20192020学年高中数学选修21期末综合试卷1.doc.docx

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0.因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“对任意的x ∈R ，2x 3－3x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，2x 30－3x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，2x 30－3x 20＋1≤0 C ．存在x 0∈R ，2x 30－3x 20＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，2x 3－3x 2＋1>0解析：选C.先变换量词，再否定结论，即“存在x 0∈R ，2x 30－3x 20＋1>0”． 3．下列命题中是假命题的是( )A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R ，3x>0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0解析：选B.因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≤2，所以B 错误，选B.4．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B ．CG → C.BC →D ．12BC → 解析：选A.如图所示．因为G 是CD 的中点，所以12(BD →＋BC →)＝BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AG →.5．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 210＋y 22＝1 C.x 22＋y 28＝1 D ．y 210＋x 24＝1 解析：选C.由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确．故选C.6．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B.由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，所以1a ＝－8，所以a ＝－18.7．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.设满足条件綈p 的集合为P ，满足条件綈q 的集合为Q ，则P ＝{x |－3≤x ≤1}，Q ＝{x |x ≥3或x ≤2}，所以P Q ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：选A.由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .9．已知命题p ：若方程ax 2＋x －1＝0有实数解，则a ≥－14且a ≠0；命题q ：函数y ＝x2－2x 在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是( )A ．p 且qB ．p 且綈qC ．p 或綈qD ．p 或q解析：选D.由于当a ＝0时，方程ax 2＋x －1＝0有实数解x ＝1，故p 是假命题；函数y ＝x 2－2x 在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q 是真命题，在四个选项中，只有p 或q 是真命题．10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .11．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD → 2＝1，由cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°，故直线a ，b 所成的角为60°.12．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1，F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 2解析：选D.由椭圆的几何性质得a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则|MN |＝________．解析：因为点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，所以－p2＝－1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，当x ＝1时，y ＝±2，则M (1，2)，N (1，－2)或N (1，2)，M (1，－2)，所以|MN |＝2－(－2)＝4.答案：414．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________(填序号)．解析：因为AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，所以AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；因为AP →·AD →＝－4＋4＝0，所以AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．答案：①②③15．若命题“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0为假命题，所以∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0为真命题，所以Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8，所以－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]16．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线x 2＝4y 的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，抛物线的准线方程是y ＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b，－1，(0，0)，该三角形的面积等于2×12×a b ×1＝a b ＝2，因此该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. 答案：52三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R ，4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.因为(綈p )∧q 为真，所以p 假，q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.所以所求m 的取值范围为[1，2]．18．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2，因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0， 解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2. 19.(本小题满分12分)如图，在四面体P ­ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝2，PC ＝4，E 是AB 的中点，F 是CE 的中点．(1)建立适当的直角坐标系，写出点B ，C ，E ，F 的坐标； (2)求BF 与平面ABP 所成的角的余弦值．解：(1)以PA 所在直线为x 轴，PB 所在直线为y 轴，PC 所在直线为z 轴，P 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B 点坐标为(0，2，0)，C 点坐标为(0，0，4)，A 点坐标为(2，0，0)． 因为E 为AB 的中点，所以E (1，1，0)．因为F 为CE 的中点，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2. (2)连接PE ，设G 为PE 的中点，连接FG ，BG ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 因为PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以PC ⊥平面ABP . 因为F ，G 分别为CE ，PE 的中点， 所以FG ∥PC ，所以FG ⊥平面ABP . 故∠FBG 为BF 与平面ABP 所成的角． 又因为cos ∠FBG ＝cos 〈BF →，BG →〉， BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－32，2，BG →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－32，0.所以cos 〈BF →，BG →〉＝BF →·BG →|BF →||BG →|＝52652＝6513，即BF 与平面ABP 所成的角的余弦值为6513. 20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PA .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC . (2)以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得，AO ＝OC ＝3，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－3，4)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)，PC →＝(0，23，－4)，BC →＝(－1，3，0)，CD →＝(－1，－3，0)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·BC →＝0，可得⎩⎨⎧23y 1－4z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0，令x 1＝3，可得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1，32.同理，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·CD →＝0，可得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1，32， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－519，又平面PBC 与平面PDC 所成的角为锐角，所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为519.21．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解：(1)由题意得F (1，0)，T (－1，0)，当直线l 与x 轴垂直时，A (1，2)，B (1，－2)， 此时TA →·TB →＝(2，2)·(2，－2)＝0，这与TA →·TB →＝1矛盾．故直线l 与x 轴不垂直．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．① 将①代入y 2＝4x 整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4， 所以TA →·TB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4＝4k2＝1.解得k ＝±2.故直线l 的斜率为±2. (2)因为y 1>0， 所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝4y 1＋4y 1≤1. 当且仅当y 1＝4y 1，即y 1＝2时取等号．故∠ATF 的最大值为π4.22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，1)，且离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，求证|BN |为定值．解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，且b ＝1，由椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，得a ＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得－2<m <2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .|AC |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·4m 2－4×（2m 2－2）＝10－5m 2.由l 与x 轴的交点N (－2m ，0)，得|MN |＝（－m ＋2m ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2. 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝52，所以|BN |为定值．。

2019-2020学年高中数学选修2-1综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3解析:①是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.答案:B2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x解析:∵抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.答案:D3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.答案:D4以双曲线的焦点为顶点顶点为焦点的椭圆方程为AC解析:由得∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,∴椭圆方程为答案:D5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是()ABCD解析:取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEM.D1N总是垂直PM.答案:A6若向量a=(1,0,z)与向量b=(2,1,2)的夹角的余弦值为则A.0B.1C.-1D.2解析:cos<a,b>解得z=0.答案:A7在四棱锥P-ABCD中则这个四棱锥的高A.1B.2C.13D.26解析:设底面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则--取x=1,则n故四棱锥的高h即点P到底面ABCD的距离答案:B8如果命题“(p)∨(q)”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为()①命题“p∧q”是真命题②命题“p∧q”是假命题③命题“p∨q”是真命题④命题“p∨q”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④解析:由“(p)∨(q)”是假命题,知p和q均为假命题⇒p为真,q为真,则p∧q为真,p∨q为真,则①③正确,故选A.答案:A9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为()AC解析:焦距为2c,短轴长为2b,由已知,得2c故b=3c.又∵a2=b2+c2=9c2+c2=10c2,∴e答案:A10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC 的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()A.