(完整版)推理与证明知识点

推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。

高三推理与证明知识点推理和证明是数学中非常重要的知识点，它们是解决问题和深入理解数学的关键。

在高三阶段，推理与证明的知识点变得更加复杂和抽象。

本文将介绍高三阶段的推理与证明知识点，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

一、命题与命题逻辑命题是陈述句，它要么是真（True），要么是假（False）。

命题逻辑是研究命题之间的关系和推理的一门学科。

常见的命题逻辑符号有“∧”（合取）、“∨”（析取）、“→”（蕴含）、“¬”（非）等。

例如，对于命题p：“今天是晴天”，命题q：“明天会下雨”。

我们可以用命题逻辑符号表示如下：- p ∧ q 表示“今天是晴天且明天会下雨”；- p ∨ q 表示“今天是晴天或者明天会下雨”；- p → q 表示“如果今天是晴天，那么明天会下雨”；- ¬p 表示“今天不是晴天”。

二、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，用于证明一般性陈述对于每一个自然数都成立。

数学归纳法分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。

基础步骤：证明当n取某个特定值时，陈述成立。

归纳假设：假设对某个特定的正整数k，当n=k时陈述成立。

归纳步骤：证明当n=k+1时，陈述也成立。

三、绝对值不等式绝对值不等式是解决绝对值相关问题的重要工具。

当我们需要解决形如|ax+b|<c的不等式时，可以通过以下步骤进行求解：1. 如果a>0，得到不等式：-(ax+b)<c，并解得x的范围。

2. 如果a<0，得到不等式：ax+b<c，并解得x的范围。

四、数学归纳法证明等式数学归纳法也可以用于证明等式。

具体步骤如下：1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时，等式成立。

2. 归纳假设：假设对某个特定的正整数k，当n=k时等式成立。

3. 归纳步骤：证明当n=k+1时，等式也成立。

通过数学归纳法证明等式时，需要特别注意归纳假设的合理性和归纳步骤的推导过程。

五、直接证明与间接证明直接证明是指通过基本推理规则，从已知条件出发，严格地推导出结论的证明方法。

《推理与证明》推理与证明知识结构一、推理1.推理 ：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1 用归纳推理发现规律1；….对于任意正实数<+<+<成立的一个条件可以是 ____.,a b ≤点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.()f n n (4)f ()fn【解题思路】找出的关系式)1()(--n f n f [解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系题型2 用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.13【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， h r ar ah S 3121321=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==41【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1 综合法在锐角三角形中,求证:ABC C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++[解析]为锐角三角形，，ABC ∆ B A B A ->∴>+∴22ππ在上是增函数，x y sin = 2,0(πBB A cos )2sin(sin =->∴π同理可得，C B cos sin >AC cos sin >CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴考点2 分析法已知,求证0>>b a ba b a -<- [解析]要证，只需证b a b a -<-22)()(b a b a -<-即，只需证，即证b a ab b a -<-+2ab b <ab <显然成立，因此成立a b <b a b a -<-【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3 反证法 已知，证明方程没有负数根)1(12)(>+-+=a x x a x f x0)(=x f 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设是的负数根，则且且0x 0)(=x f 00<x 10-≠x 12000+--=x x ax ，解得，这与矛盾，112010000<+--<⇒<<∴x x a x 2210<<x 00<x 故方程没有负数根0)(=x f 【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多3、数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n 0时命题成立;(2)假设当n=k （）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.k ∈N +，且k ≥n 0在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （且为偶数）时命题为真，，则还需证2≥k 明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k 到k+1递)(k f )1(+k f )(k f 推中，左边要加（乘）上的式子考点2 数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅n n n [解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立2（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅k k k则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212++++<++++++⋅+⋅k k k k k k k 02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)121)2)(1()1(3221++<++++++⋅+⋅∴k k k k k 当n=k+1时， 不等式也成立∴综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

