空间向量与立体几何讲义

高 二 年级 数学 学科一、空间向量的数量积坐标运算1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .2．空间向量的直角坐标运算（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

2．数量积：即 b a ⋅=332211b a b a b a ++ 3．夹角：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+4．模长公式：若123(,,)a a a a =，则2||a a a a =⋅=+5．平行与垂直：112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ 00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a b a b a6．距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==， 或,A B d =【典型例题】例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==，OC c =，点M 在OA上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,6A B C C B C A A ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥例3 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．例4 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．二、用向量讨论垂直与平行1、理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．能用向量方法判断空间线面垂直关系。

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二 空间向量基本定理思考 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理 (1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面． 结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二 空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG →＝OA →＋AG →， 而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三 空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)， e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)， 设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，12，12 解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，12，12. (2)已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D解析 由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________． 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎡⎦⎤12(PC →＋PD →) ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝⎛⎭⎫16AB →＋13AD →－13AP → ＝23AD →－23AB →＋13AP → ＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)． 三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→ ＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3， 其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量的基本定理 (1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→ ＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0.。

空间向量与立体几何第一章：空间向量1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何表示1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘1.3 向量的性质向量的模向量的方向向量的单位向量1.4 向量共线定理共线向量的定义向量共线的性质向量共线的判定第二章：立体几何基础2.1 立体几何的定义三维空间的概念立体几何的研究对象2.2 点、线、面的关系点的定义线的定义面的定义2.3 立体图形的性质立体图形的边和角立体图形的角度和体积立体图形的对角和表面积2.4 立体图形的分类棱柱棱锥球体圆柱圆锥第三章：向量在立体几何中的应用3.1 向量在立体几何中的作用向量在立体几何中的重要性向量在立体几何中的应用实例3.2 向量与立体图形的交点向量与平面交点向量与直线交点向量与立体图形的交点3.3 向量与立体图形的距离和角度向量与立体图形的距离向量与立体图形的夹角向量与立体图形的对角线3.4 向量与立体图形的对偶性对偶性的定义向量与立体图形的对偶性关系对偶性在立体几何中的应用第四章：空间解析几何4.1 解析几何的概念解析几何的定义解析几何的研究对象4.2 空间直角坐标系直角坐标系的定义空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的性质4.3 空间点的坐标点的坐标表示方法空间点的坐标与向量的关系空间点的坐标与立体图形的关系4.4 空间向量的解析表示向量的解析表示方法空间向量的坐标运算空间向量的几何意义第五章：空间向量与立体几何的综合应用5.1 空间向量与立体几何的关联空间向量与立体几何的关系空间向量在立体几何中的应用实例5.2 空间向量与立体图形的碰撞检测碰撞检测的概念空间向量与立体图形的碰撞检测方法空间向量与立体图形的碰撞检测应用5.3 空间向量与立体图形的动态模拟动态模拟的概念空间向量与立体图形的动态模拟方法空间向量与立体图形的动态模拟应用5.4 空间向量与立体几何的计算机图形学计算机图形学的概念空间向量与立体图形的计算机图形学方法空间向量与立体图形的计算机图形学应用第五章：空间向量的运算5.1 向量的加法和减法向量加法和减法的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.2 向量的数乘向量数乘的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.3 向量的点积向量点积的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习5.4 向量的叉积向量叉积的定义和性质几何表示和坐标表示实例分析和练习第六章：立体图形的性质与分类6.1 棱柱棱柱的定义和性质不同类型的棱柱棱柱的表面积和体积6.2 棱锥棱锥的定义和性质不同类型的棱锥棱锥的表面积和体积6.3 球体球体的定义和性质球体的表面积和体积球体的对称性6.4 圆柱和圆锥圆柱的定义和性质圆锥的定义和性质圆柱和圆锥的表面积和体积第七章：向量在立体几何中的应用7.1 向量在立体几何中的作用向量在立体几何中的重要性向量在立体几何中的应用实例7.2 向量与立体图形的交点向量与平面交点向量与直线交点向量与立体图形的交点7.3 向量与立体图形的距离和角度向量与立体图形的距离向量与立体图形的夹角向量与立体图形的对角线7.4 