数值分析试题与答案

1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵A，从 可知对任意ki有 。即L的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）
2. 解：（1）若 ，则称 为函数 的不动点。 （2分）
（2） 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点：
1） 是在其定义域内是连续函数； （2分）
2） 的值域是定义域的子集； （2分）
3） 在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
（1分）
应用辛普森公式得： （2分）
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理， 在 内有根。（2分）
由牛顿迭代格式 （4分）
取 得，
（3分）
故取 （1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
（2分）
（4分）
若 ，则 ； （2分）
若 ，则 （2分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为 ，且特征值为
（2分）
故有 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分）
（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
（2分）
其特征值为 （2分）
故有 ，因而雅可比迭代法收敛。 （1分）
八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
1. 证：该问题的精确解为 （2分）
（10分）
七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）
八．就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
《数值分析》（A）卷标准答案
（2009－2010－1）
一．填空题（每小题3分，共12分）
1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
于是可设 ，令 (2分)
则 有4个零点: ,连续使用三次罗尔定理,则 使 ,(2分)
即 , 得 .(2分)
方法二:设 , 则 有3个零点 ,(1分)
有2+1个零点,。 有一个零点，所以 (2分)
解 ， ,（1分）
,
,
,（2分）
, ,
,（2分）
,
,
.(2分)
4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长 计算）
解令 ，则改进的尤拉公式为：
（2分）
.（2分)
取 得， .（1分)
计算结果如下：
1
1
1.2
1.46
1.4
2.0652
1.6
2.84754
（2分)
5．用牛顿法求方程 在 附近的根（只要求迭代２步）。
试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称：数值分析专业年级：2009级（研究生）
考生学号：考生姓名：
试卷类型： A卷 √ B卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
………………………………………………………………………………………………………
一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足 ，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式 ，满足下列插值条件：
1
2
3
2
4
12
3
并估计误差。（10分）
四．试用 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 。（10分）
五．用Newton法求 的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
,（1分）
为高斯-塞德尔迭代公式.（1分）
这时 的2个特征值为 ,故 ，迭代法不收敛.（1分）
若原方程 改写成为 , 这时 是严格对角
优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.（1分）
四．证明题(每小题9分,共18分)：
1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第１小题的插值余项：
, 并有误差估计
证：方法一：因为 ，则 是 的零点且 为二重的,(1分)
最后得 .（1分）
2. 求 在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式;
解设所求的2次最佳一致逼近多项式为 . 令 .（2分）
则 的首项系数为1, 并且当 时, 与 的偏差最小, 即 与 的偏差最小.（2分）
因为 上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为 .（1分）
所以 .（2分）
3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到 即可)：
1.设有节点 ，其对应的函数 的值分别为 ，则二次拉格朗日插值基函数 为。
2.设 ，则 关于节点 的二阶向前差分为。
3.设 ， ，则 ＝， 。
4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点？
步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk-μ|<，计算，输出mk,uk；否则，转6；
步6：若k<N,置k:=k+1,μ:=mk，转3；否则输出计算失败
信息，停止
三．解：（1）利用插值法加待定系数法：
设 满足 则 （3分）
再设 （3分）
（1分）
（1分）
（2） （2分）
四．解：应用梯形公式得 （2分）
欧拉公式为 （2分）Fra Baidu bibliotek
对任意固定的 ，
有 ， （2分）
则 （1分）
2.证：牛顿迭代格式为 （3分）
因迭代函数为 而 又 ， （2分）
则
。
故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）
《数值分析》参考解答
三．计算题（每小题7分，共42分）：
1. 设 , 试构造基函数求 的2次插值多项式 ,满足:
.
解设 的基函数为 ，则它们满足下列关系（1分）
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
（2分）
(1) 令 ，则有 ,
即 . 所以 .
或由 ，先得 .
再由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，即 .
所以 .（1分）
(2) 令 ，则有 ,
即 . 所以 .
或由 ,先得 . 再由 ，得 .
所以 .（1分）
(3) 令 ，则有 ，
即 . 所以
或由 ,先得 .
再由 ，得 ，即 . 所以 （1分）
解牛顿迭代公式为： （2分)
.（2分)
取迭代初值为 ，则迭代结果如下表所示：
0
3
1
2.33333
2
2.05555
（3分）
6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？
解 , , , , .（1分）
则 ,（1分）
得 ,（1分）