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埃尔米特插值

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1.6 埃尔米特插值

1.6 埃尔米特插值

（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或 者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法 （2）待定系数法 （3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插 值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等）， 再结合其他插值节点的导数条件构造一个 附加项，由待定系数法给出系数，从而得 到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5

埃尔米特插值

埃尔米特插值

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：埃尔米特插值一、算法理论1、埃尔米特插值多项式设已知函数()y f x =在节点n x x x <<< 10上的函数值),,1,0)((n i x f y i i ==以及一切导数值()(0,1,)i i y f x i n ''==，要求一个插值多项式()H x ，使其满足()i i H x y =，()i i H x y ''= ，n i ,,1,0 = (1)显然，由条件(1)可以确定一个次数不高于21n +的代数多项式)(12x H n +，曲线)(12x H y n +=与()y f x =在节点处不仅重合而且有公共切线。

我们采用拉格朗日插值基函数的方法。

先求插值基函数),,1,0)((),(n j x x j j =βα，共22n +个基函数，每一个基函数都是一个21n +次多项式，且满足条件(),()0;()0,(),0,1,,.j jk j k j k j k jk x x x x j n αδαββδ'==='== (2)这里⎩⎨⎧=≠=.,1,,0k j k j δ(3)于是满足条件(1)的插值多项式 可写成用插值函数表示的形式210()[()()]nn j j j j H x y x y x αβ+='=+∑(4)由条件(2)，显然有2121(),()(0,1,,).n i i n i j H x y H x y i n ++''===下面的问题就是要求满足条件(2)的)(x j α与).(x j β为此，可利用拉格朗日插值基函数)(x l j ，由条件(2)有n 个二重零点),,,1,0(j k n k x k ≠= ，于是可令).()()(2x l b ax x j j +=α 由条件(2)有2()()()1,()()[()2()()]0.j j j j j j j j j j j j j x ax b l x x l x al x ax b l x αα=+=''=++=解出2(),12().j j j j j a l x b x l x ''=-=+由于,)(11111100nj nj j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=++--故01(),nj j k j kk jl x x x =≠'=-∑于是).(]1)(21[)(20x l x x x x x j njk k kj j j ∑≠=---=α (5)同理，可得).()()(2x l x x x j j j -=β (6) 将(5)式、(6)式 代入式(4)便得到埃尔米特插值多项式22210001()[12()]()()()nnnn i i j j j j j k j j kk jH x y x x l x y x x l x x x +===≠'=--+--∑∑∑(7)满足条件(1)的埃尔米特插值多项式是唯一的。

埃米尔特插值法

埃米尔特插值法

埃米尔特插值法
欧几里德·埃米尔特插值法（Euler-Laplace Interpolation）又称为埃米尔特插值，是指在离
散序列中查找未知值的技术，主要用于在数据序列中实现多项式插值，发源于拉普拉斯数
学家卡尔·拉普拉斯提出的奥埃尔-拉普拉斯插值的特殊情况。