θB.cos θC.tan θD.sin θ解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以-易知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),则cos n>-所以PG与平面ABCD所成角θ的余弦值为--即cos θ答案:B11设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足则的值为A.2 BC.1 D解析:双曲线方程可化为⊥PF2.∴由双曲线定义,知又已知由①②③,得20a-2×2=16a,∴a=1.答案:C12过点M(-2,0)的直线m与椭圆交于两点线段的中点为设直线的斜率为≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C解析:设直线m:y=k1(x+2)代入得x2+整理,得(1+Δ=(解得设P1P2的中点P0(x0,y0),则x0-∴k2-∴k1·k2=答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在四面体OABC中a b c,D为BC的中点,E为AD的中点,则用a,b,c表示)解析:答案:14已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,垂足为G,与抛物线的交点为E,则|EF|=.解析:由焦点为F(2,0)可得p=4,则G(-2,2).由题意可设E(x,2),因为E在抛物线上,所以22=8x,x所以|EF|=|EG|答案:15已知p-若是的既不充分也不必要条件则实数的取值范围是解析:由-解得-m<x<2m,由x(x-4)<0解得0<x<4.若p是q的充分条件,则有-解得m无解;若p是q的必要条件,则有-解得m≥2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是0<m<2.答案:(0,2)16曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于其中,正确结论的序号是.解析:①曲线C经过原点,则当曲线C上点P为原点时,|PF1||PF2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C关于原点对称,设曲线C上点P关于原点的对称点为P',则|PF1|=|P'F2|,|PF2|=|P'F1|,满足|P'F1||P'F2|=a2,所以②正确;③由三角形面积公式S C,得△·|PF2|sin∠F1PF2≤·|PF2|所以③正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.解:因为不等式|x-1|>m-1的解集为R,所以m-1<0,m<1.又因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,所以5-2m>1,m<2.即命题p:m<1,命题q:m<2.因为p∨q为真,p∧q为假,所以p和q一真一假.当p真q假时应有无解.当p假q真时应有≤m<2.故实数m的取值范围是[1,2).18(12分)已知双曲线与椭圆有相同焦点且经过点(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|?解:(1)椭圆的焦点在x轴上,且c-即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为则有解得a2=4,b2=12,-故双曲线方程为(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.在双曲线中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.19(12分)已知点P(1,3),圆C:(x-m)2+y2过点-点为抛物线的焦点直线与圆相切(1)求m的值与抛物线的方程;(2)设点B(2,5),点Q为抛物线上的一个动点,求的取值范围解:(1)把点A代入圆C的方程,得(1-m)2-∴m=1.圆C:(x-1)2+y2当直线PF的斜率不存在时,不合题意.当直线PF的斜率存在时,设为k,则PF:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF与圆C相切,解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF与x轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去.当k=-1时,直线PF与x轴的交点横坐标为4,抛物线方程为y2=16x.(2设Q(x,y)则-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=--2y+12=-(y+16)2+28≤28.∴的取值范围为(-∞,28].20(12分) 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.求证:(1)CM∥平面PAD.(2)平面PAB⊥平面PAD.证明:以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角.所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2,PB=4.所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.(1)令n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,则即令y=2,得n=(-,2,1).所以-因为n·=-+2×0+1×=0,所以n⊥.又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E,则E(,2,1),=(-,2,1).因为PB=AB,所以BE⊥PA.又因为=(-,2,1)·(2,3,0)=0,所以,所以BE⊥DA.又因为PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD.又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD, AD=,DC=SD=2.点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.(1)求证:M是侧棱SC的中点;(2)求二面角S-AM-B的余弦值的大小.(1)证明以D为坐标原点,射线DA,DC,DS为x轴、y轴、z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).设=λ(λ>0),则M,所以=-.又=(0,2,0),<,>=60°,故=||·||cos60°,即=-,解得λ=1,即=.所以M为侧棱SC的中点.(2)解由M(0,1,1),A(,0,0),得AM的中点G.所以=-,=(0,-1,1),=(-,1,1),则=0,=0,即,.因此,<,>等于二面角S-AM-B的平面角,所以cos<,>==-,故二面角S-AM-B的余弦值为-.22(13分)已知椭圆+=1与射线y=x(x≥0)交于点A,过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B和点C.(1)求证:直线BC的斜率为定值,并求出这个定值;11(2)求△ABC面积的最大值.(1)证明由得A(1,).设直线AB的斜率为k,则直线AC的斜率为-k.直线AB的方程为y=k(x-1)+,①直线AC的方程为y=-k(x-1)+,②将①代入椭圆方程并化简得(k2+2)x2-2(k-)kx+k2-2k-2=0.∵1和x B是它的两个根,∴x B=--,y B=kx B+-k=--.同理可得x C=-,y C=-,∴k BC=--=.(2)解设直线BC的方程为y=x+m,代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2-4=0,|BC|=|x1-x2|=-.∵A到BC的距离为d=,∴S△ABC=-≤-=,当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时,上式等号成立.故△ABC面积的最大值为.12。

模块综合测评(教师用书独具) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为( )【导学号：15460086】A.54B ．52C.32D ．54【解析】 由题意，1－b2a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝34，∴b2a2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b2a2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A.2B ．3C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝错误!≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x225＋y29＝1与椭圆x2a2＋y29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x2a2＋y29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A.π3 B ．2π3C.3π4 D ．π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A1D →＝(0,1，－1)，∴cos〈AA1→，A1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA1→，A1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C 8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9．如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB→＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－3B ．－33C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A 10．过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )【导学号：15460087】A ．－13B ．13C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，±b2a ，则斜率k ＝±b2ac ＋a ＝±b2ac ＋a2＝±a2－c2ac ＋a2＝±1－e2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C.【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |,4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝错误!.由|AF |＝x 1＋错误!＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以错误!＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．若F 1，F 2为双曲线C ：x24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B ．155C.2155D ．1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 2－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________.【解析】 由已知，得AC →＝k AB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1,3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 5 14．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝1－2a<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a>12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN||AB|的最大值为________．【解析】如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a2＋b2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b2，又a ＋b 2≤a2＋b22，所以|MN||AB|＝a ＋b2a2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN||AB|的最大值为22.【答案】2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP→|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A . 当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，1，12.18.(本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM→＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连接CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)易知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)，2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝23. ∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19.(本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.【导学号：15460088】【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB . ∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，于是AC→＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD→·n |CD →||n|＝63，cos α＝33.故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】(1)(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)． ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)(2)以D 为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC→＝(－4k,6k,0)，AB1→＝(0,3k,1)，AA1→＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n＝0，AB1→·n＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA1→·n |AA1→||n|＝6k36k2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C.图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 2＝OB 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13，∴169a2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为xc ＋yb ＝1，与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a2c a2＋c2，－b3a2＋c2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a2c a2＋c2，b3a2＋c2， 又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c ＝b33a2c ＋c3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b33a2c ＋c3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝ca ＝55.。

章末评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是( ) A ．梯形是四边形 B ．作直线AB C ．x 是整数 D ．今天会下雪吗？答案：A2．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0答案：C3．已知命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，则¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，2n ≤1 000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1 000 C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000 D ．∃n ∈N ，2n ＜1 000解析：特称命题的否定为全称命题，即∀n ∈N ，2n ≤1 000. 答案：A4．已知命题①若a ＞b ，则1a ＜1b ；②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0.则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为若1a ＜1b ，则a ＞b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立，故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．答案：D5．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a ＞b ＞0，则1a ＜1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，¬p ，¬q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，¬p ，¬q 是假命题． 答案：B7．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a 有实根，故a ＜0.答案：C8．下列说法正确的是( ) A ．a >b 是ac 2>bc 2的充要条件 B ．a >1，b >1是ab >1的充分条件C ．∃x 0∈R ，e x 0≤0D ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为真命题解析：由a >b 推不出ac 2>bc 2，A 不正确；由a >1，b >1能推出ab >1，B 正确；e x 0>0(x 0∈R)恒成立，C 不正确；由p ，q 都为假命题可得p ∧q 为假命题，此时p ∨q 为假命题，D 不正确．答案：B9．已知命题p ：若不等式x 2＋x ＋m ＞0恒成立，则m ＞14；命题q ：在△ABC中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，则( )A ．p 假q 真B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．¬p 假¬q 真解析：易判断出命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以¬p 为假，¬q 为假．结合各选项知B 正确．答案：B10．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，“f (x )，g (x )均为偶函数”，是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若f (x )，g (x )均为偶函数，则h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，所以h (x )为偶函数．若h (x )为偶函数，则f (x )，g (x )不一定均为偶函数．可举反例说明，如f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ＋2，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋2为偶函数．答案：B11．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N *，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N *，x 30<x 20”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要而不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：选项A 是全称命题，不正确；选项B 应该是∃x 0∈N *，x 30≤x 20，不正确；对于选项C ，f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，周期T ＝2π2a ＝πa，当a ＝1时，周期是π，当周期是π时，a ＝1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的充要条件；选项D 正确．答案：D12．有下列命题：①“若x ＋y ≥0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”，为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”，因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1，所以③是假命题；④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．若“x ∈[2，5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：由题意知，x ∉[2，5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题，即x ∈(－∞，2)∪(5，＋∞)且x ∈{x |1≤x ≤4}为真命题，可得x ∈[1，2)．答案：[1，2)14．若|x －1|<a 的充分条件是|x －1|<b (其中a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是________．解析：由题意可知|x－1|<b的解集包含于|x－1|<a的解集，所以a≥b.答案：a≥b15．命题“在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是________________．答案：在△ABC中，若c2≠a2＋b2，则∠C≠90°16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2＋1＜0”；④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件是正确的．答案：②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请写出“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题．解：(1)逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc，是真命题．否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b，是真命题．逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc，是真命题．(2)p或q：对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形．p且q：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形．非p：对角线互相垂直的四边形不是菱形．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q ：所有等边三角形都是等腰三角形； (2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (3)s ：至少有一个实数x 0，使3x 0－1＝0.解：(1)¬q ：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．(2)¬r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥x ＞0成立． (3)¬s ：∀x ∈R ，3x －1≠0，假命题． 这是由于x ＝0时，3x －1＝0.19．(本小题满分12分)给定两个命题，p ：对于任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1＞0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，可以得到0≤a＜4.关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14.如果p 正确，q 不正确，有0≤a ＜4，且a ＞14，所以14＜a ＜4.如果q 正确，p 不正确，有a ＜0或a ≥4，且a ≤14，所以a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4. 20．(本小题满分12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：¬p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2或x >10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}．¬q ：x 2－2x ＋1－m 2>0， 解得x <1－m 或x >1＋m ， 令B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m }． 因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10且等号不能同时成立⇒m ≥9， 所以m 的取值范围是[9，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：y ＝c x 为减函数；命题q ：函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0＜c ＜1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2，若q 真，则1c ＜2，即c ＞12. 若p 真q 假，则0＜c ＜1，c ≤12，所以0＜c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c ＞12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)＜0的解集为A ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题，得x 2－x －m ＜0在－1≤x ≤1时恒成立，所以m ＞(x 2－x )max ，得m ＞2，即B ＝{m |m ＞2}． (2)不等式(x －3a )(x －a －2)＜0，①当3a ＞2＋a ，即a ＞1时，解集A ＝{x |2＋a ＜x ＜3a }， 若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，所以2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则AB 成立；③当3a ＜2＋a ，即a ＜1时，解集A ＝{x |3a ＜x ＜2＋a }，若a ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则AB 成立，所以3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1. 综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

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综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2016·莱芜高二检测)下列四个命题中，真命题为( )A.2是偶数且是无理数B.有些梯形内接于圆C.空间中的两个向量可能不共面D.?x∈R，x2-x-1≠0【解析】选 B.2是有理数，故A错误；空间任何两个向量都共面，故C错误；由x2-x-1=0得x=，存在x=使x2-x-1=0，故D错误；而等腰梯形一定内接于圆，故B正确.2.“x2=4”是“x=2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.由于x=2?x2=4，而x2=4x=2，所以“x2=4”是“x=2”的必要而不充分条件.3.(2016·安阳高二检测)命题p：“?x∈，2x2-x-m>0”，命题q：“?x0∈，log2x0+m>0”.若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围为( )A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.-1≤m≤1【解析】选C.由“p∧q”为真命题知p，q都是真命题，命题p是真命题，即m<2x2-x，对x∈恒成立，得m<1；命题q是真命题，即?x0∈，-m<log2x0，只要-m<(log2x0)max=1，即m>-1.由p，q均为真命题知-1<m<1.4.双曲线-=1上P点到左焦点的距离是6，则点P到右焦点的距离是( )A.12B.14C.16D.18【解析】选 B.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8，又|PF1|=6，所以|PF2|=14.【补偿训练】已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为(-4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-= 1D.-=1【解析】选 D.由已知得双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为-=1(a>0，b>0)，由题意得解得a2=4，b2=12，所以双曲线方程为-=1.5.(2016·聊城高二检测)对?k∈R，方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是( ) A.两条直线 B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线【解析】选 D.根据方程特征只含x2，y2项，知它不可能表示抛物线.6.(2016·青岛高二检测)已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|a|= ( )A. B. C. D.。

