高中数学史集 黄金分割素材

黄金分割比的数学故事
黄金分割比的数学故事可以追溯到古希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。

据说有一天，毕达哥拉斯走在街上，听到铁匠打铁时发出的有规律的、悦耳的敲击声。

他驻足倾听，伴随着铁锤的敲击，他发现敲击声与间隔产生的规律性的节奏恰好形成一个比例，这个比例可以用数学方程表达出来。

回到家后，他用一根被分成两段的绳子演示，绳子较短的那段与较长的那段之比等于较长的那段和整个绳子长度之比，符合这个比例的事物就显得较为美好。

这就是后来人们所称的“黄金分割比”或“黄金比率”，其数值约为0.618或1.618。

黄金分割比在艺术、建筑、自然等多个领域都有广泛的应用。

例如，在艺术创作中，按照黄金分割比来设计作品可以使作品更加美观和和谐；在建筑设计中，黄金分割比也被广泛应用，如古希腊的帕台农神庙和现代的建筑设计；在自然界中，黄金分割比也出现在许多生物和植物的形态中，如螺旋形的贝壳和植物的叶子排列等。

此外，关于黄金分割比还有一个著名的故事与断臂维纳斯有关。

断臂维纳斯的设计就充分遵守了黄金分割法则，成为最伟大的艺术作品之一。

她的身材比例符合黄金分割比，
从而创造出了一种独特的美感。

这些故事都表明了黄金分割比在数学、艺术和自然界中的广泛应用和重要性。

【高中数学】黄金分割的发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家奥德修斯首先系统地研究了这个问题，并建立了比例理论。

他认为所谓黄金分割是指将长度为l的线段分成两部分，使一部分与全部的比率等于另一部分与该部分的比率。

计算黄金分割的最简单方法是计算斐波那契序列1，1，2，3，5，8，13，21后两个数字的比率是2/3，3/5，5/8，8/13，13/21近似值。

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。

这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。

公元前300年左右，欧几里德撰写了原始几何学，他吸收了奥多斯的研究成果，并进一步系统地讨论了黄金分割，这成为最早关于黄金分割的论文。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。

德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

事实上，中国有关于“黄金分割”的记录。

虽然不早于古希腊，但它是由古代中国数学家独立创造的，后来被引入印度。

经过考证。

欧洲的比例算法起源于中国，并通过印度从阿拉伯传入欧洲，而不是直接从古希腊传入。

到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。

黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。

最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。

黄金比例是≈ 1.618:1，与倒数正好相反。

神秘的大西岛古希腊有位伟大的哲学家叫做柏拉图，他在他的书中曾根据另一位大政治家梭伦的回忆录，记载了一个叫做大西岛的地方的传说。

而这个故事又是梭伦在游历的时候，一些埃及的祭司告诉他的：在比梭伦还要早9000年的时候，大西岛上有着非常发达的文明。

但是，有一次，巨大的灾难降临了大西岛，这个岛连同它的全体居民突然沉到海里去了。

据说，这个岛的面积是800000平方英里，而这比在古希腊所濒临的地中海整个的面积都要大，因此，柏拉图只有猜测，这个岛的位置在大西洋里，大西洋的名字最早就是这么来的。

可是，从柏拉图的时代开始，世世代代的人们不断地寻找，始终都没有找到这个神秘的“大西岛”。

而在近代，根据地质考察表明：地中海里确实发生过这样的一次火山爆发，也确实毁灭了一种文化。

但是，这个事件发生在比梭伦那个时代早900年的时候，而不是9000年，不但如此，柏拉图在书里描述过的那个岛的面积，原来说是长3000斯达提亚（古希腊长度单位），宽2000斯达提亚，面积折合约800000平方英里，但是如果把这个大小减成300×200，就正好和希腊的克里特岛上的一个平原相符了。

原来，从梭伦到柏拉图，都犯了一个错误，他们读错了古埃及的数字，把位置提高了一位，把100读成了1000。

其实，大西岛就是希腊南部的克里特岛。

黄金分割之美公元前5世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯，通过长时间研究铁锤和铁砧的尺寸发现它们之间存在着和谐的比例关系，即1:0.618的比例最为优美。