向量与立体图形的对偶性对偶性的定义向量与立体图形的对偶性关系第八章：空间解析几何8.1 解析几何的概念解析几何的基本概念坐标系和坐标变换8.2 空间直角坐标系空间直角坐标系的定义和性质坐标变换和坐标系间的转换8.3 空间点的坐标表示点的坐标表示方法点的坐标运算8.4 空间直线和平面方程直线方程平面方程实例分析和练习第九章：空间向量与立体几何的综合应用9.1 空间向量在工程中的应用空间向量在机械工程中的应用空间向量在土木工程中的应用9.2 立体几何在设计中的应用立体几何在建筑设计中的应用立体几何在产品设计中的应用9.3 空间向量与立体几何在科学计算中的应用空间向量在物理模拟中的应用立体几何在天文观测中的应用9.4 空间向量与立体几何在计算机图形学中的应用计算机图形学的基本概念空间向量和立体图形在计算机图形学中的应用第十章：空间向量与立体几何的案例研究10.1 空间向量与立体几何在医学成像中的应用医学成像技术的基本原理空间向量在医学成像数据分析中的应用10.2 空间向量与立体几何在导航中的应用导航的基本概念空间向量在导航中的应用10.3 空间向量与立体几何在虚拟现实技术中的应用虚拟现实技术的基本概念空间向量和立体图形在虚拟现实中的应用10.4 空间向量与立体几何在其他领域的应用案例教育游戏设计航空航天工程重点和难点解析1. 第五章中向量的运算：这是空间向量与立体几何的基础部分，学生需要理解并掌握向量的加减法、数乘、点积和叉积等基本运算。

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

空间向量在立体几何中的应用要求层次重难点空间直角坐标系空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．（2）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．空间两点间的距离公式 B空间向量的应用空间向量的概念 B空间向量基本定理 A空间向量的正交分解及其坐标表示B空间向量的线性运算及其坐标表示C空间向量的数量积及其坐标表示C运用向量的数量积判断向量的共线与垂直C空间向量在立体几何中的应用要求层次重难点空间直角坐标系空间直角坐标系 B（1）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．空间两点间的距离公式 B空间向空间向量的概念 B高考要求模块框架空间向量与立体几何.知识框架量的应用空间向量基本定理 A ②会推导空间两点间的距离公式．（2）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．空间向量的正交分解及其坐标表示B空间向量的线性运算及其坐标表示C空间向量的数量积及其坐标表示C运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 C知识内容1．在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示． 用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2．起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0r．在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a r ，AB u u u r．3．表示向量a r的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a r ，有向线段的方向表示向量的方向．有向线段所在的直线叫做向量的基线．4．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a r 平行于b r 记为a b r r ∥．5．向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似； 6．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a r ，b r （0b ≠r ），a b r r ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =r r．共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．共面向量定理：如果两个向量a r ，b r 不共线，则向量c r 与向量a r ，b r共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+r r r．空间向量分解定理：如果三个向量a r ，b r ，c r不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++u r r r r．表达式xa yb zc ++r r r ，叫做向量a r ，b r ，c r的线性表示式或线性组合．上述定理中，a r ，b r ，c r叫做空间的一个基底，记作{}a b c r r r ，，，其中a b c r r r ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．7．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b r r ，，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，则AOB ∠叫做向量a r 与b r的夹角，记作a b 〈〉r r ，．通常规定0πa b 〈〉r r ≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉r r r r ，，． 如果90a b 〈〉=r r ，°，则称a r 与b r 互相垂直，记作a b ⊥r r ． 8．两个向量的数量积：已知空间两个向量a r ，b r，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉r r r r r r ，空间两个向量的数量积具有如下性质：⑴||cos a e a a e ⋅=〈〉r r r r r ，；⑵0a b a b ⇔⋅=r r r r^；⑶2||a a a =⋅r r r ；⑷a b a b ⋅r r r r ||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴()()a b a b λλ⋅=⋅r r r r ；⑵a b b a ⋅=⋅r r r r；⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ． 9．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k r r r，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k r r r，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k r r r ；，，． 10．坐标：在空间直角坐标系中，已知任一向量a r，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++r r r r ，1a i r ，2a j r ，3a k r 分别叫做向量a r在i j k r r r ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a r在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =r，，． 若123()a a a a =r ，，，123()b b b b =r，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++r r ，，；112233()a b a b a b a b -=---r r，，； 123()a a a a λλλλ=r ，，；112233a b a b a b a b ⋅=++r r ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．