章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案：C2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定 解析：因为AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)， 又因为AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3D ．－1解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 答案：A5．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．1答案：A6．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1×12×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.答案：B7．在平行六面体ABCD -EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D ．1解析：AG →＝AB →＋BC →＋DH →，又AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，则x ＋y ＋z ＝1－12＋13＝56，故选C.答案：C8．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)答案：B9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°解析：由条件知，|BA1→|＝2a ，|AC →|＝2a ，BA1→·AC →＝(AA1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AA1→·AB →－|AB →|2＋AA1→·AD →－AB →·AD →＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－a22a·2a ＝－12.所以向量BA1→与AC →所成的角为120°，故选D.答案：D10．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，由此可得a ·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.结合选项易知选D.答案：D11．如图，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB1→的夹角为60°答案：D12．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.所以|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|3＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，所以cos 〈CA →， BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________．解析：因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2k 5×k2＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2＝511.所以k ＝－5511.答案：－551114．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．答案：(－64，－26，－17)15．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，所以k ＝±1.答案：±116．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， B (0，1，0)，B 1(0，1，1)，C 1(0，0，1)，则C1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C1B1→＝(0，1，0)，C1B →＝(0，1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y ，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧C1A →·n＝0，C1B →·n＝0.解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则d ＝|C1B1→·n||n|＝113＋1＋1＝217. 答案：217三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)， b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1­AB ­C 的余弦值大小．解：直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)， 由⎩⎨⎧n·AC1→＝0，n·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)， 故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1­AB ­C 的余弦值为33434. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明：因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)， 所以AC →·BC1→＝0，所以AC ⊥BC 1.(2)因为CB 1与C 1B 的交点为E ，所以E (0，2，2)．因为DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC1→＝(－3，0，4)， 所以DE →＝12AC1→，所以DE →∥AC1→.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1.21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P ­FC ­B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ， 又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4， 所以BE ＝4－x ，EF ＝x . 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°， 所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ， 所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x . 从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎨⎧n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0（x －4）＋y0（4－x ）＝0，－4x0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y0＋32xz0＝0，所以⎩⎨⎧x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量． 又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 设二面角P ­FC ­B 的平面角为α， 则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1||n2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P ­FC ­B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155. 22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F ­BE ­D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . (2)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°， 所以ED BD＝3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量， 所以cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F ­BE ­D 的余弦值为1313. (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．。

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b答案 C解析 “若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 2．命题：“存在数列{a n }，{b n }既是等差数列又是等比数列”( ) A ．是特称命题并且是真命题 B ．是全称命题并且是假命题 C ．是特称命题并且是假命题 D ．是全称命题并且是真命题 答案 A解析 存在非零常数数列既是等差数列又是等比数列，因此该命题是特称命题并且是真命题．故选A.3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10答案 B解析 ∵f ′(x )＝10xln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4．已知a 、b ∈R ，那么“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 将ab ＋1>a ＋b 整理得，(a －1)(b －1)>0，即判断“0<a <1且0<b <1”是“(a －1)(b －1)>0”的什么条件．由0<a <1且0<b <1可推知(a －1)(b －1)>0，由(a －1)(b －1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，b <1.故“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件．5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D ．[4－2，4＋2]答案 A解析 由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1，∴－3≤m ≤ 3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋23，故选A.6．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q答案 D解析 由3x <4x得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x >1，当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图象知，tan x >x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故q 为真命题．故选D.7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|P 1F |，|P 2F |，|P 3F |成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2答案 C解析 由抛物线定义及题中条件知2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即x 1＋x 3＝2x 2.8．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 圆心到渐近线bx ±ay ＝0的距离为22－1＝3，所以2b c＝3⇒c ＝2a ⇒e ＝2，故选A.9．若曲线f (x )＝x 2－1与g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( ) A.3366B ．－3366C.23D.23或0 答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝－3x 2，∴(2x 0)·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366.故选A. 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确答案 D解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28＝4(m 2－6m ＋8)≤0，∴2≤m ≤4，故选D.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝( )A.19B.14C.13D.12答案 A解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由抛物线的定义，可得5＝1＋p2，得p ＝8，即y 2＝16x ，M (1,4)．双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A (－a ，0)，渐近线方程为y ＝±1ax ，直线AM 的斜率为41＋a.由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得1a ＝41＋a，解得a＝19，故选A. 12．直线y ＝x ＋3与曲线 y 29－x |x |4＝1( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点答案 D解析 当x ≥0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为： y 29－x 24＝1， ①将y ＝x ＋3代入①得：5x 2－24x ＝0，解得x ＝0或x ＝245，即此时有两个交点．当x <0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为：y 29＋x 24＝1， ② 将y ＝x ＋3代入②有：13x 2＋24x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2413，即此时有一个交点．综上所述，直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1有三个交点，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)过点(4,2)，则抛物线C 的焦点坐标为________． 答案 (0,2)解析 本题主要考查抛物线的标准方程及性质．将点(4,2)代入y ＝ax 2(a >0)，得a ＝18，所以抛物线标准方程为x 2＝8y ，焦点坐标为(0,2)．14．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件； ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________． 答案 ①③解析 ①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真； ③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真，推不出綈p 为假．15．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的减区间是________． 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＝3x 2－3<0.即－1<x <1.∴f (x )的减区间是(－1,1)．16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.由根与系数的关系得，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 代入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k，根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 由已知可得f ′(x )＝1－a x2.∵f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－a x2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(x 2)min ，∴a ≤1. 命题p ：A ＝{a |a ≤1}．g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解， Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3. 命题q ：B ＝{a |a <－3或a >3}． ∵命题“p ∨q ”为真命题， ∴A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．∴所求实数a 的取值范围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域； (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 解 (1)设长为x m ，则宽为200xm.