德国美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。

此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比（即0．618:1＝0．382:0．618）。

0．618是黄金分割律的比值，它被认为是最美的数值，具有很高的美学价值。

人是自然界长期发展的产物，人体美在自然美中具有最强的完整性。

英国大诗人莎士比亚在《哈姆雷特》中赞颂道：“人类是一件多么了不得的杰作！……宇宙的精华、万物的灵长”。

黄金分割是一个古老的数学方法。

对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。

什么叫黄金分割把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞CB），且CB比AC的比值等于AC比AB 的比值时,(比值约等于0.618),那么，线段AB被点C分割成黄金比。

点C叫做线段AB的黄金分割点。

“0.618”叫做黄金分割数。

一、形形色色的黄金分割【建筑】早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。

文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。

但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。

古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。

黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。

在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。

古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。

建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。

连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。

高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。

【艺术】1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。

“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。

英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。

每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。

如果仔细量一下她们的比例也都也雅典娜相似。

画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。

四川省绵阳中学2020届高三数学复习素材：黄金分割比【黄金分割比】：0.618把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618或（1-0.618）÷0.618≈0.618 或1÷﹙1+0.618﹚≈0.6185或5开平方根之后减一的差除以二这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

在我们生活中比比皆是。

比例历史毕达哥拉斯由于公元前5世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。

他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。

而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...第二位起相邻两数之比，即2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，...的近似值。

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。

这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。

德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

黄金分割发展简史
黄金分割是一个源远流长的数学概念，其历史可以追溯到古代希腊文明时期。

在古希腊数学中，黄金分割常常被用来描述美感和对称性，而在现代数学中，它则广泛应用于各个领域，包括艺术、建筑、自然科学以及金融等。

在古希腊文化中，黄金分割被认为是一种理想的比例，可以帮助人们创造出最美丽的艺术品和建筑物。

在希腊神庙的建筑中，黄金分割比例被广泛应用，使得建筑物更加优美和对称。

最著名的例子是帕特农神庙，该神庙的前廊和后廊都采用了黄金分割比例，让整个建筑更加和谐。

在中世纪欧洲，黄金分割的概念被重新发现，并且被广泛应用于建筑、绘画和雕塑等艺术领域。

文艺复兴时期，黄金分割的应用达到了高峰，许多伟大的艺术家和建筑师都使用了这个比例来创造出经典的艺术品和建筑物。

例如，达芬奇的绘画和米开朗基罗的雕塑都使用了黄金分割比例。

随着现代科学的发展，黄金分割被应用于自然科学领域。

许多自然界的现象都可以用黄金分割来描述，例如海龟的壳、植物的枝干和花瓣等。

此外，在数学和物理领域，黄金分割也有着广泛的应用，例如斐波那契数列和黄金矩形等。

在金融领域，黄金分割也被广泛应用。

例如，许多投资者使用黄金
分割比例来预测股票价格的走向。

此外，黄金分割比例还被用来优化投资组合和资产配置。

黄金分割是一个历史悠久、应用广泛的数学概念。

它在各个领域都有着广泛的应用，包括艺术、建筑、自然科学和金融等。

黄金分割比例的美感和对称性使得它成为了人类智慧和创造力的象征，也是人类文明发展的重要组成部分。

数学中的美——黄金分割黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。

让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。

一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。

古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图，将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：AB ≈0.618（精确值为215-），P 为AB 的黄金分割点。

数学家把这个的数（0.618）叫做“黄金数”。

黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。

古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于0.618时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是0.618；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。

保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。

文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。

达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。

神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是0.618。

黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。

着名的巴黎圣母院就是杰出的代表。

它整个结构是按着黄金分割来建造的。

17世纪欧洲着名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。

”二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊喜不已。

1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接近黄金比。

因此，阴影部分的扇形就是黄金扇形，如果以135°为圆心角做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。