2010上海市春季高考数学试卷(全解全析)

2010年上海市三校生高考数学试题及解答一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）. （B）. （C）. （D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D ；16．B；17．B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。

高中数学2010上海市春季高考试卷 试题 2019.091,已知复数1z i =+，则2zz -=____________．2,设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若C {1,2}U A =，则实数m =________．3,某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________．4,已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．5,已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．6,本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．)设函数22()cos()2cos ,32xf x x x Rπ=++∈．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()1f B =，1b =，c =a 的值．7,在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．8,已知函数1()ln(1)x f x x x a -=+++，其中实数1a ≠-(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．9,如题(19)图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB，点E 是棱PB 的中点． (Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若ADA －EC －D 的平面角的余弦值．题(19)图10,已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．11, 在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n N ++=++∈其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k N ∈有221k k a a ->，求c 的取值范围．12,函数1sin 22y x=的最小正周期T = 。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式042>+-x x的解集为_______________； 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、 行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

2010年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则A B = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）. 11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++ ，223L b b =+,n b ++ ，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式： 1122n n a b a b a b +++= 11223a L c L c L +++ k k c L +n n c L ++ ，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13．已知向量(2,3),(3,)a b λ=-= ，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ）（A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( ) （A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值.18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； （2）记1()-fx 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45 ，确定节点O分细钢管上下两段的比Array值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ，其中j为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证：>n q m p A A j A A j ⋅⋅ .题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.表一线段s 与线段1s 的关系m r 、的取值或表达式s 所在直线平行于1s 所在直线s 所在直线平分线段1s线段s 与线段1s 长度相等2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 16+. 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．.三．17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …… 9分2c o s4s i n 2s i n2θθθ∴-=-. …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+ ，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> ， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠= .303,13BH OH λλ=∴=+ ，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC = 设△ABC 的重心为H，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-， ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+-- . …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210ba a ∴=->，/{}n A 为T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分 （3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ，q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴ 点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴ 点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分 ()240b c ∆=-< ，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为 222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上. …… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-.…… 6分 以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系 、m r 的取值或表达式 得分s 所在直线平行于1s 所在直线 1m =，1r ≠ 12分s 所在直线平分线段1s 22(1)1r m --=，1m ≠ 15分线段s 与线段1s 长度相等 ()22145m r += 18分。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。