11．空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =r ，，，123()b b b b =r ，，， a b r r ∥（0b ≠r r ）a b λ⇔=r r 112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300a b a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=r r r r^．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： 222123||a a a a a a ⋅++r r r 222123||b b b b b b =⋅++r r r112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅〈〉==++++r rr r r r ，． 12．位置向量：已知向量a r ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =u u u r r，则点A 在空间的位置就被向量a r所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．13．给定一个定点A 和一个向量a r，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点，则P 在为过点A 且平行于向量a r的直线l 上⇔ AP ta =u u u r r①⇔ OP OA ta =+u u u r u u u r r②⇔ (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a r称为该直线的方向向量．14．设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v u r 和2v u u r，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔u r u u r ∥；12l l ^12v v ⇔u r u u r^．若向量1v u r 和2v u u r是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v r，则l α∥或l 在α内 ⇔ 存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+r u r u u r．15．如果向量n r 的基线与平面α垂直，则向量n r就称为平面α的法向量．设A 是空间任一点，n r 为空间内任一非零向量，则满足0AM n ⋅=u u u u r r的点M 表示过点A 且与向量n r 垂直的平面，0AM n ⋅=u u u u r r称为该平面的向量表示式．16．设12n n u u r u u r，分别是平面αβ，的法向量，则αβ∥或α与β重合⇔12n n u u r u u r ∥；12120n n n n αβ⇔⇔⋅=u u r u u r u u r u u r^^17．线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角．18．二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为αβ，的二面角，记作l αβ--．在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ^，OB l ^，则AOB Ð叫做二面角l αβ--的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为[0180]°，°． 设12m m αβu u r u u r ，^^，则角12m m 〈〉u u r u u r，与二面角l αβ--相等或互补．。

空间向量与立体几何-2019年高考理科数学复习讲义1．空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2．空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M 的坐标（1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，记作(),,M x y z ，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组(,,)x y z 可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式①设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点，则,A B两点间的距离||AB =. ②设点(),,P x y z ，则点(),,P x y z 与坐标原点O之间的距离为||OP =.（2）中点公式设点(),,P x y z 为1111,),(P x y z ，2222,),(P x y z 的中点，则121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩. 4．空间向量的有关概念二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 牢记两个推论：（1）对空间任意一点O ，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+或OP xOA yOB =+（其中1x y +=）.（2）如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA t =+a ，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 2.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使x y =+p a b .牢记推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP xAB yAC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA xAB yAC =++. 3.空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量.注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3）0不能作为基向量. 4.空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，则112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b ，123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a ，112233a b a b a b ⋅=++a b ，112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R ab b a ，1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ，==acos ,⋅==a ba b a b 三、利用空间向量解决立体几何问题 1.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作l ，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l α⊥，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作α,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)x y z =α.