据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16000＝800x ＋259200x ＋16000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16.(2)由(1)知y ′＝800－259200x2， 令y ′＝0，解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16时，函数y 单调递减，∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45000元． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x <－，x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2≤x ≤12，5x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <－2时，f (x )>1； 当－2≤x ≤12时，f (x )≥f (－2)＝1；当x >12时，f (x )>72.所以函数f (x )的最小值是1. (2)由题意，得p ，q 一真一假．当p 是真命题时，1≥m 2＋2m －2，解得－3≤m ≤1， 则当p 是假命题时，m <－3或m >1；当q 是真命题时，m 2－1>1，解得m <－2或m >2， 则当q 是假命题时，－2≤m ≤ 2.当p 真q 假时，有⎩⎨⎧ －3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1，当p 假q 真时，有⎩⎨⎧m <－3或m >1，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2.综上，实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x＋1x －a. (1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)函数f (x )是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x＋1x －a， ∴f ′(x )＝e x－1x －a2，∴f ′(0)＝1－1a2.当a ＝12时，f ′(0)＝－3.又f (0)＝－1，∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －(－1)＝－3(x －0)，即y ＝－3x －1. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)． 当x ∈(a ，＋∞)时，e x>0，1x －a>0， ∴f (x )＝e x＋1x －a>0. 即f (x )在区间(a ，＋∞)上没有零点． 当x ∈(－∞，a )时，f (x )＝e x＋1x －a＝exx －a ＋1x －a，令g (x )＝e x(x －a )＋1.只要讨论g (x )的零点即可．g ′(x )＝e x(x －a ＋1)，g ′(a －1)＝0. 当x ∈(－∞，a －1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，g ′(x )>0，g (x )是增函数． ∴g (x )在区间(－∞，a )上的最小值为g (a －1)＝1－e a －1.显然，当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一的零点；当a <1时，g (a －1)＝1－e a －1>0，∴f (x )没有零点； 当a >1时，g (a －1)＝1－ea －1<0，∴f (x )有两个零点．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点． 解 (1)∵y 2＝2px 过点P (1,1)， ∴1＝2p ，解得p ＝12.∴y 2＝x .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线为x ＝－14. (2)证明：设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的直线方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则直线OP 的方程为y ＝x ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ， 由题意知A (x 1，x 1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x可得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0，∴x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.∴y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2＝2kx 1＋1－kk 22·14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k )·2x 1 ＝2x 1.∴A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解 (1)根据椭圆对称性可得，P 1(1,1)，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32不可能同时在椭圆上，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32，代入椭圆方程可得：b ＝1，1a 2＋34＝1⇒a ＝2，故而可得椭圆的标准方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，不妨设直线P 2A 为：y ＝kx ＋1，P 2B 为：y ＝(1－k )x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1⇒(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，此时可得：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫＋k ＋k 2＋1，1－＋k 2＋k 2＋1，此时可求得直线的斜率为：k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－＋k 2＋k 2＋1－1－4k24k 2＋1＋k ＋k 2＋1－－8k4k 2＋1，化简可得k AB ＝－1＋2k2，此时满足k ≠－12.①当k ＝－12时，A 、B 两点重合，不合题意．②当k ≠－12时，直线方程为：y ＝－1＋2k2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 4k 2＋1＋1－4k 24k 2＋1，即 y ＝－k 2＋4k －1＋x＋2k2， 当x ＝2时，y ＝－1，因此直线恒过定点(2，－1)．。

2－ 1 综合测试卷一、选择题1．设 m ， n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m ＝ λn ”是“ m ·n<0”的 ( )A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析：若? λ<0，使 m ＝ λn ，则两向量 m ，n 反向，夹角是 180°，那么 m ·n ＝ |m||n|cos 180 °＝－ |m||n|<0；若 m ·n<0，那么两向量的夹角为 (90 ，°180 °]，其实不必定反向，即不必定存在负数 λ，使得 m ＝ λn ，所以是充足而不用要条件，应选A.答案： A2．以下判断正确的选项是 ( ) A ．“若 a 2<b 2，则 a<b ”的否命题为真命题B ．函数 f(x)＝ x 2＋ 9＋1 的最小值为 2x 2＋ 9C ．命题“若 x ＝ y ，则 sin x ＝ sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“ ? x>0,2019 x ＋ 2019>0 ”的否认是：“ ? x 0≤ 0,2019x ＋ 2019 ≤0”分析： 关于 A 选项， “ 若 a 2<b 2，则 a<b ” 的否命题为 “若 a 2≥ b 2，则 a ≥ b ” ，不如取 a＝－ 2，b ＝ 1，则 a 2≥ b 2 成立，但 a ≥ b 不可立， A 选项中的命题不正确；由基本不等式可得 f(x) ＝ x 2＋9 ＋1 ≥ 2x 2＋ 9 ·1＝ 2 ，当且仅当x 2＋9 ＝1 时，即当x 2＋9x 2＋ 9x 2＋ 9x 2＋ 9＝ 1 时，等号成立，但 x 2 ＋9≥ 3，B 选项中的命题错误；关于C 选项，命题 “ 若 x ＝y ，则 sin x ＝ sin y ” 是真命题，其逆否命题也为真命题， C 选项中的命题正确；关于D 选项，由全称命题的否认可知，命题“?x>0,2019 x ＋ 2019>0 ” 的 否 定 是 ： “ ? x 0>0,2019x 0 ＋2019≤0” ， D 选项中的命题错误．应选C.答案： C3．命题 p ：? x ∈ R ，x － 2>0 ，命题 q ：?x ∈R ， x<x ，则以下命题中为真命题的是 ()A ． p ∨ qB ．p ∧ qC ． 綈 p ∨qD. 綈 p ∧ 綈 q分析： 命题 p ： ? x 0∈ R ， x 0－ 2>0 为真命题命题綈 p ： ? x ∈ R ， x － 2≤ 0 为假命题命题 q ： ? x ∈R ， x<x 为假命题 命题綈 q ： ? x ∈ R ， x 0≥ x 0 为真命题明显地，答案选 A.答案： A1π4．设命题 p ：f(x)＝ x 在定义域上为减函数；命题q ：g(x)＝ cos x ＋ 2 为奇函数，则以下命题中真命题是 ( )A ． (綈 p)∧ q B. ( 綈 p)∧ (綈 q)C ． p ∧ qD ．p ∧ (綈 q)分析： f(x)＝1p 是假命题，x 在定义域上不是减函数，故命题πg(x)＝ cos x ＋2 ＝－ sin x 是奇函数，故命题 q 是真命题，则( 綈 p)∧ q 为真命题，其他为假命题．答案： A225．若双曲线 x 2－ y2＝ 1(a>0， b<0) 的一个焦点F 到其一条渐近线的距离为3a ，则双曲线a b的离心率为 ()A. 2B. 3 C ．2 D. 5分析： 双曲线的一个焦点为 F(c,0)，一条渐近线方程为 bx － ay ＝ 0，所以焦点到渐近线的方程为|bc| ＝ 3a ，整理得 b 2＝ 3a 2，即 b 2a 2＝3b 2＋ a 22所以 e ＝1＋ b2 ＝ 1＋3＝ 2a答案： C6．已知向量 a ＝ (1， x)， b ＝( － 2,4)， a ∥ (a － b)，则 x ＝ ( )A ．－ 2B ．－ 1C ． 3 D. 1分析： ∵ a －b ＝ (3， x － 4)由 a ∥ (a － b)得， 1× (x －4)－ 3x ＝ 0，解得 x ＝－ 2，应选 A.答案： A x2y2－7．双曲线 C ：＝ 1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点， 若 |PO|4 2＝ |PF|，则△ PFO 的面积为 ( )3 2 3 2A. 4B. 2C ． 2 2D ． 3 2分析： 由 a ＝2， b ＝ 2， c ＝a 22P6＋ b ＝6， ∵|PO|＝ |PF|， ∴x ＝ 2 ，b又 P 在 C 的一条渐近线上，不如设为在 y ＝a x 上， ∴S △ PFO ＝ 1|OF | |y ·P |＝ 1× 6× 3＝32，应选 A.答案： A 2 22 48．已知 a ＝(2,3) ，b ＝ (m ，m － 1)， c ＝ (m,3)，若 a ∥ b ，则 b ·c ＝ ( )A ．－ 5B ． 5C ． 1D ．－ 1分析： 因为 a ∥ b ，故 2(m － 1)＝ 3m ，解得 m ＝－ 2，于是 b ＝ (－ 2，－ 3)， c ＝ (－ 2,3)， 所以 b ·c ＝ 4－ 9＝－ 5.应选 A.答案： Ax2y29．若双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为 30°，则其离心率的值为 ()A ．2B ．2 22 3 3 2C. 3D. 2x2y2b b分析：因为双曲线°a 2－2＝ 1(a>0，b>0)的渐近线为 y ＝ ± x ，而倾斜角为30°，故 ＝ tan 30baa3b 2c 2 －a 2 1c 2 42 3＝ 3 ，所以 a 2 ＝ a 2＝ 3，即 a 2 ＝ 3，则 e ＝ 3 ，应选 C.答案： C10．若双曲线 C ： x 2－ y 2b2＝ 1 的离心率大于 2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是()A ． (1,2)B ． (2 3，＋∞ )C ． (1， 2)D ．(2 2，＋∞ )y 21＋b 2，分析： ∵ 双曲线 C ： x 2－2＝ 1， ∴ a 2＝1，可得 a ＝ 1， c ＝by21＋b 2>2，解之得 b> 3，∵双曲线 C ： x 2－ 2＝ 1 的离心率大于 2， ∴1b双曲线的虚轴长： 2b>2 3，应选 B.答案： Bx 2 ＋ y 2 11．已知 O 为坐标原点，点 12＝ 1 的左、右焦点， A 为椭圆 CF 、 F 分别为椭圆 C ： 43上的一点，且 AF 2⊥ F 1F 2，AF 1 与 y 轴交于点 B ，则 |OB|的值为 ()33A.2B.4 55C.2D.3分析： 以以下图所示：由 AF 21 2可知： 1 ∥OB 且 2|为椭圆的半通径⊥ F F AF |AF ∵O 为 F 1F 2中点， ∴OB 为△AF 1 F 2 的中位线，1∴|OB |＝|AF 2|22b 2 ＝ 3 3 又|AF |＝ a 2， ∴ |OB|＝4，此题正确选项为 B. 答案： B 12．如图， F 1、F 2 分别是双曲线|OF 1 |为半径的圆与该双曲线左支交于率为( )x 2 y 2O 为圆心， － ＝ 1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点 a 2 b 2A 、B 两点，若△ F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心A. 3－1B. 3 C ．2 D.3＋1分析： 连结 AF 1， ∵F 1F 2 是圆 O 的直径， ∴∠ F 1AF 2＝ 90°，即 F 1A ⊥ AF2，又∵△ F 2AB 是等边三角形， F 1F 2⊥ AB ，∴∠ AF 2 1 1∠AF 2B ＝ 30 °，F ＝2所以， Rt △ F 1 AF 213中， |F 1F 2|＝ 2c ， |F 1A|＝ 2|F 1F 2|＝ c ， |F 2 A|＝ 2 |F 1F 2|＝ 3c.依据双曲线的定义，得 2a ＝ |F 2A|－ |F 1A|＝ ( 3－ 1)c ，解得 c ＝ ( 3＋ 1)a ，c∴双曲线的离心率为 e ＝a ＝ 3＋ 1.应选 D.答案： D 二、填空题13．已知直线 l 的一个方向向量 d ＝ (4,3,1) ，平面 α的一个法向量 n ＝ (m,3，－ 5)，且 l ∥ α，则 m ＝ ________.分析： 由题意可得 d ⊥n ，则 4m ＋ 9－ 5＝ 0，解得 m ＝－ 1. 答案： －1→ → →→14．直三棱柱 ABC － A 1 B 1C 1 中，若 CA ＝ a ，CB ＝ b ， CC 1＝ c ，则 BA 1＝ ________.分析： 直三棱柱 → → →ABC － A 1B 1C 1 中，若 CA ＝ a ，CB ＝ b ， CC 1＝ c→ → → → →BA 1＝ BA ＋ AA 1＝ CA － CB ＋ CC 1 ＝ a － b ＋c故答案为 a －b ＋ c. 答案： a － b ＋ c15．设 F 1，F 2 是双曲线 x 2 y 21，5 － ＝ 1 的两个焦点， P 是该双曲线上一点， 且 |PF 1| |PF 2|＝ 24则△ PF 1F 2 的面积等于 ________．分析： 因为x 2－ y 2＝ 1，所以 a ＝5， c ＝ 3，故 |F 1 21 | 254F |＝ 2c ＝ 6，因为 |PF |PF |＝2 1即 |PF |＝ 2|PF|，而 |PF|－ |PF|＝ 2a ＝ 25，所以 |PF |＝ 45， |PF 2|＝ 25， cos ∠ F PF ＝1212112222 41231 211212PF＋PF －F F12122PF 1·PF 2＝ 5，所以 sin ∠F PF ＝ 5，所以 S △ PF F ＝2|PF ||PF |sin ∠ F PF ＝12.