2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．上海）函数的最小正周期T=π．．（4分）（2010? 1【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，T==πsin2x的最小正周期为函数y=故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin（ωx+φ）T=．的最小正周期为；2．+2x是奇函数，则实数a=0=ax．（4分）（2010?上海）已知函数f（x）2【考点】奇函数．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．，﹣f（x）【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）= ，=﹣（a+2））=a﹣2=﹣f（1）（﹣则f1 解得a=0．【点评】本题考查奇函数定义．上海）计算：=1+i（（2010?i为虚数单位）．43．（分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．==1+i【解答】．解：=故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣，已知集合2010?上海）A={x||x|＜2}1＜x＜2}．（4．4（分）【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）1∞）（﹣1，+B={x|＞0}=2} ＜x={x|﹣1＜A∩B=（﹣1，2）∴2}＜﹣1＜x故答案为：{x|本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，【点评】，是解答本题的关键．求出集合A，B到另一个P的距离为6，则点上海）若椭圆+=1上一点P到焦点5．（4分）（2010?F1．4焦点F的距离是2椭圆的简单性质．【考点】计算题．【专题】| |=6，进而可求|PF|+|PF【分析】根据椭圆的定义|PF|=2a，已知|PF2211 |PF|=4．|+|PF|=2a=10，|PF|=6，故【解答】解：由椭圆的定义知|PF21124故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区2010?．（4分）（6人，若在老年人中的抽样人数是人、1400的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600 ．70，则在中年人中的抽样人数应该是80【考点】分层抽样方法．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．N=1600．解：由题可知抽取的比例为×k==80=，故中年人应该抽取人数为【解答】80故答案为：属基解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，【点评】本题考查基本的分层抽样，本题．则它的一条渐近线方程为．（1，1），20107．（4分）（?上海）已知双曲线C经过点C．的标准方程是C双曲线【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．2﹣Cy的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为【分析】根据题意，双曲线2坐标代入可得λ的值，进而可得答案．0λ（λ≠），将点C=3x的一条渐近线方程为【解答】解：根据题意，双曲线C，22 0），λ≠3x则可设双曲线的方程为y﹣=λ（2，﹣λ11C将点（，）代入可得=．2故答案为：．要求学【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．62 +）的二项展开式中，常数项是60．8．（4分）（2010?上海）在（2x【考点】二项式定理．【专题】计算题．0的值，即可求得常数项．，求出r【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2rr21266﹣﹣﹣x?T 2=?x?【解答】解：在（2x+）的二项展开式中，通项公式为r+13rr12﹣?x．= ，3r=0，解得r=412令﹣故展开式的常数项为，=60 60故答案为．求展开式中某项的系数，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．（．值（结果用数（4分）2010?上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为9．表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．个，满足条件的事【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36 ，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．件是点数和为的结果为4 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，36个，试验发生包含的事件总的试验结果为4，满足条件的事件是点数和为的结果为个，1）共33（2，2），（，，1可以列举出（，3）=由古典概型概率计算公式可得P=．=．故答案为解题过程中要用到列举法本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，【点评】来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏．．1的正四棱锥的体积V=上海）各棱长为2010分）（10．4（?棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】计算题．【专题】3【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．h=，h′，则=【解答】解：由题知斜高V=?Sh=1=?．故故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．上海）方程=0的解集为{﹣3，2}．411．（分）（2010?【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．22 18=0，12﹣4x+3x﹣【解答】=9x+2x解：﹣2即x+x﹣6=0，故x=﹣3，x=2．21故方程的解集为{﹣3，2}．【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法．12．（4分）（2010?上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=．【考点】程序框图．4【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：由框图的算法原理可知：b=，a=，﹣＜1；﹣a）=n=1，n（b﹣）＜1）=2；（n=2，n（b﹣a﹣）＞1=3，（n=3，n（b﹣a）m=[3]=6此时，，=，r= =r=．故输出故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（4分）（2010?上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长2最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2600πcm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，2 cm．×=2600ππ×50+80侧面展开图的面积S=（）×202 π故答案为：2600 本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．【点评】阶方阵上海）设2010分）（14．4（?n5= A n任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组1n1成n﹣1阶方阵A，任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，…；将最2nn112﹣﹣，则=1…+x．=x+x+…+x，则S=x+x+S后剩下的一个元素记为x，记n2n2n11nn【考点】高阶矩阵；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．2【分析】不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+nn21332．）=n，故可求（2n﹣12【解答】解：不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，n31222故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n+n23（n﹣1）×n=n，==1，故=故答案为：1．【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2010?上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c 满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．6熟注意全面考虑．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．M=a，记1）∈（0，，）已知a，a1+a﹣a，N=a201016．（5分）（?上海）（上海春卷16221112）则M与N的大小关系是（．不确定．M=N DM＞N CA．M＜N B．不等式比较大小．【考点】计算题．【专题】根据题意，利用作差法进行求解．【分析】+1 ﹣aN=aa﹣a解：由【解答】M﹣2112 0，a﹣1）＞=（a﹣1）（21 N，故M＞B．故选【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．2与抛物线“直线lk，“≠0”是分）（2010?上海）已知抛物线C：y=x与直线l：y=kx+l517．（）C有两个不同交点”的（B．必要不充分条件；A．充分不必要条件．充要条件D．既不充分也不必要条件C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．从而判定有两个不同交点的条件是：方程组有两个不同实数根，【分析】直线l与抛物线C 该题．22222，0=﹣4k+1＞=（2k﹣1）﹣4k，x【解答】解：由（kx+1）=x即k+（2k﹣1）x+1=0△有两C直线l与抛物线有两个不同的交点与抛物线C”，但“0则．故“k≠”推不出“直线l ．≠0”个不同的交点”则必有“k ．故选B第三0是第二点，0＞还是△≥【点评】本题突破口在直线l与抛物线C有两个不同交点，△是充要条件的判断．对称，则P=（）已知函数fx）的图象关于点（上海春卷（．18（5分）2010?上海）18 的坐标是（）点P0，）0．BA．．C．D（函数的图象与图象变化．【考点】7【专题】压轴题．【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P（m，n），任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N（2m﹣x，2n﹣y），，联立方程组：由，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．，求的值．＞1）上海）已知tanθ=a，（a?19．（12分）（2010【考点】两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．【专题】计算题．化简，【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，代入tanθ=a，求出结果即可．【解答】解：原式=．===．即：【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．x 1）≠a＞0且a2（（2010（．14分）（?上海）已知函数fx）=log8﹣）（20a的值；x）的反函数是其本身，求a（（1）若函数f ）的最大值．（﹣）（时，求函数＞）当（2a1y=fx+fx8【考点】反函数；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．xx fx）（x=，），∴8﹣2=a ，）【解答】解：（1）∵函数f（x=log（8﹣2ax．，∴故反函数为y=，∴log（8﹣2）a=2=ax（2）当a＞1时，由题意知，8﹣2＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），x=+，（8﹣2）+f函数y=f（x）（﹣x）=log axxxx﹣﹣∴2+2≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2+2 ）≤49，当a＞1时，函数y=f（x）+f（﹣x）在x=0处取得最大值log49．a【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．21．（14分）（2010?上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米×6371 的弧长：经计算得AB889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C，过B作与赤道平面平行的球面的截面，设其圆心为O′，由已知得9∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°由余弦定理可得22222BC=O′B+O′C﹣2O′B?O′Ccos131°=2rcos39°（1﹣cos131°）BOC=∠cos4﹣﹣1.87×10≈BOC≈90.01°∴∠为于是大圆的弧长BC∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．【点评】本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．=，定义，对任意向量16分）（2010?﹣上海）在平面上，给定非零向量22．（．，求；3）），=（﹣1（1，）若=（2，3上，则位置向量Ax+By+C=0，证明：若位置向量的终点在直线（2，1）的（2）若=终点也在一条直线上；2终点=y上时，位置向量，当位置向量的终点在抛物线C3（：）已知存在单位向量x2与向量满足什么关系？l ′关于直线l对称，问直线C总在抛物线′：y=x上，曲线C和C【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；函数的性质及应用；平面向量及应用．，代入=10）根据题意，算出=7的表达式并化简整理，即可得【分析】（1，（；，﹣）到=的表达式解出=（xAx+By+C=0，上，由题中y），终点在直线（2）设=（x'，y'）满足的关系式，从而得到点）在直线Ax+By+C=0（上，化简整理得到直线（，3A+4B）x+（4A﹣，说明向量5C=0﹣3B）y的终点也在一条直线上；，解出θ）cosθ，sin，3））设=（xy），单位向量θyx关于、和的坐标形式，结=（（22终点在抛物线y=x上，建立关于x=y的终点在抛物线合x上且、y和θ的方程，化简10满l的方向向量l：y=x对称，算出（．再由曲线，）C和C′整理得到=±关于直线垂直．与向量?=0，从而得到直线足l），（﹣1，（=2，3）3，【解答】解：（1=）∵=，（﹣）=（﹣1，∴=73，=10），可得）（）﹣（﹣；，）因此==，﹣﹣=（2，3上），终点在直线Ax+By+C=0）设=（x'，y'（2，）=（=（2算出=2x'+y'=5，，，1，），=）﹣（（∴，=）﹣=（x'，y'）），y，得到，满足因此，若=（x Ax+By+C=0∵点（上，）在直线，﹣）y5C=03A+4B∴A）×x++B×（4A﹣3B+C=0，化简得（不全为零，可得以上方程是一条直线的方程A、B由的终点也在一条直线上；即向量3是单位向量，）∵（θ，=xcosθθ，sinθ）+ysin，可得?cosx∴设=（，y），=（）θ+ycos2θ，θ=（﹣xcos2﹣ysin2θ﹣2xsin2θθ（﹣所以=﹣=2xcos+ysin）22 =x=y的终点在抛物线∵x上，且终点在抛物线y上，112，+ycos2θ）θ=（﹣2xsin2θθ∴﹣xcos2﹣ysin2θ==﹣，θsin=，sinθ=﹣或cosθ化简整理，通过比较系数可得cos，（）∴=±，∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，的方向向量=（1，1）．∴l与向量垂直．l，即可得⊥?=0，因此直线终点在一条直线上时，向量的终点也在本题给出向量的关系式，求证当向量【点评】一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．=（ax为常数）．2010?上海）已知首项为x的数列{x}满足23．（18分）（n+1n1*（1）若对于任意的x≠﹣1，有x=x对于任意的n∈N都成立，求a的值；n1n+2（2）当a=1时，若x＞0，数列{x}是递增数列还是递减数列？请说明理由；n1（3）当a确定后，数列{x}由其首项x确定，当a=2时，通过对数列{x}的探究，写出“{x}nnn1是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．【考点】数列递推式．【专题】计算题；综合题；压轴题；探究型．22时，由n=1+xa+1）x，当，代入xx化简后等于x，得到ax=（【分析】（1）求出nn+2nn+1nn的值即可；x的任意性得得到a1＜﹣xx﹣x==﹣＞a=1（2）数列为递减数列，因为当且x＞1得到x0，而nn+1n1n 0，所以得证；﹣得到即可．}{x是有穷数列，可以令x=满足得到数列3（）由a=2{x}x=，因为1n+1nn==x=）∵解：（1x =【解答】nn+222，∴a=﹣x的任意性得1．时，由，当+xxa+1=x∴a（）n=11nnn（}{x）数列2是递减数列．n120. x＞∵1** N∈，﹣＜0，=﹣﹣∈＞∴x0，nN又xx=xn nnnn+1是递减数列．}故数列{x n﹣，则{x}是有穷数列．=x=满足}）满足条件的真命题为：数列（3{xx，若nn+11n【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．13。

