专题20 新定义型二次函数问题(学生版)

专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记[P ]＝|x |+|y |．若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且2≤[C ]≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2020，则t 的取值范围为（ ）A ．2017≤t ≤2018B ．2018≤t ≤2019C ．2019≤t ≤2020D ．2020≤t ≤20212．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为．已知点M ，N 的坐标分别为，，连结y ={x(x ≥0)−x(x ＜0)(−12，1)(92，1)MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤541＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤541≤n ≤543．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y ＝x 2﹣x +c （c 为常数）在﹣2＜x ＜4的图象上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜cB ．﹣4＜cC ．﹣4＜cD ．﹣10＜c ＜14＜94＜14＜944．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”．若关于x 的二次函数y ＝ax 2+tx ﹣2t 对于任意的常数t 恒有两个“好点”，则a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜1B ．0C ．D ．＜a ＜1213＜a ＜1212＜a ＜15．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ，例如：4*2，因={a 2−ab(a ≥b)b 2−ab(a ＜b)为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y ＝（2x ）*（x +1），则下列结论：①方程（2x ）*（x +1）＝0的解为﹣1和1；②关于x 的方程（2x ）*（x +1）＝m 有三个解，则0＜m ≤1；③当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④直线y ＝kx ﹣k 与函数y ＝（2x ）*（x +1）图象只有一个交点，则k ＝﹣2；⑤当x ＜1时，函数y ＝（2x ）*（x +1）的最大值为1．其中正确结论的序号有（ ）A ．②④⑤B ．①②⑤C ．②③④D ．①③⑤6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |，纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记为|M |＝|x |+|y |（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2≤|M |≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2022，则t 的取值范围为（ ）A ．2018≤t ≤2019B ．2019≤t ≤2020C ．2020≤t ≤2021D ．2021≤t ≤20227．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P （m ，n ）和点P ′（m ，n ′），给出如下新定义，若n '，则称点P ′（m ，n ′）是点P （m ，n ）的限变点，例如：点P 1（1，4）的限={|n|(当m ＜0时)n−2(当m ≥0时)变点是P ′1（1，2），点P 2（﹣2，﹣1）的限变点是P ′2（﹣2，1），若点P （m ，n ）在二次函数y ＝﹣x 2+4x +1的图象上，则当﹣1≤m ≤3时，其限变点P ′的纵坐标n '的取值范围是（ ）A ．﹣1≤n '＜3B ．1≤n '＜4C ．1≤n '≤3D ．﹣1≤n '≤48．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l ：y x +b 经过点M （0，），一组抛物线的顶点=1314B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ） （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0），…A n +1（x n +1，0）（n 为正整数）．若x 1＝d （0＜d ＜1），当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．或B ．或C ．或D ．512712512111271211127129．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值之差为（ ）A ．5B ．C ．4D ．7+1727−17210．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P 是抛物线y ＝x 2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k 的值可以是（ ）A ．16B ．4C ．﹣12D ．﹣18二．填空题（共10小题）11．（2022•芦淞区模拟）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数位[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；1383②当m ＝1时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2；③当m ＝﹣1时，函数在x 时，y 随x 的增大而减小；＞14④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有 ．（填写所有正确答案的序号）12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是 ．13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足﹣m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y ＝﹣x 2+1（﹣2≤x ≤t ，t ≥0）的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足n 时，则t 的取值范围是 ．94≤≤5214．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +3与x 轴围成的区域内（不包括抛物线和x 轴上的点）恰好有8个“整点”，则a 的取值范围是 ．15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y ＝ax 2﹣4ax +1与其关于x 轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a 的取值范围 ．16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：若y ′，则称点Q 为点P 的“可控变点”．={y(x ≥0)−y(x ＜0)请问：若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16＜y ′≤16，则实数a 的取值范围是 ．17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与抛物线y ＝（x ﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ．18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是 ．19．（2022•郫都区模拟）定义：由a ，b 构造的二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 叫做一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax +b 叫做二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 的“本源函数”（a ，b 为常数，且a ≠0）．若一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”是y ＝ax 2﹣3x +a +1，那么二次函数y ＝ax 2﹣3x +a +1的“本源函数”是 ．20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a ，b ，c }＝c （a ＜c ＜b ），即（a ，b ，c ）的取值为a ，b ，c 的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}与直线yx +b 有3个交点时，=13则b 的值为 ．三．解答题（共10小题）21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y ＝x +2的图象的“好点”．（1）在函数①y ＝﹣x +3，②y ③y ＝x 2+2x +1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号）=3x （2）设函数y （x ＜0）与y ＝kx +3的图象的“好点”分别为点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足=−4x 为C ．当△ABC 为等腰三角形时，求k 的值；（3）若将函数y ＝x 2+2x 的图象在直线y ＝m 下方的部分沿直线y ＝m 翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m 的值．22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．（1）若a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3．①求此二次函数图象的顶点M 的坐标；②定义：若点G 在某一个函数的图象上，且点G 的横纵坐标相等，则称点G 为这个函数的“好点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC ，直线MC 与x 轴交于点P ，满足∠PCA ＝∠PBC ，且的tan∠PBC =12，△PBC 面积为，求二次函数的表达式．1323．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若某函数的图象上存在点P （x ，y ），满足y ＝mx +m ，m 为正整数，则称点P 为该函数的“m 倍点”．例如：当m ＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y ＝3x +4的“2倍点”．（1）在点A （2，3），B （﹣2，﹣3），C （﹣3，﹣2）中， 是函数y的“1倍点”；=6x （2）若函数y ＝﹣x 2+bx 存在唯一的“4倍点”，求b 的值；（3）若函数y ＝﹣x +2m +1的“m 倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m 的圆外，求m 的所有值．24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y ＝2x ﹣2的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；y =5x ，y =x +2如果不存在，说明理由；（2）写出函数y ＝﹣x 2+2的等值点坐标；（3）若函数y ＝﹣x 2+2（x ≤m ）的图象记为W 1，将其沿直线x ＝m 翻折后的图象记为W 2．当W 1，W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m 的取值范围．25．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣5）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．v26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；22（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝6，MN＝4，且点P在点Q的下方，求a的值．27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于3，则称点P为三好点．（1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是 （填写字母即可）；（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y＝2x+b经过点A，求该直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线y＝a（a＞0）与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐标；（4）若在抛物线y＝﹣x2﹣nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围．28．（2022秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上的点P （x ，y ）的横坐标x 和纵坐标y 的和x +y 称为点P 的“横纵和”，而图形G 上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．（1）抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣2的图象上点P （1，﹣3）的“横纵和”是 　；该抛物线的“极小和”是 ．（2）记抛物线y ＝x 2﹣（2m +1）x ﹣2的“极小和”为s ，若﹣2021≤s ≤﹣2020，求m 的取值范围．（3）已知二次函数y ＝x 2+bx +c （c ≠0）的图象上的点A （，2c ）和点C （0，c ）的“横纵和”相等，m 2求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若P 、Q 的坐标分别为（x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则称|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为若P 、Q 的“绝对距离”，表示为d PQ ．【概念理解】（1）一次函数y ＝﹣2x +6图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点．①d AB 为 ；②点N 为一次函数y ＝﹣2x +6图象在第一象限内的一点，d AN ＝5，求N 的坐标；③一次函数的图象与y 轴、AB 分别交于C 、D 点，P 为线段CD 上的任意一点，试说明：y =x +32d AP ＝d BP ．【问题解决】（2）点P （1，2）、Q （a ，b ）为二次函数y ＝x 2﹣mx +n 图象上的点，且Q 在P 的右边，当b ＝2时，d PQ ＝4．若b ＜2，求d PQ 的最大值；（3）已知P 的坐标为（1，1），点Q 为反比例函数（x ＞0）图象上一点，且Q 在P 的右边，y =3x d PQ ＝2，试说明满足条件的点Q 有且只有一个．30．（2022•开福区校级一模）定义：当x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．（1）判断：函数y ＝x 2+2x +2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y ＝3|ax 2+bx +c |+2．①当a ＞0，c ＜0时，此时的恒心值为 ；②若三个整数a 、b 、c 的和为12，且，求a 的最大值与最小值，并求出此时相应的b 、c 的值；b a =c b （3）恒心函数y ＝ax 2+bx +c （b ＞a ）的恒心值为0，且恒成立，求m 的取值范围．a +b +c a +b ＞m。