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，根据定义建立方程组，得到0⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为,αβ. （1）线线平行：若//l m ，则()λλ⇔=∈R lm l m ；线面平行：若//l α，则0⊥⇔⋅=l l αα； 面面平行：若//αβ，则()λλ⇔=∈R αβαβ.（2）线线垂直：若l m ⊥，则0⊥⇔⋅=l m l m ； 线面垂直：若l α⊥，则()λλ⇔=∈R ll αα；面面垂直：若αβ⊥，则0⊥⇔⋅=αβαβ. 3.利用空间向量求空间角设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为12,n n . （1）直线,l m 所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：cos θ⋅=l m l m； （2）直线l 与平面α所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：11sin θ⋅=l n l n ； （3）平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,〈〉AB CD ．如图②③，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝1212⋅n n n n ，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．4.利用空间向量求距离 （1）两点间的距离设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点， 则,A B 两点间的距离||||(AB AB x == （2）点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为||||||AB BO ⋅=n n .考向一 空间直角坐标系对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.典例1 如图，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC 的坐标为________.【答案】()4,3,2-【解析】 如图所示，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB 的坐标为()4,3,2，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以()14,3,2AC =-.1．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．考向二 共线、共面向量定理的应用1.判断两非零向量,a b 平行，就是判断λ=a b 是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.2.证明空间三点P 、A 、B 共线的方法： ①PA PB λ=(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP OA t AB =+(t ∈R )； ③对空间任一点O ，(1)OP xOA yAB x y =++=． 3.证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法： ①MP xMA yMB =+；②对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++；③对空间任一点O ，OP xOM yOA zOB =++(x ＋y ＋z ＝1)； ④∥PM AB (或∥PA MB 或∥PB AM ).典例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且=2，F 在体对角线A 1C 上，且123A F FC =.求证：E ,F ,B 三点共线.【解析】设=a ,=b ,=c .∵=2,123A F FC =,∴b ,112255A F AC ==(-)=25(+-)=25a +25b -25c . ∴1125EF A F A E -==a -415b -25c =25(a -23b -c ).又++=-23b -c +a =a -23b -c ,∴25EF EB =.∴E ,F ,B 三点共线.2．如图，已知、、、、、、、、为空间中的个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，+AC AD mAB =，+EG EH mEF =，，.求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；（2）AC EG ∥； （3）OG kOC =.考向三 利用向量法证明平行问题1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.2.证明线面平行：（1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.典例3 如图,已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、M 、N 分别是BC 、AE 、CD 1的中点,AD ＝AA 1＝a ,AB ＝2a .求证：MN ∥平面ADD 1A 1.【解析】以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (a,0,0),B (a,2a,0),C (0,2a,0),D 1(0,0,a ),E (12a,2a,0),∵M 、N 分别为AE 、CD 1的中点, ∴M (34a ,a,0),N (0,a ,2a ).∴3,0(,)42a MN a =-. 取n ＝(0,1,0),显然n ⊥平面A 1D 1DA ,且·n ＝0,∴⊥n.又MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1.3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.考向四利用向量法证明垂直问题1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．典例4 如图,已知正四棱锥V-ABCD中,E是VC的中点, 正四棱锥的侧面VBC为正三角形.求证:平面VAC⊥平面EBD.【解析】如图，以V在底面ABCD内的射影O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,设VB=VC=BC=2a,在Rt△VOC中,VO=a,∴V (0,0,a ),A (a ,0,0),C (-a ,0,0),B (0, a ,0),D (0,-a ,0),E (2-,0,2a ),则=(2-a ,a ,2a ),=(0,-2a ,0),=(-a ,0,-a ).∵·=a 2+0-a 2=0,·=0,∴⊥,⊥,即DE ⊥VC ,BD ⊥VC .∵DE ∩BD =D , ∴VC ⊥平面EBD . 又VC ⊂平面VAC , ∴平面VAC ⊥平面EBD .典例5 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.求证:（1）AE ⊥CD ; （2）PD ⊥平面ABE .【解析】（1）易知AB ,AD ,AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA =AB =BC =1,则A (0,0,0),B (1,0,0),P (0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形,∴C(12E(1412).设D(0,y0,0),由AC⊥CD,得·=0,即(12,0)·(-12,y0,0)=0,解得y0∴D,0),∴=(12-,6,0).又=(14,4,12),∴·=-++0=0,∴⊥,即AE⊥CD.（2）方法一：由（1）知,-1),∴·=0+12×(-1)=0,∴⊥,即PD⊥AE.