2010年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则A B = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()1f x x =-的定义域是 . 4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a =.6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = .9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）.11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+ ,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式： 1122n n a b a b a b +++=11223a L c L c L +++k k c L + n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13．已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于 [答] ( ) （A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3.（C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)已知cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值.18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2()log 21x f x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比Array值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由； （2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证：>n q m p A A j A A j ⋅⋅.题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.表一线段s 与线段1s 的关系 m r 、的取值或表达式s 所在直线平行于1s 所在直线s 所在直线平分线段1s线段s 与线段1s 长度相等2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. {}4x x <. 2. 13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 16+. 9. 1-. 10. 112. 11. 1k k a a --. 12. 32. .17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=- …… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin 3θ∴==， …… 9分2c o s 4s i n 2s i n 2θθθ∴-=-. …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分 解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为8=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+， 1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x x x ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分[解法一]1()()m f x f x -∴=- =()()22log 21log 21x x --+ 22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分 当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分 [解法二] 解方程()()22log 21log 21x x m -=++，得 221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分 20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，3BH =. 设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=.303,1BH OH λλ=∴=+解得，0.63λ=≈. …… 6分 即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC = 设△ABC 的重心为H，则8,BH AH ==， …… 10分 由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分 21. [解]（1） 1n a n=， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>， ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-， ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->，/{}n A 为T 点列，10n b b ∴≥>， ()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，0q p n m ∴-=->. ①1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ② 同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-±， …… 2分∴ 点(),z P b -或(),z P b -， 将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴ 点(),z P b -或(),z P b -， 由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上. …… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①② 由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系 、m r 的取值或表达式 得分s 所在直线平行于1s 所在直线 1m =，1r ≠ 12分s 所在直线平分线段1s 22(1)1r m --=，1m ≠ 15分线段s 与线段1s 长度相等 ()22145m r +=18分卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

2010年上海理一、填空题（共14小题；共70分）>0的解集是．1. 不等式2−xx+42. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．3. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．4. 行列式 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．5. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．6. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．8. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．9. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．10. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．11. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．12. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．13. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．14. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）15. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−217. 若x0是方程12x=x1的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1218. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．20. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．21. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．22. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．23. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. −4,22. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．3. y2=8x4. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．5. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=32+42=3．6. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．7. S←S+a8. 0,−29. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．10. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．11. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1n=11+0=1．12. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．13. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．14. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分15. A【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．16. C 【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．17. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．18. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分19. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.20. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．21. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 22. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．23. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。