数学证明与推理知识点在我们日常生活中，数学证明与推理是不可或缺的一部分。

它是数学学科的核心内容，通过演绎推理和严密的证明过程，揭示了数学的真理和规律。

本文将介绍数学证明与推理的一些重要知识点，帮助读者更好地理解和运用数学推理方法。

一、命题与命题的逻辑连接命题是陈述句，它要么是真，要么是假。

在数学中，通过符号来表示命题，例如p、q、r等。

命题之间可以通过逻辑连接词进行组合，主要有“与”、“或”、“非”等。

例如，当p为真且q为假时，p与q的“与”命题为假。

利用逻辑连接词可以构建复合命题，从而进行更复杂的推理过程。

二、数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法。

通过证明一个命题的基本情况成立，并证明当命题对某个整数n成立时，它也对n+1成立，那么可以得出该命题对所有自然数成立的结论。

数学归纳法的证明过程可以分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。

利用数学归纳法可以证明一些关于自然数的结论，例如等差数列的和公式等。

三、直接证明直接证明是一种常见的证明方法，通过已知条件和数学定理推导出结论的真假。

在直接证明中，需要列出所有已知条件，并按照逻辑推理的规则一步一步地推导出结论。

在过程中要注意推理的合理性和逻辑的严密性，以确保证明的正确性。

直接证明常用于证明一些简单的数学结论和定理，如三角形内角和为180度等。

四、间接证明间接证明是通过反证法来证明一个命题的真假。

反证法的基本思想是假设待证命题的反命题为真，推导出矛盾的结论，从而推出待证命题的真实性。

间接证明通常采用假设否定命题的方法进行推理，通过逻辑推理得出矛盾。

在间接证明中，要注意推理的逻辑关系和推导过程的严密性。

间接证明常用于证明一些较为复杂的数学结论和定理，如无理数的存在性等。

五、等价命题等价命题是指在逻辑上具有相同真值的命题。

当两个命题的真值表一致时，它们就是等价命题。

等价命题之间可以进行等价替换，在证明过程中可以根据等价替换简化推理过程。

例如，利用等价命题可以将一个复杂的命题推理转化为更为简单的形式，从而更容易得出结论。

高中数学推理证明知识点总结数学是一门精确的科学，其中推理证明是其重要组成部分。

在高中数学学习中，掌握推理证明的知识点是非常关键的。

本文将对高中数学推理证明的知识点进行总结，以帮助同学们更好地了解和掌握数学推理证明的技巧和方法。

一、直接证明法直接证明法是最常用也是最简单的证明方法之一。

它的基本思路是通过逻辑推理，直接给出所需要证明的结论。

例如，证明命题“对于任意实数a和b，若a＞b，则a-b＞0”。

证明过程如下：假设a＞b，则a-b是一个实数，可以写成a-b=x，其中x为实数。

由a＞b可得，a-b＞0。

综上所述，命题成立。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学推理中有着重要的应用。

它的基本思路是通过假设命题的反面，并推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。

例如，证明命题“在任意整数中，不存在最大的整数”。

证明过程如下：假设存在一个最大的整数n，即对于任意整数x，若x＞n，则矛盾。

考虑整数n+1，显然n+1＞n，与n为最大整数的假设矛盾。

因此，原命题成立。

三、归纳法归纳法是一种常用于证明数列和命题的方法。

它的基本思路是通过证明当命题在某个条件下成立时，它在下一个条件下也成立，进而通过数学归纳推理证明命题在所有条件下成立。

例如，证明命题“对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。

证明过程如下：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1，成立。

假设当n=k时，命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

则当n=k+1时，左边为1+2+3+...+k+(k+1)，右边为(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2。

由归纳假设可得，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，成立。

综上所述，原命题成立。

四、递推法递推法是一种通过已知条件推导出下一个条件成立的方法，常用于证明数列的性质。

例如，证明命题“证明斐波那契数列性质：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)”。

考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

【初中数学】初中数学知识点总结：推理与证明
一、公理、定理、推论、逆定理：
1.公认的真命题叫做公理。

2.其他真命题的正确性都通过推理小说的证实，经过证明的真命题称作定理。

3.由一个公理或定理轻易面世的定理，叫作这个公理或定理的推断。

4.如果一个定理的逆命题就是真命题，那么这个逆命题就叫做原定理的逆定理。

二、类比推理：
一道题是由未知条件、解决办法、欲证明书结论三个要素共同组成，这此建议可以看做就是的属性。

如果两道题是在一系列属性上相近，或一道就是由另一道精练的，这时，就可以运用类比推理的方法，推断其中一道题的属性在另一道题中也存有相同或相近的属性。

三、证明：
1.对某个命题展开推理小说的过程称作证明，证明的过程包含未知、澄清、证明
2.证明的一般步骤：
（1）审清题意，明晰条件和结论；
（2）根据题意，画出图形；
（3）根据条件、结论，融合图形，写下未知澄清；
（4）对条件与结论进行分析；
（5）根据分析，写下证明过程
3.证明常用的方法：综合法、分析法和反证法。

四、辅助线在证明中的应用领域：
在几何题的证明中，有时了为证明需要，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅助线，常用虚线表示。