∵=(1,0,0),∴·=0, ∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法二：由（1）知=(1,0,0),=(14,4,12).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n ·=0,n ·=0,得110 42xx y z=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令y=2,则z=-,∴平面ABE的一个法向量为n=(0,2,-).∵=(0,3,-1),显然n ,∴∥n ,∴⊥平面ABE ,即PD ⊥平面ABE .4．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，H 分别为11A B ，11B C ，1CC 的中点. （1）证明：BE AH ⊥；（2）在棱11D C 上是否存在一点G ，使得AG ∥平面BEF ？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.考向五 用向量法求空间角1.用向量法求异面直线所成的角 （1）建立空间直角坐标系； （2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为||cos ||||AC BD AC BD β⋅=.2.用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 3.用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．典例6 如图,在五棱锥P ABCDE -中,PA ⊥平面ABCDE ,222PA AB AE BC DE =====,∠DEA = ∠EAB =∠ABC =90°.（1）求二面角P DE A --的大小; （2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值.【解析】由题可知,以AB 、AE 、AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.则()()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,1,0A E D P C . 设平面PDE 的法向量为(),,x y z =n ,又=(1,0,0),=(0,-2,2).由0220ED x EP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ,得0x y z =⎧⎨=⎩,令y =1,得()0,1,1=n .（1）由于PA ⊥平面ABCDE ,则平面ADE 的一个法向量为=(0,0,2),于是cos<n ,>=AP AP⋅⋅n n=所以<n ,>=45°,则二面角P DE A --的大小为45°. （2）由于=(2,1,-2),所以cos<,n >=PCPC ⋅⋅n n=201121⨯+⨯+-⨯=故PC 与平面PDE . 典例7 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小； （2）证明：平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A －CD －E 的余弦值.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz .设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12). （1）＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，于是cos 〈，〉＝BF DE BF DE⋅＝＝，所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.（2）由＝(12，1，12)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD . 又AD ∩AM ＝A ， 故CE ⊥平面AMD . 而CE ⊂平面CDE ， 所以平面AMD ⊥平面CDE .（3）设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则0CE DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u ，于是00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，可得u ＝(1,1,1).又由题设，可知平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1). 所以cos 〈u ，v 〉＝3. 因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为3.5．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=.（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； （2）求二面角1B AB C --的正弦值.考向六 用向量法求空间距离1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为求向量的模.2. 求点P 到平面α的距离的三个步骤：（1）在平面α内取一点A ，确定向量PA 的坐标． （2）确定平面α的法向量n . （3）代入公式||||PA d ⋅=n n 求解．典例8 如图,已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1A =5,AB =12,则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是A ．5B ．132C ．6013D ．8【答案】C【解析】∵B 1C 1∥BC ,且11B C ⊄平面A 1BCD 1,BC ⊂平面A 1BCD 1,∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1，从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离为所求距离.方法一：过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于点E .∵BC ⊥平面A 1ABB 1,且B 1E ⊂平面A 1ABB 1,∴BC ⊥B 1E . 又BC ∩A 1B =B ,∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1.在11Rt △A B B 中,B 1E=11116013A B B B A B ⨯==, ∴直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013. 方法二：以D 为坐标原点,,,的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,12,0),D 1(0,0,5),设B (x ,12,0),B 1(x ,12,5)(x ≠0),平面A 1BCD 1的法向量为n =(a ,b ,c ), 由n ⊥,n ⊥,得n ·=(a ,b ,c )·(-x ,0,0)=-ax =0,∴a =0,n ·=(a ,b ,c )·(0,-12,5)=-12b+5c =0,∴b =512c ,令c =12,则b =5,∴n =(0,5,12)为平面A 1BCD 1的一个法向量.又=(0,0,-5),∴点B 1到平面A 1BCD 1的距离d =16013B B ⋅=n n. 典例9 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC =BC =1,AA 1=3,∠ACB =90°,D 为CC 1上的点,二面角1A A B D--的余弦值为6-.（1）求证:CD =2;（2）求点A 到平面1A BD 的距离.