金融数学

▪ 随着金融市场的发展及各种金融创新不断出 现，各种金融衍生产品层出不穷，这又给数 理金融学的发展提出了更高的要求，同时也 为数理金融学的发展提供了广阔的空间。数 理金融学成为金融工程学的理论基础。现代 金融学离不开数学，因此无论是从事金融理 论研究和金融市场决策有关的实务工作都需 要学习数理金融理论，掌握利用数学工具分 析金融问题的方法。数理金融学一方面能使 经济和管理专业的学生掌握定量分析的方法 和技术，同时对于数学和理工科专业的学生 来说，通过学习数理金融学也是他们掌握的 数理工具大有用武之地。
称投资者为风险中性的。
1.3.2 Markowitz 马科维茨风险溢价
设 (w0 , h~) 满足下列条件
V (w0
~ (w0 , h))
pV (w0
h1) (1
p)V (w0
h2 )
更一般地
V (Ew~ (w~)) E(V (w~))
其中 w~ w0 h~ 。则称 (w0 , h~) 为马科维茨风险溢价（Markowitz risk premium）。
n
U ( ) (xi )U ( (i )) i 1 n
(xi )U (xi ) E(U ( X )) i 1 ~
当选择集B 是仅由具有连续随机变量X
~
(例如股票)组成时,也可将B 定义为:
~
B {所有随机变量X的分布函数FX (x)}
~
假
设X
依
n
分
布
收
敛
于X
,
其
中FXБайду номын сангаас
n
, FX
B
那么lim U n
W(P)=aU(P)+b
当选择集B~中的彩票是有个n输出{x1,x2,…xn],且 状我态们概把率选分择布集为B~{看1作, 所2,…有输n}的出随{x1机,x变2,…量xXn}时的,概这率时 分布律 组成的集合,即
B~={函数 :{x1,x2,…xn}→[0,1],使得 (xi)>0 ,∑ (xi)=1}
引言 经济史学家声称:早在古希腊时代,第一张票据 产生的那一刻,金融(finance)就出现了。所谓金融， 指资金的融通或资本的借贷。进一步地，金融学所 要解决的核心问题是：如何在不确定的环境下，对 资源进行跨期最优配置。 例 鲁宾逊经济
金融数学(数理金融、数量金融、金融工程等)的 主要是使用一切可能的数学方法来研究金融问题， 特别是金融产品的定价和金融市场的动态均衡。
第一章
期望效用函数理论与单期定价模型
▪ 第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型 及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型， 是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。
▪ 期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创 立的。期望效用函数是对不确定性的环境中，对于 各种可能出现的结果，定义效用函数值，即vonNenmann and Morgenstren效用函数，然后将此效用 函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首 先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投 资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价 模型。
定义δi是仅在xi处取值的退化随机变量,即δi是 以{x1,x2,…xn}为状态空间的随机变量,且分布律
(δi)为:
P(δi=xi)=1,P(δi≠xi)=0 我们可以定义U(xi)≡U( (δi)),即U(xi)是彩票
