新人教版九年级数学(上)——概率初步[001]

第二十五章概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．2. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G 的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．。

知识点一、概率の有关概念1ﻫ．概率の定义：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生の可能性の大小,我们把刻划（描述）事件发生の可能性の大小の量叫做概率.ﻫ2、事件类型：○１必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.ﻫ错误!不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.ﻫ错误!不确定事件:许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.ﻫ必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生,或事先能肯定它们不会发生の事件,因此它们也可以称为确定性事件.ﻫ不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。

知识点二、概率の计算1ﻫ、概率の计算方式:概率の计算有理论计算和实验计算两种方式,根据概率获得の方式不同，它の计算方法也不同.ﻫ2、如何求具有上述特点の随机事件の概率呢?如果一次试验中共有ｎ种可能出现の结果，而且这些结果出现の可能性都相同，其中事件A包含の结果有ｍ种,那么事件A发生の概率P(A）=nm。

在求随机事件の概率时，我们常常利用列表法或树状图来求其中のm、ｎ,从而得到事件Ａの概率.ﻫ由此我们可以得到:ﻫ不可能事件发生の概率为0；即P（不可能事件)=0;必然事件发生の概率为1;即Ｐ(必然事件）=1;如果A为不确定事件;那么0<Ｐ(Ａ)<1.概率初步类型一:随机事件１.选择题:4个红球、３个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里,从中摸出８个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情（ ) ﻫ A ．可能发生 B.不可能发生 Ｃ.很可能发生 D ．必然发生ﻫ 思路点拨：ﻫ 举一反三【变式1】下列事件是必然事件の是（ ）A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高【变式２】在100张奖券中,有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖の概率是( )Ａ．251 B.41 C.1001 D ．201类型二：概率の意义2.有如下事件,其中“前１０0个正整数”是指把正整数按从小到大の顺序排列后の前面１0０个. ﻫ 事件1:在前100个正整数中随意选取一个数，不大于5０； 事件2：在前１０0个正整数中随意选取一个数,恰好为偶数；ﻫ 事件３:在前100个正整数中随意选取一个数,它の2倍仍在前100个正整数中;ﻫ 事件4：在前１0０个正整数中随意选取一个数,恰好是3の倍数或5の倍数．ﻫ 在这几个事件中,发生の概率恰好等于21の有( ) Ａ.1个 B.２个 C.3个 Ｄ.4个ﻫ 思路点拨:事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来の可能性都是一样の，所以有100个可能の结果,而从中随意选取一个，只有一种结果,所以其中每个数被选取の概率都是1001.举一反三ﻫ【变式1】从两副拿掉大、小王の扑克牌中,各抽取一张，两张牌都是红桃の概率是___＿__＿_.ﻫ【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别,随机从口袋中任取一只球,取到黄球の概率是_＿＿__＿__.类型三：概率の计算1.列表法ﻫ3．有两只口袋,第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球,两个球都是黄球の概率.红黄蓝白红黄蓝解:所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种．ﻫ故Ｐ（两球都是黄球)＝ﻫ举一反三【变式1】抛两枚普通の正方体骰子,朝上一面の点数之和大于5而小于等于9の概率是多少？ﻫﻫ【变式2】在生物学中,我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲の基因用X和Y来表示，母亲の基因用X和Ｘ来表示,X和Y搭配表示生男孩，Ｘ和X搭配表示生女孩,那么生男孩和生女孩の概率各是多少？ﻫ【变式3】两个人做游戏,每个人都在纸上随机写一个－2到2之间の整数（包括－２和2),将两人写の整数相加,和の绝对值是1の概率是多少?ﻫ【变式4】有两组卡片，第一组の三张卡片上分别写有Ａ、C、C;第二组の五张卡片分别写有Ａ、B、Ｂ、C、C,那么从每组卡片中各抽出一张,两张都是Cの概率是多少？ﻫ2.树形图法4．将分别标有数字1、２、3の三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张,求P(奇数);(2)随机地抽取一张作为十位上の数字（不放回），再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”の概率为多少?举一反三ﻫ【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”の游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中の一个，那么一个回合不能决定胜负の概率是多少？ﻫﻫ３．用频率估计概率ﻫ５．某篮球运动员在最近の几场大赛中罚球投篮の结果如下：投篮次数n8 1０12 9 16 10进球次数m６8 9 7 12 ７进球频率(1)计算表中各次比赛进球の频率；(2)这位运动员投篮一次，进球の概率约为多少？举一反三ﻫ【变式1】某射击运动员在同一条件下の射击成绩记录如下:射击次数10 2０３0 40 ５０60 70 80射中8环以上の频数 6 1７25 31 39 49 65 80射中8环以上の频率(1)计算表中相应の频率.(精确到０.0１）ﻫ(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”の概率.(精确到0.1）类型四:概率の思想方法ﻫ6．一个口袋中有1０个红球和若干个白球,请通过以下试验估计口袋中白球の个数．从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中,不断重复上述试验过程,试验中总共摸了2０0次，其中有50次摸到红球．ﻫ７.王老汉为了与顾客签订购销合同,对自己鱼塘中鱼の总质量进进了估计，第一次捞出1０0条,称得质量为1８4千克.并将每条鱼做上记号后放入水中,当它们完全混合于鱼群后，又捞出20０条,称得质量为４1６千克,且带有记号の鱼有２0条，王老汉の鱼塘中估计有鱼_______＿条,总质量为_＿__＿＿＿_千克.类型五：概率の综合应用ﻫ８．有５条线段，长度分别为２,４，６,8,10,从中任取3条线段.