【解析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -,则()()()11,0,00,1,01,0,3、、A B A .设()0,0,D a .m =(1,1,0)是平面1A AB 的一个法向量,设(),,x y z =n 是平面1A BD 的法向量.=(1,0,3-a ),=(0,1,-a ),由·n =0,·n =0,得()30x a z +-=,0y az -=,取3x a =-,得y a =-,1z =-,即()3,,1a a =---n . 由题设,知cos ,|⋅====m n m n m n解得a =2或a =1, 所以DC =2或DC =1.但当DC =1时,显然二面角1A A B D --为锐角,故舍去. 综上,DC =2.（2）由（1）,知n =(1,-2,-1)为平面1A BD 的一个法向量,又=(0,0,3),所以点A 到平面1A BD 的距离d =1AA ⋅n n6．如图，在四棱锥O −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA =2，M ，N ，R 分别为OA ，BC ，AD 的中点，求直线MN 与平面OCD 的距离及平面MNR与平面OCD 的距离.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为正方形，1,2,PB PD AB AP Q ====是CD 中点． （1）求点C 到平面BPQ 的距离；--的余弦值．（2）求二面角A PQ B考向七用向量法求立体几何中的探索性问题1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量．典例10 如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.（1）求二面角C1-BD-C的余弦值;（2）在侧棱AA1上是否存在点P,使得CP⊥平面BDC1?并证明你的结论.【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系,则C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0),所以(0,3,2),(1,3,0).设n=(x1,y1,z1)是平面BDC1的法向量,则所以111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，令x 1=1,得n =(1,13-,12)是平面BDC 1的一个法向量,易知(0,3,0)是平面ABC 的一个法向量,所以cos<n ,11127736C C C C⋅-==-⋅⨯n n , 而二面角C 1-BD -C 为锐角,故其余弦值为27. （2）假设侧棱AA 1上存在一点P (2,y ,0)(0≤y ≤3),使得CP ⊥平面BDC 1. 因为(2,y -3,0),所以即()()3302330y y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得y =3且y73, 所以方程组无解.则假设不成立,即侧棱AA 1上不存在点P ,使CP ⊥平面BDC 1. 典例11已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，，，，且，M 点为PC 的中点.（1）求证：.（2）在平面PAD 内找一点N ，使.【解析】（1）因为PD ⊥底面ABCD ,CD//AB ,CD ⊥AD ，所以以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz (如图所示).由于PD =CD =DA =2AB =2,所以D (0,0,0),B (2,1,0),C (0,2,0),P (0,0,2),M (0,1,1),所以. 因为平面PAD,所以是平面PAD的法向量,又因为,所以//平面PAD，所以BM//平面PAD.（2）设N(x,0,z)是平面PAD内一点,则若MN⊥平面PBD,则，所以()210210zx⎧-=⎨-=⎩，即121xz⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以在平面PAD内存在点1,0,12N⎛⎫⎪⎝⎭使得MN⊥平面PBD.8．如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，PA PD=，AB AD⊥，1AB=，2AD=，AC CD==（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.（2）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.1．向量()1,1,0=a ，()0,1,1=b ，()1,0,1=c ，()1,0,1=-d 中，共面的三个向量是 A ．a ，b ，c B ．b ，c ，d C ．c ，d ，aD ．d ，a ，b2．已知向量()()2,4,5,3,,x y ==a b 分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则 A ．6,15x y == B ．153,2x y ==C ．3,15x y ==D ．156,2x y ==3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°4．如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为A BC D ．355．如图所示，在直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB =90°,则点D 到平面ACE 的距离d 为A BC D ．6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于A ．23BC ．3D ．137．已知向量()1,0,1=-a ，()1,2,1=-b ，且k +a b 与23-a b 互相垂直，则k 的值是______________. 8．如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC =2a ,BB 1=3a ,D 是A 1C 1的中点,点E 在棱AA 1上,要使CE ⊥平面B 1DE ,则AE =______________.9．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为______________.10．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，//，，，．（1）求证：．时，求三棱锥的体积．（2）当二面角的平面角的余弦值为311．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求点N到平面ACM的距离．12．如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD, PA=AB=AD=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.（1）求证:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;（2）BC(包括端点B,C)上是否存在一点E,使PD∥平面AEF?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.13．如图,矩形ABCD所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,EF=3,CF=6,∠CFE=45°.（1）求证:BF∥平面ADE;（2）在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为14.14．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF DE=，点M为棱AE的中点.（1）求证：平面BMD ∥平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.1．