2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2010?上海）函数的最小正周期T=π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数y=sin2x 的最小正周期为T==π故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的最小正周期为；T=．2．（4分）（2010?上海）已知函数f （x ）=ax 2+2x 是奇函数，则实数a=0．【考点】奇函数．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】解：由奇函数定义有f （﹣x ）=﹣f （x ），则f （﹣1）=a ﹣2=﹣f （1）=﹣（a+2），解得a=0．【点评】本题考查奇函数定义．3．（4分）（2010?上海）计算：=1+i （i 为虚数单位）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi （a ，b ∈R ）的形式．【解答】解：===1+i ．故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（4分）（2010?上海）已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A ∩B={x|﹣1＜x ＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A ，B ，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．5．（4分）（2010?上海）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，已知|PF1|=6，进而可求|PF2|【解答】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．故答案为 4【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．6．（4分）（2010?上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是80．【考点】分层抽样方法．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．【解答】解：由题可知抽取的比例为k==，故中年人应该抽取人数为N=1600×=80．故答案为：80【点评】本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题．7．（4分）（2010?上海）已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y2﹣3x 2=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，要求学生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．8．（4分）（2010?上海）在（2x 2+）6的二项展开式中，常数项是60．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：在（2x2+）6的二项展开式中，通项公式为T r+1=?26﹣r?x12﹣2r?x﹣r=?x12﹣3r．令12﹣3r=0，解得r=4，故展开式的常数项为=60，故答案为60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2010?上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为（结果用数值表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36个，满足条件的事件是点数和为的结果为4，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36个，满足条件的事件是点数和为的结果为4，可以列举出（1，3），（2，2），（3，1）共3个，由古典概型概率计算公式可得P===．故答案为．【点评】本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，解题过程中要用到列举法来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏．10．（4分）（2010?上海）各棱长为1的正四棱锥的体积V=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：由题知斜高h′=，则h=，故V=Sh=?1?=．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．11．（4分）（2010?上海）方程=0的解集为{﹣3，2}．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．【解答】解：=9x+2x2﹣12﹣4x+3x2﹣18=0，即x2+x﹣6=0，故x1=﹣3，x2=2．故方程的解集为{﹣3，2}．【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法．12．（4分）（2010?上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：由框图的算法原理可知：a=，b=，n=1，n（b﹣a）=﹣＜1；n=2，n（b﹣a）=2（﹣）＜1；n=3，n（b﹣a）=3（﹣）＞1，此时，m=[3]=6，r===，故输出r=．故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（4分）（2010?上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2600πcm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积S=（50+80）×20π×2×=2600πcm2．故答案为：2600π【点评】本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．14．（4分）（2010?上海）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=1．【考点】高阶矩阵；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．【分析】不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．【解答】解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n2+（n﹣1）×n2=n3，故===1，故答案为：1．【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2010?上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑．熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．16．（5分）（2010?上海）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】根据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，故M＞N，故选B．【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．17．（5分）（2010?上海）已知抛物线C：y 2=x与直线l：y=kx+l，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件；C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】直线l与抛物线C有两个不同交点的条件是：方程组有两个不同实数根，从而判定该题．【解答】解：由（kx+1）2=x即k2x2+（2k﹣1）x+1=0，△=（2k﹣1）2﹣4k2=﹣4k+1＞0，则．故“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但“直线l与抛物线C有两个不同的交点”则必有“k≠0”．故选B．【点评】本题突破口在直线l与抛物线C有两个不同交点，△＞0还是△≥0是第二点，第三是充要条件的判断．18．（5分）（2010?上海）（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．（0，0）【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P（m，n），任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N（2m﹣x，2n﹣y），由，联立方程组：，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2010?上海）已知tanθ=a，（a＞1），求的值．【考点】两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．【专题】计算题．【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．【解答】解：原式===．即：=．【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．20．（14分）（2010?上海）已知函数f（x）=log a（8﹣2x）（a＞0且a≠1）（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（﹣x）的最大值．【考点】反函数；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log a（8﹣2x），∴8﹣2x =a f（x），x=，故反函数为y=，∴log a（8﹣2x）=，∴a=2．（2）当a＞1时，由题意知，8﹣2x＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），函数y=f（x）+f（﹣x）=log a（8﹣2x）+=，∴2x+2﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2x+2﹣x）≤49，当a＞1时，函数y=f（x）+f（﹣x）在x=0处取得最大值log a49．【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．21．（14分）（2010?上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米经计算得AB的弧长：6371×889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为 1.2（小时）（2）设里斯本为C，过B作与赤道平面平行的球面的截面，设其圆心为O′，由已知得∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°由余弦定理可得BC 2=O′B2+O′C2﹣2O′B?O′Ccos131°=2r2cos239°（1﹣cos131°）cos∠BOC=≈﹣1.87×10﹣4∴∠BOC≈90.01°于是大圆的弧长BC为∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．【点评】本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．22．（16分）（2010?上海）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义=﹣．（1）若=（2，3），=（﹣1，3），求；（2）若=（2，1），证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量满足什么关系？【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；函数的性质及应用；平面向量及应用．【分析】（1）根据题意，算出=7，=10，代入的表达式并化简整理，即可得到=（，﹣）；（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中的表达式解出=（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C=0，说明向量的终点也在一条直线上；（3））设=（x，y），单位向量=（cosθ，sinθ），解出关于x、y和θ的坐标形式，结合的终点在抛物线x2=y上且终点在抛物线y2=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到=±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量满足?=0，从而得到直线l与向量垂直．【解答】解：（1）∵=（2，3），=（﹣1，3），∴=7，=10，可得=（﹣1，3）=（﹣，）因此=﹣=（2，3）﹣（﹣，）=（，﹣）；（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上算出=2x'+y'，=5，=（2，1）=（，），∴=﹣=（x'，y'）﹣（，）=（，）因此，若=（x，y），满足，得到∵点（，）在直线Ax+By+C=0上∴A×+B×+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C=0，由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程即向量的终点也在一条直线上；（3）∵是单位向量，∴设=（x，y），=（cosθ，sinθ），可得?=xcosθ+ysinθ，所以=﹣=﹣2（xcosθ+ysinθ）=（﹣xcos2θ﹣ysin2θ，﹣2xsin2θ+ycos2θ）∵的终点在抛物线x2=y上，且终点在抛物线y2=x上，∴﹣xcos2θ﹣ysin2θ=（﹣2xsin2θ+ycos2θ）2，化简整理，通过比较系数可得cosθ=，sinθ=﹣或cosθ=﹣，sinθ=∴=±（，），∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，∴l的方向向量=（1，1）．可得?=0，即⊥，因此直线l与向量垂直．【点评】本题给出向量的关系式，求证当向量终点在一条直线上时，向量的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．23．（18分）（2010?上海）已知首项为x1的数列{x n}满足x n+1=（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠﹣1，有x n+2=x n对于任意的n∈N*都成立，求a的值；（2）当a=1时，若x1＞0，数列{x n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当a确定后，数列{x n}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{x n}的探究，写出“{x n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．【考点】数列递推式．【专题】计算题；综合题；压轴题；探究型．【分析】（1）求出x n+2，代入x n+1化简后等于x n，得到a2x n=（a+1）x n2+x n，当n=1时，由x1的任意性得得到a的值即可；（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到x n＞0，而x n+1﹣x n=﹣x n=﹣＜0，所以得证；（3）由a=2得到数列{x n}满足x n+1=，因为{x n}是有穷数列，可以令x1=﹣得到即可．【解答】解：（1）∵x n+2====x n∴a2x n=（a+1）x n2+x n，当n=1时，由x1的任意性得，∴a=﹣1．（2）数列{x n}是递减数列．∵x1＞0.∴x n＞0，n∈N*又x n+1﹣x n=﹣x n=﹣＜0，n∈N*，故数列{x n}是递减数列．（3）满足条件的真命题为：数列{x n}满足x n+1=，若x1=﹣，则{x n}是有穷数列．【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．。