二次函数(十二大题型综合归纳)题型1：二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2：二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5，当x=3时，y=．4已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2，则代数式2a+b的值为．题型3：二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4：列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为．题型5：特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像，下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0，那么必有()A.a >0，m 取任意实数B.a >0，m >0C.a <0，m >0D.a ，m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时，y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数：①y =-13x 2+1；②y =12(x +1)2-2；③y =-12(x +1)2+2；④y =12x 2；⑤y =-12(x -1)2；⑥y =12(x -1)2．(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号)；(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号)．14设函数y 1=x -a 12，y 2=x -a 22，y 3=x -a 3 2．直线x =b 的图象与函数y 1，y 2，y 3的图象分别交于点A b ,c 1，B b ,c 2 ，C b ,c 3，()A.若b <a 1<a 2<a 3，则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3，则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3，则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ，则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ，b ，则代数式a 2-ab +b 2的最小值为．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⎳x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P(3，1)、Q(9，1)，若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a的取值范围是．19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为．题型7：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中，与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”)．23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1，B5,y2两个点，下列选项正确的是()A.若m<1，则y1>y2B.若1<m<3，则y1<y2C.若1<m<5，则y1>y2D.若m>5，则y1<y2题型8：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0，且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点，当-2≤a≤2时，m的取值范围是．27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1，-2)，(-2，13)．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内，有最小值-3，有最大值1，求m的取值范围．28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m>0)．(1)若点(-2，9)在该二次函数的图象上．①求m的值：②当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最大值为18，求a的值；(2)若点P(x，y)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤-3，求m的取值范围．题型9：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示，现有以下结论：①c=3；②k=3；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+b-1x+c<0．其中正确的为．(填写序号即可)30如图，已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=k i(k i>0，i=1，2，3，⋯，2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10：二次函数的应用31如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y (单位：米)与飞行的水平距离x (单位：米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32，则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．有下列结论：①AB =30m ；②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5；③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上)，设AB =x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．37如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B，与y轴交于点C0，-52．CD∥x轴交抛物线于点D．(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB，CD于点F，G，且GE= 2GD，求点E的坐标．38在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．(1)已知a=1．①若函数的图象经过0，3和-1，0两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．(2)若函数图象经过-2，m，-3，n和x0,c，且c<n<m，求x0的取值范围．题型12：二次函数压轴题39在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为-5,0．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数的定义类试题与解析范例一.选择题（共8小题）1. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y=-C. y=kx2D. y=k2xX考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a#0）是二次函数.解答：解：A、是二次函数，故A符合提议；B、是分式方程，故B错误；C、k二0时，不是函数，故C错误；D、k=0是常函数，故D错误；故选：A.点评：本题考査二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （审0）是二次函数.2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）A、xy+x2=2 B. x2 - 2y+2=0 C. y= D. y2 - x= 0考点：二次函数的定义.分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可.解答：解：A、整理为y二+ ,不是二次函数，故此选项错误；B、x2 - 2y+2=0变形，得y= x2+1,是二次函数，故此选项正确；C、分母中含自变量，不是二次函数，故此选项错误；D、y的指数是2,不是函数，故此选项错课.故选B.点评：本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常数，审0）的函数，叫做二次函数•其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=ax2+bx+c （a、b、c是常数,aHO）也叫做二次函数的一般形式.3. 下列函数中，属于二次函数的是（）A、y= B. y=2 （x+1）（x・3） C. y=3x・2D. y=考点：二次函数的定义.分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答：解：A、y=是反比例函数，故本选项错误；B、y=2 （x+1）（x-3） =2x2-4x-6,是二次函数，故本选项正确；C、y=3x - 2是一次函数，故木选项错误；D、y二二x+ ,不是二次函数，故本选项错误.故选B.点评：本题考査了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义.4. 下列函数是二次函数的是（）A. y=2x+1B. y= - 2x+1C. y=x2+2 D . y= x - 2考点：二次函数的定义.分析：直接根据二次隊I数的定义判定即可.解答：解：A、y=2x+1,是一次函数,故此选项错误;B、y= - 2x+1,是一次函数，故此选项错课；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x-2,是一次函数，故此选项错误.故选：C.点评：此题主要考查了二次函数的定义，根据定义直接判断是解题关键.5. 下列函数中，属于二次函数的是( )A、y=2x - 3 B・ y二(x+1) 2 - x2 C・ y二2x?・7xD. y=-考点：二次函数的定义.分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数•二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0). 解答：解:A、函数y二2x・3是一次函数，故本选项错误；B、由原方程，得y=2x+1，属于一次函数，故木选项错谋；C、函数y二2x2・7x符号二次函数的定义；故本选项正确；D、y二・不是整式；故本选项错误.故选C.点评：本题考查了二次函数的定义.二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a#0,自变量最高次数为2.6. 已知函数©y=5x・4, @t= x2 - 6x,③y=2x3 - 8x2+3, @y= x2⑤y二+2,其屮二次函数的个数为 ( )A. 1B. 2C・ 3D. 4考点：二次函数的定义.分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可.解答：解：①y=5x-4, @y=2x3 - 8x2+3, @y= +2不符合二次函数解析式，②t二x2 - 6x, ®y= x2 - 1符合二次函数解析式，有两个.故选B.点评：木题考查二次函数的定义.7. 下列四个函数中，一定是二次函数的是( )A. B. y=ax2+bx+c C. y=x2 - (x+7) 2 D. y= (x+1) (2x - 1)考点：二次函数的定义.专题：推理填空题.分析：根据二次函数的定义解答.解答：解：A、未知数的最高次数不是2,故木选项错谋；B、二次项系数a二0时，y二ax'+bx+c不是二次函数，故本选项错误；C^ y=x2 - (x+7) 2= - 14x - 49,即y= - 14x - 49,没有二次项，故木选项错误；D、由原方程得，y=2x2 - x - 1,符合二次函数的定义，故本选项疋确.故选：D.点评：本题主要考查了二次函数的定义.二次函数是指耒知数的最高次数为二次的多项式函数.二次函数可以表示为f (x) =ax2+bx+c (a#0)・&已知函数y= (m+2)是二次函数，则m等于( )A. ±2B. 2C.・2D. ±1考点：二次函数的定义.专题：计算题.分析：根据二次函数的定义，令m2-2=2,且m+2H0,即可求出m的取值范围.解答：解:Vy= (m+2)是二次函数，Am2 - 2=2,且m+2#0,/.m=2,故选B.点评：本题考査了二次函数的定义，要注意，二次项系数不能为0.二.填空题（共6小题）9. 若y二（m+1）是二次函数，则m的值为7 .考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可.解答：解:Ty二（m+1）是二次函数，/. m2 - 6m - 5=2,/.m=7 m= - 1 （舍去）.故答案为:7.点评：此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时耍注意m+1#0.10. 已知y= （a+1） x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是a# - 1・考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可.解答：解:根据二次函数的定义可得a+仔0,即a# - 1.故a的取值范围是a# - 1.点评：木题考杳二次函数的定义.11. 已知方程ax2+bx+cy=0 （a*0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式.则函数表达式为y= - x2 - x ,成立的条件是aHO, cHO ,是二次函数.考点：二次函数的定义.专题：压轴题.分析：函数通常情况下是用x表示y.注意分母不为0,二次项的系数不为0.解答：解：整理得函数表达式为y=・x2・x,成立的条件是aHO, cHO,是二次函数. 故答案为：y=・x2 - x；a#0, cHO：二次.点评：本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的収值.12. 已知y= （a+2） x2+x - 3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是a# - 2 . 考点：二次函数的定义.分析：根据形如y二ax2+bx+c （a是不等于零的常数）是二次函数，町得答案.解答：解：由y= （a+2） x2+x・3是关于x的二次函数，得a+2#0.解得a#・2,故答案为：訝・2・点评：木题考杳了二次函数的定义，利用了二次函数的定义.13. 二次函数y=3x2+5的二次项系数是3 , 一次项系数是0 .考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数的定义解答即可.解答：解：二次函数y=3x2+5的二次项系数是3, —次项系数是0.故答案为：3； 0.点评：木题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没冇一次项，所以一次项系数看做是0.14. 已知y二（k+2）是二次函数，则k的值为1 .考点：二次函数的定义.分析：利用二次函数的定义列方程求解即可.解答：解：Ty二（k+2）是二次函数，・・・k2+k二2门¥0,解得k=4,故答案为：1.点评：本题主要考査了二次函数的定义,熟记定义是解题的关键.三.解答题（共8小题）15. 已知函数y二（m2 - m） x2+mx - 2 （m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数.考点：二次函数的定义；一次函数的定义.分析：根据一次函和二次函数的定义可以解答.解答：解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，解之得：m=1,或m二0,又因为rr#0,所以，m=1.（2） y是x的二次函数，只须m2 - m#0,/.m#1 和m#0.点评：木题考杏了一元二次方程的定义，熟记概念是解答木题的关键.16. 已知函数y= （m -1）+5x・3是二次函数，求m的值.考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数是y=ax2+bx+c的形式，可得答案.解答：解：y二（m・1） +5x・3是二次函数，得解得m二・1.点评：本题考查了二次函数，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2.17. 已知函数（m+2） xm2 - 2 （m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为・8的点的坐标.考点：二次函数的定义；一次函数的定义.分析：（1）根据形如y二kx （kHO, k是常数）是一次函数，可得一次函数；（2）根据形如y二ax2（a是常数，且時0）是二次函数，可得答案,根据函数值,可得自变量的值，可得符合条件的点.解答：解:（1）由y=・（m+2） xm2・2 （m为常数），y是x的一次函数，得，解得,当时，y是x的一次函数；（2） y=- （m+2） xm2 - 2 （m为常数），是二次函数，得，解得m二2, m二・2 （不符合题意的要舍去），当m二2时，y是x的二次函数，当y=-8 时,・ 8= - 4x2, 解得x二，故纵坐标为・8的点的坐标的坐标是(-8 , 0)・点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零.18. 函数y= (kx- 1) (x-3),当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？考点：二次函数的定义；二次函数的图象.分析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可.解答：解：Vy= (kx ・1) (x-3) =kx2・ 3kx ・ x+3=kx2・(3k+1) x+3,Ak= 0吋，y是x的一次函数，kHO时,y是x的二次函数.点评：此题主要考査了二次函数与一函数的定义，正确把握有关定义是解题关键.19. 已知函数y=m- , m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y 随x 的增大而增大？当x収何值吋，y随x的增大而减少？当x取何值吋，函数有最小值？考点：二次函数的定义；二次函数的性质.分析：根据二次函数的定义，可得m的值，根据二次函数的性质，可得函数图象的增减性，根据顶点朋标公式，町得答案.解答：解:由y=m, , m2+m是不大于2的正整数,得当m2+m=2 时.解得m= - 2二或m=1 ；当m2+m=1时，解得m二，或m二，当时，y=nr的图彖开口向上；当x>0时，y随x的增人而增人；当x<0时，y随x的增大而减少；当x=0时，函数有最小值，y最小二0.点评：本题考査了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质：a>0时，对称轴左侧，y 随x 的增人而减小；对称轴的右侧，y随x的增人而增人；顶点坐标的纵坐标是函数的最小值.20. 己知y二(m+1) x?+m是关于x的二次函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.求：(1)m的值.(2)求函数的最值.考点：二次函数的定义.分析：(1)根据y二(m+1) x2 +m是关于x的二次函数，可得m2=2,再由当x>0时，y随x的增大而减小，可得m+1<0,从而得出m的值；(2)根据顶点坐标即可得出函数的最值.解答：解：(1) Ty二(m+1) x'+m是关于x的二次函数，/.m2=2,解得m二,・・•当x>0吋，y随x的增大而减小，/.m+1<0, m= - , m=(不符合题意，舍)；(2)当x=0 时，y 最大.点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质.21. 已知是x的二次函数，求出它的解析式.考点：二次函数的定义.分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可.解答：解：根据二次函数的定义可得:m2 - 2m - 1=2, JL m2 - m#0,解得，m=3或m二・1；当m=3 时,y=6x2+9；当m二・ 1 吋，y=2x2 - 4x+1 ；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2・4x+1.点评：本题考查二次函数的定义.一般地,形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常数,a#0）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项• y=ax2+bx+c （a b、c 是常数，a^O）也叫做二次函数的一般形式.22. 如果函数y= （m - 3） +mx+1是二次函数，求m的值.考点：二次函数的定义.专题：计算题.分析：根据二次函数的定义：一•般地，形如y二axJbx+c （a、b、c是常数，aHO）的函数，即可答题. 解答：解:根据二次函数的定义：m2・3m+2=2,且m・3定0,解得:m=0.点评：本题考査了二次函数的定义，属于基础题，比较简单,关键是对二次函数定义的掌握。

2023北京中考数学备考微专题——二次函数“新定义”1．在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于点A，E的“伴随抛物线”．（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为；（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．3．定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x ﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．4．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．5．定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x 上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2+2x+1和抛物线C3：y＝2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．6．定义：若点P（a，b）在函数y＝的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2+bx称为函数y＝的一个“二次派生函数”．（1）点（2，）在函数y＝的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数”y＝ax2+bx经过点（1，2），求a，b的值；（3）若函数y＝ax+b是函数y＝的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系xOy中，同时画出“一次派生函数”y＝ax+b和“二次派生函数”y＝ax2+bx的图象，当﹣4＜x＜1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标．。

二次函数压轴题之新定义问题（二）（讲义） 知识点睛解决新定义问题时常考虑：①回归新定义，给什么，用什么；将新定义与所给问题信息结合分析转化；②将新定义图形结构化、模型化，利用其相关特征、性质解决问题．精讲精练1.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．2.【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”．如图1，点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l ：2y =-即为抛物线1y 的“准线”．可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上．【理解】如图1，N (m ，n )是抛物线21114y x =-上的任一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为点H ．①计算：当m=0时，NH=______，NO =_______；当m =4时，NH=_______，NO =_______．②证明：无论m 取何值，NO =NH ．【应用】（1）如图2，“焦点”为F (0，1)的抛物线2214y x =的准线为直线l ，经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠（）与抛物线交于点M ，N ，过点M 作MQ ⊥l 于点Q ，过点N 作NH ⊥l 于点H ．①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________；②计算求值：11MQ NH+=____________；③记QH 的中点为G ，连接GM ，GN ，试证明∠MGN =90°．（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线33y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式．图1图2图33.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P′，满足CP +CP′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C 重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P 在直线2y x =-+上时，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1时，直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为1325-<-，所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．（2）已知C 是直线3+34y x =上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图1图2图3【参考答案】1.（1）①2；②C 1(3，2)1AC l ⇒：y =x -1；C 2(3，-2)2AC l ⇒：y =-x +1（2）-5≤m ≤-1或1≤m ≤52.①1，1，5，5；②证明略（1）①y =-1；②1；③证明略（2）2313()324y x =++或2313()324y x =---3.（1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)②0＜x P ＜2（2）2≤x C ≤84.（1）①B (0，2)；②12（2）①最小值为87，此时点C 坐标为815()77-，②最小非常距离为1，34()55E -，，89()55C -，。

2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．=S△AB P的Q点(异于点P)的（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线。

2020最新人教版九年级上册二次函数题型分类总结二次函数题型分类总结题型1：二次函数的定义二次函数的定义要求二次项系数不为0，且表达式必须为整式。

下列函数中，是二次函数的是：①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；⑥y=mx2+nx+p；若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为多少？已知函数y=(m－1)x/(m2＋1)+5x－3是二次函数，求m的值。

题型2：二次函数的对称轴、顶点、最值二次函数的对称轴、顶点、最值是常考点。

解析式为顶点式y=a(x－h)2+k时，最值为k；解析式为一般式y=ax2+bx+c 时，最值为4ac-b2/4a。

下面是一些例题：1.抛物线y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝。

2.抛物线y＝x2＋3x的顶点在（）。

3.若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）。

4.若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向和对称轴的情况是（）。

5.已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_。

6.抛物线y=x2+2x－3的对称轴是（）。

7.若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m ＝（）。

8.已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值，则m＝（）。

9.已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.10.已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝（）。

题型3：函数y=ax2+bx+c的图象和性质抛物线的图象和性质也是常考点。

下面是一些例题：1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是（）。

2.抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是（），顶点坐标是（）。

3.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y 轴的交点坐标为（，3）的抛物线的解析式。

4.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：11注意：文章中出现的一些符号可能无法正确显示，如有需要，请以纯文本形式查看。

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一新定义型二次函数--关联抛物线】【类型二新定义型二次函数--友好二次函数】【类型三新定义型二次函数--衍生抛物线】【类型四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【类型五新定义型二次函数--孔像抛物线】【类型六新定义型二次函数--伴随抛物线】【类型七新定义型二次函数--美丽抛物线】【类型八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【类型一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D6，-1．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；【变式训练】1新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”，例如，抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1已知抛物线C1：y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“关联抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．(1)若点E的坐标为0,-1，求C1的解析式；(2)设C2的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2，于点M，N．①当MN=6时，求点P的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【类型二新定义型二次函数--友好二次函数】1若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=-2x 2+4x +2与抛物线C 2：y =-x 2+mx +n 为“友好抛物线”．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ +OQ 的最大值；(3)设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为-1,4 ，问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB ，且点B 恰好落在抛物线C 2上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式训练】1定义：若抛物线L 2:y =mx 2+nx m ≠0 与抛物线L 1:y =ax 2+bx a ≠0 的开口大小相同，方向相反，且抛物线L 2经过L 1的顶点，我们称抛物线L 2为L 1的“友好抛物线”．(1)若L 1的表达式为y =x 2-2x ，求L 1的“友好抛物线”的表达式；(2)已知抛物线L 2:y =mx 2+nx 为L 1:y =ax 2+bx 的“友好抛物线”．求证：抛物线L 1也是L 2的“友好抛物线”；(3)平面上有点P 1,0 ，Q 3,0 ，抛物线L 2:y =mx 2+nx 为L 1:y =ax 2的“友好抛物线”，且抛物线L 2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L 2与线段PQ 没有公共点时，求a 的取值范围．2【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L1:y=ax2-4ax+1与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为0<m<2，它们关于L1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C，CB．①若a=3，且四边形BB C C为正方形，求m的值；②若m=1，且四边形BB C C邻边之比为1:2，直接写出a的值．【类型三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点-1,0成中心对称，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c a≠0为中心，作该抛物线关于点M对称，以y轴上的点M0,m的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点0,m的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b a≠0．①若抛物线y的衍生抛物线为y =bx2-2bx+a2b≠0，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点0,k+12的衍生抛物线为y2，其的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点0,k+22顶点为A2；⋯；关于点0,k+n2的衍生抛物线为y n，其顶点为A n，⋯(n为正整数)．求A n A n-1的长(用含n的式子表示)．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M 成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n 为正整数)，直接写出A n A n +1的长(用含n 的式子表示)．【类型四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【变式训练】1定义：关于x 轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2.(1)求抛物线y =-12x 2+x +1的“同轴对称抛物线”.(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L :y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB .①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值.②在①的条件下，抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数y =x -1相交于点M 和点N (其中M 在N 的左边)，将抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L 与一次函数y =x -1相交于点P 和点Q (其中P 在Q 的左边)，满足PM +QN =MN ，在抛物线L 上有且仅有三个点R 1、R 2、R 3，使得△MNR 1、△MNR 2、△MNR 3的面积均为定值S ，求R 1、R 2、R 3的坐标.【类型五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3 O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3O4,0C3,1A2,0D1,-3⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【变式训练】1二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A．感知特例(1)当m=1时，如图1，抛物线L:y=x2-2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如下表：⋯B-1,3⋯A(___，___)D3,3O0,0C1,-1⋯B 5,-3D 1,-3⋯C 3,1A 2,0O 4,0①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．形成概念我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L 是L的“孔像抛物线”．例如，当m=-2时，图2中的抛物线L 是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题(2)①当m=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L ，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是．(填“y=ax2+bx+c”或“y= ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”，其中abc≠0)；③若二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，求m的值．【类型六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x ≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=(x+1)2x≤0就是关于直线x=0(y轴)的与抛物线y=(x-1)2x≥0一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【类型七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【变式训练】1定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如y=-x+32+2与y=x-32-2互为美丽函数．(1)求y=-2x2+4x-1的美丽函数的表达式；(2)若y1=x2+2x+c的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数y2=-x+h2+k的图像的顶点Q．①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q；②点M是y1=x2+2x+c在P，Q之间的图像的动点，MN⊥x轴交y2=-x+h2+k的图像于点N，求MN长度的最大值．【类型八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,⋯,P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1,C2,C3,⋯,C n，其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,⋯,-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,⋯,A n连接C n A n,C n-1A n-1，判断C n A n,C n-1A n-1是否平行？并说明理由．【变式训练】1在平面直角坐标系中，有系列抛物线y n=-14nx2-34nx+n+1(n为正整数)．系列抛物线的顶点分别为M1，M2，M3，⋯，M n．(1)下列结论正确的序号是．①系列抛物线的对称轴是直线x=-3 2；②系列抛物线有公共交点-4,1和1,1；③系列抛物线都是由抛物线y=-14x2平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；(2)对于任意一条与x轴垂直的直线x=a，与系列抛物线的交点分别为N1，N2，N3，⋯，N n．①当a=0时，N n N n-1=；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离N n N n-1；若不相等，说明理由；③以N n N n-1为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．2我们把抛物线：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，某同学经历如下过程：【特例求解】(1)当n=1时，抛物线y1的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；(2)当n=2时，抛物线y2的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；(3)当n=3时，抛物线y3的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；【性质探究】(4)那么抛物线：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)的下列结论正确的是(请填入正确的序号)．①抛物线与x轴有两个交点；②抛物线都经过同一个定点；③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；④所有抛物线y n的顶点都在抛物线y=x2上．【知识应用】若“拉手系列抛物线”：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)，y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，⋯，yn与x轴交于点A n-1,A n，顶点为Dn．(5)求线段A n-1A n的长(用含n的式子表示)；(6)若△D1OA1的面积与△D k A k-1A k的面积比为1:125，求y k的解析式．。

