则sin B 的值为( )A.135B.1213C.512D.513【解析】 ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，∴sin B ＝AC AB ＝513.故选D2、在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则cos B ＝( C )A.512B.125C.513D.12133、在如图的正方形网格中，sin ∠AOB 的值为( )A.12 B ．2 C.55 D.255【解析】 如答图，作EF ⊥OB ，则EF ＝2，OF ＝1，由勾股定理得OE ＝5，∴sin ∠AOB ＝EF OE ＝255. 故选D4、Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，则sin A ＋sin B ＝____．【解析】 由勾股定理得c ＝a 2＋b 2＝17，则sin A ＝1517，sin B ＝817，∴sin A ＋sin B ＝2317.5、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的各三角函数值( )A ．都扩大为原来的2倍B ．都缩小为原来的12C ．都不变D ．都扩大为原来的4倍[解析] C ∵各边的长度都扩大为原来的2倍，∴扩大后的三角形与Rt △ABC 相似，∴锐角A 的各三角函数值都不变．6、如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) A.43 B.34 C.35 D.45C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝90°，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5，∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝45. 故选D.7、如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( C ) A.12 B.34 C.32 D.458、如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( )A.513B.1213C.1013D.512[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值是513.二、填空题9、在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33，则cos B ＝____．【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33，设a ＝3x ，b ＝3x ，则c ＝23x ，∴cos B ＝a c ＝12. 10、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝___125___11、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是__ 55 ___．12、等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是_223______13、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝33；④tan B ＝ 3.其中正确的结论是___②③④ _____．(填序号)14、在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝________________．【解析】 若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，∴BC ＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴cos C ＝BC AC ＝3x 2x ＝32；若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，∴BC ＝（2x ）2＋x 2＝5x ，∴cos C ＝ACBC＝2x5x＝255.综上所述，cos C 的值为32或255.三、解答题15、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值．解：(1)由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25；(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝725，tan A ＝BC AC ＝247.16、如图，在△CDE 中，∠E ＝90°，DE ＝6，CD ＝10，求∠D 的三个三角函数值．【解】 ∵∠E ＝90°，DE ＝6，CD ＝10，∴CE ＝CD 2－DE 2＝102－62＝8，∴sin D ＝CE CD ＝810＝45，cos D ＝DE CD ＝610＝35， tan D ＝CE DE ＝86＝43.17、如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：(1)OA ，OB 的长． (2)tan α与sin α的值．【解】 (1)令y ＝0，则x ＝4，∴点A (4，0)，∴OA ＝4. 令x ＝0，则y ＝－2，∴点B (0，－2)，∴OB ＝2.(2)在Rt △AOB 中，∵OB ＝2，OA ＝4，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝25，∴tan α＝tan ∠OAB ＝OB OA ＝12， sin α＝sin ∠OAB ＝OB AB ＝225＝55.18、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边BC 上，AD ＝BD ＝5，sin ∠ADC ＝45，求cos ∠ABC 的值．解： 在Rt △ADC 中，∠C ＝90°，由sin ∠ADC ＝AC AD ＝45，AD ＝5，解得AC ＝4.由勾股定理，得CD ＝AD 2－AC 2＝3，∴BC ＝CD ＋DB ＝3＋5＝8.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝45，∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝845＝255.。

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。