高等数学复习提纲同济
大学下册
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学复习提纲
一、考试题型
1．填空题6题
2．计算题8题
二、知识点
1．平面及其方程。
例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程
解所求平面的法线向量可取为
k j i k j i b a n 30
11112-+=-=⨯=? 所求平面的方程为
(x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40
2．空间直线及其方程。
例题：求过点(203)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0
12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即
k j i k j i n 1114162
53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=? 所平面的方程为
16(x 2)14(y 0)11(z 3)0
即16x 14y 11z 650
例题：求过点(312)且通过直线1
2354z y x =+=-的平面方程
解所求平面的法线向量与直线1
2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为
k j i k j i s s n 22982
4112521--=-=⨯=? 所求平面的方程为
8(x 3)9(y 1)22(z 2)0
即8x 9y 22z 590
3．旋转曲面。
例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x
例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29
4.多元复合函数求导，隐函数求导。
例题：求函数x
y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=
例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ∂∂y
z ∂∂ 解x
v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y
y x x y x y x -+-=? )2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y
y x x y x y x ----=? 例题：设ze x 2y 而x sin tyt 3求dt
dz 解dt
dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=-- )6(cos )6(cos 22sin 223
t t e t t e t t y x -=-=--? 例题：设sin ye x xy 20求dx
dy 解令F (xy )sin ye x xy 2则F x e x y 2F y cos y 2xy
xy
y e y xy y y e F F dx dy x y x 2cos 2cos 222--=---=-=? 例题：设x y
y x arctan ln 22=+求dx
dy 解令x y y x y x F arctan ln ),(22-+=则 2
2222222)()(11221y x y x x y x
y y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=? 2
2222221)(11221y x x y x x
y y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=? y
x y x F F dx dy y x -+=-=? 5.重积分（直角坐标，极坐标）。
例题：⎰⎰+D
d y x σ)(22其中D {(xy )||x |1|y |1}
解积分区域可表示为D 1x 11y 1于是
x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 3
8=? 例题：⎰⎰+D
d y x x σ)cos(其中D 是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域
解积分区域可表示为D 0x 0yx 于是
+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π
0)cos 2cos 21(π23-=? 例题：利用极坐标计算下列各题
(1)⎰⎰+D y x
d e σ22，其中D 是由圆周x 2y 24所围成的闭区域
解在极坐标下D {()|0202}所以
)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπ
ρ? (3)σd x
y D arctan
⎰⎰其中D 是由圆周x 2y 24x 2y 21及直线y 0yx 所围成的第一象限内的闭区域 解在极坐标下}21 ,4
0|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD 所以 ⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==4032164
3ππρρθθd d ? 5．求曲顶柱体体积。
例题：求由曲面zx 22y 2及z 62x 2y 2所围成的立体的体积
解由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z 得x 2+2y 2=62x 2y 2即x 2y 2=2故立体在x O y 面
上的投影区域为x 2y 22因为积分区域关于x 及y 轴均对称并且被积函数关于xy 都是偶函数所以
⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x ?
例题：计算以xOy 平面上圆域x 2y 2ax 围成的闭区域为底而以曲面zx 2y 2为顶的曲顶柱体的体积
