实验三 Z 变换、离散系统零极点分布和频率分析
一、 实验目的
● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验原理及实例分析
（一）离散时间信号的Z 变换
1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式
MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：
[r,p,k]=residuez(num,den)
式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例3-1】 利用MATLAB 计算3
21431818
)
(-----+z
z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序
num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换
MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为
)()
(F iztrans f f ztrans F ==
上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为
()A sym S =
式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例3-2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()
2
a z az
z F -=
的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)
可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a)
（2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n
（二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即
)
()
()(z X z Y z H =
（3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：
1
1
211
121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：
[Z,P,K]=tf2zp(B,A)
其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将
)(z H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：
)
())(()
())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k
z H ------= （3-3）
【实例3-3】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为
16
.032
.0)(2
+++=
z z z z H 试用MATLAB 命令求该系统的零极点。
解：用tf2zp 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为 B=[1,0.32]; A=[1,1,0.16]; [R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 -0.2000 K= 1
因此，零点为32.0=z ，极点为8.01=p 与2.02=p 。
若要获得系统函数)(z H 的零极点分布图，可直接应用zplane 函数，其语句格式为：
zplane(B,A)
其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量。它的作用
是在Z 平面上画出单位圆、零点与极点。
【实例3-4】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为68
.052.136
.0)(22+--=z z z z H ，
试用MATLAB 命令绘出该系统的零极点分布图。
解：用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为 B=[1,0,-0.36]; A=[1,-1.52,0.68]; zplane(B,A),grid on legend('零点','极点') title('零极点分布图')
程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。
2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z 变换建立了时域函数)(n h 与z 域函数)(z H 之间的对应关系。因此，z 变换的函数)(z H 从形式可以反映)(n h 的部分内在性质。我们仍旧通过讨论)(z H 的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
【实例3-4】 试用MATLAB 命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应)(n h 的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。
图3-1 零极点分布图
