19．1 函 数
19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量
1．了解常量、变量的概念；
2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
探究点一：常量与变量
【类型一】 指出关系式中的常量与变量
设路程为s km ，速度为v km/h ，时
间为t h ，指出下列各式中的常量与变量：
(1)v ＝s 8
；
(2)s ＝45t －2t 2； (3)v t ＝100.
解析：根据变量和常量的定义即可解答．
解：(1)常量是8，变量是v ，s ；
(2)常量是45，2，变量是s ，t ；
(3)常量是100，变量是v ，t . 方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量
如图，等腰直角三角形ABC 的直
角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
解：由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2，0≤x ≤10.其中的常量为1
2，变量为重叠部分的面积
y cm 2与MA 的长度x cm.
方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
探究点二：确定两个变量之间的关系
【类型一】区分实际问题中的常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与
常量：
(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的
关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小
球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒
之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运
动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是
h＝
1
2gt
2(其中g取9.8m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则
购买数量x千克与所付款W元之间的关系
式是W＝1.8x.
解析：根据在一个变化的过程中，数值
发生变化的量称为变量；数值始终不变的量
称为常量可得答案．
解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，
R；
(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量
是h，t；
(3)h＝
1
2gt
2(其中g取9.8m/s2)，常量是1
2
g，变量是h，t；
(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：常量与变量必须存在于同一
个变化过程中，判断一个量是常量还是变
量，需要看两个方面：一是它是否在一个变
化过程中；二是看它在这个变化过程中的取
值情况是否发生变化．
【类型二】探索规律性问题中的常量
与变量
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x
来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)你能写出两个变量之间的关系式
吗？
解析：由图形可知，第一张餐桌上可以
摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐
桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－
1)＝4x＋2.
解：(1)有2个变量；
(2)能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：解答本题关键是依据图形得
出变量x的变化规律．
三、板书设计
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终
不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
整个教学过程中，作为教学主导的老师
需特别注重对学生感受知识与处理问题的
能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习
中多举例，多类比，多思考，多体味，以此
激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常
量与变量的概念，改变对概念下程式化的定
义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学
习入门的难度．
17．1勾股定理
第1课时勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，
体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单
的计算题；(重点)
3．了解利用拼图验证勾股定理的方
法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝
90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理
即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面
积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得
到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝
12cm；
(2)S△ABC＝
1
2CB·AC＝
1
2×5×12＝
30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝
1
2AC·BC＝
1
2CD·AB，∴CD
＝
AC·BC
AB＝
60
13cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利
用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法
表示出同一个直角三角形的面积，然后根据
面积相等得出一个方程，再解这个方程即
可．
【类型二】分类讨论思想在勾股定理
中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，
BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
解析：本题应分△ABC为锐角三角形和
钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况说明：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①
所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝
152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝
AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5
＋9
＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②
所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝
152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝
AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5
＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴
当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长
为42；当△ABC为钝角三角形时，△
ABC
的周长为32.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存
在的可能情况，可作出相应的图形，判断是
否符合题意．
【类型三】勾股定理的证明
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC
绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所
以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正
方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，
而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和
Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾
股定理的过程；
