非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数 费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
②串联电路的电感测量盒如图5.2-7所示。
J1和J2是两个Q9插座，请考虑测共振频率时应如何连线？你期望会看到什么现象？③考虑如何用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得电感量？当激励频率小于、等于和大于电路的共振频率时，电流和激励源信号之间的相位有什么关系？（2）混沌现象的研究和描述① 本实验中的混沌现象是怎样发生的？LC 电路有选频作用，为什么还会出现如此复杂的图形呢？② 什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？复习示波器的使用，考虑如何用示波器观察混沌系统的相图和动力学系统各变量如Vc 1(t )、Vc 2(t )的波形。
③ 什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？④ 什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？⑤ 什么叫做吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？ ⑥ 什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？（3）负阻元件① 负阻元件在本实验中起什么作用？为什么把它叫做负阻元件？对结构比较复杂的负阻元件，我们采用了什么方法来进行研究？这种方法有什么优缺点？② 非线性电阻R 的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段和拟合？实验中使用的是哪一段曲线(图5.2-1)？③ 给出测量负阻元件特性的电路图，实验时应当怎样安排测量点？ 5.2.2 实验原理1．非线性电路与混沌非线性电路如图5.2-2所示。
电路中只有一个非线性电阻R =1/g ，它是一个有源非线性负阻元件，电感L 与电容C 2组成一个损耗很小的振荡回路。
可变电阻1/G 和电容C 1构成移相电路。
最简单的非线性元件R 可以看做由三个分段线性的元件组成。
由于加在此元件上的电压增加时，其上面的电流减少，故而称为非线性负阻元件（图5.2-1）。
图5.2-2电路的动力学方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=--=2212211211)()(c L L c c c c c c c V dt di L i V V G dt dV C gV V V G dt dV C (5.2-1） 上式方程组中，G 代表可变电阻的导纳，1c V 、2c V 分别表示加在电容1C 、2C 上的电压，L i 表示流过L 的电流，g =1/R 表示非线性电阻R 的导纳。
将电导值G 取最小（电阻最大），同时用示波器观察1c V —2c V 的李萨如图形。
它相当于由方程x =1c V (t)图5.2-1 负阻曲线的拟合 图5.2-2 实验电路原理图和y =2c V (t )消去时间变量t 而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图(phase portrait)[1]。
“相”的意思是运动状态，相图反映了运动状态的联系。
一开始系统存在短暂的稳态，示波器上的李萨如图形表现为一个光点。
随着G 值的增加（电阻减小），李萨如图表现为一个接近斜椭圆的图形（图5.2-3a ）。
它表明系统开始自激振荡，其振荡频率决定于电感与非线性电阻组成的回路特性。
由于1c V 和2c V 同频率但存在一定的相移，所以此时图形为一斜椭圆；由于非线性的存在示波器显示的并不是严格的椭圆，但系统进行着简单的周期运动。
这一点也不难用示波器双踪观察予以证实。
应当指出的是，无论是代表稳态的“光点”，或是开始自激振荡的“椭圆”都是系统经过一段暂态过程后的终态。
示波器显示的是系统进入稳定状态后的“相”图。
实验和理论都证明：只要在各自对应的系统参数（G ，C 1，C 2，L 和R ）下，无论给它什么样的激励（初值条件），最终都将落入到各自的终态集上，故它们被称为“吸引子（attractor ）”。
在非线性动力学理论中，前者又叫“不动点”，后者则属于“极限环”。
继续增加电导（减小可变电阻值1/G ），此时示波器屏幕上出现两相交的椭圆（图5.2-3b ），运动轨线从其中一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上，它说明：原先的一倍周期变为两倍周期，即系统需两个周期才恢复原状。