答案： 1216．过点 (3,0)的直线与抛物线y 2＝ 6x 的两交点为 A ，B ，与 y 轴的交点为→ →C ，若AB ＝ 3BC ，则 |AB|＝ ________.分析： 设 AB 方程为 y ＝ k(x － 3)， A( x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， C(0，－ 3k)，→ ＝ (x 2 1 2 1 → ＝ (－ x 2 2AB － x ， y － y )， BC ，－ 3k － y )，→ → y ＝k x －3 ，得 k 2x 2－ (6k 2＋ 6)x ＋ 9k 2＝ 0 ， ∴ x 1＝ 4x 2，由∵AB ＝ 3BCy 2＝ 6x1 26k 2＋ 62 23k2， x 1 22，x ＋ x ＝x ＝ 9， ∴ 4x＝ 9， x＝26k 2 ＋6 152∴ k 2＝ 2 ， k ＝ 4∴|AB |＝1＋ k 212 29 5x － x＝ 2 .答案：952三、解答题17．已知 a>0，设 p ：实数 x 知足 x 2－ 4ax ＋ 3a 2<0， q ：实数 x 知足 |x －3|<1. (1)若 a ＝ 1，且 p ∧q 为真，务实数 x 的取值范围；(2)若 p 是 q 的必需不充足条件，务实数a 的取值范围．分析： (1) 由 x 2－ 4ax ＋ 3a 2>0 得 (x － a)(x － 3a)<0 ， ∴a<x<3a当 a ＝ 1 时， 1< x<3，即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由|x － 3|<1，得 2<x<4 ，即 q 为真时，实数 x 的取值范围是 2<x<4. 因为 p ∧ q 为真，所以 p 真且 q 真，所以实数x 的取值范围是 (2,3) ；(2)由x 2－ 4ax ＋3a 2>0得 (x － a)(x － 3a)<0 ，所以， p 为真时实数 x 的取值范围是a<x<3a.因为p 是q 的必需不充足条件，所以a ≤2 且 4≤ 3a.4 所以实数a 的取值范围为：3，2 .18．以下图，四边形ABCD 为菱形，且∠ ABC ＝ 120 °，AB ＝ 2， BE ∥ DF ，且 BE ＝ DF＝ 3， DF ⊥平面 ABCD .(1)求证：平面 ABE ⊥平面 ABCD ；(2)求平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值．分析： (1) ∵ BE ∥ DF ， DF ⊥ 平面 ABCD ， ∴ BE ⊥ 平面 ABCD ，又 BE ? 平面 ABE ， ∴平面 ABE ⊥平面 ABCD .(2)设 AC 与 BD 的交点为 O ，成立以下图的空间直角坐标系 O － xyz ，则 A( 3， 0,0)， B(0,1,0)，E(0,1， 3)， F(0，－ 1， 3)，→ → 3， 1， →3， 1,0)∴EF ＝ (0，－ 2,0) ， AE ＝ (－ 3)， AB ＝ (－→ 设平面 AEF 的法向量为 n 1EF ·n 1＝ 0 1 1 1，＝ (x ， y ， z )，则 → ＝ 0AE ·n 1－ 2y 1＝ 0即，－ 3x 1＋y 1＋ 3z 1＝ 0令 x 1＝ 1，则 y 1＝ 0，z 1＝ 0， ∴ n 1＝ (1,0,1) ．→AE ·n 2＝ 0 设平面 ABE 的法向量为 n 2＝ (x 2 ， y 2， z 2)，则 →，AB ·n 2＝ 0－ 3x 222 ＝ 0＋y ＋3z即，－ 3x 2＋ y 2＝0令 x 2＝ 1，则 y 2＝ 3， z 2＝ 0， ∴n 2＝ (1， 3， 0)． ∴cos 〈n 1 2 n 1·n 2 ＝ 1 ＝ 2，， n 〉＝|n 1 | |n ·2| 2× 2 4 ∴sin 〈 n 1，n 2 〉＝ 14，4∴平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值为14 4.19．如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， AD ∥ BC ，AD ⊥ CD ，且 AD ＝ CD＝ 2 2， BC ＝ 4 2， PA ＝ 4.(1)求证： AB ⊥PC ；(2)在线段 PD 上，能否存在一点 M ，使得二面角 M － AC － D 的大小为 45°，假如存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值；假如不存在，请说明原因．分析： (1)∵ AD ＝ CD ＝ 2 2，BC ＝4 2， ∴ AB ＝ AC ＝ 4，∴ AB ⊥AC∵ P A ⊥ 平面 ABCD ， ∴AB ⊥ PA ， ∴ AB ⊥平面 PAC ， PC? 平面 PAC ， ∴ AB ⊥ PC ；(2)以 A 为原点，以过 A 平行于 CD 的直线为 x 轴， AD ，AP 所在直线分别为 y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系 O － xyz ，则 A(0,0,0) ，P(0,0,4) ，B(2 2，2 2，0) ，D(0,2 2，0)，C(2 2，→ → 2λ， 4－ 4λ)，2 2， 0)，设 PM ＝ λPD ， 0<λ<1， M(0,2→ → 2， 2 2， 0) AM ＝ (0,2 2λ， 4－ 4λ)，AC ＝ (2→ 2 2λy 1＋ 4－ 4λz 1＝ 0设平面 MAC 的法向量 m ＝ (x 1m ·AM ＝ 0 1 1，即 ， y ， z )，则→2 2x ＋ 2 2y ＝ 0m ·AC ＝ 0112λACD 的法向量为 →则 m ＝ 1，－ 1，，又平面AP ＝ (0,0,4) ，－ 2λ＋24 2λ →→2－ 2λAP ·m＝∴|cos 〈 AP ， m 〉|＝→2λ 2·|m||AP|42＋2－ 2λ＝cos 45°24 2 4 → 10 2 4解得： λ＝3或 λ＝ 2(舍 )，M0， 3 ，3，BM ＝ －2 2， 3，3 平面 MAC 的法向量为 m ＝ (1，－ 1， 2)，设 BM 与平面 MAC 所成角为 θ，则→ → 4 2 1BM ·m ＝sin θ＝ |cos 〈 BM ， m 〉 |＝ → 2×12 ＝ 2.|BM | |m|· 232 22.20．已知椭圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1(a>b>0) 过点 ( 2， 1)且离心率为a b2(1)求椭圆 C 的方程；(2)能否存在过点→→P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ，B 两点，且知足 PB ＝2PA.若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明原因．分析： (1) 由已知点代入椭圆方程得 2 1a 2＋b 2 ＝ 1由 e ＝ 2得 c ＝ 2可转变为 a 2＝ 2b 2，由以上两式解得 a 2＝ 4， b 2 ＝22 a 2 x 2 y 2所以椭圆 C 的方程为： 4 ＋ 2 ＝ 1.(2)存在这样的直线．当 l 的斜率不存在时，明显不知足 → →PB ＝ 2PA ，所以设所求直线方程l ： y ＝ kx ＋ 3 代入椭圆方程化简得：(1＋ 2k 2)x 2＋ 12kx ＋14＝ 01212k ①x 1 214x ＋ x ＝－2x ＝2 .②1＋ 2k1＋2k＝ (12k)2－ 4× 14× (1＋ 2k 2)>0 ， k 2>74，设所求直线与椭圆订交两点A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)→ →由已知条件 PB ＝ 2PA 可得 x 2＝ 2x 1， ③综合上述 ①②③ 式子可解得 k 2＝ 72>74切合题意，14所以所求直线方程为：y ＝ ± 2 x ＋ 3.21．如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，M 点在线段 PB 上， PD ∥平面 MAC ，PA ＝ PD ＝ 6， AB ＝ 4.(1)求证： M 为 PB 的中点；(2)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．分析： (1) 证明：如图，设 AC ∩ BD ＝ O ，∵ ABCD 为正方形， ∴ O 为 BD 的中点，连结 OM ， ∵ PD ∥ 平面 MAC ， PD? 平面 PBD ，平面 PBD ∩ 平面 AMC ＝ OM ， ∴PD ∥OM ，则BOBMBD ＝ BP ，即 M 为 PB 的中点；(2)解：取 AD 中点 G ， ∵PA ＝PD ， ∴ PG ⊥ AD ，∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ，∴ PG ⊥ 平面 ABCD ，则 PG ⊥ AD ，连结 OG ，则 PG ⊥ OG由 G 是 AD 的中点， O 是 AC 的中点，可得 OG ∥DC ，则 OG ⊥AD.以 G 为坐标原点，分别以 GD 、GO 、GP 所在直线为 x 、 y 、 z 轴距离空间直角坐标系，由PA ＝ PD ＝ 6，AB ＝ 4，得 D (2,0,0) ，A(－ 2,0,0)，P(0,0， 2) ，C(2,4,0) ，B(－ 2,4,0)，M2－1，2， 2 ，→ →DP ＝ (－ 2,0， 2)， DB ＝ (－ 4,4,0)．设平面的一个法向量为 m ＝ (x ， y ， z)，→ － 2x ＋ 2z ＝ 0m ·DP ＝ 0，取 z ＝ 2，得 m ＝ (1,1， 2)． 则由 → ，得－ 4x ＋ 4y ＝ 0m ·DB ＝ 0→ 2CM ＝ － 3，－ 2， 2 ，∴直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为：→→－4CM ·m1|cos 〈 CM ， m 〉 |＝ →＝|CM | |m|·9＋ 4＋2× 226＝ 9.x 2y2622．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的焦距为 2，且过点2，2 .(1)求椭圆 C 的方程；3，证明： M ， N(2)P ， M ，N 是 C 上不一样的三点，若直线PM 与直线 PN 的斜率之积为－ 4两点的横坐标之和为常数．2 2分析： (1) 由题意椭圆 C ： x 2＋ y2＝ 1(a>b>0)的焦距为 2，且过点2， 6 ，a b23 x2y222所以 c ＝ 1，a 2＋b 2＝ 1，解得 a ＝ 2， b ＝ 3，所以椭圆 C 的标准方程为 4＋ 3＝1(2)设 P ， M ， N 三点坐标分别为 (x P ， y P ) ，(x M ， y M )， (x N ， y N )，设直线 PM ， PN 斜率分别为 k 1， k 2，则直线 PM 方程为 y － y P ＝ k 1( x － x P )x 2 y 2 由方程组4 ＋3 ＝ 1消去 y ，y － y P ＝k 1 x － x P222 22得(3 ＋4k 1)x － 8k 1(k 1x P －y P )x ＋ 4k 1x P － 8k 1x P y P ＋ 4y P － 12＝ 08k 1 k 1x P －y P 由根与系数关系可得： x M ＋ x P ＝ 23＋ 4k 18k 1 k 1x P －y P 4k 12x P － 8k 1y P － 3x P故 x M ＝ 3＋ 2 － x P ＝2 4k 1 3＋ 4k 18kk x － y同理可得： x N 22 PPP ＝2.＋x3＋ 4k 2123又 k ·k ＝－ 4，故 x N ＋ x P ＝ 8k 2 k 2x P － y P3＋ 2 4k 23 38 － 4k 1 － 4k 1x P － y P 6x P ＋ 8k 1y P ＝ 3 ＝ 22 3＋4 － 4k 1＋ 34k 16x ＋ 8k y 2 － 8k y － 3x4k x1P21 P1 PPP＝ 0 则 x ＝－ x ＝－2＝－ x .进而 x ＋ xN4k 1＋3P3＋ 4k 1 M NM即 M ， N 两点的横坐标之和为常数．。

选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下： 第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。

学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 D解析 ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .2．有下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则xy ＝0”的否命题； ②“若x ＞y ，则x 2＞y 2”的逆否命题； ③若“x ≤3，则x 2－x －6＞0”的否命题； ④“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，否命题是“若x 2＋y 2≠0，则xy ≠0”，例如，x ＝－3，y ＝0时，x 2＋y 2≠0，但xy ＝0，是假命题；对于②，逆否命题是“若x 2≤y 2，则x ≤y ”，例如x ＝0，y ＝－1时，x 2≤y 2，但x ＞y ，是假命题；对于③，否命题为“若x ＞3，则x 2－x －6≤0”，例如x ＝4时，x 2－x －6＞0，是假命题； 对于④，“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题． 所以真命题的个数为0.故选A.3．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1 D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1答案 C解析 由特称命题的否定的定义即知．4．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316 B.38 C.163 D.83答案 A解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.①又双曲线的离心率e ＝c m＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316. 5．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，所以命题p 为假；函数y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π，k ∈Z ，所以命题q 为假，所以綈q 为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假．6．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2答案 C解析 由题意可知k >0且9－k 2＝k ＋3，所以k ＝2. 7．k ＝±52是直线y ＝kx －1与曲线x 2－y 2＝4仅有一个公共点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.当k 2＝1，即k ＝±1时，有唯一解．当k 2≠1且Δ＝0时，也有唯一解，此时k ＝±52所以k ＝±52是直线y ＝kx －1与曲线x 2－y 2＝4， 仅有一个公共点的充分不必要条件．8．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1 答案 B解析 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3 ，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15. 9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.94 答案 D解析 由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°. ∴|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2|AC |＝|AA 1|＝|BC |＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则|AD |的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D.22答案 A解析 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0，2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则D 点的坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设m ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝2，故选A. 11．