上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．26．已知函数，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．已知数列{a n }是公差为2的等差数列．（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为： ==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解： =1， =1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上， 则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1能求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g（2）方法一：，，由，则在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．7月25日21 / 21。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x78 9 10 P （x =ξ） 0．30．350．20．15则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式. 【考查方式】考查分式不等式的解法. 【难易程度】容易 【参考答案】()4,2- 【试题解析】204xx ->+等价于()()240x x -+<,42x ∴-<<. 2.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】考查共轭复数的概念及复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】62i -【试题解析】z z z +=(12i)(12i)12i 62i -++-=-.3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】利用抛物线定义求解标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】28y x =【试题解析】定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，2p =所以其方程为28y x =.4.行列式ππcossin 36ππsin cos 36的值是 .【测量目标】行列式.【考查方式】考查行列式运算法则. 【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】ππcossin36ππsin cos 36=πππππcos cos sin sin cos 036362-==.5.22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l :3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】三种距离公式. 【考查方式】考查点到直线距离公式. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2222:2440(1)(2)1,C x y y y x y +--+=⇒-+-=(步骤1)∴圆心()1,2到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.(步骤2)6.随机变量ξ的概率分布列由下图给出：x7 8 9 10 ()P x ξ=0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是 .【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【考查方式】考查期望定义式. 【难易程度】中等 【参考答案】8.2【试题解析】()70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.7.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示 上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人 数，则空白的执行框内应填入 .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，根据题意将程序框图补充完整. 【难易程度】中等【参考答案】S S a ←+【试题解析】由题意可知S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示 整点报道前1个小时内入园人数，S 随a 的变化而变化，故空白的执行框内应填入S S a ←+.8.对任意不等于1的正数a ，函数()()log 3a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 【测量目标】反函数.【考查方式】给出某一函数解析式，研究其反函数的图象所经过的定点. 【难易程度】中等 【参考答案】()0,2-【试题解析】()()log 3a f x x =+ 的图象过定点()2,0-，所以其反函数的图象过定点()0,2-. 9.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P AB = (结果用最简分数表示）.【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】考查随机事件概率公式. 【难易程度】容易 【参考答案】726【试题解析】 ()1137525226P AB =++ . 10.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】利用矩阵基本知识直接求解. 【难易程度】容易【参考答案】45【试题解析】1122339913579246845a a a a +++⋅⋅⋅+=++++++++=. 11.将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n +∈N ，2n ）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .第11题图【测量目标】极限及其运算.【考查方式】给出直线方程，画出图象，根据微积分基本定理直接求定积分. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】联立直线2l 和直线3l ，得0,,01nx y n nx y x ny n n +-=⎧⇒==⎨+-=+⎩(,)11n nB n n ∴++ ，直线2l 过点(1,0)C ，直线3l 过点(0,1)A ，（步骤1） BO AC ∴⊥，2,2,1n AC BO n ∴==+ n S =121221+=+⨯⨯n n n n , lim 1n n S →∞∴=.（步骤2） 12.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去AOB △,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为第12题图【测量目标】平面图形的折叠问题.【考查方式】考查了平面图形的折叠问题及三棱锥的体积公式. 【难易程度】中等 【参考答案】823【试题解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为32836223162131=⨯⨯⨯⨯.13.如图所示，直线2x =与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b ∈R ， 则a 、b 满足的一个等式是第13题图【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用直线与双曲线之间的位置关系及平面向量的坐标运算直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】41ab =【试题解析】)1,2(),1,2(21-E E 12OP ae be =+=),22(b a b a -+，点P 在双曲线上，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得41ab =.14.从集合{},,,U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a 、b 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有 种不同的选法. 【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用列举法直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】36【试题解析】列举法，共有36种二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个等式，判断它们之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】ππtan(2π)tan144k +==，所以充分； 但反之不成立，如5πtan14=，所以不必要. 16.直线l 的参数方程是()122x tt y t=+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）A.()1,2B.()2,1C.()2,1-D.()1,2- 【测量目标】参数方程.【考查方式】参数方程与直角坐标方程之间的互化. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确. 17.若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间 （ ）A. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出方程的一个解0x ，求其取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】312131312121,3121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，∴0x 属于区间(13,12). 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能 （ ） A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 【测量目标】利用余弦定理判断三角形的形状.【考查方式】给出三角形的三条高的长度，利用面积相等及余弦定理判断三角形的形状. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设三边分别为,,a b c ，利用面积相等可知11113115a b c ==， ::13:11:5a b c ∴=由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=A ，A ∴∠为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知π02x <<，化简：2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+.【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角.【考查方式】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角对函数进行化简. 