并在证明的开始，写出添加过程，在证明中添加的辅助线可作为已知条件参与证明。

高中数学推理与证明知识点高中数学中的推理与证明是一门需要逻辑思维和严密推理能力的学科。

推理与证明不仅仅局限于数学领域，同时也是一种思维方式，可以应用在各个学科及日常生活中。

下面将从常见的数学推理方法和证明方法、数学推理与证明的重要性等方面进行阐述。

首先，数学推理中常见的方法有：归纳法、逆否命题法、反证法、含有全称量词的推理和含有存在量词的推理等。

归纳法是通过一系列已知的事实或结论，推导出一个整体性的结论。

当我们观察到一些规律或者一些结果在若干特例中都成立时，我们可以通过归纳法认为这个规律或结果对于所有特例都成立。

逆否命题法是通过研究一个假设的否定命题证明原命题。

对一个条件命题而言，假如条件成立，则结论也成立。

可以通过对这个命题的逆否命题进行推理来推导出原命题的真值。

反证法是通过假设反命题为真来证明原命题。

假设反命题为真，然后通过推理推导出自相矛盾的结论，这样就可以推出原命题为真。

含有全称量词的推理是通过给出一些前提，然后使用一般化推理得出结论。

全称量词“对于所有”的意思是对于集合中的所有元素都适用这个结论。

如果我们能够证明给定的条件下集合中所有元素都满足这个结论，那么这个结论就成立。

含有存在量词的推理是通过给出一些前提，然后使用特殊化推理得出结论。

存在量词“存在”意味着存在一些元素使得这个条件成立。

如果我们可以找到至少一个元素满足这个条件，那么这个结论就成立。

在数学证明中，有直接证明法、间接证明法和数学归纳法等方法。

直接证明法是通过运用已知的数学理论和结论，按照推理的规则一步一步地推导出所要证明的结论。

间接证明法是通过假设目标命题的反命题为真，通过逻辑推理导出自相矛盾的结论，从而推出目标命题为真。

这种证明方法和反证法相似。

数学归纳法是证明一些命题对于所有整数或自然数都成立的一种推理方法。

它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

首先，证明命题在一些最小的整数或自然数上成立；然后，假设命题在一些整数或自然数上成立，通过这个前提推导出命题在下一个整数或自然数上也成立。

高二推理与证明知识点推理和证明是高中数学中的重要内容之一，它们不仅是数学思维的核心，也是培养学生逻辑思维和分析能力的有效方式。

在高二阶段，学生需要掌握一定的推理和证明的知识点，下面将介绍其中的几个重要内容。

一、命题与命题联结词在推理与证明中，命题是基础概念。

命题是陈述性的句子，要么是真的，要么是假的。

命题可以使用命题联结词进行逻辑联结，常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”等。

例如，p与q的合取命题可以表示为p∧q，表示p并且q同时为真；p或q的析取命题可以表示为p∨q，表示p或q至少有一个为真；非p的命题可以表示为¬p，表示p的否定。

二、条件与充分必要条件条件是推理与证明中常用的一种命题形式，它具有“如果...，那么...”的形式。

其中，前件称为充分条件，后件称为必要条件。

例如，若p，则q，表示p是q的充分必要条件。

在证明中，我们通常需要探究条件的真假关系并进行推理推导。

三、直接证明直接证明是常用的证明方法之一。

它通过运用已知条件和数学推理，按照一定的逻辑思路来证明命题的真实性。

直接证明的基本框架是：先假设命题为真，然后基于这一假设，利用数学定理、定义、公理等进行推导，最终得出结论，证明命题是真的。

在直接证明过程中，需要严密的逻辑推理和合理的论证步骤。

四、间接证明间接证明也是常用的证明方法之一，它通过假设命题的否定形式为真，然后通过推理推导推出一个矛盾的结论，从而得出原命题为真的结论。

间接证明通常运用反证法，即假设命题不成立，然后通过推理推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而否定了假设，证明了原命题的真实性。

