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微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。
首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。
在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。
例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。
在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。
我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。
确定微分方程是建立模型的核心工作。
通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。
在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。
例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。
确定微分方程后，还需要确定初值条件。
初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。
初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。
例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。
求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。
微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。
解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。
数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
第二章 微分方程方法在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。
事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.2.1 微分方程的一般理论2.1.1微分方程简介所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+=（2.1.2） 2(')0y xy +=（2.1.3） 2'''0y y xy +=（2.1.4） 01)(=+n y（2.1.5） 2t xx u a u =（2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0或y(n)=f(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n-1) ) .必须指出，)(n y是必须出现的，而)1(,yxΛ等变量则可以不出现，yy,',,-n如方程（2.1.5）.若F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )是关于y及其各阶导数的线性函数，则称此方程是线性的，否则，称为非线性的.例如，方程（2.1.1）、（2.1.2）是线性微分方程，方程（2.1.3）是非线性微分方程.线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数，而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不完全是常数.例如，方程（2.1.1）、（2.1.5）是常系数线性微分方程，而方程（2.1.2）是变系数线性微分方程.满足微分方程的函数(也就是，把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=ϕ(x)在区间I 上有n阶连续导数,如果在区间I上,F[x,ϕ(x),ϕ'(x),⋅⋅⋅,ϕ(n) (x)]=0,那么函数y=ϕ(x)就叫做微分方程F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )=0在区间I上的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.若以显函数形式给出的解，称为显式解，以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初始条件。
用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如x=x0 时,y=y0 ,y'= y'0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做微分方程的初值问题，例如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.2.1.2微分方程初值问题的适定性在实际问题中，由于自然界本身就给出了问题唯一的答案，所以一个初值问题提得是否符合实际情况，从数学角度来看，可以从三个方面加以检验：（1）解的存在性，即初值问题是否有解？（2）解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？（3）解的稳定性，即当初值条件有微小变动时，解相应的只有微小的变动.一个初值问题的解如果满足存在性、唯一性和稳定性，则称此初值问题是适定的.微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义.微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的.对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的.因为在一定的条件下实际问题到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题有唯一解.而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景.由于由实际问题导出初值问题时，总要经过一些简化、近似的过程以及一些附加的假设，并且在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，从而致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题，难免存在误差.当测量的数据出现微小的误差时，相应模型的“解”是否也只有微小的误差？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的.显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值.相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的.因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果.同时，稳定性也是计算机利用数值方法求解的前提和保证.2.2 微分方程的平衡点及稳定性一个微分方程即使存在解，也有可能解不出.事实上，我们在学习高等数学的时候就知道，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数.更多的情况下，是没有初等解法的，这一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在1841年所证明.如果一个微分方程的解不是一个初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现方程解不出的情况.既然初等积分法有着不可克服的局限性，那么是否可以不求微分方程的解，而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré，1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov，1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究其解的性质.由于这种方法的有效性，近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流，并且在实际中有大量的应用.比如，在研究许多实际问题时，其变量的变化率仅与平衡状态有关而与时间并无直接的联系，或者人们最为关心的并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终（时间充分大之后）的发展趋势.例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题.要解决这类问题，就需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论.本节对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.2.2.1一阶方程的平衡点及稳定性函数的变化率只和函数本身有关而与自变量无关的微分方程或微分方程组被称为自治系统，也称为动力系统. 通常，一阶微分方程可写成),(x t f dtdx =，而自治系统则可写成)(x f dtdx =，即右端不显含自变量t . 方程()0f x =的实根0x x =称为自治系统)(x f dtdx =的平衡点（或奇点）.