欧几里德·埃米尔特插值是一种把离散数据形成一个多项式曲线，使其能够介入更多数据点，来插值计算未知值的方式，它比一般的数值插值更加高效，也更加准确。

使用欧几里德·埃米尔特插值法时，需要先计算出拉普拉斯差值的斜的系数。

在计算拉普
拉斯差值的斜的系数时，与格雷斯特插值和牛顿插值相比，欧几里德·埃米尔特插值的计
算量相对小。

当求出拉普拉斯差值斜系数后，即可使用欧几里德·埃米尔特插值法进行插值计算。

埃米
尔特插值法最大的优点在于它可以在基于一定步长的多项式曲线下，精确计算未知点的值，同时也可以使插值结果的计算的效率更高。

总的来说，欧几里德·埃米尔特插值法具有计算简便以及精度高的特点，是离散数据插值
计算中使用非常广泛的一种技术，是在查找数据时重要的一种选择。

埃尔米特插值

埃尔米特插值
2
(5.8)
x xk 1 , k ( x) x xk x x k 1 k 2 x xk k 1 ( x) x xk 1 x x . k k 1
2
(5.9)
2.5
埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2n 2 个插值基函数 j (x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
xk 5 10 k , n (k 0,1, , n)
所构造的拉格朗日插值多项式为
Ln ( x)
n 1 ( x) 1 . 2 j 0 1 x j ( x x j )n 1 ( x j )
n
令 xn 1/ 2 1 ( xn 1 xn ), 则 xn 1/ 2 5 5 ,
果并不好.
通常不用高次插值，而用分段低次插值.
2
n
18
表2-5列出了 n 2,4,,20 时的 Ln ( xn1/ 2 )的计算结果及 在 xn 1/ 2 上的误差 R( xn 1/ 2 ).
表2 5 n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 f ( xn 1/ 2 ) 0.137931 0.066390 0.054463 0.049651 0.047059 0.045440 0.044334 0.043530 0.042920 0.042440 Ln ( xn 1/ 2 ) 0.759615 0.356826 0.607879 0.831017 1.578721 2.755000 5.332743 10.173867 20.123671 39.952449 R ( xn 1/ 2 ) 0.621684 0.423216 0.553416 0.880668 1.531662 2.800440 5.288409 10.217397 20.080751 39.994889

埃尔米特插值法

埃尔米特插值法

埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。

它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。

埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。

2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。

这就是插值问题。

给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。

3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。

为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。

4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。

- g i(x j)=0对所有i,j成立。

基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。

5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。

通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。

6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。

我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。

2.4埃尔米特插值

2.4埃尔米特插值
P ( x) = P2 ( x ) + A( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )
2 1
x − x0 x −x 0 1
2
2
β 0 ( x ) = ( x − x0 ) ⋅ l02 ( x ) = ( x − x0 ) x − x1 x −x 1 0
β 1 ( x ) = ( x − x1 ) ⋅ l ( x ) = ( x − x1 )
两个节点就可以用2 × 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数
( 2 ) 同样 , 若要求P( x )在[ a , b ]上具有m阶导数( m阶光滑度) 显然P( x )在节点 x0 , x1 ,⋯ , xn处必须满足
P( xi ) = f ( xi ) = yi
P′( xi ) = f ′( xi ) = yi′ P′′( xi ) = f ′′( xi ) = yi′′
其中
α 0 ( x0 ) = 1
α 1 ( x0 ) = 0
α 0 ( x1 ) = 0
α 1 ( x1 ) = 1 β 0 ( x1 ) = 0
′ α 0 ( x0 ) = 0 ′ α 1 ( x0 ) = 0 ′ β 0 ( x0 ) = 1 ′ β 1 ( x0 ) = 0
′ α 0 ( x1 ) = 0
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) (ξ ) R3 ( x ) = ( x − x0 )2 ( x − x1 )2 4!
x0 ≤ ξ ≤ x1
以上分析都能成立吗？
当f ( 4 ) ( x )在[ x0 , x1 ]上存在且连续时 , 上述余项公式成立
例.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2

艾米特插值


若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求 它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具 有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴 近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插 值。
2
再由（2.6.2）可求得

数值分析4-埃尔米特插值


yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1

第五节Hermite插值


多项式, f(x)在含xi的区间[a,b]上2n+2阶连续可微, 则对任意
的x[a,b],总存在 (a,b),使得
f ( 2 n 2) ( ) 2 R( x) f ( x) H 2 n 1 ( x) ( x ) (5.6) (2n 2)!
6 例 求满足 P( x j ) f ( x j )
'
( j 0,1,, n)
与前面讨论类似，可证明满足条件的Hermite 插值多项式 是存在唯一的，其余项为
10
m f ( m n 2) ( ) R( x) f ( x) H ( x) n1 ( x) ( x x jk ) (m n 2)! k 0
例：按下表求Hermite 插值多项式
( j 0,1,2) 及 P' ( x j ) f ' ( x j )
的插值多项式及其余项表达式。
由给定条件，可确定次数不超过3 的插值多项式。
由于此多项式通过点
( x0 , f ( x0 )),
故其形式为
( x1 , f ( x1 )) 及 ( x2 , f ( x2 ))
P( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
n 2 i n
(5.5)
H 2 n 1 ( x) [1 2( x xi )li ( xi )]l ( x) yi ( x xi )li2 ( x) yi
i 0 i 0
{[1 2( x xi )li ( xi )] yi ( x xi ) yi}li2 ( x)
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x2 )
A( x x0 )( x x1 )( x x2 )