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题【考点导航】目录【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1)．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，点F(-6，3)在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】(1)A(-2，-1)，B(2，3)；抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2(2)存在，点E的坐标E(6，-1)或E(10，-13)(3)-2≤x≤2，当t=2时，S的最大值为16【分析】(1)将抛物线C 1改为顶点式可得A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入y 2=ax 2+x +c ，求得y 2=-14(x -2)2+3，即可求出B (2，3)；(2)易得直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE⊥AB ，E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 ，不符合题意；(3)由y 1≤y 2，得-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，易求直线AF 的解析式：y =-x -3，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，S 1=12t 2+4t +6，设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=2-12t 2，所以S =S 1+S 2=4t +8，即当t =2时，S 的最大值为16．【详解】(1)抛物线C 1：y 1=14x 2+x =14(x +2)2-1∴A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入抛物线C 2：y 2=ax 2+x +c ，得：4a -2+c =-136a +6+c =-1 ，解得：a =-14c =2 ，∴y 2=-14x 2+x +2=-14(x -2)2+3，∴B (2，3)；(2)设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则-2k +b =-12k +b =3 ，解得：k =1b =1∴直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，k BE ·k AB =-1，∴k BE =-1，故可设直线BE 解析式为y =-x +b ，将B 点坐标代入，得：3=-2+b ，解得：b =5，直线BE 解析式为y =-x +5．联立y =-x +5y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=2y 1=3 ，x 2=6y 2=-1，∴E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，同理得AE 解析式：y =-x -3．联立y =-x -3y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=-2y 1=-1 ，x 2=10y 2=-13，∴E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 由AE ⊥BE 得k BE ·k AE =-1，即-14m 2+m -1m -2⋅-14m 2+m +1m +2=-1，整理，得：(m +2)(m -2)[(m -2)(m -6)+16]=0，∴m +2=0或m -2=0或(m -2)(m -6)+16=0(无解)，∴解得m =2或-2(不符合题意舍去)，∴点E 的坐标E (6，-1)或E (10，-13)；(3)∵y 1≤y 2，∴-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，设直线AF 的解析式为y =mx +n ，则-2m +n =1-6m +n =3 ，解得：m =-1n =-3∴直线AF 的解析式：y =-x -3，如图，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则Q -14t 2-t -3，14t 2+t ，∴S 1=12QM •y F -y A =12t 2+4t +6．设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=12PN •|x A -x B |=2-12t 2，∴S =S 1+S 2=4t +8，∴当t =2时，S 的最大值为16．【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)新定义：我们把抛物线y =ax 2+bx +c (其中ab ≠0)与抛物线y =bx 2+ax +c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“关联抛物线”为：y =3x 2+2x +1．已知抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2．(1)写出C 2的解析式(用含a 的式子表示)及顶点坐标；(2)若a >0，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线C 1，C 2于点M ，N ．①当MN =6a 时，求点P 的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0 ，顶点为-2，-3 (2)①P -1,0 或2,0 ；②a =2-2或a =2．【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3 ，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2，根据题意可得，C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3(2)解：①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3∴MN =4ap 2+ap +4a -3-ap 2+4ap +4a -3=3ap 2-3ap∵MN =6a∴3ap 2-3ap =6a∵a ≠0∴p 2-p =±2当p 2-p =2时，解得p 1=-1，p 2=2当p 2-p =-2时，方程无解∴P -1,0 或2,0②∵C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3 ，对称轴为x =-2∵a >0，∴a -2>-2当-2 -a -4 ≥a -2--2 时，即a ≤1时，函数的最大值为a a -4+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a a -2 2=2a∵a ≠0∴a -2=±2解得a 1=2-2,a 2=2+2(a ≤1，舍去)∴a =2-2当-2 -a -4 <a -2--2 时，且a -4<-2即1<a <2时，函数的最大值为a a -2+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3=2a∵a ≠0∴a =±2解得a 1=2,a 2=-2(1<a <2，舍去)∴a =2当a -4≥-2时，即a ≥2时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为a a -2+2 2-3=a 3-3，最小值为a a -4+2 2-3=a a -2 2-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3-3-a a -2 2+3=2a即a 3-a a -2 2-2a =0∵a ≠0即a 2-a -2 2-2=0解得a =32(a ≥2舍去)综上所述，a =2-2或a =2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】1(2023·贵州遵义·统考三模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5．(1)函数y =-2x 2+2x +1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．(2)已知二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4(其中a ≠0且a ≠1且a ≠12)，其友好同轴二次函数记为C 2．①若函数C 1的图象与函数C 2的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标)，求线段AB 的长；②当-3≤x ≤0时，函数C 2的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线x =12，y =3x 2-3x +1(2)①4；②-1或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数C 2，联立函数C 1，C 2，解方程可求出点A ,B 的坐标，由此即可得；②分a <1且a ≠0且a ≠12、a >1两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：函数y =-2x 2+2x +1=-2x -12 2+32的对称轴为直线x =12，因为1--2 =3，所以设函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x -12 2+m =3x 2-3x +34+m ，所以34+m =1，解得m =14，所以函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x 2-3x +1，故答案为：直线x =12，y =3x 2-3x +1．(2)解：①二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4=a x +2 2+4-4a ，则设C 2:y =1-a x +2 2+b =1-a x 2+41-a x +4-4a +b ，所以4-4a +b =4，解得b =4a ，所以C 2:y =1-a x 2+41-a x +4，联立y =ax 2+4ax +4y =1-a x 2+41-a x +4 得：2a -1 x 2+42a -1 x =0，解得x =0或x =-4，当x =0时，y =4；当x =-4时，y =16a -16a +4=4，所以A -4,4 ,B 0,4 ，所以AB =0--4 =4；②函数C 2:y =1-a x 2+41-a x +4=1-a x +2 2+4a 的对称轴为直线x =-2，(Ⅰ)当a <1且a ≠0且a ≠12时，抛物线的开口向上，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而减小；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而增大，则当x =-2时，y 取得最小值，最小值为4a ，当x =0时，y 取得最大值，最大值为4，所以4-4a =8，解得a =-1，符合题设；(Ⅱ)当a >1时，抛物线开口向下，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而增大；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而减小，则当x =-2时，y 取得最大值，最大值为4a ，当x =0时，y 取得最小值，最小值为4，所以4a -4=8，解得a =3，符合题设；综上，a 的值为-1或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其“友好对称二次函数”L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为0<m <2 ，它们关于L 1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C ，CB ．①若a =3，且四边形BB C C 为正方形，求m 的值；②若m =1，且四边形BB C C 邻边之比为1:2，直接写出a 的值．【答案】(1)y =43x 2，y =23x 2+2x -5；(2)①②③；(3)①m 的值为11-1015；②a 的值为-16或76或13或23【分析】(1)根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同，据此求解即可；(2)根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；(3)①根据题意可得：二次函数L 1：y =3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =-2x 2+8x +1，点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据四边形BB C C 为正方形，得出方程求解即可；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据题意：四边形BB C C 的邻边之比为1：2，得出BC =2BB 或BB =2BC ，求解即可得．【详解】解：(1)∵a =1--13 =43，∴函数y =-13x 2的“友好对称二次函数”为y =43x 2；a =1-13=23，原函数的对称轴为：x =-12×13=-32，∴-b 2×23=-32，∴b =2，c =-5，∴函数y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为y =23x 2+2x -5，,故答案为：y =43x 2；y =23x 2+2x -5；(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵1÷2=12，∴二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =1-a x 2-21-a x +3，③正确；若y =12x 2+x +1，则其“友好对称二次函数”为y =12x 2+x +1，此时这两条抛物线与x 轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；(3)二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a=2，其“友好对称二次函数”L 2：y =1-a x 2-41-a x +1．①∵a =3，∴二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =1-a x 2-41-a x +1=-2x 2+8x +1，∴点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，∴点B 的坐标为4-m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为4-m ,-2m 2+8m +1 ，∴BC =-2m 2+8m +1-3m 2-12m +1 =-5m 2+20m ，BB =4-m -m =4-2m ，∵四边形BB C C 为正方形，∴BC =BB ，即-5m 2+20m =4-2m ，解得：m 1=11-1015，m 2=11+1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11-1015；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，∴点B 的坐标为3,-3a +1 ，点C 的坐标为3,3a -2 ，∴BC =3a -2--3a +1 =6a -3 ，BB =3-1=2，∵四边形BB C C 的邻边之比为1：2，∴BC =2BB 或BB =2BC ，即6a -3 =2×2或2=26a -3 ，解得：a 1=-16，a 2=76，a 3=13，a 4=23，∴a 的值为-16或76或13或23．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y =-x 2+bx -3经过点-1,0 ，则b =，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 ，以y 轴上的点M 0,m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．(2)已知抛物线y =-x 2-2x +5关于点0,m 的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 ．①若抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点0,k +12 的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点0,k +22 的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；⋯；关于点0,k +n 2 的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ，⋯(n 为正整数)．求A n A n -1的长(用含n 的式子表示)．【答案】(1)-4；-2,1 ；y =x 2-4x +5；(2)m ≤5(3)①a =3b =-3 ；衍生中心的坐标为0,6 ；②4n -2【分析】(1)把-1,0 代入y =-x 2+bx -3即可求出b =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于0,1 的对称点，从而可写出原抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y =-x 2-2x +5的顶点是-1,6 ，从而求出-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，得y '=x -1 2+2m -6，根据两抛物线有交点，可以确定方程-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，继而求得m 的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 以及抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出B 1B 2，B 2B 3⋯ B n B n +1分别是AA 1A 2，△AA 2A 3⋯△AA n A n +1的中位线，继而可得A 1A 2=2B 1B 2，A 2A 3=2B 2B 3，⋯A n A n +1=2B n B n +1，再根据点的坐标即可求得A n A n -1的长，即可求解．【详解】(1)解：把-1,0代入y =-x 2+bx -3，得b =-4，∴y =-x 2-4x -3=-x +2 2+1，∴顶点坐标是-2,1 ，∵-2,1 关于0,1 的对称点2,1 ，∴成中心对称的抛物线表达式是：y =x -2 2+1，即y =x 2-4x +5，故答案为：-4，-2,1 ，y =x 2-4x +5；(2)∵y =-x 2-2x +5=-x +1 2+6，∴顶点是-1,6∵-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，∴y '=x -1 2+2m -6，∵两抛物线有交点，∴-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，∴x 2=5-m 有解，∴5-m ≥0，∴m ≤5；(3)①∵y =ax 2+2ax -b =a x +1 2-a -b ，∴顶点-1,-a -b ，代入y =bx2-2bx+a2得：b+2b+a2=-a-b①∵y =bx2-2bx+a2=b x-12+a2-b，∴顶点1,a2-b，代入y=ax2+2ax-b得：a+2a-b=a2-b②由① ②得a2+a+4b=0 a2-3a=0，∵a≠0，b≠0，∴a=3b=-3 ，∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是0，6；②如图，设AA1，AA2⋯AA n，AA n+1与y轴分别相于B1，B2⋯ B n，B n+1，则A,A1，A,A2，⋯A,A n，A,A n+1分别关于B1，B2⋯B n，B n+1中心对称，∴B1B2，B2B3⋯ B n B n+1分别是△AA1A2，△AA2A3⋯△AA n A n+1的中位线，∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，⋯A n A n+1=2B n B n+1，∵B n0，k+n2，B n-10，k+n-12，∴A n A n-1=2B n B n-1=2k+n2-k-n-12=4n-2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n为正整数)，直接写出A n A n+1的长(用含n的式子表示)．【答案】(1)b=-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)m≤5；(3)4n+2【分析】(1)利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点(0，-3)，求出点(-2，1)和(0，-3)关于(0，1)的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；(2)求出抛物线的顶点坐标(-1，6)，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；(3)求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴(0，-3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，∵点(0，5)在新抛物线上，∴5=a(0-2)2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5，故答案为-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)∵抛物线y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m ≤5；(3)抛物线y =ax 2+2ax -b 的顶点坐标为(-1，-a -b )，∵点(-1，-a -b )关于点(0，k +n 2)的对称点为(1，a +b +2k +2n 2)，∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a +b +2k +2n 2)，同理：A n +1(1，a +b +2k +2(n +1)2)∴A n A n +1=a +b +2k +2(n +1)2-(a +b +2k +2n 2)=4n +2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【答案】(1)1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32(2)①a =23；②34<a ≤1或-14≤a <-15【分析】(1)根据顶点式y =a x -h 2+k 的顶点坐标为h ，k ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；(2)①写出点B 的坐标，再由对称轴求出点B ，然后结合正方形的性质列出方程求a ；②先由对称性分析得到封闭区域内在x 轴上整点的个数，然后针对抛物线L 开口的不同进行分类讨论．【详解】(1)解：由y =x -1 2-2知顶点坐标为1，-2 ，由y =-x -1 2+2知顶点坐标为1，2 ，∴抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为y =12x -1 2-32；故答案为：1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32．(2)①当x =1时，y =1-3a ，∴B 1，1-3a ，∴C 1，3a -1 ，∴BC =1-3a -3a -1 =2-6a ，∵抛物线L 的对称轴为直线x =--4a 2a=2，∴点B 3，1-3a ，∴BB =3-1=2，∵四边形BB C C 是正方形，∴BC =BB ，即2-6a =2，解得：a =0(舍)或a =23．②抛物线L 的对称轴为直线x =2，顶点坐标为2，1-4a ，∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称，∴整点数也是关于x 轴对称出现的，∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个，L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i )当a >0时，∵L 开口向上，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x =1时，-2≤1-3a <-1，当x =2时，-3≤1-4a <-2，解得：34<a ≤1；(ii )当a <0时，∵L 开口向下，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x =2时，1<1-4a ≤2，当x =-1时，5a +1<0，解得：-14≤a <-15，综上所述：34<a ≤1或-14≤a <-15．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3 O 4,0 C 3,1 A 2,0 D1,-3 ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【答案】(1)①2,0；②见解析；(2)①-3≤x ≤-1；②±1；③y =18x 2【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m ，-m 2 ，则图象L ′的顶点为P 3m ,m 2 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，再由抛物线M 与L 有唯一交点，分两种情况：当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时符不符合题意；当a ≠-1时，有Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，根据当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m 取任意实数时，上述等式成立，从而得到36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，即可求解．【详解】(1)解：①∵点B-1,3与点B 5,-3关于点A中心对称，∴点A的坐标为-1+52,-3+32，即A2,0 ，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：(2)解：①当m=-1时，抛物线L为y=x2+2x，对称轴为x=-1，∴它的“孔像抛物线”L 的解析式为y=-x+2x+4，对称轴为x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②L：y=x2-2mx=x-m2-m2，设顶点为P m，-m2，过点P作PM⊥x轴于点M，“孔像抛物线”L 的顶点为P ，过点P 作P M ⊥x轴于点M ，由题意得：△PMA≌△P M A，∴M 3m,0，∴P 3m,m2，∵抛物线L及“孔像抛物线”L 与直线y=m有且只有三个交点，∴-m 2=m 或m 2=m ，解得m =m =±10，当m =0时，y =x 2与y =-x 2只有一个交点，不合题意，舍去，∴m =±1．③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，∴设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，∴a x 2+b x +c =-x 2+6mx -8m 2，整理得：a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，∵抛物线M 与L 有唯一交点，当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当a ≠-1时，Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，即b 2-12b m +36m 2-4a +1 ⋅8m 2-4c a +1 =0，整理得：36-32a +1 m 2-12b m +b 2-4c a +1 =0，∵当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m 取任意实数时，上述等式成立，∴36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，解得：a =18b =0c =0，∴该函数解析式为y =18x 2．故答案为：y =18x 2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x =a 成轴对称，当x ≤a 时，取顶点x =a 左侧的抛物线的部分；当x ≥a 时，取顶点在x =a 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x =a 的一对伴随抛物线．例如：抛物线y =(x +1)2x ≤0 与抛物线y =(x -1)2x ≥0 就是关于直线x =0(y 轴)的一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【答案】(1)y=(x-4)2+3x≥1.5(2)①m=2；②14-52或14+52；③m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【分析】(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；③当B点在x轴下方时，抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，求出此时m的取值范围便可．【详解】(1)∵抛物线y=(x+1)2+3(x≤1.5)的顶点坐标(-1,3)，∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)2+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx2-2m2x+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m2+2，∴m=0(舍去)，m=2，∴m=2；②如图1和图2，∵∠AOB =90°，∴点B 在x 轴上，∴点B 的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y =mx 2-2m 2x +2中，得16m -8m 2+2=0，解得，m =2+52或2-52，∵y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为：x =--2m 22m=m ，即抛物线y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为2+52或2-52，则抛物线y =mx 2-2m 2x +2关于直线x =4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：4+4-2+52 =14-52，或4+4-2-52 =14+52，∴ “伴随抛物线”的顶点横坐标为14-52或14+52；③如图3和图4，∵点C 、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，A (0,2)，抛物线y =mx 2-2m 2x +2及其关于直线x =4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，∴点B 在x 轴下方，设B (4,n )，则n <0，把B (4,n )代入y =mx 2-2m 2x +2中，得n =16m -8m 2+2，∴n =16m -8m 2+2<0，∴由二次函数n =16m -8m 2+2图象可知，当m <0时，若n <0，则m <2-52；当m >0时，若n <0，则m >2+52．又∵m ≠4，∴m >2+52且m ≠4，故m <2-52或m >2+52且m ≠4．当点B 在线段AC 上时，16m -8m 2+2=2，解得m =2，此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，当点B 在AC 的上方，抛物线的顶点在AC 与OD 之间时，符合题意，则有16m-8m2+2>2-m3+2>0，解得，0<m<32，综上所述，满足条件的m的值为m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【答案】(1)-2，-4；(2)ak=-2；(3)成立，理由见解析；(4)-18或-9或-6【分析】(1)先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)同(1)的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；(3)分a<0，a>0两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，根据题意得出k s:k t=1:2，从而得出s:t=1:2，根据题中s,t的范围得出s,t的值，再得出k的值，然后由ak=-2即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+1中，令x=0，则y=1，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-12,1 2，D12,12或B12,12，D-12,12，∴将12,1 2代入抛物线y=ax2+1中，得1 4a+1=12，解得：a=-2；∵抛物线y=12x2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=12x2+k中，得1 2×k24+k=k2，解得：k1=0(不合题意，舍去)；k2=-4，∴k=-4；故答案为：-2，-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=ax2+k中，得a×k24+k=k2，解得：ak=-2，k2=0(不合题意，舍去)；∴ak=-2；(3)a，k数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，正方形ABCD，又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD=k，BD⊥AC，∴点D的坐标为h+k2,k 2，∵点D在抛物线y=a x-h2+k a≠0，∴k 2=a h+k2-h2+k，解得-k2=ak24，∴ak=-2；当a>0时，同理可得ak=-2．∴若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，a，k数量关系仍为ak=-2；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，∵系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，∴k n≥0，∵美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t的内接正方形的面积之比为1：4，∴k s:k t=1:2，∵s,k s，t,k t在直线y=16x上，∴s:t=1:2，∵s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6，∴s=1t=2或s=2t=4或s=3t=6，∴k s=16k t=13或k s=13k t=23或k s=12k t=1，∵ak=-2，∴a s=-12a t=-6或a s=-6a t=-3或a s=-4a t=-2，∴a s+a t=-18或-9或-6．【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n =-x 2-nx +1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1,P 2,P 3,⋯,P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1,C 2,C 3,⋯,C n ，其横坐标分别为-k -1,-k -2,-k -3,⋯,-k -n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y =1分别交“系列平移抛物线”于点A 1,A 2,A 3,⋯,A n 连接C n A n ,C n -1A n -1，判断C n A n ,C n -1A n -1是否平行？并说明理由．【答案】(1)①②③；(2)①P n -n 2,n 24+1 ，y =x 2+1，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③C n A n 与C n -1A n -1不平行,理由见解析【分析】(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，③当y =1时，则-x 2-x +1=1，可得x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，可得x =0或x =-2；-x 2-3x +1=1，可得x =0或x =-3；所以相邻两点之间的距离都是1，(2)①y n =-x 2-nx +1的顶点为-n 2，n 2+44，可得y =x 2+1；②横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，⋯，-k -n (k 为正整数)，当x =-k -n 时，y =-k 2-nk +1，纵坐标分别为-k 2-k +1，-k 2-2k +1，-k 2-3k +1，⋯，-k 2-nk +1，相邻两点间距离分别为1+k 2；③由题可知C n (-k -n ,-k 2-nk +1)，C n -1(-k -n +1,-k 2-nk +k +1)，A n (-n ,1)，A n -1(-n +1,1)．比较∠DA n C n ≠∠EA n -1C n -1，即可得出结论C n A n 与C n -1A n -1不平行．.【详解】解：解：(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；①正确；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，由x =-12向左移动12得到x =-1，再向左移动12得到x =-32，②正确；③当y =1时，则-x 2-x +1=1，∴x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，。

