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４．幂的乘方与积的乘方〔二〕一、 学生起点分析：学生知识技能根底：学生通过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技能，并且了解了有关乘方的知识，根据幂的意义知道了式子：n an a a a a =⨯⨯⨯个的成立，而通过对前一节课的学习，对于幂的运算中“同底数幂的乘法〞与“幂的乘方〞法那么已非常熟悉，而与之有关的延伸题及变形题都有一定的涉及。
学生活动经验根底：在探讨“积的乘方〞的关系式中，学生仍可根据幂的意义的有关计算，经历从特殊到一般的研究过程，感受到知识之间的内在联系，能从具体情境中抽象出数量之间的变化规律，并且能够用字母表达式表达展示这一规律。
同时在学习过程中，给学生足够的合作交流空间，加深对法那么的探索过程及对算理的理解。
二、教学任务分析：教科书通过一组算式的计算入手，深入浅出地把新知识一点一滴的落实下来。
通过前期的数学学习，学生对探讨幂的运算方式方法已经具有一定的体会，由前期工作的铺垫学生对新知识的接受没有太大的疑惑。
在教学中，教师注意引导学生对积的乘方一般规律的探索和表达，鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系，给学生留下充分探索和交流的空间。
为此，本节课的教学目标是：1. 经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，开展推理能力和有条理的表达能力。
2. 了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
三、 教学设计分析：本节课设计了七个教学环节：复习回忆、探索交流、知识扩充、稳固新知、公式逆用、课堂小结、布置作业。
第一环节：复习回忆：活动内容：复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：1．幂的意义：n an a a a a =⨯⨯⨯个 2．同底数幂的乘法运算法那么.n m n m a a a +=⋅〔m 、n 为正整数〕3．幂的乘方运算法那么(a m )n =a m n (m 、n 都是正整数)活动目的：在学习的过程中要让学习者保持思维的连贯性是一件十分重要的事情，因而必要的铺垫是要进行的。
《积的乘方》讲义一、引入在数学的学习中，我们常常会遇到各种各样的运算，乘方运算就是其中非常重要的一种。
而当我们面对多个因数相乘的乘方时，就会涉及到积的乘方这一重要的运算规则。
那么，什么是积的乘方呢？让我们一起来探索。
二、积的乘方的定义积的乘方，是指先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为：（ab)＾n ＝ a^n b^n （n 为正整数）例如：（2×3)＾2 ＝ 2^2 × 3^2 ＝ 4×9 ＝ 36三、积的乘方的推导我们来推导一下这个公式，以便更好地理解它。
假设 a 和 b 是两个实数，n 是正整数。
（ab)＾n 表示 n 个 ab 相乘，即：（ab)＾n ＝ ab × ab ×× ab （共 n 个）我们可以把每个 ab 拆开，得到：（ab)＾n ＝（a × a ×× a) ×（b × b ×× b) （a 共 n 个，b 共 n 个）也就是：（ab)＾n ＝ a^n × b^n四、积的乘方的性质1、指数相同在积的乘方中，每个因数的指数都要与乘方的指数相乘。
例如：（2x^2y^3)＾3 ＝ 2^3 ×（x^2)＾3 ×（y^3)＾3 ＝ 8x^6y^92、符号规律当因数中负因数的个数为偶数时，积为正数；当因数中负因数的个数为奇数时，积为负数。
例如：（－2×3)＾2 ＝（－6)＾2 ＝ 36（－2×（－3)）＾2 ＝ 6^2 ＝ 36（－2×（－3)×（－4)）＾2 ＝（－24)＾2 ＝ 5763、积的乘方与幂的乘方的区别幂的乘方是底数不变，指数相乘，即（a^m)＾n ＝ a^（mn)；而积的乘方是先把积中的每个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab)＾n ＝ a^n b^n 。
第2课时 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法那么；(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手答复：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方 【类型一】 直接运用积的乘方法那么进行计算计算：(1)(－5ab )3; (2)－(3x 2y )2；(3)(－43ab 2c 3)3; (4)(－x m y 3m )2. 解析：直接运用积的乘方法那么计算即可．解：(1)(－5ab )3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2；(3)(－43ab 2c 3)3＝(－43)3a 3b 6c 9＝－6427a 3b 6c 9； (4)(－x m y 3m )2＝(－1)2x 2m y 6m ＝x 2m y 6m .方法总结：运用积的乘方法那么进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】 含积的乘方的混合运算计算：(1)(－2a 2)3·a 3＋(－4a )2·a 7－(5a 3)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法那么求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝－8a 6·a 3＋16a 2·a 7－125a 9＝－8a 9＋16a 9－125a 9＝－117a 9；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．【类型三】 积的乘方的实际应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案．解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3≈43×3×(6×105)3≈×1017(立方千米)． ×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键． 探究点二：积的乘方的逆用【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算计算：(23)2021×(32)2021. 解析：将(32)2021转化为(32)2021×32，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝(23)2021×(32)2021×32＝(23×32)2021×32＝32. 方法总结：对公式a n ·b n ＝(ab )n 要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．【类型二】 逆用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，又∵23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．三、板书设计1．积的乘方法那么：积的乘方等于各因式乘方的积．即(ab )n ＝a n b n (n 是正整数)．2．积的乘方的运用在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n ·b n ＝(ab )n ，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n 为奇数时，(－a )n ＝－a n (n 为正整数)；当n 为偶数时，(－a )n ＝a n (n 为正整数)第2课时平均数1．