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0) C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1＜x ≤0)答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝y x ＋4＝－x2y⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4， AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．12．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．14．以等腰直角三角形ABC 的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．答案22解析 设等腰直角三角形的直角边长为l ，则其斜边长为2l ，由题意可知，焦距2c ＝2l ，c ＝22l ，由椭圆的定义可知2a ＝2l ，a ＝l ，所以离心率e ＝c a ＝22. 15．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为________．答案 x 2－y 28＝1(x ＞1)解析 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x＞1)．16．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 答案355解析 直线AB 的方程为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，则点P 到直线AB 的距离d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值＝5－12＋338×38＝－219.18．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解 p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立，即 Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．19．(本小题满分12分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：(1)CE ∥平面C 1E 1F ； (2)平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明 如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，∴CE →⊥n . 又∵CE ⊄平面C 1E 1F ，∴CE ∥平面C 1E 1F . (2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.取m ＝(－1,0,1)．∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，∴平面C1E1F⊥平面CEF.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．解解法一：(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD.∵AB ⊥A 1C ，AD ∩AB ＝A ，∴A 1C ⊥平面ABD . ∴BD ⊥A 1C .∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62. 在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴二面角A －A 1C －B 的正切值为63. 解法二：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)，A 1C →＝(0，3，－3)． ∵AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量． 由(1)知，BC →＝(－1，3，0)， 设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·A 1C →＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z .令y ＝1，则n ＝(3，1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝3×1＋1×0＋1×012＋02＋02·(3)2＋12＋12＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63. ∴二面角A －A 1C －B 的正切值为63. 21．(本小题满分12分)如图，已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.又线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1.同理点N (2k 21＋1，－2k 1)．∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4.(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m . 又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1. 同理点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2. ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2， ∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，则是否存在实数λ，使得PQ →＝λAB →？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →，∠ACB ＝90°.又|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，即|BC →|＝2|AC →|， ∴|OC →|＝|AC →|.∴△AOC 是等腰直角三角形．∵A (2,0)，∴C (1,1)．又点C 在椭圆上，a ＝2，∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝43.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 243＝1.(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称． 设k PC ＝k (k ≠0且k ≠±1)，则k CQ ＝－k ， 则直线PC 的方程为y －1＝k (x －1)⇒y ＝k (x －1)＋1，① 直线CQ 的方程为y －1＝－k (x －1)⇒y ＝－k (x －1)＋1，② 将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0.③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2.以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1.则k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k (x P ＋x Q )－2kx P －x Q ＝k ·6k 2－21＋3k 2－2k －12k1＋3k 2＝－4k1＋3k 2－12k 1＋3k 2＝13.又k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB .∴存在实数λ，使得PQ →＝λAB →.又|PQ →|＝(x P －x Q )2＋(y P －y Q )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k1＋3k 22＝160k 2(1＋3k 2)2＝1609k 2＋1k 2＋6≤2303，当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33时取等号．又|AB →|＝10，∴λmax ＝230310＝233.。

章末综合测评(一) 计数原理(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)C910＋C810等于( )A．45 B．55C．65 D．以上都不对【解析】C910＋C810＝C10＋C210＝55，故选B.【答案】 B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】 D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】 B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A2＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】 D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A3＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】 C6．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】 C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共( ) A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C13C12A5种；当五种颜色选择四种时，选法有C45C13×3×A4种；当五种颜色选择三种时，选法有C35×2×A3种，所以不同的涂色方法共C13C12A5＋C45C13×3×A4＋C35×2×A3＝1 920.故选C.【答案】 C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( ) 【导学号：97270029】A．1 050种B．700种C．350种D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有C36C25＋C26C35＝350种．【答案】 C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为( )A．29B．49C．39D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】 B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】 B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为( )A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】 B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝C36x3＝20x3.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】 514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.【答案】 1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，2n－1＝________.C02n－1＋C12n－1＋C2n－1＋…＋C n－1【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C02n－1＋C12n－1＋C2n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.【答案】4n－116．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C1n a ＝3，C2n a2＝4，解得a ＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ Cx n ＝C2x n ，Cx ＋1n ＝113Cx －1n ，试求x ，n 的值. 【导学号：97270030】【解】 ∵C x n ＝C －x n ＝C 2x n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得 错误!＝错误!·错误!，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C －1n ·48＋C n ＋16n －1＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C －1n ·3＋n )．所以49n ＋16n －1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】 (1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 4种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 4＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．(2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，0≤x≤4，2x ＋y≥7，0≤y≤6，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1.因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 4C 16＝186种．20．(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)a 6.【解】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1.(2)a 6即为含x 6项的系数，T r ＋1＝C r 10(2x )10－r ·(－1)r ＝C r 10(－1)r 210－r ·x 10－r ，所以当r ＝4时，T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6，即a 6＝13 440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A7＝5 040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A6种方法，故共有5×A6＝3 600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A4种方法，再将4名女生进行全排列，有A4种方法，故共有A4×A4＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A4×A35＝1 440种方法．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？【解】由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C35·C13·A3＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有C14C34A4＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y ＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．∅B．{c|c<－1}C．{c|c≥－1} D．R【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是() A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】 很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件． 