埃尔米特插值

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：埃尔米特插值一、算法理论1、埃尔米特插值多项式设已知函数()y f x =在节点n x x x <<< 10上的函数值),,1,0)((n i x f y i i ==以及一切导数值()(0,1,)i i y f x i n ''==，要求一个插值多项式()H x ，使其满足()i i H x y =，()i i H x y ''= ，n i ,,1,0 = (1)显然，由条件(1)可以确定一个次数不高于21n +的代数多项式)(12x H n +，曲线)(12x H y n +=与()y f x =在节点处不仅重合而且有公共切线。

我们采用拉格朗日插值基函数的方法。

先求插值基函数),,1,0)((),(n j x x j j =βα，共22n +个基函数，每一个基函数都是一个21n +次多项式，且满足条件(),()0;()0,(),0,1,,.j jk j k j k j k jk x x x x j n αδαββδ'==='== (2)这里⎩⎨⎧=≠=.,1,,0k j k j δ(3)于是满足条件(1)的插值多项式 可写成用插值函数表示的形式210()[()()]nn j j j j H x y x y x αβ+='=+∑(4)由条件(2)，显然有2121(),()(0,1,,).n i i n i j H x y H x y i n ++''===下面的问题就是要求满足条件(2)的)(x j α与).(x j β为此，可利用拉格朗日插值基函数)(x l j ，由条件(2)有n 个二重零点),,,1,0(j k n k x k ≠= ，于是可令).()()(2x l b ax x j j +=α 由条件(2)有2()()()1,()()[()2()()]0.j j j j j j j j j j j j j x ax b l x x l x al x ax b l x αα=+=''=++=解出2(),12().j j j j j a l x b x l x ''=-=+由于,)(11111100nj nj j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=++--故01(),nj j k j kk jl x x x =≠'=-∑于是).(]1)(21[)(20x l x x x x x j njk k kj j j ∑≠=---=α (5)同理，可得).()()(2x l x x x j j j -=β (6) 将(5)式、(6)式 代入式(4)便得到埃尔米特插值多项式22210001()[12()]()()()nnnn i i j j j j j k j j kk jH x y x x l x y x x l x x x +===≠'=--+--∑∑∑(7)满足条件(1)的埃尔米特插值多项式是唯一的。

埃米尔特插值法
欧几里德·埃米尔特插值法（Euler-Laplace Interpolation）又称为埃米尔特插值，是指在离
散序列中查找未知值的技术，主要用于在数据序列中实现多项式插值，发源于拉普拉斯数
学家卡尔·拉普拉斯提出的奥埃尔-拉普拉斯插值的特殊情况。

欧几里德·埃米尔特插值是一种把离散数据形成一个多项式曲线，使其能够介入更多数据点，来插值计算未知值的方式，它比一般的数值插值更加高效，也更加准确。

使用欧几里德·埃米尔特插值法时，需要先计算出拉普拉斯差值的斜的系数。

在计算拉普
拉斯差值的斜的系数时，与格雷斯特插值和牛顿插值相比，欧几里德·埃米尔特插值的计
算量相对小。

当求出拉普拉斯差值斜系数后，即可使用欧几里德·埃米尔特插值法进行插值计算。

埃米
尔特插值法最大的优点在于它可以在基于一定步长的多项式曲线下，精确计算未知点的值，同时也可以使插值结果的计算的效率更高。

总的来说，欧几里德·埃米尔特插值法具有计算简便以及精度高的特点，是离散数据插值
计算中使用非常广泛的一种技术，是在查找数据时重要的一种选择。

埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。

它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。

埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。

2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。

这就是插值问题。

给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。

3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。

为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。

4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。

- g i(x j)=0对所有i,j成立。

基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。

5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。

通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。

6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。

我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。

java 数值计算方法埃尔米特插值法埃尔米特插值法（Hermite Interpolation）是一种在给定一组已知点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些已知点的方法。

它是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的，用于解决插值问题。

在数值计算中，插值是一种常见的技术，用于通过已知的离散数据点来估计未知点的值。

埃尔米特插值法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在数学建模、计算机图形学和工程领域。

埃尔米特插值法的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在给定的已知点上与函数值和导数值都完全匹配。

这样就可以通过这个多项式函数来估计未知点的值。

具体而言，埃尔米特插值法要求已知点的函数值和导数值，然后构造一个多项式函数，使得该函数在已知点上的函数值和导数值与给定的值完全一致。

为了更好地理解埃尔米特插值法的原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一组已知点，包括点A(1, 2)和点B(2, 4)，我们希望通过这两个点来估计点C(1.5, ?)的函数值。

我们需要计算点A和点B的导数值。

根据插值法的定义，我们可以通过计算两个点之间的斜率来获得导数值。

在本例中，点A和点B 的斜率分别为2和2。

然后，我们可以构造一个多项式函数，使其在点A和点B上的函数值和导数值都与给定的值完全一致。

通过埃尔米特插值法的计算过程，我们可以得到一个多项式函数f(x) = 2x^2 - 2x + 2。

通过该函数，我们可以估计出点C的函数值为f(1.5) = 3.25。

埃尔米特插值法的优点是可以通过已知点的函数值和导数值来构造一个更准确的多项式函数。

这使得插值结果更加准确，可以更好地逼近原始函数。

此外，埃尔米特插值法还可以用于估计未知点的导数值，这在某些应用中非常有用。

然而，埃尔米特插值法也存在一些限制。

首先，它要求已知点的函数值和导数值必须是精确的，这在实际应用中往往很难满足。

其次，埃尔米特插值法在处理大量离散数据点时可能会导致计算复杂度过高，从而影响计算效率。

埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。

这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。

埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。

这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。

具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。

我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。

那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。

拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。

使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。

此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。

具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。

因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。

一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。

总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。