理解平均数的意义，以及在实际问题中的具体含义；(重点)2．会求一组数据的平均数．(重点、难点)一、情境导入小明的爸爸体重60千克，妈妈45千克，小明15千克，小明的妹妹10千克，你知道他们一家四口的平均体重吗？二、合作探究探究点一：平均数某班第一小组一次数学测验成绩如下(单位：分)：86，91，100，72，93，89，90，85，75，95，那么这个小组的平均成绩是________．解析：平均成绩为110×(86＋91＋100＋72＋93＋89＋90＋85＋75＋95)＝87.6(分)．故答案为87.6分．方法总结：求平均数时，先求出这组数据的总和，然后用这个和除以数据的个数．探究点二：平均数的应用【类型一】一组数据的平均数，求某一个数据如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，那么a的值是() A．8B．5C．4D．3解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a A.方法总结：解题的关键是根据平均数的计算公式和条件列出方程求解．【类型二】一组数据的平均数，求新数据的平均数一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，那么另一组新数据x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数是()A．6B．8C．10D．无法计算解析：∵x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×5＝25，∴x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数为(x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5B.方法总结：解决此题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．【类型三】平均数的实际应用为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了5次测验，成绩如下表(单位：分)：甲7984908681乙 82 84 85 85 79(1)计算这两名同学的平均成绩？(2)哪名同学的成绩较好？解析：(1)用每人的总成绩除以5求得平均成绩；(2)比较两人的平均成绩即可．解：(1)甲的平均成绩为15×(79＋84＋90＋86＋81)＝84(分)，乙的平均成绩为15×(82＋84＋85＋85＋79)＝83(分)；(2)因为84＞83，所以甲的成绩较好．方法总结：一定条件下，可以用平均数衡量成绩的优劣．三、板书设计平均数＝数据总和÷数据总个数．本节课学习了如何求平均数，平均数是同学们在学习、生活中经常接触到的，比较容易理解．在学习中让学生自主探索，积极思考，充分发挥学生的主体作用，让学生在学习中体会到成功的喜悦。
积的乘方教案人教版积的乘方教案（人教版）引言：在数学中，我们时常会遇到乘方运算，它是一种重要的数学运算方法。
在本篇文章中，我们将探讨积的乘方，并给出相应的教案，以匡助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、什么是积的乘方？积的乘方是指将多个相同的数相乘的结果。
例如，2的3次方可以表示为2 × 2 × 2，也可以简写为2³。
这里的2是底数，3是指数，2³是积的乘方。
二、积的乘方的性质1. 任何数的0次方都等于1。
例如，3的0次方等于1，即3⁰=1。
2. 任何数的1次方都等于它本身。
例如，5的1次方等于5，即5¹=5。
3. 相同底数的乘方，指数相加。
例如，2的3次方乘以2的2次方等于2的(3+2)次方，即2³ × 2² = 2⁵。
4. 乘方的乘法，底数不变，指数相乘。
例如，(2的3次方)的2次方等于2的(3×2)次方，即(2³)² = 2⁶。
三、教案设计1. 教学目标：a. 理解积的乘方的概念和性质。
b. 能够正确计算和简化积的乘方。
2. 教学准备：a. 课件或者黑板。
b. 笔和纸。
3. 教学过程：a. 引入：通过简单的例子介绍积的乘方的概念，引起学生的兴趣和思量。
b. 概念讲解：详细解释积的乘方的定义和性质，并通过实例进行说明。
c. 练习：提供一些练习题，让学生尝试计算和简化积的乘方。
d. 拓展：引导学生思量其他应用场景，如面积和体积等，与积的乘方的关系。
e. 总结：对本节课内容进行总结，并强调积的乘方的重要性和实用性。
4. 课后作业：a. 完成课堂上未完成的练习题。
b. 阅读相关教材，进一步巩固和拓展对积的乘方的理解。
结论：积的乘方是数学中的重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过本文所述的教案设计，可以匡助学生更好地理解和掌握积的乘方，提高他们的数学能力和解决问题的能力。
教师可以根据实际情况进行适当调整和拓展，以满足学生的需求和提高教学效果。
1.2 幂的乘方与积的乘方(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.(二)能力训练要求1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.●教学重点幂的乘方的运算性质及其应用.●教学难点幂的运算性质的灵活运用.●教学方法引导——探究相结合教师由实际情景引导学生探究幂的乘方的运算性质，并能灵活运用.●教具准备投影片三张第一张：做一做，记作(§1.2.1 A)第二张：例题，记作(§1.2.1 B)第三张：练习，记作(§1.2.1 C)●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］我们先来看一个问题：一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=(102)3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米，此时正方体的体积变为V1=(103)3立方毫米.［师］(102)3，(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家可以独立思考.［生］可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍.［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数.［师］是的！我们再来看(102)3，(103)3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质出示投影片(§1.2.1 A)做一做：计算下列各式并说明理由.(1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(a m)2;(4)(a m)n.［师］我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们.［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68.［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？［生］第①步的理由是利用了幂的意义.(62)4表示4个62相乘；第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加.［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？