习题13
13-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。
（1）0P P =；（2）R x
P P 0=。
解：可利用公式'cos S
S
q P d S P d S θ=-⋅=-⎰⎰⎰⎰v
v 乙算出极化电荷。
首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=， （1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=，
220
100
'cos 2sin sin 2202
R P q P R d d π
π
πθπθθθθ=-⋅=-
=⎰⎰
；
（2）R x P P 0
=时，22000cos 'cos cos cos x R P P P R R
θσθθθ===
2
2
2
2
200
'cos 2
sin 2cos cos q P
R d R
P
d ππ
θπ
θθπθθ=-⋅=⎰⎰
2230
00
24cos 3
3
R P R P πππθ
==-。
13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87
-⨯±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16
⨯，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。
解：（1）由0r E σεε=，有：18.710100104.11085.8109.84
61270=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---ES Q r εε
（2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=⨯
13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3
d
，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍（2）插入厚度为3
d
的导电板，其电容量又变为原来的多少倍
解：（1）电介质外的场强为：00
E σε=， 而电介质内的场强为：0r r
E σεε=
， 所以，两板间电势差为：00233r d U d σσεεε=
⋅+⋅， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而00S C d
ε=，∴0321r r C
C εε=+； （2）插入厚度为3d
的导电板，可看成是两个电容的串联，
有：00123/3S S
C C d d εε===，
∴002
1212
323C d
S C C C C C ==+=
ε⇒0
3
2
C C =。 P
v θ
3
d 3d 3
d
13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。 解：（1）由：
1
(')S
E d S q q ε⋅=
+∑⎰⎰
v v Ò，有：
00
'E σσε-=（∵'σ给出的是绝对值）
（2）又由00r E σεε=，有：0000
0000''
r E σσεσεεεσσσσ==⋅=--。
13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷
面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由'S
q P d S =-⋅⎰⎰
v
v Ò，考虑到0(1)r
P E εε=-v v ， 有：0'
(1)S
r q E d S εε⋅=-
-⎰⎰
v
v Ò，
与
'
S
q q E d S ε+⋅=
⎰⎰
v
v Ò联立，有：00''
(1)r q q q εεε+-
=-，
得：(1)'r r
q
q εε-=-
，∴1
'r r
εσσε-=-
。
13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。
解：利用介质中的高斯定理
i S
S D d S q ⋅=∑⎰⎰
v
v Ò内
。
（1）导体内外的电位移为：0r R >，2
4Q
D r π=；0r R <，0D =。 （2）由于0r
D
E εε=
，所以介质内外的电场强度为：
0r R <时，10E =；10R r R >>时，22
04D
Q E r
επε==
；
21R r R >>时，32
04r r D
Q E r
εεπεε=
=
；2r R >时，42
04D
Q E r
επε=
=
。
13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为0200/E kV m =，试求该电容器可能承受的最高电压。
解：由介质中的高斯定理，有：02r E r
λ
πεε=
，
∴00ln 22R R r r r r
r R U E d r d r r r λλπεεπεε=⋅==⎰⎰v v
， ∵击穿场强为0E ，∴
002r r E λπεε=，则0ln r R
U rE r
=， r
εσ
+σ
-•
r
R