专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1．（2021•雅安）定义：min{a，b}=a(a≤b)b(a＞b)，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）A．0B．2C．3D．42．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（ ）A．0＜a＜2B．0＜a≤2C．﹣2＜a＜0D．﹣2≤a＜03．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC 有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）A．4，﹣1B．5―172，﹣1C．4，0D．5+172，﹣14．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A．当m＝2时，函数图象的顶点坐标为（―32，―254）B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3C．当m＜0时，函数在x＜12时，y随x的增大而增大D．不论m取何值，函数图象经过两个定点5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（ ）A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤126．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）A．c＜﹣3B．c＞―14C．﹣3＜c＜﹣2D．﹣2＜c＜147．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）A．16B．4C．﹣12D．﹣188．（2021•河南模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m的值为（ ）A．﹣2B．14C．﹣2或2D．29．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜―12D．﹣2≤a＜010．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．111．（2021•东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“❤”定义一种运算，对任意实数m、n和抛物线y＝ax2，当y＝ax2❤（m，n）后都可得到y＝a（x﹣m）2+n．当y＝x2❤（m，n）后得到了新函数的图象（如图所示），则n m＝ ．12．（2021•天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a⊗b=ab(a≥3b)2a―b―2(a＜3b)，例如：4⊗1＝4×1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是 ．13．（2020春•江岸区校级月考）定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，3}＝1，min{﹣2，1}＝﹣2．若关于x的函数y＝min{﹣x2+4x，kx﹣2k+2}的最大值为3，则k＝ ．14．（2021•武汉模拟）定义x轴上横坐标为整数的点叫“整点”，例如（1，0）、（﹣3，0）都是“整点”．已知抛物线y＝2x2﹣3ax+a2与x轴交于A、B两点，且抛物线对称轴位于y轴左侧，若线段AB上有2个“整点”（不包含A、B两点），则a的取值或取值范围是 ．15．（2021秋•康巴什期中）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为 ．16．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）．抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ．17．（2021•吴兴区校级三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数y＝2x2﹣5x﹣7和y＝﹣x2+3x+4的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”y＝x2﹣mx+1﹣2k与坐标轴只有两个公共点，则k的值 ．18．（2021•庆云县二模）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=y(x≥0)―y(x＜0)，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值是 ．19．（2021秋•武汉月考）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C2，定义抛物线C1和C2上位于﹣2≤x≤2范围内的部分为图象C3．若一次函数y＝kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象C3有两个交点，则k的范围是： ．20．（2021•九江二模）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y=15x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）　（n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1＝d（0＜d＜1），当d为 时，这组抛物线中存在直角抛物线．21．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1．（1）若k＝2，则新函数y＝ ；（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ ，b＝ ；（3）设新函数y顶点为（m，n）．①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；②求n与m的函数解析式．22．（2021•雨花区一模）定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y=ax2+bx+c，(x≥0)ax2―bx―c，(x＜0)为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G．（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．①写出这个函数的“相依函数” ；②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为 ；（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设函数y=―12x2+nx+1（n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y0≤9时，求出n的取值范围．23．（2021春•东湖区校级月考）在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），则它的特征点坐标是 ；（2）若抛物线L1：y＝ax2+bx的位置如图所示：①抛物线L1：y＝ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ；②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．24．（2021•苏州二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．25．（2021•长沙模拟）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴的交点C的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为“M 函数”．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，则称y＝x2+2x﹣3为“M函数”．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为“M函数”，并说明理由；（2）请探究“M函数”y＝x2+bx+c（c≠0）表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是“M函数”，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．26．（2020秋•任城区期末）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．27．（2021•北仑区一模）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．28．（2021•开福区模拟）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y=―x+1(x＜0) x―1(x≥0)．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x―1 2．①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x―12的相关函数的最大值和最小值．29．（2021春•海曙区校级期末）定义：若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴的两个不同交点A、B的横坐标为x A、x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A、x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为和谐函数．例如，函数y＝x2+2x﹣3就是一个和谐函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为和谐函数，答： （填“是”或“不是”）；（2）请探究和谐函数y＝ax2+bx+c表达式中的a、b、c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是和谐函数，当∠ACB＝90°时，求出c的值；（4）若和谐函数y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B两点，点P（0，m）是y轴正半轴上一点，当∠APB＝45°时，直接写出m的值 ．30．（2021春•渝北区校级月考）如图①，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．（1）若l：y＝﹣2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 ．（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y=―1kx2﹣x+2k是否“互为纠缠线”．（3）如图②，若纠缠直线l：y＝﹣2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q 在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．。

专题训练与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是________．3．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的表达式．►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C 的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．6．在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－2 33x2－4 33x＋2 3与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A的坐标为________，点B的坐标为________．(2)如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．►类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．详解详析1．(1，0) [解析] 解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，所以AB＝4，所以点M的坐标为(1，0)．2．8 [解析] ∵二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，∴－b2×1＝0，∴b＝0，∴函数表达式为y＝x2－4，令y＝0，则x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝2－(－2)＝4.令x＝0，则y＝－4，∴点P的坐标为(0，－4)，∴△ABP的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．(答案不唯一)(2)y＝2(x－2)2＋1 y＝a(x＋h)2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y＝a(x ＋3)2＋4，将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8， 解得a ＝49，故y ＝49(x ＋3)2＋4，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝－49(x ＋3)2－4和y ＝－49(x －3)2－4.4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y ＝－(x 2－2bx ＋b 2)＋b 2＋c ＋1＝－(x －b)2＋b 2＋c ＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b ，b 2＋c ＋1)．因为抛物线过定点M(1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b ＋c ＋1＝1，解得c ＝1－2b ，则顶点纵坐标b 2＋c ＋1＝b 2＋1－2b ＋1＝(b －1)2＋1，所以当b ＝1时，b 2＋c ＋1的值最小为1，此时c ＝1－2b ＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x.5．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)． (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A(0，0)． 如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G.∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，PA ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∴∠PAG＝60°，∴AB＝2PA＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－3 3，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋4 33x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋4 33x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋4 33x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m2－4m＝0，解得m＝0或4.②∵抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q＝3.∵抛物线y＝x2－3x＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y＝x2＋px＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(1－p，4－p)，∴CD2＝(1－p－0)2＋(4－p－3)2＝2(1－p)2.∵AB＝CD，∴2(1－p)2＝32，∴p＝5或－3.∵抛物线y＝x2＋px＋3与抛物线y＝x2－3x＋3不重合，∴p＝－3不合题意，应舍去，∴p＝5.7．解：(1)y＝－2 33x＋2 33(－2，2 3) (1，0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0)．过点A作AG⊥y轴，垂足为G. 当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”．设N(0，n)，∵A(－2，2 3)，C(－3，0)，∴AC＝13，∴AN＝AC＝13.在Rt △AGN 中，AG 2＋GN 2＝AN 2，AG ＝2，GN ＝|n －2 3|， ∴4＋(n －2 3)2＝13，解得n ＝2 3－3或n ＝2 3＋3. 设M(m ，0)，当n ＝2 3－3时，在Rt △MNO 中，(2 3－3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2－2 3； 当n ＝2 3＋3时，在Rt △MNO 中，(2 3＋3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2＋2 3. ∵－3＜m ≤1，∴m ＝2＋2 3不合题意，舍去． ∴m ＝2－2 3，此时n ＝2 3－3， ∴N(0，2 3－3)；当点M 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”，此时点M 与点O 重合，在Rt △AGM 中，AG ＝2，GM ＝2 3， ∴AG GM ＝33，∴∠AMG ＝30°， ∴∠AMC ＝∠AMN ＝∠NMB ＝60°.过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，在Rt △NMP 中，MN ＝CM ＝3， ∴NP ＝3 32，OP ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32. 综上所述，点N 的坐标为(0，2 3－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32.(3)E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2 33； E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 2⎝⎛⎭⎪⎫－4，10 33. 8．解：(1)5 3(2)由题意可得3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.(3)由题意得⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2－2x －4， 解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y ＝－x ＋2的图象如图所示．由图象可知：当x ＝3时，max{－x ＋2，x 2－2x －4}有最小值－1.。

第一部分案例分析1．【最值问题】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，如下图中的函数，它的最大值是，最小值是﹣1，它也是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数和y＝x+1（x＞0）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b，a＜b）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求a的值及b的取值范围．【解答】解：（1）函数是有界函数，函数y＝x+1（x＞0）不是有界函数．对于函数有，所以其边界值为1．（2）∵函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b）是y随x的增大而减少的．＝3，即﹣2a﹣1＝3，解得a＝﹣2．∴当x＝a时，y最大值当x＝b时，y＝﹣2b﹣1．最小值∵边界值是3，∴﹣3≤﹣2b﹣1≤3∴﹣2≤b≤1∵b＞a，且a＝﹣2∴﹣2＜b≤12【直线与抛物线点交点问题】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x+1，y＝，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y＝2x2﹣bx①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为多少？【解答】解：（1）∵函数y＝x+1，令y＝x，则x+1＝x，无解；∴函数y＝x+1没有不变值；∵函数y＝，令y＝x，则x＝，解得：x＝±，∴函数y＝的不变值为±，q＝﹣（﹣）＝2，∵函数y＝x2﹣2，令y＝x，则x＝x2﹣2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴函数y＝x2﹣2的不变值为：2或﹣1，q＝2﹣（﹣1）＝3；（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，∵q＝0，∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，解得：b＝﹣1；②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝，∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2，∴1﹣0≤q≤2﹣0，∴1≤q≤2；（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．∴函数G的图象关于x＝m对称，∴G：y＝，∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，当△＜0，即m＜﹣时，q＝x4﹣x3＝3；当△≥0，即m≥﹣时，x5＝，x6＝，①当﹣≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，∴x6＜0，∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．3．【“关联抛物线”】如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A 与点B不重合），我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线．（1）一条抛物线的“友好”抛物线有D条．A.1B.2C.3D．无数（2）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式；（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0．【解答】解：（1）一条抛物线的“友好”抛物线有无数条，故选：D；（2）由L3：y＝2x2﹣8x+4化成顶点式，得y＝2（x﹣2）2﹣4，∴C（0，4），对称轴为x＝2，顶点坐标（2，﹣4）．∴点C关于对称轴x＝2的对称点D（4，4）设L4：y＝a（x﹣h）2+k将顶点D（4，4）代入得，y＝a（x﹣4）2+4再将点（2，﹣4）代入得，﹣4＝4a+4解得：a＝﹣2L3的友好抛物线L4的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2+4；（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0，故答案为：a1+a2＝0．4．【函数与几何综合问题】如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线抛物线m：y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，请求出a，b满足的关系式；（3）如图，△OAB是抛物线n：y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，∴“抛物线三角形”是等腰三角形；故答案为等腰；（2）∵y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为（2，b），把y＝0代入y＝a（x﹣2）2+b得a（x﹣2）2+b＝0，解得x＝2±，∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点的坐标为（2+，0），（2﹣，0），∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点之间的线段长＝2，∴|b|＝×2，∴b2＝﹣，∴ab＝﹣1；（3）存在．作AH⊥OB于H点，如图，把y＝0代入y＝﹣x2+b′x得﹣x2+b′x＝0，解得x1＝0，x2＝b′，∴B点坐标为（b′，0），∵y＝﹣x2+b′x＝﹣（x﹣）2+，∴A点坐标为（，），∵矩形ABCD以原点O为对称中心，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB为等边三角形，∴AH＝OB，∴＝b′，解得b′＝2，∴A点坐标为（，3），B点坐标为（2，0）∴C点坐标为（﹣，﹣3），D点坐标为（﹣2，0），设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y＝ax（x+2），把C（﹣，﹣3）代入得a•（﹣）（﹣+2）＝﹣3，解得a＝1，∴所求抛物线的表达式为y＝x（x+2）＝x2+2x．5．【函数变换问题】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关联点”中有一个在函数的图象上，那么这个点是B（填“点A”或“点B”）．（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”，那么点M的坐标为（﹣1，2）；②如果点N*（m+1，2）是一次函数y＝x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值是2．【解答】解：（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；②如果点A（3，﹣1）的关联点为（3，﹣1）；B（﹣1，3）的“关联点”为（﹣1，﹣3），一个在函数的图象上，那么这个点是B；故答案为：（2，1），B；（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是（﹣1，2），那么点M的坐标为（﹣1，2）；②当m+1≥0时，即：m≥﹣1，N（m+1，2），∴m+1+3＝2，∴m＝﹣2，不符合题意，当m+1＜0时，即：m＜﹣1，∴N（m+1，﹣2），∴m+1+3＝﹣2，∴m＝﹣6，∴N（﹣5，﹣2）故答案为：（﹣1，2）；（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，当﹣2＜x≤0时，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0；当x＞0时，y＝y′，即﹣4＜y≤4，﹣x2+4＞﹣4，解得x＜2，即0＜x＜2，综上所述：﹣2＜x＜2，函数图象如图所示：观察图象可知：“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的值为2，故答案为：2．第二部分专项训练专题训练1:最值问题1．设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p ≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式．【解答】解：（1）是；由函数y＝的图象可知，当1≤x≤2016时，函数值y随着自变量x的增大而减少，而当x＝1时，y＝2016；x＝2016时，y＝1，故也有1≤y≤2016，所以，函数y＝是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．（2）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：①当k＞0时，，解之得k＝1，b＝0．∴一次函数的解析式为y＝x．②当k＜0时，，解之得k＝﹣1，b＝m+n．∴一次函数的解析式为y＝﹣x+m+n．故一次函数的解析式为y＝x或y＝﹣x+m+n．2．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．（1）分别判断函数y＝﹣（x＜0）和y＝2x﹣3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．【解答】解：（1）根据有界函数定义，y＝﹣（x＜0）不是有上界函数；y＝2x﹣3（x ＜2）是有上界函数，上确界是1；（2）∵在y＝﹣x+2中，y随x的增大而减小，∴上确界为2﹣a，即2﹣a＝b，又b＞a，所以2﹣a＞a，解得a＜1，∵函数的最小值是2﹣b，∴2﹣b≤2a+1，得a≤2a+1，解得a≥﹣1，综上所述：﹣1≤a＜1；（3）函数的对称轴为x＝a，①当a≤3时，函数的上确界是25﹣10a+2＝27﹣10a，∴27﹣10a＝3，解得a＝，符合题意；②当a＞3时，函数的上确界是1﹣2a+2＝3﹣2a，∴3﹣2a＝3，解得a＝0，不符合题意．综上所述：a＝．3．我们常常用符号f（x）表示x的函数，例如函数f（x）＝x2﹣2x+1，则f（3）＝32﹣2x+1＝4．对于函数f（x），若存在a，b，f（x）满足以下条件：①当a＜x＜x0时，随着x的增大，函数值f（x）增大；②当x0＜x＜b时，随着x的增大，函数值f（x）减小，则称f（x0）为f（x）的一个峰值．（1）判断函数f（x）＝x+1是否具有峰值；（2）求函数f（x）＝x2+4x+1的峰值；（3）已知m为非零实数，当x≤m时，函数y＝m（x﹣1）2+2m2的图象记为T1：当x＞m时，函数y＝（m2﹣1）x+2m的图象记为T2：图象T1，T2组成图象T．图象T所对应的函数记为f（x），若f（x）存在峰值，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝x+1在其值域内单调递增，故函数f（x）＝x+1没有峰值．（2）函数f（x）＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3，结合二次函数图象可知：当x＜﹣2时，函数图形递减；当﹣2＜x时，函数图象递增．故f（﹣2）为函数f（x）＝x2+4x+1的峰值，f（﹣2）＝（﹣2+2）2﹣3＝3，答：函数f（x）＝x2+4x+1的峰值为﹣3．（3）根据x﹣1＝0、m＝0和m2﹣1＝0，将整个x的取值分五段考虑．①当m＜﹣1时，即m＜0，m2﹣1＞0，此时图象T1单调递增；图象T2单调递增．故当m＜﹣1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；②当m＝±1时，图象T2为平行x轴的一条射线，即在此区间f（x）为定值，故当m＝±1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；③当﹣1＜m＜0时，即m＜0，m2﹣1＜0，此时图象T1单调递增；图象T2单调递减．且当x＝m时，y＝m（m﹣1）2+2m2＝m3+m；y＝（m2﹣1）m+2m＝m3+m，即图象T在m处连续．故当﹣1＜m＜0时，函数f（x）存在峰值f（m）．④当0＜m＜1时，即m＞0，m2﹣1＜0，此时图象T1单调递减；图象T2单调递减．故当0＜m＜1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；⑤当1＜m时，结合二次函数y＝m（x﹣1）2+2m2（x≤m）的图象T1可知：当x＜1时，函数f（x）单调递减；当1＜x≤m时，函数f（x）单调递增．即f（1）是函数f（x）的峰值．故当1＜m时，图象T所对应的函数记为f（x）有峰值f（1）．综上可知：若f（x）存在峰值，实数m的取值范围为﹣1＜m＜0或1＜m．4．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．（1）分别判断函数y＝﹣2x+1和y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线l：y＝kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN＜3，请直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）存在，令﹣2x+1＝x，解得，∴函数y＝﹣2x+1的图象上有一个和谐点（，）；令x2+1＝x，即x2﹣x+1＝0，∵根的判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1＝0无实数根，∴函数y＝x2+1的图象上不存在和谐点．（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为，解得a＝﹣1，．故函数，即y＝﹣x2+4x﹣3，如图1，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4．（3），或0＜n＜1．∵y＝kx+2经过和谐点P，∴y＝x，∴x＝kx+2，∴点P的横坐标为1，∴k＝﹣1，∴直线l为：y＝﹣x+2，分两种情况：①如图2，当n＞0时，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴DF＝2，∴DM+DN＜3，∴只要y＝﹣x+2与y＝有交点坐标即可，∴﹣x+2＝，整理得：x2﹣2x+n＝0，∴b2﹣4ac＞0，∴4﹣4n＞0，解得：n＜1，则0＜n＜1；②如图3，当n＜0时，当DM+DN＝3，则DN＝FM＝，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴可求出M（﹣，），则xy＝n＝﹣，则﹣＜n＜0．综上，当﹣＜n＜0或0＜n＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3．5．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，当a＝2，h＝3，k＝4时，二次函数的关系式为y＝2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a＝3，h＝3，k＝4时，二次函数的关系式为y＝3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1＝1．整理得：m2﹣2m+1＝0．解得：m1＝m2＝1．∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1．∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+5＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2＝（a+2）（x﹣1）2+1＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2＝5x2﹣10x+5．∴y2＝5x2﹣10x+5＝5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x＝1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x＝0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2＝5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x＝3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2＝20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．专题训练2:直线与抛物线的交点1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m 与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．（1）抛物线的碟宽为4，抛物线y＝ax2（a＞0）的碟宽为．（2）如果抛物线y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）的碟宽为6，那么a＝．（3）将抛物线y n＝a n x2+b n x+c n（a n＞0）的准蝶形记为F n（n＝1，2，3，…），我们定义F1，F2，…，F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n与F n﹣1的相似比为，且F n的碟顶是F n﹣1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②请判断F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．【解答】解：（1）∵a＞0，∴y＝ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°＝45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，∴AC＝OC＝BC，∴x A＝﹣y A，x B＝y B，代入y＝ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB＝，OC＝，即y＝ax2的碟宽为．抛物线y＝x2对应的a＝，得碟宽为4；抛物线y＝ax2（a＞0），碟宽为；故答案为：，；（2）∵y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）∴同（1），其碟宽为，∵抛物线y＝a（x﹣1）2﹣6a（a＞0）的碟宽为6，∴＝6，解得a＝，故答案为：；（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽＝2：1，∴＝，∵a1＝，∴a2＝．∵y＝（x﹣1）2﹣2的碟宽AB在x轴上（A在B左边），∴A（﹣1，0），B（5，0），∴F2的碟顶坐标为（2，0），∴y2＝（x﹣1）2+1，②∵F n的准碟形为等腰直角三角形，∴F n的碟宽为2h n，∵2h n：2h n﹣1＝1：2，∴h n＝h n﹣1＝h n﹣2＝（）3h n﹣3＝…＝（）n+1h1，∵h1＝3，∴h n＝．∵h n∥h n﹣1，且都过F n﹣1的碟宽中点，∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在一条直线上，∵h1在直线x＝2上，∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x＝2上，∴F n的碟宽右端点横坐标为2+，另，F1，F2，…，F n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y＝﹣x+5．分析如下：，F n﹣1，F n情形，关系如图2，考虑F n﹣2F n﹣2，F n﹣1，F n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x＝2上，连接右端点，BE，EH．∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，∴AB∥DE∥GH，∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，∴HE∥GF，EB∥DC，∵∠GFI＝•∠GFH＝•∠DCE＝∠DCF，∴GF∥DC，∴HE∥EB，∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上，，F n﹣1，F n的碟宽的右端点是在一条直线，∴F n﹣2∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在一条直线．∵F1：y1＝（x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（4，1），F2：y2＝（x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+，），∴待定系数可得过两点的直线为y＝﹣x+5，∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在直线y＝﹣x+5上．2．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为（3，0）；（2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是或．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y＝ax+b，解得：a＝3，b＝0，∴直线y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，∴（ax+b）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣，x＝1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y＝﹣4x上一点，∴b＝﹣4a．∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF＝1．∵特征直线y＝ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE＝DF＝1．∴a＝﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意可得：1+＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b＝2a2﹣2a即：b＝2（a﹣）2﹣当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．3．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为2；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为4；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y＝x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为＝3﹣1＝2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y＝﹣x2+3x+3上一点，坐标差＝﹣x2+2x+3，＝﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m＝c﹣0，可得m＝﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到：0＝﹣c2﹣bc+c，∴c＝1﹣b，∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴＝﹣1，解得b＝3，∴c＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF＝FM＝，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝，∴OE＝OK﹣EK＝2﹣，TE＝3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）＝1+2．故答案为1+2．4．若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线的顶点在直线l上，则称抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线1叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”（1）若“路线”l的表达式为y＝2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；（2）如果抛物线y＝2x2﹣4x+1与直线y＝nx+1具有“一带一路”关系，如图，设抛物线与x轴的一个交点为A，与y轴交于点B，其顶点为C．①求△ABC的面积；②在y轴上是否存在一点P，使S△PBC＝S△ABC，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，∴y＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6，∴“带线”L的顶点的（﹣1，﹣6），设L的解析式为y＝a（x+1）2﹣6，∵“路线”y＝2x﹣4与y轴的交点坐标是（0，﹣4），∵带线”L也经过（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，得a＝2，“带线”L的表达式为y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4；（2）①y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1其顶点坐标是（1，﹣1），直线y＝nx+1经过（1，﹣1），解得n＝﹣2，直线BC的解析式为y＝﹣2x+1，当y＝0时，﹣2x+1＝0，解得x＝，即D（，0），AD＝1﹣＝当x＝0时，y＝1，即B（0，1），当y＝0时，2x2﹣4x+1＝0，解得x＝1，即A点坐标为（1+，0），＝AD•（x B﹣x C）＝××（1+1）＝；∴S△ABC②如图，设P（0，n），BP＝|1﹣n|，＝S△ABC，得由S△PBC|1﹣n|×1＝×，化简得1﹣n＝，或n﹣1＝解得n＝，n＝，P点坐标为（0，）或（0，）．5．如图①，直线L：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做L的关联抛物线，而L叫做P的关联直线．（1）若L：y＝﹣x+2，则P表示的函数解析式为y＝﹣+2；若P：，则L表示的函数解析式为y＝﹣2x+4．（2）如图②，若L：y＝﹣3x+3，P的对称轴与CD相交于点E，点F在L上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图③，若L：y＝mx+1，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM＝，求出L，P表示的函数解析式．【解答】解：（1）若l：y＝﹣x+2，则A（2，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣2），将点B坐标代入得：2＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣，∴P表示的函数解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣2），即y＝﹣+2；若P：＝﹣（x+4）（x﹣2），则D（﹣4，0），A（2，0）．∴B（0，4）．设L表示的函数解析式为：y＝kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，，∴L表示的函数解析式为：y＝﹣2x+4；故答案为：y＝﹣+2；y＝﹣2x+4．（2）若L：y＝﹣3x+3，则A（1，0）、B（0，3），∴C（0，1）、D（﹣3，0）．求得直线CD的解析式为：y＝x+1．可求得P的对称轴为x＝﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ＝CE．设直线FQ的解析式为：y＝x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F﹣（﹣1）|＝|x F+1|＝1，解得x F＝0或x F＝﹣2．∵点F在直线L：y＝﹣3x+3上，∴点F坐标为（0，3）或（﹣2，9）．若F（0，3），则直线FQ为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，∴Q1（﹣1，2）．若F（﹣2，9），则直线FQ为：，当x＝﹣1时，y＝，∴Q2（﹣1，）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，2）、Q2（﹣1，）；（3）如图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG＝AB，OH＝CD．由旋转性质可知，AB＝CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形．∴OG＝OM＝•＝．∴AB＝2OG＝．∵L：y＝mx+1，∴A（，0），B（0，1）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2，即：（）2+12＝（）2，解得：m＝﹣3或m＝3．∵点B在y轴正半轴，∴m＝3舍去，∴m＝﹣3．∴L表示的函数解析式为：y＝﹣3x+1；∴B（0，1），D（﹣1，0）．又A（，0），利用待定系数法求得P：y＝﹣3x2﹣2x+1．专项训练3:关联抛物线1．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y＝a（x﹣m）2+a（x﹣m）与y＝a（x ﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3）与y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）；（2）判断二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a 与m的值；如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．【解答】解：（1）抛物线y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3）与y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）是兄弟抛物线；故答案为y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3），y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）；（2）二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：∵y＝x2﹣x＝（x﹣1）2+（x﹣1），y＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）2﹣（x﹣1），∴二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线．此时a＝1，m＝1．（3）设对称轴为直线x＝2且开口向上的抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2+k（k＜0），如图，∵△PAB为直角三角形，∴△PAB为等腰直角三角形，∴AB＝﹣2k，∴B（2﹣k，0），把B（2﹣k，0）代入y＝2（x﹣2）2+k得2k2+k＝0，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣，∴A（，0），B（，0），∴抛物线解析式为y＝2（x﹣）（x﹣），当y＝2（x﹣）（x﹣﹣1），则与y＝2（x﹣）（x﹣﹣1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y＝2（x﹣）（x﹣+1）＝2（x﹣）（x﹣），即y＝2（x﹣）（x﹣）与y＝2（x﹣）（x﹣）为兄弟抛物线；当y＝2（x﹣）（x﹣+1），则与y＝2（x﹣）（x﹣+1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y＝2（x﹣）（x﹣﹣1）＝2（x﹣）（x﹣），即y＝2（x﹣）（x﹣）与y＝2（x﹣）（x﹣）为兄弟抛物线．2．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C 是点A关于直线BD的对称点（1）如图1，如果抛物线y＝x2的过顶抛物线为y＝ax2+bx，C（2，0），那么①a＝1，b＝﹣2．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为DA平行四边形B矩形C菱形D正方形（2）如图2，抛物线y＝ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c﹣1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线y＝的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为2，请直接写出点B的坐标．【解答】解：（1）由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x＝1．将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得，解得，故答案为：1，﹣2；当x＝1时，y＝x2，B（1，1）；y＝x2﹣2x＝﹣1，D（1，﹣1），四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，四边形ABCD是正方形，故选：D．（2）∵B（2，c﹣1），∴AC＝2×2＝4．∵当x＝0，y＝c，∴A（0，c）．∵F1：y＝ax2+c，B（2，c﹣1）．∴设F2：y＝a（x﹣2）2+c﹣1．∵点A（0，c）在F2上，∴4a+c﹣1＝c，∴．当x＝2时，y＝ax2+c＝4a+c，B（2，4a+c）∴BD＝（4a+c）﹣（c﹣1）＝2．＝AC•BD＝4．∴S四边形ABCD（3）如图所示，y＝＝（x﹣1）2+2设F2的解析式y＝（x﹣1﹣a）2+2﹣b，把（1，2）代入得到a2＝3b，B（1+a，2+b），C（3b+1+a，2），D（1+a，a2+2）．B点在A点的右侧时，AC＝2a，BD＝2b，∴•2a•2b＝2，∴ab＝，∴a＝，b＝1，∴B1（，1），B在点A的左侧时，同法可得B2（1﹣，1），综上所述：B1（，1），B2（，1）．3．定义：我们把二次函数y＝ax2+bx+c和y＝﹣ax2+bx﹣c这两个二次函数称为一对友好函数，并称函数y＝ax2+bx+c是函数y＝﹣ax2+bx﹣c的友好函数．函数y＝﹣ax2+bx﹣c也是函数y＝ax2+bx+c的友好函数．（1）请你写出一对友好函数；（2）若函数y＝2x2+bx+c与它的友好函数的图象的顶点重合，求b和c的值；（3）如图，若函数y＝﹣x2+bx+c的图象的顶点P是抛物线y＝第一象限上的一个动点，且与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），且x1＜x2，并且它的友好函数的图象与x轴交于点C（x3，0）和点D（x4，0），且x3＜x4若点D和点A是线段CB的三等分点，求b和c的值．【解答】解：（1）令a＝1，b＝2，c＝3得：y＝ax2+bx+c＝x2+2x+3，y＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣x2+2x﹣3，∴y＝x2+2x+3和y＝﹣x2+2x﹣3是一对友好函数；（2）∵两个函数的顶点重合，∴两抛物线的对称轴重合，即：．∴b＝0．∴两抛物线的解析式为y＝2x2+c和y＝﹣2x2﹣c．∵两个函数的顶点重合，∴c＝﹣c．解得：c＝0，所以b＝0，c＝0；（3）设点P的坐标为（m，），则两抛物线的解析式为y1＝和y2＝，令y1＝0得：﹣，解得：x A＝，x B＝，∴AB＝＝．令y2＝0得：＝0，解得：x C＝，x D＝，如图1：则AD＝＝∵点D和点A是线段CB的三等分点，∴AD＝AB∴．解得：m＝4，∴y1＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+8x﹣12，所以b＝8，c＝﹣12．如图2；则AD＝＝2﹣．∵点D和点A是线段CB的三等分点，∴AD＝AB．∴．解得：m＝，∴y1＝＝﹣＝﹣．∴b＝，c＝．综上所述，可知b＝8，c＝﹣12或b＝，c＝．4．在平面直角坐标系xOy中，把抛物线C1：y＝x2﹣4沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C2，C1和C2的交点为点M（如图1）（1）用含m的式子来表示抛物线C2的解析式和点M的坐标；（2）定义：像C1和C2两条抛物线，是把其中一条沿水平方向向左（像向右）平移得到另一条．若两抛物线的顶点P、Q以及交点M满足∠PMQ＝90°，则这样的两条抛物线互为“和谐线”．①求抛物线C1：y＝x2﹣4的和谐线；②如图2，抛物线C1：y＝x2﹣4与x轴正半轴的交点为A，与它的和谐线的交点为M（点M在第四象限），连接MA，过点M作MH⊥x轴，在x轴上存在一点N，使∠ONM+∠AMH＝45°，求点N的坐标【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2﹣4①沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C2，∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣m）2﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣4②，联立①②得，x＝，y＝﹣4，∴M（，）；（2）设抛物线C1：y＝x2﹣4的和谐线抛物线C2的解析式为y＝（x﹣m）2﹣4，∴抛物线C1的顶点P（0，﹣4），抛物线C2的顶点Q（m，﹣4），∴PQ＝|m|，同（1）的方法得，M（，）；由“和谐线”的定义，易知，△PMQ是等腰直角三角形，∴﹣4+4＝|m|，∴m＝﹣2或m＝2，∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4或y＝（x+2）2﹣4．（3）当点N在x轴负半轴上时，如图，由（2）知，M（1，﹣3），抛物线C2过原点，∴直线OM的解析式为y＝﹣3x，过点O作OD⊥OM，截取OD＝OM，∴△ODM是等腰直角三角形，∴∠ODM＝45°，∵∠DON+∠MOA＝90°，∠OMH+∠MOH＝90°，∴∠DON＝∠OMH，∵∠OMH＝∠AMH，∴∠AMH＝∠DON，∴直线OD的解析式为y＝x，设点D的坐标为（3m，m）（m＜0），∴9m2+m2＝10，∴m＝1（舍）或m＝﹣1，∴D（﹣3，﹣1），∵M（1，﹣3），∴直线DM的解析式为y＝﹣x﹣，令y＝0，得﹣x﹣＝0，∴x＝﹣5，∴N（﹣5，0），同理可得，x轴正半轴上的一个N点的坐标为（7，0）．即：满足条件的点N（﹣5，0）或（7，0）．5．如果抛物线的顶点C1在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2互相关联．（1）已知抛物线①y＝x2+2x﹣1，则抛物线②y＝﹣x2+2x+1；③y＝x2+2x+1已知抛物线①互相关联的有②（填序号即可）．（2）如图所示的是抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，将抛物线C1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联．①求抛物线C2的解析式．②当t＜0时，若点A为抛物线C1的顶点，点B为抛物线C2的顶点，在y轴上是否存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线①y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，其顶点坐标为M（﹣1，﹣2）．经验算，点M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的；抛物线②y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，其顶点坐标为N1（1，2），经验算点N1在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联的，故答案为：②．（2）①如图，抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），因为动点P的坐标为（t，2），所以点P在直线y＝2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y＝2的垂线，垂足为E、F，则ME＝NF＝4，所以点N的纵坐标为6．当y＝6时，（x+1）2﹣2＝6，解之得，x1＝7，x2＝﹣9．∴N（7，6）或N（﹣9，6）．设抛物线C2的抛物线为y＝a（x﹣7）2+6．因为点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2＝a（﹣1﹣7）2+6，a＝﹣．∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣7）2+6；设抛物线C2的抛物线为y＝a（x+9）2+6．因为点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2＝a（﹣1+9）2+6，a＝﹣．∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣7）2+6或y＝﹣（x+9）2+6；②存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，理由如下：如图1，当t＜0时，A（﹣1，﹣2），B（﹣9，6），点C为y轴上的点，可设点C的坐标为（0，c），过点B作BE⊥y轴，过点A作AF⊥y轴，若∠ACB＝90°，则∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，又∵∠BEC＝∠CFA＝90°，∴△BCE∽△CAF，∴＝，即＝，解得c1＝2+，c2＝2﹣，∴存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，此时C（0，2+）或（0，2﹣）．专项训练4:函数与几何综合1．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．【解答】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，∵OC＝0D＝1，∴正方形ABCD的边长CD＝；∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，∴设正方形的边长为a，∴3a＝CD＝．∴a＝，∴正方形边长为，∴一次函数y＝x+1图象的伴侣正方形的边长为或；（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，∵AB＝AD＝BC，∠DAE＝∠OBA＝∠FCB，∴△ADE≌△BAO≌△CBF．。