（2018新课标全国II 理科）在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，1AA 则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD 2．（2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD 为正方形，,EF 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.3．（2018新课标全国II 理科）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．4．（2018新课标全国Ⅲ理科）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AM D⊥平面BMC；体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．（2）当三棱锥M ABC5．（2018江苏卷）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．6．（2018北京理科）如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7．（2018天津理科）如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.8．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.∵N 为CD 1的中点， ∴N (32，3，1)． ∵M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1，1，2)．由两点间距离公式，得|MN |. 【名师点睛】本题考查空间直角坐标系的建立、点坐标的求法以及距离公式，建系时注意要利用两两垂直的三条线建系，由线段比例求坐标时，注意由坐标特征求，不要直接乘比例系数求坐标.建立空间直角坐标系，分别由比例关系求出点M 、点N 的坐标，由两点间的距离公式求出线段长度，即可得到结果. 2．【解析】（1）∵+AC AD mAB =，，∴,,AC AD AB 共面，即A 、B 、C 、D 四点共面． ∵+EG EH mEF =，，∴,,EG EH EF 共面，即E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-()k AD AB AD km k m k AB AC +=+==，∴AC EG ∥.（3）()OG OE EG OA AC OA k k AC k OC k =+=+=+=.3．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系D −xyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)， 所以()1021FC =，，，()200DA =，，，()021AE ＝，，.（1）设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则1DA ⊥n ，1AE ⊥n ，即11111·20·20DA x AE y z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，，n n得4．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设1AB =，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，11,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭， 10,1,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2AH ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，10,,12BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0AH BE ⋅=，BE AH ∴⊥.5．【解析】（1）取BC 的中点O ，连接1,OA OB ， 因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以OA BC ⊥，且OA =因为13BB =，160CBB ∠=，1OB =， 所以222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯=，所以1OB ，又因为1AB所以2221110OA OB AB +==， 所以1OA OB ⊥，所以11,2AB ⎛=⎝⎭，()1,AB =-，()1,AC =， 设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则11100AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111110,1022x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1ABC 的法向量，则22100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即222220,102x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令21y =，得213⎫=⎪⎭n .所以121212131cos,-++⋅===n nn nn n所以二面角1B AB C--=【名师点睛】利用空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.6．【解析】因为M，R分别为AO，AD的中点，所以NC=(0，1，0)，OD=(0，2，−2)，CD=(−2，0，0)，设平面OCD的法向量为n=(x，y，z)，则·220·20OD y zCD x⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩nn，令z=1，得n=(0，1，1)为平面OCD的一个法向量.所以点N 到平面OCD 的距离d =|NC ·n n |所以直线MN 与平面OCD 的距离、平面MNR 与平面OCD7．【解析】∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====， ∴222222,PB PA AB PD PA AD =+=+， ∴,PA AB PA AD ⊥⊥， ∴PA ⊥平面ABCD ，∴分别以AB AD AP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）设平面APQ 的一个法向量为()2222,,x y z =n ，则22222220·0120·02z AP x y z PQ =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩n n ，令22x =，得()22,1,0=-n ，∴121212cos 10⋅===n n n ,n n n ，∴二面角A PQ B --【方法点晴】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．【解析】（1）取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin |cos |PB PB PBθ⋅==,n n n=111||3--=. （2）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAPλ=，M （0，y 1，z 1）， 由（1）知，A （0，1，0），P （0，0，1），B （1，1，0），()011AP =-,,，()1101AM y z =-,,， 则有AM AP λ=，可得M （0，1﹣λ，λ）， ∴()1BM λλ=--,,，∵BM ∥平面PCD ，1112⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,n 为平面PCD 的法向量， ∴0BM ⋅=n ，即102λλ-++=，解得14λ=． 