高中物理竞赛辅导之刚体动力学

预备知识
质点对点的角动量为:
L r p r mv
角动量大小：L rmvsin
角动量方向：右手螺旋定则
L
----平行四边形面积
r L
O
r
m
v
思考：质点对轴的角动量如何？
vr
rr
一 刚体的平动与转动
➢ 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.
（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
t2 t1
Mdt
J2
J1
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
➢ 若 M 0 ，则 L J 常量 .
讨论 ➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r 2dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO
2 mR2 5
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
a R
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
JO J圓 J杆
29Ma2 6
2a
O
M
2a C M
对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动
惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互
正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
z
J z Jx Jy
y
o
例如：薄盘绕直径的转动
惯量
Jz
Jx
Jy
1 2
mR2
x
Jx
Jy
1 4
mR2
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转
动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。
即
z
J Ji
m1 l
例如：有质量为 m1 ,长 为 l 的均质细杆和质
量为m2 ，半径为R 的
匀质球体组成的刚体，
m2 R
对Z轴的转动惯量为
Jz
J杆 J球
1 3
m1l
2
2 5
m2
R2
m2
l
R
2
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
J mr2
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
Nrdr
πR 2
2 πr 0
dl
2Nr 2dr
R2
M
dM
R 2Nr 2dr
0 R2
2 NR
3
圆盘角加速度 M 4 N
J 3 MR
停止转动需时 t 0 3 mR0 4 N
0
R
dr r dFf
dl
* 例3 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
它们间的摩擦力矩为
mB B
M f 再求线加速度及 绳的张力.
A
mA
FT1
FN
mA FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B
FT2
O
mB PB y
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
FT1 mAa
对于质量为m 、半径为 R 、厚为 l 的均匀圆盘
取半径为 r 宽为 dr 的薄圆环，则有
Z
dm 2 rdr l
dJ r2dm 2lr3dr
O r dr
lR
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
0
2
由于
m
R2l
则有 J 1 mR2 2
可见，转动惯量与厚度 l 无关。所以，实心圆柱对
J Jc md 2
n
n
J miri2 mi Ri2 d 2 2dRi cos
i 1
i 1
y
0 n
n
nn
mi Ri2 mid 2 2d mmiiRxii cosi
i 1
i 1
ii11
Ri mi
C θi
ri
dO
x
Ma 2 J圓 2
J杆 Jc M 2a 2
Ma2 4Ma2 3
演员 M 落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 .
问演员 N 可弹起多高 ?
解: 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
N
C
M
h A
碰撞后的瞬间, M、 B N具有相同的线速度
l/2 l
vM (2gh)1 2
uN
uM
u
l
2
M、N和跷板系统
N
C
M
h A
角动量守恒
B
l/2
l
mvM
l 2
Mf 2
R
三 角动量定理与角动量守恒
刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z
i
i
L J
刚体定轴转动的角动量定理
M dL d(J)
dt dt
O ri vi
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
➢
刚体定轴转动的角动量定理
FT1 mAa
mBg FT2 mBa RFT2 RFT1 M f J
a R
A mA
FT1
C mC FT2
mB B
a mBg M f R mA mB mC / 2
FT1
mA (mBg M f / R) mA mB mC / 2
FT2
mB
(mA mC 2) g mA mB mC
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的
摩擦力矩 Mf ，转动定律
RFT2 RFT1 Mf J
结合（1）中其它方程
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 M f J
a R
FT1
M f FT2
FT2
FN
mB PB
mAFT1 PA
光滑斜面，圆柱
C
体仅作滑动；沿
r N
水平面达到纯滚 h
动前作滑滚运动。
动力学方程为：
mg
h
R
1 2
mv02
CC r f mgr
x
mg mac
mgR 1 mR2
由以上三式解得：
2
v0 2g h R ac g 2g R
达到纯滚动前有： vc v0 act 2g h R gt
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
二 转动定律
Fit (mi )at mr
M i ri Fit (mi )atri
at r
Mi (mi )ri2
z
Fit
O ri mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
J miri2
转动定律
M J
转动定律 M J
J miri2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2 )
J11 J 22
(J1 J2 )
例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
设跷板是匀质的, 长度为 l , 质量为 m', 跷板可绕中部
支撑点 C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为 m. 假定
y
N
x
C
Ff mg
aC
质心运动方程
mg sin Ff maC
转动定律 Ff R J
角量、线量关系
y
N
x
C
Ff mg
aC
a aC R
ma
mg
sin
Ja R2
a
mgR 2 mR 2
s in
J
a1 2g sin 3 a2 g sin 2
实心圆拄 t1 2l a1 空心圆筒 t2 2l a2
➢ 刚体的运动形式：平动、转动.
➢ 平动：若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同，或者说刚 体内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线.
刚体平动
质点运动
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周 运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
解: 物体由斜面 顶端滚下, 可视为质 心的平动和相对质心 的滚动两种运动合成.
例4 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。 一质量为m ，半径为R 的匀质圆柱体从高h 处由静止 沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知
水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：
1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
C
h
r N
CC
r
x
f mgr
解：1）沿
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
解: 在圆盘上取面积微元,
0
面积元所受对转轴的摩擦力矩
大小
rdFf
r
N πR2
dldr
dr r dFf
dl
刹车片
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
rdFf
r
N πR2
dldr
dM rdFf
圆盘所受摩擦力矩
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl ml 2 12
J 1 ml2 3
球壳： 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
J 1 mr2 2
圆柱体： 转轴沿几何轴
J 1 mr2 2
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
J 1 ml 2 12
球体： 转轴沿直径
J 2 mr2 5
转轴沿直径
J 1 mr2 2
圆筒：
转轴沿几何轴
J
1 2
m(r12
r22 )
圆柱体：
转轴通过中心与几何轴垂直
J 1 mr2 1 ml2
4
12
细棒： 转轴通过端点与棒垂直
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
飞轮
2
航天器调姿
1
例1 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆
盘. 开始时, 他们分别以角速度ω1 和ω2 绕水平轴转
动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为 一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 J 2 l / 2 r 2dr 1 ml2
0
12
转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量
代入初始条件积分 得
m FN
l2
l oP
d 3g sind
2l
3g (1 cos )
l
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
量为 体B
上m.C滑的轮圆与柱绳形索滑间轮没C有，滑并动系，在另且一滑质轮量与为轴承m间B 的的物摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从
静止落下距离 y 时，
A mA
C
mC
其速率是多少？（3） 若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有： vc R
解得作纯滚动经历的时间：
t v0 2g h R
3 g
3 g
2）达到纯滚动时经历的距离：
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
➢ 转动惯量物理意义：转动惯性的量度.
注意 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何
形状及转轴的位置.
单Hale Waihona Puke Baidu质点 质点系
质量连续分布
J mr2
n
J miri2
i1
J r2dm m
单位:千克·米2 （kg·m2）
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒
垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .