专题20 新定义型二次函数问题
【典型例题】
1．（2021·江苏吴中·二模）定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“N ”函数．
（1）写出y ＝﹣x 2+x ﹣1的“N ”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N ”函数与正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象只有两个交点，求k 的值；
（3）如图，二次函数y 1与y 2互为“N ”函数，A 、B 分别是“N ”函数y 1与y 2图象的顶点，C 是“N ”函数y 2与y 轴正半轴的交点，连接AB 、AC 、BC ，若点A （﹣2，1）且△ABC 为直角三角形，求点C 的坐标．
【专题训练】
一、解答题
1．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()3,4P 称为“三高四新”点，经过()3,4P 的函数，称为“三高四新”函数． （1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；
①22y x =- ②2613y x x =-+ ③23611y x x =-++ ④12y x
= （2）若关于x 的一次函数y kx b =+是“三高四新”函数，且它与y 轴的交点在y 轴的正半轴，求k 的取值范围；
（3）关于x 的二次函数()2134
y x =-的图象顶点为A ，点()11,M x y 和点()22,N x y 是该二次函数图象上的点且使得90MAN ∠=︒，试判断直线MN 是否为“三高四新”函数，并说明理由．
2．（2021·山西大同·九年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x 的二次函数2y ax bx c =++与2y ax bx c =-+（0a ≠，0b ≠）称为一对“亲密函数”，如2532y x x =-+的“亲密函数”是2532y x x =++．
任务：
（1）写出二次函数234y x x =+-的“亲密函数”：______；
（2）二次函数234y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和4-，它的“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标为______，猜想二次函数2y ax bx c =++（240b ac ->）的图象与x 轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数22021y x bx =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和2021-，请利用（2）中的结论直接写出二次函数2422021y x bx =--的图象与x 轴交点的横坐标．
3．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）定义：若抛物线与x 轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x 轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ； （2）若抛物线y ＝x 2﹣bx （b ＞0）是“美丽抛物线”，求b 的值；
（3）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B （1，2），与轴交与A ，C ，AB 与y 轴交于点D ，连接OB ，在抛物线找一点Q ，使得∠QCA ＝∠ABO ，求Q 点的横坐标．
4．（2021·北京房山·九年级期中）定义：如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时，抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，则称抛物线C 1与C 2关联．例如，抛物线2y x 的顶点（0，0）
在抛物线22y x x =-+上，抛物线22y x x =-+的顶点（1，1）也在抛物线2y x 上，所以抛物线2y x 与22y x x =-+关联．
（1）已知抛物线C 1：2(1)2y x =+-，分别判断抛物线C 2：221y x x =-++和抛物线C 3：2221y x x =++与抛物线C 1是否关联；
（2）抛物线M 1：21(1)28
y x =+-的顶点为A ，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线M 1绕点(,2)P t 旋转180°得到抛物线M 2，若抛物线M 1与M 2关联，求抛物线M 2的解析式；
（3）抛物线M 1：21(1)28
y x =+-的顶点为A ，点B 是与M 1关联的抛物线的顶点，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到线段AB 1，若点B 1恰好在y 轴上，请直接写出点B 1的纵坐标．
5．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y 1＝（x ﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y 2＝﹣（x ﹣1）2+2． （1）请写出抛物线y 1＝（x ﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y 2＝﹣（x ﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y ＝﹣2x 2+4x +3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '．
①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．
②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．