2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题一、单选题1在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y )，若不等式(x -a )⊗x +a <1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围()A.-1<a <1B.0<a <2C.-12<a <32D.-32<a <12【答案】C【分析】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，关键是理解新定义的运算，掌握将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x 轴上方，从而有△<0，解△<0即可.【详解】根据运算法则得x -a ⊗x +a =x -a 1-x -a <1化简得：x 2-x -a 2+a +1>0在R 上恒成立,即Δ<0，1-4-a ²+a +1 <0，即4a 2-4a -3<0,解得-12<a <32，故选:C .2我们定义一种新函数：形如y =ax 2+bx +c a ≠0,b 2-4ac >0 的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.bc <0B.当x =1时，函数的最大值是4C.当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，则m =1D.关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为4【答案】D【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，利用待定系数法求得b 、c 的值可判断A 错误；根据图象可判断B 错误；由图象可判断C 错误；由题意可得x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，利用根与系数的关系可判断D 正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．【详解】解：∵-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，∴1-b +c =09+3b +c =0，解得：b =-2c =-3 ，∴bc =-2 ×-3 =6>0，故A 错误；由图象可得，函数没有最大值，故B 错误；如图，当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C 错误；关于x 的方程x 2+bx +c =3，即x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，当x 2-2x -3=3时，x 1+x 2=--21=2，当x 2-2x -3=-3时，x 3+x 4=--21=2，∴关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为2+2=4，故D 正确，故选：D ．3我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”.若关于x 的二次函数y =ax 2+tx -3t 对于任意的常数t ，恒有两个“好点”，则a 的取值范围为()A.0<a <13B.0<a <12C.13<a <12D.12<a <1【答案】A【分析】“好点”A 的横纵坐标相等，即：x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，Δ=(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1=0，△1=(2-12a )2-4<0，即可求解．【详解】解：“好点”A 的横纵坐标相等，∴x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，∴ax 2+t -1 x -3t =0，Δ=b 2-4ac =(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1>0，∵1>0，故当Δ<0时，抛物线开口向上，且与x 轴没有交点，故上式成立，△1=(2-12a )2-4<0，解得：0<a <13，故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．4对于实数a ,b ，定义符号min a ,b ，其意义为：min a ,b =ba ≥baa <b ．例如：min =2,-1 =-1，若关于x 的函数y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 则使该函数的最大值小于0时a 的范围是()A.a >2B.-1<a <0C.1<a <2D.a >3【答案】D【分析】画出y =2x -1,y =-x +3,y =x 2-ax 的函数图象，根据题意，最大值小于0时，结合函数图象，即可求解．【详解】解：如图所示，y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 即为函数图象的红色部分，由y=x2-ax，令y=0，则x2-ax=0解得：x1=0,x2=a∵y=x2-ax经过原点，y=-x+3与x轴的交点为3，0，∴当y=min2x-1,-x+3,x2-ax最大值小于0时，则y=x2-ax与x轴的交点在3,0的右侧，∴a>3故选：D【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式以及二次函数、一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．5定义：两个不相交的函数图象在平行于y轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为()A.238B.3 C.278D.218【答案】A【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可．【详解】解：由2x2-5x+3=-2x-1得2x2-3x+4=0，∵Δ=-32-4×2×4=-23<0，∴方程2x2-3x+4=0没有实数根，∴抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1不相交，设w=2x2-5x+3--2x-1=2x2-3x+4=2x-342+238，∵2>0，∴当x=34时，w有最小值为23 8，即抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为23 8，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．6定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，如：1※-2 =-1×(-2)2=-4，则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，可得y=2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象．【详解】解：y=2※x=2x2(x>0) -2x2x≤0，x>0时，图象是y=2x2对称轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=-2x2对称轴左侧的部分，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0得出分段函数是解题关键．7新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是()A.-2<c<14B.-2<c<94C.-4<c<14D.-4<c<94【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2<x<4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，将x=-2代入y=2x得y=-4，将x=4代入y=2x得y=8，设A(-2,-4)，B(4,8)，如图，联立方程x2-x+c=2x，当△>0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c>0，解得c<9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴6+c>-4 12+c>8 ，解得c>-4，∴-4<c<94满足题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．8对于任意实数a和b，定义新运算，a#b=a2-ab a≥bb2-ab a<b有下列四个结论，其中正确的结论个数为()①2#-1的运算结果为6；②方程3x#x-2=0的解为x1=0，x2=-1；③当x<5时，函数y=2#x-3的图像经过第一、二、四象限；④函数y=2x#x-1的图像不经过第二、四象限．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图像即可判断④．【详解】解：①∵2>-1，∴2#-1=22-2×-1=6，故正确；②当3x≥x-2时，即x≥-1时，方程为9x2-3x x-2=0，整理得6x2+6x=0，解得x1=0，x2=-1，当3x <x -2时，即x <-1时，方程为x -2 2-3x x -2 =0，整理得x 2-x -2=0，解得x =2或x =-1(不符合题意，舍去)，∴方程3x #x -2 =0的解为x 1=0，x 2=-1，故正确；③∵当x <5时，函数y =2#x -3 =4-2x -3 =-2x +10，∴函数y =2#x -3 的图像经过第一、二象限，故错误；④当2x ≥x -1时，即x ≥-1时，函数为y =4x 2-2x x -1 =2x +12 2-12，当2x <x -1时，即x <-1时，函数为y =x -1 2-2x x -1 =-x 2+1，画出函数图像如下：由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确；故选：C ．二、填空题9定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线y =x 2-2x +3与直线y =x -2的“向心值”为．【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，解题的关键是熟练掌握正确分析“向心值”的概念．根据“向心值”的概念让两个表达式相减，然后求解得到的二次函数最小值即可．【详解】解：∵两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“向心值”，∴设“向心值”为w ，∴w =x 2-2x +3-x -2 =x 2-3x +5=x -322+114，∴w 的最小值为114．故答案为：114．10定义一种新的运算“早”，运算规则如下：(1)当a ≥b 时，a ♀b =a ；(2)当a <b 时，a ♀b =b 2．那么当-2≤x ≤2时，1♀x ♀x -2♀x 的最大值是．【答案】2【分析】本题主要考查了新运算法则、二次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分-2≤x ≤1和1≤x ≤2两种情况，分别根据新运算法则求出最值，然后进行比较即可解答．【详解】解：当-2≤x ≤1时，1♀x ♀x -2♀x =1♀x -2=1-2=-1；当1≤x≤2时，1♀x=x2♀x-2=x2-2；♀x-2♀x∵a=1>0，对称轴为x=0，1≤x≤2，∴当x=2时，x2-2有最大值，22-2=2，∴1♀x的最大值是2．♀x-2♀x故答案为：2．11对于实数a，b，定义运算：“☆”为a☆b=a2-ab-2a，如：2☆3=22-2×3-2×2=-6，若m，n 是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标，则m☆n=．【答案】6【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，新定义下的实数运算．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，解得x=-1或x=3，分当m=-1，n=3时；当m=3，n=-1时两种情况计算求解即可．【详解】解：由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，x+1=0，x-3∴x+1=0或x-3=0，解得x=-1或x=3，当m=-1，n=3时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=-1×-1-3-2=6；当m=3，n=-1时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=6；=3×3+1-2故答案为：6．12定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab-a+b=1．若y关，例如 2⊗=2×3-2+3于x的函数y=kx+1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．⊗x-1【答案】-1或0/0或-1【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=-x2+kx+k，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．【详解】解：∵a⊗b=ab-a+b，∴y=kx+1⊗x-1=kx+1+x-1-kx+1x-1=kx2-2kx-1即y=kx2-2kx-1，∵y=kx2-2kx-1的图象与x轴仅有一个公共点，令y=0，得kx2-2kx-1=0，∴Δ=b2-4ac=4k2+4k=0，∴k2+k=0，解得：k=0或k=-1．故答案为：-1或0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程(在实数范围)无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．13新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c(c 为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是．【答案】-4<c <94【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2<x <4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A (-2,-4)，B (4,8)，如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当∆>0时，抛物线与直线y =2x 有两个交点，即9-4c >0，解得c <94，此时，直线x =-2和直线x =4与抛物线交点在点A ，B 上方时，抛物线与线段AB 有两个交点，把x =-2代入y =x 2-x +c 得y =6+c ，把x =4代入y =x 2-x +c 得y =12+c ，∴6+c >-412+c >8 ，解得c >-4，∴-4<c <94满足题意．故答案为：-4<c <94．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．14新定义：任意两数m ，n ，按规定y =mn-m +n 得到一个新数y ，称所得新数y 为数m ，n 的“愉悦数”．则当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的值是．【答案】2【分析】根据“愉悦数”的定义，将m 、n 代入y =mn-m +n 得到一个关于x 的方程，然后再求解即可．【详解】解：当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y =2x +1x -1-2x +1 +x -1 >0化简得：-x 2+x +3x -1>0∵x 是正整数∴x -1>0即：x -1>0-x 2+x +3>0解得：1<x <1+132∵x 是正整数∴x =2．故答案是2．【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．15定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B 3,0 、C -1,3 都是“整点”．抛物线y =ax 2+2ax +a -2a >0 与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，则a 的取值范围是．【答案】1<a ≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y =ax 2+2ax +a -2(a >0)化为顶点式为y =a (x +1)2-2，∴函数的对称轴：x =-1，顶点坐标为(-1，-2)，∴M 和N 两点关于x =-1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，这些整点是(0，0)，(-1，0)，(-1，-1)，(-1，-2)，(-2，0)，如图所示：∵当x =0时，y =a -2，∴-1<a -2≤0，当x =1时，y =4a -2>0，即：-1<a -2≤04a -2>0 ，解得1<a ≤2，故答案为：1<a ≤2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．16定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD 的对角线AC 、BD 满足AC +BD =12，则当AC =时，四边形ABCD 的面积最大．【答案】6【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴S ABCD =12AC ∙BD ，∵AC +BD =12，∴BD =12-AC ，∴S 四边形ABCD =12AC ∙BD =12AC 12-AC =-12AC 2+6AC ，∵-12<0且0<AC <12，当AC =-62×-12 =6时，函数有最大值，∴AC =6时，面积有最大值；故答案是6．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．三、解答题17新定义：[a ,b ,c ]为二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y =-x 2+2x +3的“图象数”为[-1,2,3]．(1)图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为．(2)求证：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．【答案】(1)y =x 2-x (2)见详解【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：(1)根据新定义得到二次函数的解析式即可；(2)根据新定义得到二次函数的解析式为y =x 2+m +3 x +m ，然后根据判别式的意义得到Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0，从而求证.【详解】(1)解：图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为：y =x 2-x .(2)解：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数表达式为：y =x 2+m +3 x +m .当y =0时，x 2+m +3 x +m =0Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．18定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ，y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)请直接判断点(1,-5)是否为“和谐点”；(2)P (2,m )是“和谐点”，求m 值；(3)若双曲线y =kx(-3<x <-1)的图象上存在“和谐点”，求k 的取值范围．【答案】(1)点1,-5 是“和谐点”(2)m =-6(3)k 的取值范围为3<k ≤4【分析】(1)由题意得，x 2-4y =y 2-4x ，由12-4×-5 =-5 2-4×1，可得点1,-5 是“和谐点”；(2)由题意知，22-4m =m 2-8，即m 2+4m -12=0，计算求出满足要求的解即可；(3)设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，则a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，即a-ba+b+4=0，可得b=-a-4，由b=ka，可得k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可．【详解】(1)解：∵x2=4y+t，y2=4x+t，∴x2-4y=t，y2-4x=t，∴x2-4y=y2-4x，∵12-4×-5=-52-4×1，∴点1,-5是“和谐点”；(2)解：∵P2,m是“和谐点”，∴22=4m+t，m2=4×2+t，∴22-4m=t，m2-8=t，∴22-4m=m2-8，即m2+4m-12=0，解得m1=-6，m2=2(不合题意，舍去)∴m=-6；(3)解：设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，∴a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，∴a2-4b=b2-4a，即a2-b2+4a-4b=0，∴a-ba+b+4=0，∵a≠b，∴a+b+4=0，即b=-a-4，∵b=ka(-3<a<-1)，∴k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，∵-1<0，∴图象开口向下，当a=-2时，k max=4，当a=-1时，k=--1+22+4=3；当a=-3时，k=--3+22+4=3；∴k的取值范围为3<k≤4．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．19某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=kt+1(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【答案】(1)至少为19万元(2)当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件【分析】题目主要考查不等式的应用及函数的应用，(1)根据题意得出k=2，代入原不等式求解即可；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得出相应的函数关系式，然后再由其性质求解即可；理解题意列出相应的函数关系式是解题关键．【详解】(1)解：∵3-x=kt+1，当t=0时，x=1，∴k=2，∴3-x=2t+1，∵2t+1≤0.1，解得：t≥19；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得：y=x3+32xx×1.5+t2x-3+32x+t=992-32t+1-t2=50-32t+1+t+12≤50-232t+1×t+12=42，当且仅当32t+1=t+12即t=7时，等号成立，此时3-x=0.25，当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件．20我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数y=x2-2x-3的图像，根据该图像解答下列问题：(1)求该函数图像与x轴和y轴的交点坐标．(2)当函数值y随x值的增大而减小时，求自变量x的取值范围．【答案】(1)与x轴交点坐标-1,0，3,0，与y轴交点坐标0,3(2)x≤-1或1≤x≤3【分析】(1)分别令y=0和x=0，然后求解，即可获得答案；(2)首先确定该函数图像的对称轴，然后结合图像，即可获得答案．【详解】(1)解：令y=0，即x2-2x-3=0，可得x2-2x-3=0，∴x+1x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴函数图像与x轴的交点坐标为-1,0和3,0，令x=0，则y=x2-2x-3=-3=3，∴函数图像与y轴的交点坐标为0,3；(2)该图像具有对称性，对称轴是直线x=-b=1，2a函数图像与x轴的交点坐标为-1,0，和3,0观察图像可知，当x≤-1或1≤x≤3时，函数值y随x值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴交点、二次函数图像与y轴交点、解一元二方程、二次函数图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．。