在确定输出xi的效用值,此时:
(X)=∑ (xi) (δi)
相应定理2.（1 3）的结果为:
h) V (
2V x)
(
x)
命题1.2 Pr att率Ah对于正仿射变换是不变的. 如果V (x)是两次可微的函数，则有：
lim Ah (x) V "(x) (绝对风险度)
h0 h
V '(x)
1.3 投资者的风险类型及风险度量
1.3.1 投资者的风险类型 对一般的风险资产 w~ 有,V (Ew~) E(V (w~)) ,则称投资者为风险厌恶型。对一 般地 w~ ，有V (Ew~) E(V (w~)) 称投资者为风险爱好型。效用函数V 是线性函数，
1.1 序数效用函数
效用函数是消费者按照自己的主观偏好来
评估各种消费品满足程度的尺度。
设B为n维欧氏空间中的闭凸集。 x=(x1,x2,…xn) ∈B,x表示几种商品构成的一个 组合，xi表示第i种商品的数量。 1.1.1 偏好关系 在B中引进一个二元关系” >” , 如果它具有: 公理1(反身性)若x∈B,则x>x; 公理2(可比较性)若x,y∈B,则x>y或者y>x; 公理3(传递性)若x,y,z∈B,如果x>y,y>z则x>z 我们称二元关系”>”是一个偏好关系。
Q> P; 公理3（传递性）对任意的P1,P2,P3∈B~,如果
P1>P2,P2>P3则P1>P3 类似地可定义严格偏好关系”>”等价关系”~”
设B~中的偏好关系有如下的性质: 性质1 对任意的P, Q∈B~,设P>Q,α,β∈[0,1]
则 [αP⊕ (1―α)Q]>[βP⊕ (1―β)Q]↔α>β
性质2设P1,P2,P3∈B~,P1>P2>P3则存在唯一α∈[0.1]
使 性质3
设P2存~[在αPP1*⊕,Q(*1∈―Bα~)P,对3]任意P∈B~有:
P*>P>Q* 定理1.2(基数效用存在定理)设B~具有满足性质1~ 性质3的偏好关系”>”,则存在效用函数U:B~→R
满足:(1)P>Q↔U(x)>U(y);
可见每个彩票P=(p1,p2,…pn)对应n–1维单纯形
设P=(p1,p2,…pn)和Q=(q1,q2,…qn)是两张不同 的彩票。
如果选中P的概率为α，选中Q 的概率为1―α 那么得到第i个结果为αpi+(1―α)qi,称为“复合 彩票” ∈ B~设, QB=~是(q所1,q有2,…彩q票n)的∈集B~合, ，α设∈P[0=,(1p]定1,p义2,…pn) P⊕(1―α)Q=(p1+(1―α)q1, …,αpn+(1―α)qn)
性质 3，则存在效用函数 U : B R 使得 1. x y 当且仅当U(x) U(y) 2 x ～ y 当且仅当U(x) U(y)
1.1.4 偏好关系的三条重要性质 性质1 (序保持性) 对任意x,y∈B,x﹥y,α,β∈[0.1] [αx+(1－α)y] ﹥[βx+(1－β)y]当且仅当α>β;
Markovitz风险溢价: 设所有的投资者都厌恶风险，设量（w0, h) 满足下列条件：
7.von Neumann Morgenstern效用函数
随机变量X : x11
x2
2
xn
n
E(U ( X ))
n
i 1
(
xi
)U
(
xi
)
~
当B为连续随机变量X (股票)时，定义
~
B {所有随机变量X的概率分布FX (x)}
有U ( X )
V (x)dF(x) E[V ( X )]
1.2 期望效用函数
1.2.1 彩票及其运算 先考虑下列问题:如果有两组彩票,买一组获得收益 的可能性分别为: A组:获得100,500,1000圆的可能性分别是0.1,0.05
0.01 B组:获得100.500,1000圆的可能性分别是0.09,
0.051,0,09 你会买哪一组?