【难易程度】容易 【试题解析】π02x <<， 2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x ∴+-+--+()()()lg sin cos lg cos sin lg 12sin cos x x x x x x =+++-+ ()()22lg sin cos lg sin cos x x x x =+-+()()2lg sin cos 2lg sin cos x x x x =+-+ 0=20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列的通项公式n a 与前n 项和n S 之间的关系，求证{}1n a -是等比数列及求数列{}n S 的通项公式，并通过判断其单调性来求最值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2）（2）由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤3）从而()1575906n n S n n -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n时，数列{}n S 单调递增；（步骤6）同理可得，当15n时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）21.（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m 铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用2m S 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到20.01m ）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3m 时， 求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小.（结果用反三角函数表示）第21题图【测量目标】利用函数的单调性求最值，异面直线所成的角.【考查方式】先利用函数的单调性求最值，再通过利用平面向量的数量积运算解决平面向量的夹角问题. 【难易程度】中等【试题解析】 (1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则()1.2200.6l r r =-<<， ()23π0.40.48πS r =--+，（步骤1）∴当0.4r =时，S 取得最大值约为21.51m ；（步骤2）(2) 当0.3r =时，0.6l =，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-， ()350.3,0.3,0.6A B =--，（步骤3） 设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3A B A B A B A B θ==，（步骤4） ∴13A B 、35A B 所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．（步骤5）第21题图22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分. 若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域k ππ,,24D x x k x ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R .任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对三角函数的基本性质的了解程度以及利用基本不等式证明绝对值不等式的能力. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）211x ->，211x ∴->或211x -<-（舍去）（步骤1） ((),22,x ∴∈-∞-+∞；（步骤2）（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab b +>222a b ab ab b +> （步骤3）()()23322220a b ab b a b ab ab b a b a b +--+-=+->，332222a b a b ab ∴+->+-，即33a b +比22a b ab +远离2；（步骤4）（3）π3πsin ,k π,π44()ππcos ,π,π44x x k f x x x k k ⎧⎛⎫∈++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤5）性质：1︒ ()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称；2︒ ()f x 是周期函数，最小正周期π2T =； 3︒函数()f x 在区间ππππ,2422k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递增，在区间ππππ,2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递减；4︒函数()f x的值域为⎤⎥⎣⎦．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为(),a b -.（1）若直角坐标平面上的点()(),0,,,0M A b B a -满足()12PM PA PB =+,求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点()()cos ,sin 0πQ a b θθθ<<，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=,写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【测量目标】向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题.【考查方式】给出直线与椭圆的方程，联立方程组，用消元法解方程组，求证E 为CD 的中点并求出θ的取值范围. 【难易程度】较难【试题解析】 (1)设点M 的坐标为(),x y ，由题意可知(),PM x a y b =+-， (),2PA a b =-，()2,PB a b =-，（步骤1） ()12PM PA PB =+3232x a a y b b⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，（步骤2）22a xb y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，,22a b M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；（步骤3） (2)由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程()()222222221120a k b x a k px a p b +++-=， （步骤4）直线11:l y k x b =+交椭圆Γ于C 、D 两点，∴0∆>，即222210a k b p +->，（步骤5）设()11,C x y 、()22,D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ， 则212102221201022212x x a k p x a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，（步骤6） 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程()21k k x p -=，（步骤7） 又2221b k a k =-，2102222112202221p a k p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪∴⎨⎪===⎪+⎩，（步骤8） 故E 为CD 的中点；（步骤9）(3) 求作点1P 、2P 的步骤：1︒求出PQ 的中点()()1cos 1sin ,22a b E θθ--⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2︒求出直线OE 的斜率()()21sin 1cos b k a θθ+=-， 3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率()()21221cos 1sin b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：()()()()1sin 1cos 1cos 21sin 2b b a y x a θθθθ+--⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点1P 、2P 的坐标．（步骤10）欲使1P 、2P 存在，必须点E 在椭圆内，()()221cos 1sin 144θθ-+∴+<，化简得1πsin cos ,sin 24θθθ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，（步骤11）又0πθ<<，即ππ3π444θ-<-<，ππarcsin 444θ∴-<-<，（步骤12）故θ 的取值范围是π0,arcsin 44⎛+ ⎝⎭．（步骤13）。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学本试卷共23题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）不等式的解集为2．（4分）若复数z=1﹣2i（i为虚数单位），则=．3．（4分）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为．4．（4分）行列式的值是．5．（4分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=．的均值是．7．（4分）2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．8．（4分）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是9．（4分）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）10．（4分）在n行m列矩阵中，记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2…，n）．当n=9时，a11+a22+a33+…+a99=．11．（4分）将直线l1：nx+y﹣n=0和直线l2：x+ny﹣n=0（n∈N*，n≥2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S n，则S n=．12．（4分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．13．（4分）如图所示，直线x=2与双曲线Γ：=1的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线上的点P，若（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是．14．（4分）以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有种不同的选法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）“”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线l的参数方程是（t∈R），则l的方向向量可以是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）17．（5分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）18．