［生］结果的指数8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6.［师］接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？［生］可以！［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误.［生］(2)(a 2)3=a 2·a 2·a 2=a 2+2+2=a 6=a 2×3;(3)(a m )2=a m ·a m =a m +m =a 2m;(4)(a m )n=ma n mm m a a a 个•••⋅⋅⋅ = mn mm m a 个+⋅⋅⋅++=a mn.［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即 (a m )n =a mn(m ,n 都是正整数)用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级. Ⅲ.例题出示投影片(§1.2.1 B) ［例1］计算：(1)(102)3；(2)(b 5)5;(3)(a n )3;(4)－(x 2)m;(5)(y 2)3·y ;(6)2(a 2)6－(a 3)4.［例2］如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球的体积是乙球的n 3倍.地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？［师］我们首先看例1的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式(a m )n =a mn中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答.［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(2)(b 5)5=b 5·b 5·b 5·b 5·b 5=b 5+5+5+5+5=b 5×5=b 25;(3)(a n )3=a n·a n·a n=an +n +n=a 3n.［师］很好！下面我们再来试做例1中(4)、(5)、(6)题.［生］(4)－(x 2)m表示(x 2)m的相反数，所以－(x 2)m=－2222x m x x x 个•••⋅⋅⋅=－ 2222个m x +⋅⋅⋅++=－x 2m;(5)(y 2)3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，(y 2)3·y =(y 2·y 2·y 2)·y =y2×3·y =y 6·y =y 6+1=y 7;(6)2(a 2)6－(a 3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以 2(a 2)6－(a 3)4=2a2×6－a3×4=2a 12－a 12=a 12.［师］接下来，我们再来看幂的乘方在实际中的应用——例2. ［生］根据例2中的前提条件，可得木星的体积是地球体积的103倍；太阳的体积是地球体积的(102)3倍即106倍. ［师］很好！我们观察例2图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系.比较木星、太阳、地球三个球体的大小，可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多.Ⅳ.练一练出示投影片(§1.2.1 C) 1.计算：(1)(103)3；(2)－(a 2)5;(3)(x 3)4·x 2; (4)［(－x )2］3;(5)(－a )2(a 2)2; (6)x ·x 4－x 2·x 3.2.判断下面计算是否正确？如有错误请改正： (1)(x 3)3=x 6;(2)a 6·a 4=a 24.［师］我们首先来回顾一下(a m )n =a mn(m 、n 都是正整数)是怎样推出来的.［生］(a m )n 表示n 个a m 相乘，根据乘方的意义(a m )n=ma n mm m m a a a a 个••••⋅⋅⋅，再根据同底数幂的乘法的运算性质，可由ma n mm m m a a a a 个••••⋅⋅⋅= mn mm n a 个+⋅⋅⋅++=a mn.［师］我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”.［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109； (2)－(a 2)5=－a 2×5=－a 10;(3)(x 3)4·x 2=x3×4·x 2=x 12·x 2=x 12+2=x 14;(4)［(－x )2］3=(－x )2×3=(－x )6=x 6; (5)(－a )2·(a 2)2=a 2·a2×2=a 2·a 4=a 2+4=a 6;(6)x ·x 4－x 2·x 3=x 1+4－x 2+3=x 5－x 5=0.［师］2.(1)(x 3)3=x 6不正确，因为(x 3)3表示三个x 3相乘即x 3·x 3·x 3=x 3+3+3=x3×3=x 9.或直接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得(x 3)3=x3×3=x 9.(2)a 6·a 4=a 24不正确.因为a 6·a 4=(a ·a ·a ·a ·a ·a )(a ·a ·a ·a )=aa a a 个10•••⋅⋅⋅=a 10或根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得a 6·a 4=a 6+4=a 10.［师］我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆.Ⅴ.课时小结我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决实际问题的能力.Ⅵ.课后作业1.课本P 6，习题1.2的第1、2、3题.2.反思做题过程，自己对出现的错误加以改正，并写入成长记录中. Ⅶ.活动与探究 观察下列等式： 1×2=31×1×2×3， 1×2+2×3=31×2×3×4， 1×2+2×3+3×4=31×3×4×5， 1×2+2×3+3×4+4×5=31×4×5×6， ……根据以上规律，请你猜测：1×2+2×3+3×4+4×5+…+n (n +1)= (n 为自然数).［过程］解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法.数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得.猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显.结论：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=31n(n+1)(n+2)关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然.●板书设计§1.2.1 幂的乘方与积的乘方(一) 一、提出问题：(102)3，(103)3如何计算？二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109；(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68；……(a m)n=manmmm aaa个•••=mnmmma个+++=a mn得出：幂的乘方，底数不变，指数相乘.三、例题四、练习第五章反比例函数一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。