综上，存在点M ，即当14AM AP =时，使得BM ∥平面PCD ． 【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.1．【答案】D【名师点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题．假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面． 2．【答案】D【解析】12l l ∥，∴存在实数k 使得k =b a ,即()()3,,2,4,5x y k =,3245kx k y k=⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得156,2x y ==，故选D.【名师点睛】本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题. 3．【答案】C【解析】∵两平面的法向量分别为(0,1,0),(0,1,1),==m n ∴两平面所成的二面角与,m n 相等或互补，cos 2⋅===⋅,m n m n m n ∴45=︒,m n .故两平面所成的二面角为45°或135°，故选C ．【名师点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中一定要注意两平面所成的二面角与,m n 相等或互补，属基础题.4．【答案】A【解析】设CA =2,则()()()()()110,0,0,2,0,0,0,0,1,0,2,0,0,2,1C A B C B ,可得向量=(-2,2,1),=(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos<,202211-⨯+⨯+⨯-=,故选A.5．【答案】B6．【答案】A【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.利用空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 7．【答案】115【解析】向量()1,0,1=-a ，()1,2,1=-b ，∴()1,2,1k k k +=--+a b ，()235,6,5-=--a b ，k +a b 与23-a b 互相垂直，∴()()()()1526150k k -⋅+⋅-+-+⋅-=，解得115k =. 【名师点睛】先由向量的坐标运算求k +a b 与23-a b ，再由它们互相垂直列方程求出k 的值.空间两个向量垂直的充要条件：设()123,,a a a =a ，()123,,b b b =b ，则11223300a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔⋅+⋅+⋅=a b a b . 8．【答案】a 或2a【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则B 1(0,0,3a ),C (0,a ,0).设点E 的坐标为(a ,0,z ),则=(a ,-a ,z ),=(a ,0,z-3a ).由⊥,得2a 2+z 2-3az =0,解得z =a 或2a ,即AE =a 或2a .9．【名师点睛】建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．建立空间直角坐标系，设出点F，D的坐标，求出向量GD,EF，利用GD⊥EF求得关系式，然后可得到DF长度的表达式，最后利用二次函数求最值．10．【解析】（1）因为，平面⊥平面，，设平面的法向量为()1,,1x y =n ，则由1100EC ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩，得，则1n . 由（1）知平面，所以平面的法向量为()20,1,0FE ==n ,121212cos ,⋅〈〉===n n n n n n ，,所以11111123323△A EFC F AEC ACE V V EF S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=.11．【解析】（1）AC=2OM，AM⊥MC.则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).，,设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，则有240 220 x yy z+=⎧⎨+=⎩，令=1，则n=(–2，1，–1)．12．【解析】（1）以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),P (0,0,1),F (0,12,12),D (1,0,0), ∴=(0,12,12), 设BE =a ,则E (a ,1,0),=(a ,1,-1).∵·=(a ,1,-1)·(0,12,12)=0,∴PE ⊥AF , ∴无论点E 在BC 边的何处,都有PE ⊥AF . （2）假设存在点E ,使PD ∥平面AEF , 设BE =a (0≤a ≤1),则E (a ,1,0),=(a ,1,0).∵PD ∥平面AEF ,=(1,0,-1),∴设=λ1+λ2,即(1,0,-1)=λ1(a ,1,0)+λ2(0,12,12),即11221102112a λλλλ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩,解得12112a λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩,∴BC 上存在一点E ,且E 在C 点时,PD ∥平面AEF .13．【解析】（1）因为BC ∥AD ,AD ⊂平面ADE ,BC ⊄平面ADE ,所以BC ∥平面ADE,设G (3,t ,0),-1≤t ≤5, 则=(-3,2,-),=(0,t ,-).14．【解析】（1）连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ，易知N 为AC 的中点，∴MN EC ∥.∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC .∵,BF DE 都垂直于底面ABCD ， ∴BF DE ∥. ∵BF DE =，∴四边形BDEF 为平行四边形， ∴BD EF ∥.∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD ∥平面EFC . 又∵MNBD N =，∴平面BDM ∥平面EFC .（2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形. ∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -.。

第一讲 空间向量与立体几何11．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

b a AB OA OB+=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ加法交换率：.a b b a+=+加法结合率：).()(c b a c b a++=++数乘分配率：.)(b a b aλλλ+=+说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a ∥b。

注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）。

⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a同向，当λ<0时与a反向的所有向量⑶若直线l ∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。