（5分）（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知，化简：lg（cosx•tanx+1﹣2）+lg[cos（x﹣）]﹣lg（1+sin2x）．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式，并求出使得S n+1＞S n成立的最小正整数n．21．（13分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）22．（18分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离；（3）已知函数f（x）的定义域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx 中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．23．（18分）已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学(参考答案)一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．【分析】先将x的系数化正，不等号方向改变，再根据穿根法求解或转化为二次不等式求解．【解答】解：⇔，解集为{x|﹣4＜x＜2}故答案为：（﹣4，2）2．【分析】把复数z=1﹣2i代入然后化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：复数z=1﹣2i代入可得（1﹣2i）（1+2i）﹣1+2i=5﹣1+2i=4+2i故答案为：4+2i3．【分析】由题意可知P的轨迹是以F为焦点的抛物线，由此得到出p=4，即可以求出P的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故答案为y2=8x4．【分析】利用行列式展开法则和三角函数的性质进行求解．【解答】解：=cos cos﹣sin sin=cos=．故答案为：．5．【分析】先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解答】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：36．【分析】根据条件中所给的变量的分布列，代入求期望的公式，得到随机变量的期望值，即我们要求的随机变量的均值，这是一个简单的计算题目．【解答】解：根据所给的分布列，得到E（ξ）=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2，故答案为：8.27．【分析】本题考查了算法的程序框图及算法流程图，考查算法思想的应用．由题意可知S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，故框中应填的是一个表示累加功能的语句．【解答】解：由题意可知S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，故框中应填的是一个表示累加功能的语句故应填入：S=S+a故答案为：S=S+a．8．【分析】本题考查的是指数函数和对数函数的性质，根据指数函数恒过（0，1）点，对数函数恒过（1，0），结合函数图象平移法则和反函数图象的性质，易得结果．【解答】解：函数f（x）=log a x恒过（1，0），将函数f（x）=log a x向左平移3个单位后，得到f（x）=log a（x+3）的图象故f（x）=log a（x+3）的图象过定点（﹣2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，所以其反函数的图象过定点（0，﹣2）故答案为：（0，﹣2）9．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．10．【分析】列出矩阵可知a11至a99的数值进而可求得他们的和．【解答】解：由矩阵可知，a11+a22+a33+…+a99=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45．故答案为：4511．【分析】联立两条直线方程求出交点B的坐标，因为两直线分别恒过定点，分别求出围成图形的两条对角线，由两条对角线垂直，利用四边形对角线垂直时面积为对角线乘积的一半表示出s n，求出极限即可．【解答】解：联立直线l1和直线l2解得：x=y=，所以得到B（，）；观察可得直线l1过点A（1，0），直线l2过点C（0，1），显然BO⊥AC，根据勾股定理得AC=，BO=•，所以两直线与x、y轴围成的封闭图形的面积记S n=××=所以S n==1．故答案为：1．12．【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：13．【分析】先根据双曲线的方程可得渐近线，进而可得E1，E2两点坐标，根据，求得代入双曲线方程，即可求得a和b的关系．【解答】解：依题意可知：E1（2，1），E2（2，﹣1）∴=（2a+2b，a﹣b），∵点P在双曲线上∴﹣（a﹣b）2=1，化简得4ab=1故答案为4ab=114．【分析】由题意知，子集A和B可以互换，即视为一种选法，从而对子集A分类讨论当A是单元集或是四元集，当A是二元集，B相应的只有两种，当A是三元集，B相应的有6种结果，根据计数原理得到结论．【解答】解：因为U，Φ都要选出而所有任意两个子集的组合必须有包含关系故各个子集所包含的元素个数必须依次递增而又必须包含空集和全集所以需要选择的子集有两个设第二个子集的元素个数为1有（a）（b）（c）（d）四种选法（1）第三个子集元素个数为2当第二个子集为（a）时第三个子集的2个元素中必须包含a剩下的一个从bcd中选取有三种选法所以这种子集的选取方法共有4×3=12种（2）第三个子集中包含3个元素同理三个元素必须有一个与第二个子集中的元素相同共有4×3=12种（3）第二个子集有两个元素有6种取法第三个子集必须有3个元素且必须包含前面一个子集的两个元素有两种取法所以这种方法有6×2=12种综上一共有12+12+12=36种故答案为：36．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．【分析】得出，“”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件．【解答】解：，所以充分；反之，若tanx=1，则x=kπ+（k∈Z），如x=，不满足“”，故“”是“tanx=1”的充分不必要条件．故选：A．16．【分析】欲求l的方向向量，只须求出此直线的斜率即可，消去参数可得直线的斜率值，从而即得l的方向向量．【解答】解：由直线l的参数方程得：∴直线l的斜率为：﹣，∴l的方向向量可以是：（1，﹣）或（﹣2，1）故选C．17．【分析】由题意x0是方程的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题．【解答】解：∵，，∴x0属于区间（，）．故选C．18．【分析】先设出三边来，根据面积相等和三条高的长度求得a，b和c的比，进而利用余弦定理求得cosA通过结果小于0判断出A为钝角．【解答】解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知a=b=c，∴a：b：c=13：11：5令a=13，b=11，c=5由余弦定理得cosA=＜0，所以角A为钝角，故选D三、解答题（共5小题，满分74分）19．【分析】根据三角函数的有关公式，先对对数的真数部分进行化简，然后再根据对数运算法则得出答案．【解答】解：原式=lg（cosx+cosx）+lg（cosx+sinx）﹣lg（sin2x+cos2x+2sinxcosx）=lg（sinx+cosx）+lg（cosx+sinx）﹣lg（sinx+cosx）2=0．20．【分析】（1）通过a n=S n﹣S n﹣1求出当≥2时，a n的通项公式，进而可得出为常数，进而验证a1﹣1最后可确定{a n﹣1}是等比数列；（2）根据（1）{a n﹣1}是以15为首项，公比为的等比数列可求得数列{a n﹣1}的通项公式，进而求出数列{a n}的通项公式．可知{a n}是由常数列和等比数列构成，进而求出S n．进而代入S n+1＞S n两边求对数，进而可得答案．【解答】解：（1）当n=1时，a1=﹣14；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣5a n+5a n﹣1+1，所以，又a1﹣1=﹣15≠0，所以数列{a n﹣1}是等比数列；（2）由（1）知：，得，从而（n∈N*）；＞S n，得（）n＜，即n＞≈14.9，由S n+1最小正整数n=15．21．【分析】（1）由题意可圆柱的高为h，可得s=2πrh+πr2用r表示出来，然后利用配方法求出s的最大值；（2）利用向量建立坐标系来求解，以直线A3A7、A1A5及圆柱的轴为x、y、z轴，表示出直线A1B3与A3B5的坐标，从而求解．【解答】解：（1）设圆柱的高为h，由题意可知，4（4r+2h）=9.6，即2r+h=1.2，s=2πrh+πr2=πr（2.4﹣3r）=3π[﹣（r﹣0.4）2+0.16]，其中0＜r＜0.6∴当半径r=0.4m时，S max=0.48π≈1.51（m2）（2）当r=0.3时，由2r+h=1.2，解得圆柱的高h=0.6（米），如图以直线A3A7、A1A5及圆柱的轴为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有，A1（0，﹣0.3，0）B3（0.3，0，0.6）A3（0.3，0，0）B5（0，0.3，0.6），∴=（0.3，0.3，0.6），=（﹣0.3，0.3，0.6），两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角α有，cosα==∴两线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小arccos．22．【分析】（1）根据定义可得|x2﹣1|＞1再按照绝对值不等式的解法求解．（2）证明：易知∵成立，再两边同乘以ab得到要证明的问题．（3）根据定义可得，再由正弦函数和余弦函数的性质进行探讨．【解答】解：（1）根据定义可得：|x2﹣1|＞1∴x2﹣1＞1或x2﹣1＜﹣1解得（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离即证|a3+b3﹣|＞|a2b+ab2﹣|，又任意两个不相等的正数a、b即证由于，＞0∴即证成立∴|a3+b3﹣|＞|a2b+ab2﹣|（3）由题意知性质：①函数是偶函数；②周期T=③在区间k∈z是增函数，在k∈z是减函数④最大值为1，最小值为⑤定义域}23．【分析】（1）设M（x，y）根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．（2）直线l1与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），利用韦达定理可求得x1+x2的表达式，进而求得x0，代入直线方程求得y0，两直线方程联立根据直线l2的斜率求得x=x0，y=y0进而判断出E为CD的中点；（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值范围．【解答】解：（1）设M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M点坐标为（，﹣）（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为k2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点E（﹣，），2°求出直线OE的斜率k2==，3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，4°从而得直线P1P2的方程：y﹣=（x+），5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以+＜1，化简得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值范围是（0，+arcsin）11/ 11。