专题20新定义型二次函数问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一新定义型二次函数问题】 (1)【直击中考】【考向一新定义型二次函数问题】求解体验：(1)已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0-心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线(2y ax bx c a =++线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线(2)已知抛物线225y x x =--+关于点(0,m【变式训练】m轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作(1)请将点Q “去隐”，得到该抛物线表达式；(2)记（1）中抛物线为W （如图），W 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），其顶点为点平移后的抛物线W '始终过点A ，点C 的对应点为C '．ⅰ）试确定点C '运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线2x =-的左侧，是否存在点C '，使ACC '△为等腰三角形？若存在，求出点说明理由．5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．(1)已知直线解析式为1y x =-，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）①21y x =+；②22y x x =+-；③2y x x =-；(2)如图，已知直线l ：4y x =-，抛物线23y x x =--为直线l 的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A 、B ，在直线l 上方抛物线部分是否存在点P 使△PAB 面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P 坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知x 轴的“双幸运曲线”2y ax bx c =++（0a b >>）经过点（1，3），（0，2-），在x 轴的“幸运点”分别为M 、N ，试求MN 的取值范围．6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM 的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上的点(),A x y 的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点()1,A x x y +，他们把这个点1A 定义为点A 的“简朴”点．他们发现：二次函数()20y ax bx c a =++≠所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为()20y ax bx c a =++≠的“简朴曲线”．例如，二次函数21y x x =++的“简朴曲线”就是22121y x x x x x =+++=++，请按照定义完成：(1)点()1,2P 的“简朴”点是________；(2)如果抛物线()2730y ax x a =-+≠经过点()1,3M -，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线2y x bx c =++图象上的点(),B x y 的“简朴点”是()11,1B -，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(),m n ，当03c ≤≤时，求n 的取值范围．8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数()21y a x h k =-+的图象记为1C ，其顶点为()A h k ，，二次函数()22y a x k h =-+的图象记为2C ，其顶点为()B k h ，，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．分类一：若二次函数()211:C y a x h k =-+经过2C 的顶点B ，且()222:C y a x k h =-+经过1C 的顶点A ，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出245y x x =-+的“反顶伴侣二次函数”．(3)若二次函数1C 与2C 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究1a 与2a 的关系，并说明理由．(4)分类二：若二次函数()211:C y a x h k =-+可以绕点M 旋转180°得到二次函数2C ；()22y a x k h =-+，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M 有什么特点？③如图，1C ，2C 互为“反顶旋转二次函数”，点E ，F 的对称点分别是点Q ，G ，且EF GQ x ∥∥轴，当四边形EFQG 为矩形时，试探究二次函数1C ，2C 的顶点有什么关系．并说明理由．t轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作。

二次函数的定义专项练习30题（有答案）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）A ．1个B．2个C．3个D．4个2．下列结论正确的是（）A．y=ax2是二次函数B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例D．二次函数自变量的取值范围是非零实数3．下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间tC．三角形的高一定时，面积y与底边长xD．正方形的面积y与边长x4．若y=（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A ．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定5．若y=（m2+m）是二次函数，则m的值是（）A ．m=1±2B．m=2 C．m=﹣1或m=3D．m=36．下列函数，y=3x2，，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）A ．2个B．3个C．4个D．5个7．下列结论正确的是（）A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值是所有实数C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零8．下列说法中一定正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数9．函数y=（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系11．下列函数中，y是x二次函数的是（）A ．y=x﹣1 B．y=x2+﹣10C．y=x2+2x D．y2=x﹣112．下面给出了6个函数：①y=3x2﹣1；②y=﹣x2﹣3x；③y=；④y=x（x2+x+1）；⑤y=；⑥y=．其中是二次函数的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个13．自由落体公式h=gt2（g为常量），h与t之间的关系是（）A ．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对14．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是_________．15．二次函数y=（x﹣2）2﹣3中，二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________．16．已知函数y=（k+2）是关于x的二次函数，则k=_________．17．已知二次函数的图象是开口向下的抛物线，m=_________．18．当m_________时，关于x的函数y=（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3是二次函数．19．y=（m2﹣2m﹣3）x2+（m﹣1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_________．20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当b=0，c≠0时，函数表达式为_________；当b≠0，c=0时，函数表达式为_________．21．函数y=2x2+3x+7中自变量的取值范围为_________．22．如果函数是关于x的二次函数，则k=_________．23．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=_________，长方体的体积为V=_________，各边长的和L=_________，在上面的三个函数中，_________是关于x的二次函数．24．函数y=x m﹣1+3，当m=_________时，它的图象是抛物线．25．已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m=_________．26．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．27．已知是x的二次函数，求出它的解析式．28．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？29．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？30．已知，当m为何值时，是二次函数？二次函数的定义30题参考答案：1．①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．二次函数共三个，故选C2．A、应强调a是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．3．A、y=4x，是一次函数，错误；B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；C、y=hx，h一定，是一次函数，错误D、y=x2，是二次函数，正确．故选D．4．根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2解得m=2或m=﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m=﹣2时，这个函数是二次函数．故选C5．根据题意的得：，解得：，∴m=3，故选D．6．y=3x2，，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．故选B．7．A、例如y=x2，自变量取0，函数值是0，所以不对；B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确；C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误；D、要求a≠0，b、c可以为0．故选B8．A、只有当a≠0才是二次函数，错误；B、由已知得S=πR2，S是R的二次函数，正确；C、由已知得v=，s一定，是反比例函数，错误；D、由已知得C=2πR，是一次函数，错误．故选B．9．根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选B．10．A、s=vt，v一定，是一次函数，错误；B、E=mv2，m一定，是二次函数，正确；C、f=mv2，v一定，是二次函数，正确；D、H=gt2，g一定，是二次函数，正确．故选A．11．A、一次函数，不是二次函数；B、不是关于x的整式，不符合二次函数的定义；C、符合二次函数的定义；D、y的指数为2，不符合二次函数的定义；故选C．12. ①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．13．因为等号的右边是关于t的二次式，所以h是t的二次函数．14．根据二次函数的定义，得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．15．∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣2x﹣1，∴二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．16．∵函数y=（k+2）是关于x的二次函数，∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，且k+2≠0，k≠﹣2．故k=2或﹣317．∵二次函数的图象是开口向下的抛物线，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣218．∵y是x的二次函数，∴m2﹣1≠0，∴m≠±1，故满足的条件是m≠±1．故答案为：≠±1 19．由题意得：m2﹣2m﹣3≠0，（m﹣3）（m+1）≠0，解得m≠﹣1且m≠3．20．当b=0，c≠0时，二次函数表达式为y=ax2+c；当b≠0，c=0时，二次函数表达式为y=ax2+bx．故答案为：y=ax2+c；y=ax2+bx．21．函数y=2x2+3x+7中，自变量x的取值范围是全体实数．故答案为：全体实数．22. ∵函数是关于x的二次函数，∴k﹣1≠0且k2﹣k+2=2，解得k=0或k=1，∴k=0．故答案为0．23．长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x；长方体的体积为V=x2×6=6x2；各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24；其中，V=6x2是关于x的二次函数24．∵二次函数的图象是抛物线，∴m﹣1=2，解得m=3．25．根据题意得m≠0且m2﹣2m﹣6=2，解得m1=4，m2=﹣2，∵二次函数的对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴二次函数的图象的开口向上，即m＞0，∴m=4．故答案为426．∵是x的二次函数，∴，解得m=3或m=﹣1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+127．由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1 又因为m2﹣2m﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0 解得m=3或m=﹣1（不合题意，舍去）所以m=3故y=12x2+928．设宽为xcm，由题意得，矩形的周长为800cm，∴矩形的长为cm，∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜40）．y是x的二次函数．29．（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．30．根据题意得：原函数为二次函数，则有解得：m=3．。

二次函数的新定义题型1.定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)，满足a1=a2，b1+b2=0，c1=c2，则称这两个代数式A与B互为“同构式”，下列四个结论：①代数式2x2+x-3的“同构式”为2x2-x-3；②若代数式2mx2+nx+5与6nx2+3x+5互为“同构式”，则m+n=6；③若A、B互为“同构式”，且方程A+B=0有两个不相等的实数根，则a1c1>0；④若A、B 互为“同构式”，A=x2-2x+8，函数y=|A-2B|的图象与直线y=m有4个交点，则0≤m≤1．其中，正确的结论有( )个．A.4B.3C.2D.12.新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2]的一次函数是正比例函数，则点(1-m,1+m)在第象限．3.(2021秋•庐阳区校级月考)新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为实数)的“图象数”，如：y=x2-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为()A.-2B.14C.-2或2D.24.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为：y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的“特征数”，如二次函数y=x2+2x+3的特征数为[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，该函数图象的顶点坐标为．(2)探究以下问题：①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，将此函数的图象经过的怎样平移，才能使得到的图象对应函数的特征数为[3，4]？5.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m-1，m+1，-2m]的函数的一些结论，其中不正确的是()A.当m=2时，函数图象的顶点坐标为-32,-254B.当m>1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3C.当m<0时，函数在x<12时，y随x的增大而增大D.不论m取何值，函数图象经过两个定点6.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是()A.当m=-3时，函数图象的顶点坐标是13,8 3B.当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32C.当m≠0时，函数图象经过同一个点D.当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小7.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数y=x2 +3x+m．(1)若2是此函数的不动点，则m的值为．(2)若此函数有两个相异的不动点a、b，且a<1<b，则m的取值范围为．8.定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5．(1)函数y=14x2-2x+3的友好同轴二次函数为．(2)当-1≤x≤4时，函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值．(3)已知点(m,p)，(m,q)分别在二次函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1)及其友好同轴二次函数y2的图象上，比较p，q的大小，并说明理由．9.【阅读理解】已知关于x、y的二次函数y=x2-2ax+a2+2a=(x-a)2+2a，它的顶点坐标为(a,2a)，故不论a取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线y=2x上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】(1)若二次函数y=x2+2x-3和y=-x2-4x-3是同源二次函数，求它们的根函数；(2)已知关于x、y的二次函数C:y=x2-4mx+4m2-4m+1，完成下列问题：①求满足二次函数C的所有二次函数的根函数；②若二次函数C与直线x=-3交于点P，求点P到x轴的最小距离，请求出此时m为何值？并求出点P到x轴的最小距离．10.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数．(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+54，其中y1的图象经过点P(1,1)，y2与y1为“同簇二次函数”，①求m的值及函数y2的表达式．②如图点A和点C是函数y1上的点，点B和点D是函数y2上的点，且都在对称轴右侧，若AB⎳CD⎳x轴，BC⊥AB，求CDAB的值(只需直接答案)．11.已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1=-x2-2x，y2=-2x2-4x，y3=-3x2-6x，⋯(1)探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x=．(2)求二次函数y n的解析式及其顶点坐标．(3)点(-1,10)是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并求出-2≤x≤1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由．12.在平面直角坐标系中，对于函数y1=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠c，定义：函数y2=cx2+bx+a是y1=ax2+bx+c的衍生函数，点M(a,c)是函数y1=ax2+bx+c的衍生点，设函数y1=ax2+bx+ c与其衍生函数的图象交于A、B两点(点A在点B的左侧)．(1)若函数y1=ax2+bx+c的图象过点C(-1,3)、D(1,-5)，其衍生点M(1,c)，求函数y1=ax2+bx+c的解析式；(2)①若函数y1=ax2+bx+c的衍生函数为y2=2x-1，求A、B两点的坐标；②函数y1=ax2+bx+c的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置；(3)是否存在常数b，使得无论a为何值，函数y1=ax2+bx+c的衍生点M始终在直线AB上，若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．13.九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：(1)函数y=x2-4x+3的“旋转函数”是；(2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求(m+n)2022的值；(3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y=2(x-1)(x+3)互为“旋转函数”．14.如果一个点的横纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点(1,2)就是一个定点．在一次函数y=kx-k+2(k是常数)的图象中，由于y=kx-k+2=k(x-1)+2，当x-1= 0即x=1时，无论k为何值，y一定等于2，我们就说直线y=kx-k+2一定经过定点(1,2)．(1)已知抛物线y=ax2-1(a是常数)，无论a取何值，该抛物线都经过定点A．直接写出点A的坐标．(2)已知抛物线y=mx2+(2-2m)x+m-2(m是常数)．①无论m取何值，该抛物线都经过定点D．直接写出点D的坐标．②若在0≤x≤1的范围内，至少存在一个x的值，使y>0，求m的取值范围．15.在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y=ax2+bx+c(a≠0)图象上的点A(x,y)的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1(x,x+y)．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y=ax2+bx+c(a≠0)的“简朴曲线”．例如，二次函数y=x2+x+1的“简朴曲线”就是y=x2+x+1+x=x2+2x+1，请按照定义完成：(1)点P(1,2)的“简朴”点是；(2)如果抛物线y=ax2-7x+3(a≠0)经过点M(1,-3)，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线y=x2+bx+c图象上的点B(x,y)的“简朴点”是B1(-1,1)，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(m,n)，当0≤c≤3时，求n的取值范围．16.已知抛物线L1:y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0)，B(1,0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；(3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W=MN-2ON，求W的最大值．17.设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d)，当a=-2c，b=-2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2-2nx+1，若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．18.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1,1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．19.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为平衡点．例如：点(1,1)，(-2，-2)，⋯⋯都是平衡点．(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在平衡点，若存在，求出其平衡点的坐标；(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个平衡点52,5 2．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y=ax2+6x+c+14(a≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m的取值范围．20.定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2)，B(-1,-1)，C(3,-1)，D(3,2)，在点M1(1,1)，M2(2,2)，M3(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点“的是；(2)点G(2,2)是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是，直线GH的解析式是y2=，y1>y2时，x的取值范围是；(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断ΔABC的形状，并说明理由．21.数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+ (9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．22.定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】(1)点C(2,3)“美好点”(填“是”或“不是”)；若点D(4,b)是第一象限内的一个“美好点”，则b=；【深入探究】(2)①若“美好点”E(m，6)(m>0)在双曲线y=kx(k≠0，且k为常数)上，则k=；②在①的条件下，F(2,n)在双曲线y=kx上，求SΔEOF的值；【拓展延伸】(3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”．①求y关于x的函数表达式；②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数(x>0)的图象平移得到；③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是；(多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分)A.图象与经过点(2,2)且平行于坐标轴的直线没有交点；B.y随着x的增大而减小；C.y随着x的增大而增大；D.图象经过点10,32；④对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2-x)⋅(y-2)是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．。