显然，根据平衡点的定义，0x x =也是自治系统的一个解（奇解），即微分方程不变化的解，也就是常数解.如果对任意给定的0>ε，存在0>δ（δ一般与ε和0t 有关），使得只要初始条件0()x t 满足00()x t x δ-<时，自治系统()dx f x dt=的解)(t x 均满足0()x t x ε-<(对所有的0t t ≥) 则称自治系统()dx f x dt=的平衡点0x 是（在李雅普洛夫意义下）稳定的. 如果自治系统()dx f x dt=的平衡点0x 稳定，且存在这样的00>δ使当000()x t x δδ-<≤时，自治系统的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= 则称平衡点0x 是（在李雅普洛夫意义下）渐近稳定的；否则，称0x 是不稳定的.特别的，如果从所有可能的初始条件出发，都是是渐近稳定的，则称平衡点0x 是全局渐近稳定的.我们在这里讨论的稳定性都是指渐近稳定性.判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法：（1）间接法：求出自治系统)(x f dtdx =的解()x t ，利用上述稳定性的定义判断；（2）直接法：不求自治系统)(x f dt dx =的解()x t ，按线性近似判定稳定性，即利用()f x 在0x x =处的泰勒展开式，只取一次项，0()'()()f x f x x x ≈-,则方程)(x f dtdx =近似为： 00'()()dx f x x x dt=- （2.2.1） 方程（2.2.1）称为方程)(x f dtdx =的近似线性方程.显然，0x x =也是近似线性方程（2.2.1）的平衡点.因为方程（2.2.1）的通解为0'()0()f x t x t ce x =+ （2.2.2）其中c 是由初始条件决定的常数.由稳定性的定义很容易证明：若0'()0f x <，则0x 是方程（2.2.1）的稳定的平衡点；若0'()0f x >，则0x 是方程（2.2.1）的不稳定的平衡点.同样，根据李雅普洛夫理论，对于自治系统)(x f dtdx =，若0'()0f x <，则0x 是稳定的平衡点；若0'()0f x >，则0x 是不稳定的平衡点.例2.2.1 讨论微分方程2dy y y dt=-的平衡点稳定性. 解 I 间接法：易知，方程2()0f y y y =-=有两个常数解1()0y t =和2()1y t =这也是原微分方程的两个平衡点.当0≠y 和1y ≠时，原方程可写成(1)dy dt y y =- 解得ln ||ln |1|y y t c --=-+即原方程的通解为11ty ce =- 若有初始条件00(0)(0,1)y y y =≠，求得 011c y =-， 那么所给初值问题的解是01111ty e y =⎛⎫-- ⎪⎝⎭易知01lim ()lim 0111t t ty t e y →∞→∞==⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据稳定性定义，0=x 是稳定的平衡点，1x =是不稳定的平衡点.II 直接法：由于'()21f y y =-'(0)10f =-<,'(1)10f =>，从而，0=x 是稳定的平衡点，1x =是不稳定的平衡点.在微分方程模型中，微分方程解的这种特性对许多实际问题的讨论是非常重要的.例如，研究对象为某温度控制系统.我们有一个理想温度x 和一个实际温度y ，x 和y 都是时间t 的函数，而x ,y 满足某个微分方程，假如我们能够设定一个控制器，使得x 和y 的关系更接近我们的需求，那么保证这个控制器稳定就是一个非常重要的前提.我们以空调为例，假设室内温度为y ，空调的设定温度为x ，x 和y 都是时间t 的函数，并且满足某个微分方程，现在我们要控制空调的制冷和加热系统，让y 在更短的时间内更快的接近x 或者空调最节能，首先就要保证这个控制系统稳定.特别是对于这种带时滞的系统，不稳定的情形往往是这样：假如室内温度是32度，设定温度是26度，模型不稳定的话有可能会过制冷一直到23度，然后又会加热到30度，接着又制冷到23度，再加热到30度，无限工作下去，这就是临界稳定，甚至在绝对不稳定的情况下，温度波动会离26度的平衡位置越来越远.2.2.2二阶（平面）方程的平衡点和稳定性二阶方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dt dx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （2.2.3） 右端不显含t ，这也是一个自治系统.方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （2.2.4） 的实根0012(,)x x 称为自治系统（2.2.4）的平衡点.记为00012(,)P x x .如果从所有可能的初始条件出发，自治系统（2.2.4）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞=, 202lim ()t x t x →∞= （2.2.5） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定的）；否则，称0P 是不稳定的.我们仍然用直接法讨论自治系统（2.2.4）的平衡点的稳定性，先做线性近似.考虑线性常系数方程11111222211222()()dx t a x a x dt dx t a x a x dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （2.2.6） 系数矩阵记为11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦并假定det()0A ≠，则原点0(0,0)P 是方程组（2.2.6）的唯一平衡点，它的稳定性由特征方程det()0I A λ-=的根λ（A 的特征根）决定，特征方程det()0I A λ-=可以改写成下列形式：211220()det()p q p a a q A λλ⎧++=⎪=-+⎨⎪=⎩则特征根1,21(2p λ=- 方程组（2.2.6）的解一般形式为1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或112()t c c t e λ+（12λλ=），其中12,c c 为任意实数.由平衡点稳定性的定义式（2.2.5）可知，当12,λλ全为负数或有负实部时，0(0,0)P 是稳定的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正实部时，0(0,0)P 是不稳定的平衡点.微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根12,λλ或相应的,p q 取值决定，表1简明地给出了这些结果.由表1可以看出，根据特征方程的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若0,0p q >>，则平衡点稳定；若0p <0q <或，则平衡点不稳定.以上是对线性方程组（2.2.6）的平衡点0(0,0)P 稳定性的结论，根据李雅普洛夫理论，对于一般的非线性自治系统（2.2.4），可以用近似线性方程来判断其平衡点00012(,)P x x 的稳定性，即 1212000000112111222000000212111222()(,)()(,)()()(,)()(,)()x x x x dx t f x x x x f x x x x dt dx t g x x x x g x x x x dt⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩ （2.2.7） 系数矩阵120012012(,)x x x x P x x f f A g g ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 特征方程系数为0012012(,)()x x P x x p f g =-+∣,det()q A = 显然，00012(,)P x x 点对于方程（2.2.7）的稳定性可以由表1或特征方程的系数,p q 的正负判定，同样方法可以判定00012(,)P x x 是否自治系统（2.2.3）的稳定点.2.3 微分方程模型建立微分方程模型,一般有三种方法.一是应用已知规律直接列方程建模 在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、曲线的切线的性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.由于本身就是微分方程形式，我们就可以根据相应的规律直接列出方程，从而建立数学模型.二是用微元法建模. 用微元法建立常微分方程模型，实际上是寻求微元之间的关系式.在建立这些关系式时也要用到已知的规律和定理.与第一种方法不同之处在于，这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律,从而建立相关模型.三是用模拟近似法建模. 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型.在这些领域中的一些现象的规律性我们还不是很清楚，即使有所了解也通常极其复杂，因此，在实际应用中，总要经过一些简化、近似的过程，并在不同的假设下建立微分方程，从数学上求解或分析解的性质，再同实际情况作对比，观察这个模型能否模拟、近似某些实际的现象.这三种方法中，我们在学习微分方程时做的应用题就属于第一种，这种方法相对比较简单，在这里，我们主要介绍用后两种方法来建微分方程模型.在实际的微分方程建模过程中，往往都是上述三种方法的综合应用。