称P是一个简单彩票,如果P=(p1,p2,…pn)是x= (x1,x2,…xn)上的概率分布。
(2)P~Q↔U(x)=U(y); (3)设P,Q∈B~,β∈[0,1],则U[βP⊕ (1―β)Q]
=βU(P)+(1―β)U(Q)
命题1.1 设B~具有性质1~性质3,W:B~→R是关于偏 好”>”的效用函数,它们都是具有定理1.2的性质(1) 、(2) 、(3)的效用函数,则存在实数a>0和实数b使 对任意P∈B~,有
1.1.3 效用函数 若B是具有偏好关系的选择集，U:B→R+是单值 函数，如果x,y∈B,U(x) ≥U(y)当且仅当x>y,则 称U为效用函数。
命题1.2 字典序不存在效用函数。
1.1 序数效用函数
1.1.5 序数效用函数存在定理 定理 1.1 设选择集 B 上的偏好关系“ ”具有 1.1.4 中的性质 1～
性质2 (中值性)对任意小，有,x,y,z∈B,如果: x﹥y﹥z,那么存在唯一的α∈(0,1)使得
αx+(1－α)z~y;
性质3 (有界性)存在x*y*∈B使得对任意z∈B有: x*<z<y*
1.1.5 序数效用函数存在定理 定理1.1 设选择集B上的偏好关系”>”具有1.1.4节 中的性质1~性质3,则存在效用函数U:B→R+使得: (1)x﹥y当且仅当U(x)>U(y); (2)x~y 当且仅当U(x)=U(y)
若x>y与y>x同时成立，则称x与y偏好无差异， 记为x~y;若x>y但y>x不成立，则称x严格地好于 y，记作x>y 。 引理１.１ 设B只有有限个或可列个元素，“>” 是其上满足公理１～公理３的一个偏好关系，则
我们可由“>”确定一个效用函数u(.)满足：
u(x)>u(y) ↔ x>y
u(x)=u(y) ↔ x~y
1.1.2 字典序 对于选择集B2={(x,y)|x∈[0, ∞),y∈[0, ∞)},
B2为R2中的凸集,在B2上定义二元关系”>”如下: 若(x1,y1),(x2,y2) ∈B2如果x1>x2或者x1=x2,y1≥y2 定义(x1,y1) ≥(x2,y2)
命题1.1 上述二元关系是一偏好关系。
V (x)dF (x0 E[V (x)]
其中，V (x）是对应于X取确定状态的效用函数。
前段要点:
1.偏好三公理:自反性,可比较性,传递性; 2.偏好三性质:序保持性,中值性,有界性; 3.具有三性质的偏好存在序数效用函数; 4.假定随机变量的n个结果x1,x2,…,xn 则概率分布向量P=(p1,p2,…pn)称为彩票;彩票可 进行复合运算; 5.彩票上可定义偏好关系极其三性质; 6.在彩票集合上具有三性质的偏好关系存在基数 效用函数;
(FX n
)
U
( FX
),记F X
(
y)
0, 1,
y y
x x
~
则F X ( y) B,定义V ( X ) U (F X ),有
U ( X ) V (x)dF (x) E[V (x)]
定理1.3当选择集是仅由以R(或R的有限离散子集)
为状态空间的随机变量X组成时, 存在效用函数
~
U : B R, 使得U ( X )
例. 设资产x=(x1,x2,x3) 下面为两个复合彩票引致 的简单彩票:
1/3 P1=(1,0,0)
1/3 P2(1/4,3/8,3/8)
(1/2,1/4,1/4)
1/3 P3=(1/4,3/8,3/8)
1.2.1彩票上的偏好关系 假设B~中元素定义满足如下的偏好关系；>具有 公理1（反身性）对任意的P∈B~,有P>P; 公理2（可比较性）对任意的P,Q∈B~则P>Q或
其中V (x)是对应于确定状态的效用。
1.2.5 Pratt率 假定投资者具有von-Neumann-Morgenstern
效用函数,函数的具体形式可以不同,它们在正仿 射变换意义下是唯一的。
给定v N M函数V (x),定义Pr att率Ah :
R
R为Ah
(
x)
V
(
x
h) V(
V x
(x h)
幻灯片 40
——资产定价的原理与模型
▪ 数理金融学（Mathematical Finance）是二十世纪后期发展起 来的新学科。数理金融学的特点是数学作为工具对金融学的 核心问题进行分析和研究。金融学的三个基本研究内容之一， 资产定价问题与数学密切相关。数学工具的运用使金融学成 为一门真正的科学。现代金融学产生是由于“两次华尔街革 命”，第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M. Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马科维茨的学 生夏普（W.F. Sharpe）在马科维茨理论的基础上，提出了资 本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。他 们两人的成果获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是 利用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数学推理论 证解决了风险资产的定价问题，是将数学方法应用于金融学 成功的范例，也是划时代的开创性的工作。第二次华尔街革 命是指1973年布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes） 期权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学奖。他们 也是利用数学工具解决了重要的金融衍生产品期权的定价问 题。两次华尔街革命标志着现代金融学的诞生，同时也产生 了一门新的学科：数理金融学。