这在非线性理论中称为倍周期分岔(period-doubling bifurcation)。
它揭开了动力学系统步入混沌的“序幕”。
继续减小1/G 值，依次出现4倍周期、8倍周期、16倍周期 与阵发混沌（图5.2-3d ）。
再减小1/G 值，出现3倍周期如图5.2-4a ，随着1/G 值的进一步减小，系统完全进入了混沌区，由图5.2-4b 到图5.2-4c ，可以看出运动轨线不再是周期性的，我们从屏幕上观察轨道（如5.2-4c 双吸引子）的演化时，可以看到轨道在左侧绕一会，然后又跑到右侧范围走来走去，绕几圈绕多大似乎是随机的。
完全无法预料它什么时候该从一边过渡到另一边。
但这种随机性与真正随机系统中不可预测的无规性又不相同。
因为相点貌似无规游荡，不会重复已走过的路，但并不以连续概率分布在相平面上随机行走。
类似“线圈”的轨道本身是有界的，其极限集合呈现出奇特而美丽的形状，带有许多空洞，显然有某种规律。
我们仍把这时的解集和前面看到的周期解一样称为一种吸引子。
此类吸引子与其它周期解的吸引子不同，我们通常称之为奇异吸引子（strange attractor ）或混沌吸引子（chaotic attractor ）。
图5.2-4b 称为单吸引子，图5.2-4c 被称为双吸引子。
[1]在传统的讨论中，人们总是习惯在时间域来研究运动规律，例如讨论电压或电流的时间过程V c2(t ), V c1(t )等。
在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质。
在本实验中就是研究V c2(t )—V c 1(t )的关系。
这样做表面上看不到V c2和V c 1的时间信息，却突出了电路系统运动的全局概念。
a ． 一倍周期b ． 两倍周期c ． 四倍周期d ． 阵发混沌图5.2-3 倍周期相图那么究竟什么是混沌（chaos ）呢？混沌的本意是指宇宙形成以前模糊一团的景象，作为一个科学的术语，它大体包含以下一些主要内容：① 系统进行着貌似无规的运动，但决定其运动的基础动力学却是决定论的；② 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可预测性；③ 这种不可预测性并非由外界噪声引起；④ 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。
混沌吸引子具有许多新的特征，例如具有无穷嵌套的自相似结构，几何上的分形即具有分数维数等，还可以用李雅普诺夫（Lyapunov ）指数、功率谱分析等手段来描述，这里我们仅就倍周期分岔通向混沌道路中的某种普适性做一简单分析。
尽管混沌行为是一种类随机运动，但其步入混沌的演化过程在非线性系统中具有普适性。
对于任一非线性电路，其动力学方程可表示为),(r X F dt dX = N R X ∈ （5.2-2） 其中N 为系统变量数，r 是系统参量。
借助于相图（也称运动轨迹观察法，如任意两变量之间的关系图）可以观察系统的运动状态。
改变参量r 当1r r =时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r ，当2r r =时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去，当n r r =时出现周期为n 2的轨道，上述描述的过程为倍周期分岔。
这一过程不断继续下去，即存在一个集合{n r }，使得如果n n r r r ≥>+1，存在稳定的周期n 2解，且存在一极限∞r ，这样系统经过不断周期倍化而进入混沌，这种演化过程在非线性系统中带有通有（genetic ）性质。
上述分岔值序列按几何收敛方式n n r r -∞⋅-=δConst 迅速收敛。
其中Const 为常数，δ 是大于1的常数6692016091.4lim 11=--=+-∞→nn n n n r r r r δ （5.2-3） 常数δ 被命名为费根鲍姆（Feigenbaum ）常数，它反应了沿周期倍化分岔序列通向混沌的道路中具有的普适性，其普适性地位如同圆周率π，自然对数e 和普朗克常数h 一样。
实际上Feigenbaum 常数之谜还有待更深入的科学论证。
最后再对阵发混沌做一点说明。
当∞>r r 时系统的结果大都完全不收敛于任何周期有限的轨道上，因而可以说系统在倍周期分岔的终点步入混沌。
但是在混沌区当系统参量变化时会出现周期窗口和间歇现象(intermittency)。
其中最宽的窗口是对应周期3的运动轨道。
在这些窗口内，周期轨道也要发生倍周期分岔，最后又进入混沌状态。
另外在出现周期3窗口的位置，发生的分岔在分岔理论中被称为切分岔。
这类分岔点的一侧有三个稳定的周期解，而另一侧根本没有任何稳定的周期解存在，这样当r 稍小于切分岔时的参量c r 时，系统动力学行为呈现间歇现象。