Hermite插值多项式


( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
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10
根据 j ( x)及 j ( x) 的一般表达式（5.4）及（5.5）， 可得到
x xk x xk 1 k ( x) 1 2 x x x x , k 1 k k k 1 2 x xk 1 x xk k 1 ( x) 1 2 x x x x . k k 1 k 1 k
1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0; k
k ( xk ) k ( xk 1 ) 0, ( xk ) 1, k ( xk 1 ) 0, k
k 1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0, 1 ( xk ) 0, k 1 ( xk 1 ) 1. k
j ( xk ) jk
0, 1, j k, j k,
j ( xk ) 0, j ( xk ) jk
( j , k 0,1, , n).
j ( xk ) 0;

(5.2)
将满足条件（5.1）的插值多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) 写成用插
f ( x j ),
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( j 0,1,, n), 问题是求插值多项式 H ( x) ，
满足条件
H ( x j ) y j , H ( x j ) m j , ( j 0,1,, n),
(5.1)
这里共有 2n 2个插值条件，可唯一确定一个次数不超过 其形式为 2n 1 的多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) ，
j ( x) (ax b)l 2 j ( x),
由条件（5.2），有
j ( x j ) (ax j b)l 2 , j (x j ) 1
j ( x j ) l j ( x j )[ al j ( x j ) 2(ax j b)l j ( x j )] 0,
5
两端取对数再求导，得
l j (x j )

k 0 k j
n
1 , x j xk
于是
j ( x) (1 2( x x j )
k 0 k j n
1 )l 2 j ( x ). x j xk
(5.4)
同理，可得
j ( x) ( x x j )l 2 j ( x).
2.5
埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
7
仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明： 若 f ( x) 在 (a, b) 内的 2n 2 阶导数存在，则其插值 余项
f ( 2 n 2) ( ) 2 R( x) f ( x) H 2 n 1 ( x) n 1 ( x) (2n 2)!
(5.6)
其中 (a, b)且与 x 有关.
值基函数表示的形式
H 2 n 1 ( x) [ y j j ( x) m j j ( x)].
j 0 n
(5.3)
3
由插值基函数所满足的条件（5.2），有
n1 ( xk ) mk , (k 0,1,, n) H 2 n1 ( xk ) yk , H 2
下面的问题就是如何求出这些基函数 j ( x)及 j ( x), 利用拉格朗日插值基函数 l j ( x ). 令
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2n 2 个插值基函数 j ( x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
4
整理得
ax j b 1; j ( x j ) 0. a 2l
解出
a 2l j ( x j ), b 1 2x jl j ( x j ).
由于
l j ( x) ( x x0 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xn ) ,
(5.7)
相应的插值基函数为 k ( x), k 1 ( x), k ( x), k 1 ( x), 它们满足条件
9
k ( xk ) 1, k ( xk 1 ) 0, ( xk ) k ( xk 1 ) 0, k k 1 ( xk ) 0, k 1 ( xk 1 ) 1,
(5.5)
6
可以证明满足条件（5.1）的插值多项式是惟一的. 用反证法，假设 H 2 n 1 ( x) 及 H 2 n 1 ( x)均满足条件（5.1）， 于是
( x) H 2 n 1 ( x) H 2 n 1 ( x)
在每个节点 xk 上的值及导数值均为零，即 xk 为二重根. 这样， ( x) 有 2n 2重根，但 ( x) 是不高于 2n 1次的多 项式， 故 ( x) 0. 惟一性成立.
8
插值多项式（5.3）的重要特例是 n 1 的情形. 这时可取节点为 xk 及 xk 1 ， 插值多项式为 H 3 ( x)，满足
H 3 ( xk ) yk , ( xk ) mk , H3
H 3 ( xk 1 ) yk 1 ; ( xk 1 ) mk 1. H3