2010上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数1sin 22y x =的最小正周期T = 。

答案：π解析：由周期公式得222T πππω===。

2、已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a = 。

答案：0解析：由奇函数定义有()()0f x f x -+=得222()2()220a x x ax x ax -+-++==，故0a =。

3、计算：21ii=+ （i 为虚数单位） 答案：1i +解析：22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+===+++-。

4、已知集合1{|||2},{|0}1A x xB x x =<=>+，则A B ⋂= 。

答案：{|12}x x -<<解析：由题知{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>-，故{|12}A B x x ⋂=-<<.5、若椭圆2212516x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 答案：4解析：由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6PF =,故2||4PF =。

6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。

已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。

若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。

答案：80。

解析：由题可知抽取的比例为701140020k ==，故中年人应该抽取人数为116008020N =⨯=。

7、已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是 。

答案：223122x y -=。

解析：设双曲线的方程为223(0)y x λλ-=≠，将点(1,1)代入可得2λ=-。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学本试卷共23题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=．2．（4分）不等式的解集是．3．（4分）行列式的值是．4．（4分）若复数z=1﹣2i（i为虚数单位），则=．5．（4分）将一个总体为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取个个体．6．（4分）已知四棱椎P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，则该四棱椎的体积是．7．（4分）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=．8．（4分）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为．9．（4分）函数f（x）=log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点坐标是．10．（4分）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）．11．（4分）2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．12．（4分）在n行n列表中，记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n）．当n=9时，a11+a22+a33+…+a99=．13．（4分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．14．（4分）将直线l1：x+y﹣1=0、l2：nx+y﹣n=0、l3：x+ny﹣n=0（n∈N*，n≥2）围成的三角形面积记为S n，则=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．316．（5分）“”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，1.25）C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）18．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知，化简：lg（cosx•tanx+1﹣2）+lg[cos（x﹣）]﹣lg（1+sin2x）．20．（14分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式，并求出使得S n+1＞S n成立的最小正整数n．22．（16分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若x2﹣1比3接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近；（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．23．（18分）已知椭圆Γ的方程为，A（0，b）、B（0，﹣b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．（1）若点M满足，求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（﹣8，﹣1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标．2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学(参考答案)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．【分析】因为A∪B={1，2，3，4}，因为B中元素为3，4，所以A中必然要有2，所以得到m的值即可．【解答】解：根据并集的概念，A∪B={1，2，3，4}，因为B中元素为3，4，所以A中必然要有2，所以m=2故答案为22．【分析】由不等式可得（x﹣2）（x+4）＜0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．3．【分析】利用行列式展开法则和三角函数的性质进行求解．【解答】解：=cos cos﹣sin sin=cos=．故答案为：．4．【分析】把复数z=1﹣2i及它的共轭复数代入，将其化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：考查复数基本运算=（1﹣2i）（1+2i）+1﹣2i=6﹣2i．故答案为：6﹣2i．5．【分析】因为分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，又A、B、C三层的个体数之比已知，根据条件列出结果．【解答】解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取．故答案为：20．6．【分析】四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得．故答案为96．7．【分析】先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解答】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：38．【分析】由题意可知P的轨迹是以F为焦点的抛物线，由此得到出p=4，即可以求出P的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故答案为y2=8x9．【分析】本题考查反函数相关概念、互为反函数的函数图象特征等相关知识．本题可用两种方法：1、根据已知条件，求出原函数的反函数，令x=0即得反函数的图象与y轴的交点坐标；2、利用互为反函数的函数图象关于y=x对称的特点，只需求出原函数在x轴的交点坐标，再由横纵坐标互换即得．【解答】解：法一：由函数f（x）=log3（x+3）的得其反函数为y=3x﹣3，令x=0，得y=﹣2，即函数f（x）=log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）；法二：由已知，函数f（x）=log3（x+3）图象与x轴交点为（﹣2，0），因为互为反函数的函数图象关于y=x对称，∴函数f（x）=log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点为（0，﹣2）．答案：（0，﹣2）10．【分析】本题考查古典概型，总事件是从52张扑克牌中随机抽取2张共有C522种不同的结果，而符合条件的事件是从13张红桃中抽出2张共有C132种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵总事件是从52张扑克牌中随机抽取2张共有C522种不同的结果，符合条件的事件是从13张红桃中抽出2张共有C132种结果，根据古典概型公式得到“抽出的2张均为红桃”的概率为=．故答案为：．11．【分析】本题考查了算法的程序框图及算法流程图，考查算法思想的应用．由题意可知S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，故框中应填的是一个表示累加功能的语句．【解答】解：由题意可知S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，故框中应填的是一个表示累加功能的语句故应填入：S=S+a故答案为：S=S+a．12．【分析】逐一确定a11，a22，a33，…，a99各项的值，进行计算．【解答】解：a11+a22+a33+…+a99=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45．故答案为：45．13．【分析】根据、是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程根据c=，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据化简整理可得答案．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a=2，b=1双曲线方程为，=（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab=1．故答案为4ab=1．14．【分析】由题设条件解相应的方程组可以得到B，由BO⊥AC结合题设条件能够推导出，由此能够求出的值．【解答】解：l2：nx+y﹣n=0、l3：x+ny﹣n=0的交点为B，所以BO⊥AC，∵l1：x+y﹣1=0与x轴、y轴的交点分别为：（1，0）、（0，1），∴AC=S n=所以=，故答案为：．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选C．16．【分析】得出，“”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件．【解答】解：，所以充分；反之，若tanx=1，则x=kπ+（k∈Z），如x=，不满足“”，故“”是“tanx=1”的充分不必要条件．故选：A．17．【分析】构造函数，利用根的存在性定理只要检验两端点函数值异号即可．【解答】解：构造函数f（x）=lgx+x﹣2，由f（1.75）=，f（2）=lg2＞0知x0属于区间（1.75，2）．故选D18．【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．【分析】根据三角函数的有关公式，先对对数的真数部分进行化简，然后再根据对数运算法则得出答案．【解答】解：原式=lg（cosx+cosx）+lg（cosx+sinx）﹣lg（sin2x+cos2x+2sinxcosx）=lg（sinx+cosx）+lg（cosx+sinx）﹣lg（sinx+cosx）2=0．20．【分析】（1）此题中制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，故每个矩形骨架周长是2.4米，由于底边长为2r，故可求得母线长关于半径的表达式，由此可以用底面的半径将侧面与下底面的和表示出来，由此函数关系式，结合其单调性求最值即可．（2）当底面半径为0.3时，由（1）求出其母线长，由于圆柱的正视图与侧视图是全等的矩形，俯视图是一个圆，由此作出其三视图图象即可．【解答】解：（1）设圆柱形灯笼的母线长为l，由题意知l=1.2﹣2r（0＜r＜0.6），故所用材料的面积S=S侧+S底=﹣3π（r﹣0.4）2+0.48π，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；（2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图所示：．21．【分析】（1）通过a n=S n﹣S n﹣1求出当≥2时，a n的通项公式，进而可得出为常数，进而验证a1﹣1最后可确定{a n﹣1}是等比数列；（2）根据（1）{a n﹣1}是以15为首项，公比为的等比数列可求得数列{a n﹣1}的通项公式，进而求出数列{a n}的通项公式．可知{a n}是由常数列和等比数列构成，进而求出S n．进而代入S n+1＞S n两边求对数，进而可得答案．【解答】解：（1）当n=1时，a1=﹣14；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣5a n+5a n﹣1+1，所以，又a1﹣1=﹣15≠0，所以数列{a n﹣1}是等比数列；（2）由（1）知：，得，从而（n∈N*）；由S n＞S n，得（）n＜，即n＞≈14.9，+1最小正整数n=15．22．【分析】（1）根据新定义得到不等式|x2﹣1|＜3，然后求出x的范围即可．（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a2b+ab2比a3+b3接近；（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．【解答】解：（1）|x2﹣1|＜3，0≤x2＜4，﹣2＜x＜2x∈（﹣2，2）；（2）对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；（3），k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，函数f（x）在区间单调递增，在区间单调递减，k∈Z．23．【分析】（1）由题意知M是B（0，﹣b）和Q（a，0）的中点，所以．（2）由题设条件得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，所以a2k12+b2﹣p2＞0是CD的中点；（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，由此可得P1（﹣6，﹣4）、P2（8，3）．【解答】解：（1）∵，∴M是B（0，﹣b）和Q（a，0）的中点，∴．（2）由方程组，消y得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据（2）可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2﹣2x﹣48=0，解得P1（﹣6，﹣4）、P2（8，3），或P1（8，3）、P2（﹣6，﹣4），．11/ 11。