(１)一定能构成三角形吗？ﻫ(2）猜想一下，能构成三角形の机会有多大?ﻫﻫ举一反三ﻫ【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球の频率分别为35％、25%和4０％，试估计口袋中３种乒乓球の数目.ﻫ【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生の出生月份统计如图所示,根据下列统计图の数据回答以下问题.(1)出生人数超过６0人の月份有哪些？ﻫ(2)出生人数最多の是几月份?ﻫ (3)在这些学生中，至少有两个人生日在1０月5日是不可能の,还是可能の？还是必然の?ﻫ (４）如果你随机地遇到这些学生中の一位，那么这位学生生日在哪一个月份の概率最小?随堂练习一、选择题1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方の场地与首先发球者，其主要原因是( ).A．让比赛更富有情趣ﻩＢ．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛の公平性D．让比赛更有挑战性２．小张掷一枚硬币,结果是一连９次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上の概率是（).A.０ﻩＢ．1ﻩC.0.5ﻩＤ．不能确定３．关于频率与概率の关系，下列说法正确の是( ）．A．频率等于概率Ｂ.当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近Ｃ．当试验次数很多时,概率会稳定在频率附近D．试验得到の频率与概率不可能相等4.下列说法正确の是( )．A．一颗质地均匀の骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出５点の次数最少,则第２001次一定抛掷出5点B.某种彩票中奖の概率是１%,因此买１0０张该种彩票一定会中奖Ｃ.天气预报说明天下雨の概率是50％.所以明天将有一半时间在下雨Ｄ.抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上の概率不相等5．下列说法正确の是(）．A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面の概率为１B．“从我们班上查找一名未完成作业の学生の概率为0”表示我们班上所有の学生都完成了作业C ．一个口袋里装有９9个白球和一个红球,从中任取一个球，得到红球の概率为1％,所以从袋中取至少1０0次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币,出现正面向上の概率为50％,所以投掷硬币两次,那么一次出现正面，一次出现反面６.在一个不透明の袋子中装有4个除颜色外完全相同の小球，其中白球1个,黄球１个,红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球,两次都摸到红球の概率是( ).A ．21 Ｂ.31ﻩＣ.61ﻩD ．81 ７.在今年の中考中,市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类,抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50ｍ × 2往返跑三项,力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上（男)或仰卧起坐（女）两项の概率是( )． A.31ﻩB ．32ﻩC.61 D.918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样の乒乓球放入一个袋中，其中8个白色の,5个黄色の,５个绿色の，2个红色の．如果任意摸出一个乒乓球是红色,就可以过关，那么一次过关の概率为( )． A.32 B ．41 C.51ﻩＤ.101 9．下面4个说法中,正确の个数为( ). (１）“从袋中取出一只红球の概率是99％”,这句话の意思是肯定会取出一只红球,因为概率已经很大（2)袋中有红、黄、白三种颜色の小球，这些小球除颜色外没有其他差别,因为小张对取出一只红球没有把握,所以小张说:“从袋中取出一只红球の概率是50％” (3）小李说,这次考试我得９０分以上の概率是2０0%（４)“从盒中取出一只红球の概率是0”,这句话是说取出一只红球の可能性很小 A ．３ﻩB ．２ Ｃ.1 D.0 １0．下列说法正确の是( )．A ．可能性很小の事件在一次试验中一定不会发生 Ｂ．可能性很小の事件在一次试验中一定发生 C.可能性很小の事件在一次试验中有可能发生 D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 二、填空题11.在一个不透明の箱子里放有除颜色外，其余都相同の4个小球，其中红球3个、白球1个.搅匀后，从中同时摸出2个小球,请你写出这个实验中の一个可能事件：_＿___＿_ ＿___＿＿____．12．掷一枚均匀の骰子，2点向上の概率是______,７点向上の概率是_＿_＿_＿.13．设盒子中有８个小球,其中红球3个，黄球4个,蓝球１个，若从中随机地取出１个球，记事件A 为“取出の是红球”，事件B 为“取出の是黄球”，事件C 为“取出の是蓝球”,则P (A ）=__＿___，P （B )＝＿_____,P (C )=___＿_＿．14.有大小、形状、颜色完全相同の5个乒乓球,每个球上分别标有数字1，２,3，4,5中の一个，将这5个球放入不透明の袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上の数字之和为偶数の概率是__＿___．15．下面图形：四边形,三角形，正方形，梯形，平行四边形,圆,从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形の概率为______.16．从下面の6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数の概率为＿___＿_.17.在一个袋子中装有除颜色外其他均相同の2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球の概率是______.18.在一个不透明の盒子中装有２个白球,ｎ个黄球,它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球の概率为32,则n ＝＿_＿＿__. 三、解答题19.某出版社对其发行の杂志の质量进行了5次“读者调查问卷”,结果如下： 被调查人数n 1０01 １０0０ １0０4 10０3 1000 满意人数m 99９ ９98 1002 1002 1000 满意频率nm(１)计算表中各个频率；(2)读者对该杂志满意の概率约是多少？ (3)从中你能说明频率与概率の关系吗？20．四张质地相同の卡片如图所示.将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.(１)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2の概率；(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由.。