【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】 因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)． 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎨⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎨⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔ 0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围. 【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】 当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，－2＜m ＜2， 解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二 令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ② 由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2答案 A解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.2．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i答案 A解析 由z (2－i)＝11＋7i 得，z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.3．定积分⎠⎛12x 2＋1xdx 的值为( )A.32＋ln 2 B.34 C ．3＋ln 2 D.12答案 A 解析 ⎠⎛121＋x2x dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x dx ＝⎠⎛121x dx ＋⎠⎛12xdx ＝ln x 21＋12x 2|21＝ln 2－ln 1＋12×22－12×12＝32＋ln 2. 4．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案 A解析 观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A 选项中的图形．5．已知函数f(x)在R 上的导函数为f ′(x )，若f (x )<f ′(x )恒成立，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x的解集是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)答案 B解析 由f (x )<f ′(x )得f (x )－f ′(x )<0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )2e x ′＝f ′(x )－f (x )2e x>0，所以函数y ＝f (x )2e x 在R 上是增函数．又由f (x )>2e x，得f (x )2ex>1＝f (0)2e，所以x >0，故选B.6．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22答案 D解析 ∵f ′(x )＝e x，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.7．给出下面类比推理的命题，其中类比结论正确的是( )A ．“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0⇒a ＝0且b ＝0”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 21＋z 22＝0⇒z 1＝0且z 2＝0”B ．“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2” C ．“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”D ．“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d∈Q ，则a ＋2b ＝c ＋2d ⇒a ＝c ，b ＝d ”答案 D解析 对A ，若z 1，z 2为虚数，由z 21＋z 22＝0不能推出z 1＝0且z 2＝0，如z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，z 21＋z 22＝0，但z 1≠0，z 2≠0.同理B ，C 也不正确，D 正确．8．若函数f (x )＝xx 2＋a(a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( ) A.3＋1 B. 3 C.32D.3－1 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x ＞a 时， f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32＜1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1，故选D.9．已知结论：“在正三角形ABC 中，D 为BC 边的中点，G 为△ABC 的重心，则AG GD＝2”，若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2，类比AOOM＝3，故选C. 10．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)答案 C解析 y ′＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52π时，cos x ＞0，y ′＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52π上是增函数．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)＞F (2x －1)的实数x 的取值范围为( )A ．(－1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2,1)答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，∴x ∈(－∞，0]时，xf ′(x )＜f (－x )＝－f (x )，∴xf ′(x )＋f (x )＜0，又F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，∴F (x )在(－∞，0]上是减函数，又F (x )＝xf (x )是偶函数，故F (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以F (3)＞F (2x －1)＝F (|2x －1|)，∴|2x －1|＜3，∴－1＜x ＜2，故x 的取值范围是(－1,2)．12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图象上至少存在一点使曲线f (x )在该点处的切线与直线y ＝1平行，则b 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 解析 由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.14．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于________．答案 1 解析 a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －a i －i －12＝a －1－(a ＋1)i2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，即a ＝1.15．∫2π0|sin x|d x ＝________. 答案 4解析 ∫2π0|sin x|d x ＝∫π0sin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝－cos x π0＋cos x 2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.16．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________，f (n )＝________(用含n 的式子表示)．答案 10n (n ＋1)(n ＋2)6解析 设第n 堆第一层乒乓球数为g (n )，则g (1)＝1，g (2)＝1＋2，g (3)＝1＋2＋3，…， 则g (n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2.所以f (3)＝g (1)＋g (2)＋g (3) ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.f (n )＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (n )＝12(12＋1)＋12(22＋2)＋…＋12(n 2＋n ) ＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)(2n ＋1)6＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＋5i 3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z .解 (1)原式＝2i 2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋5i (3－4i )32＋42＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i. (2)(x ＋y i)＋2i(x －y i)＝3＋i ， 即(x ＋2y )＋(2x ＋y )i ＝3＋i ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝53.∴z ＝－13＋53i.18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc .证明 证法一：∵ab ＝10， ∴lg a ＋lg b ＝lg (ab )＝1，则log a c ＋log b c ＝lg c lg a ＋lg c lg b ＝lg c (lg a ＋lg b )lg a ·lg b ＝lg c lg a ·lg b .∵a ＞1，b ＞1， ∴lg a ＞0，lg b ＞0， 则lg a ·lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝14，1lg a lg b≥4， 又c ＞1，lg c ＞0. ∴lg clg a ·lg b≥4lg c ，即log a c ＋log b c ≥4lg c .证法二：要证log a c ＋log b c ≥4lg c ， 只需证lg c lg a ＋lg c lg b ≥4lg c .又因为c ＞1，所以lg c ＞0， 故只需证1lg a ＋1lg b ≥4，即证lg a ＋lg b lg a ·lg b ≥4.又因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝lg (ab )＝1， 故只需证1lg a ·lg b≥4.又因为lg a ＞0，lg b ＞0， 所以0＜lg a ·lg b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，则1lg a ·lg b≥4成立．所以原不等式成立， 即log a c ＋log b c ≥4lg c .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)．所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x ＞0)知，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上可得，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．20．(本小题满分12分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝k x，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解 (1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104，∴P ＝25×104x＝500x.∴总利润L (x )＝x ·500x－1200－2x 375＝－2x375＋500x －1200(x >0且x 为整数)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x ，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，则x ＝25，所以当产量定为25件时，总利润最大． 这时L (25)≈－416.7＋2500－1200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元．21．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，…. (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 解 (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ∈N ＋)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时不等式成立，即a k ≥k ＋2， 那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3. 即n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 由①②可知，对n ∈N ＋，都有a n ≥n ＋2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax. (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<ln x ＋x 在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围； (3)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．解 (1)函数f (x )＝ln x －a x的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，当a >0时，由于x ∈(0，＋∞)，可得f ′(x )>0，故f (x )为定义域(0，＋∞)上的增函数． (2)由f (x )<ln x ＋x 得－a x＜x ， 即a >－x 2，∴a >－x 2在(1，＋∞)上恒成立．∵x ＞1，∴－x 2＜－1，∴a ≥－1，即所求a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)解f ′(x )＝0，得x ＝－a .①当－a ≥e，即a ≤－e 时，x ＋a ≤x －e≤0， 得f ′(x )≤0，此时函数f (x )在[1，e]上是减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝ln e －a e ＝32，解得a ＝－12e ，与a ≤－e 矛盾，舍去．②当－a ≤1，即a ≥－1时，x ＋a ≥x －1≥0. 得f ′(x )≥0，此时函数f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝ln 1－a 1＝32，解得a ＝－32，与a ≥－1矛盾，舍去．③当1<－a <e ，即a ∈(－e ，－1)时，函数f (x )在(1，－a )内单调递减，在(－a ，e)内单调递增．∴当x ＝－a 时，函数f (x )在[1，e]上取得极小值，也就是最小值为f (－a )＝ln (－a )－a－a ＝32， 解得a ＝－e ，满足－e ∈(－e ，－1)，∴a ＝－ e. 综上所述，所求a 的值为－ e.。