五、反证法反证法是一种特殊的间接证明方法，它通过假设命题的否定形式为真，然后推导出一个明显的矛盾结论，从而否定了假设，得出原命题为真的结论。

反证法常用于证明某些数论命题，其中典型的例子就是证明“根号2是无理数”。

反证法的关键在于找到一个能够导致矛盾结论的假设，从而否定假设，证明原命题的真实性。

小学数学推理与证明知识点总结数学是一门富有智慧和美感的学科，而数学的推理与证明是培养学生逻辑思维和创造力的重要环节。

通过数学推理与证明，学生不仅可以提高解决问题的能力，还可以培养批判性思维和创新思维。

在小学阶段，数学推理与证明是一个渐进的过程，从简单到复杂，从具体到抽象。

在这篇文章中，我们将总结小学数学中的推理与证明知识点。

一、逻辑推理逻辑推理是数学推理与证明的基础，它包括命题逻辑和谓词逻辑两个方面。

在小学阶段，学生主要接触命题逻辑，即判断命题的真假和构造合乎逻辑的命题。

1. 命题与命题的连接词命题是陈述句，可以判断真假。

在推理过程中，常用到的命题连接词有“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“等价”。

2. 命题的真值表通过列出命题的真值表，可以判断复合命题的真假。

真值表是一个有助于推理的工具，可以直观地展示命题的真假情况。

3. 推理规则在逻辑推理中，常用的推理规则有假言、析取、拒取和假设四种。

学生需要掌握这些规则，并能够灵活运用于求解问题。

二、几何推理几何推理是指通过推理方法来解决与几何形状、特性和关系有关的问题。

1. 图形的性质推理学生需要掌握常见图形的基本特性和性质，如直线段的垂直、平行、等长；角的对应关系；圆和直线的关系等。

通过观察图形的特点，学生可以进行推理得出结论。

2. 图形的构造和变换推理学生在几何推理中还需要掌握图形的构造和变换。

通过构造辅助图形、运用相似三角形和等距离等几何变换原理，学生可以推导出一些几何关系。

三、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，通过证明某个命题对于正整数 n 成立，再证明对于 n+1 也成立，从而推导出命题对于所有正整数都成立。

1. 数学归纳法的三个步骤使用数学归纳法证明一个命题一般分为三个步骤：第一步，证明当 n=1 时命题成立；第二步，假设当 n=k（k为正整数）时命题成立，即假设命题在这个情况下成立；第三步，证明当 n=k+1 时命题也成立。

2. 数学归纳法的应用数学归纳法常用于证明一些数列的性质、等式的成立以及公式的推导等。

推理与证明基础知识1.推理：(1) 合情推理:归纳推理和类比推理都是根据己有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

%1归纳推理：由某类食物的部分对彖具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归納推理是由部分到整体，由个別到一般的推理。

%1类由两类亦象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对彖也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：裘些推理產驱到她敢推理。

⑵演绎骚理:从一鞭6勺矗理诫，应皿某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

'三段论”是演绎推理的一般模式，包抓⑴大前提---------- 己知的一般结论；⑵小前提..... 所研究的特殊情况；⑶结论 ............ 根据一般原理，对特殊情况得岀的判断。

二.证明1 •直接证明(1)综合法一般地，利用己知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导岀所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。

分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2 •间接证明------ 反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

3、数学归纳法一般的证明一个与正整数斤有关的一个命题，可按以下步骤进行：⑴证明当n取笫一个值“0是命题成立；⑵假设当n = k(k>n^ke AT)命题成立，证明当n = k^\时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从/20开始所有的正整数都成立。

初中数学复习要点：推理与证明初中数学温习要点：推理与证明一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。

2.其他真命题的正确性都经过推理的方法证明，经过证明的真命题称为定理。

3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

4.假设一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。

二、类比推理：一道数学题是由条件、处置方法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。

假设两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相反或相似的属性。

三、证明：1.对某个命题停止推理的进程称为证明，证明的进程包括、求证、证明2.证明的普通步骤：(1)审清题意，明白条件和结论;(2)依据题意，画出图形;(3)依据条件、结论，结合图形，写出求证;(4)对条件与结论停止剖析;(5)依据剖析，写出证明进程3.证明常用的方法：综合法、剖析法和反证法。

四、辅佐线在证明中的运用：在几何题的证明中，有时了为证明需求，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅佐线，常用虚线表示。

并在证明的末尾，写出添加进程，在证明中添加的辅佐线可作为条件参与证明。

罕见考法(1)灵敏运用基础知识停止推理，运用综合法、剖析法，从条件和结论两方面动身停止证明;(2)在中考中，考察类比推理，先设计一个条件、结论明白的效果，以此作为类比对象，然后再对其改造。

比如，图形的变式，添加某些新的属性或改动某些属性，经过与原有效果的比拟，推测新效果的结论与处置方法。

误区提示(1)不能准确掌握几何公理、定理的内容;(2)数学言语、符号言语、文字言语在相互转化中出现表述错误。

推理与证明1.合情推理：归纳推理与类比推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理.(简称归纳)归纳推理的几个特点;①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.③归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.归纳推理的一般步骤：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想。

（2）类比推理：在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.(简称类比)类比推理的几个特点;①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.③类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想。

2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．（１）演绎推理是由一般到特殊的推理；（２）“三段论”是演绎推理的一般模式；①大前提---已知的一般原理；②小前提---所研究的特殊情况；③结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．（3）三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理;②类比是由特殊到特殊的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.3.证明（1）综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的综合法.特点:“由因导果”（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的方法．特点：执果索因（3）反正法：反证法证明一个命题常采用以下步骤：①假定命题的结论不成立，②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾，③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。