第二章 微分方程方法
在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.
利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.
2.1 微分方程的一般理论
2.1.1微分方程简介
所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如
()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+=
（2.1.2） 2(')0y xy +=
（2.1.3） 2'''0y y xy +=
（2.1.4） 01)(=+n y
（2.1.5） 2t xx u a u =
（2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程.
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式
F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0
或
y(n)=f(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n-1) ) .
必须指出，)(n y是必须出现的，而)1(,
y
xΛ等变量则可以不出现，
y
y
,'
,
,-n
如方程（2.1.5）.
若F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )是关于y及其各阶导数的线性函数，则称此方程是线性的，否则，称为非线性的.例如，方程（2.1.1）、（2.1.2）是线性微分方程，方程（2.1.3）是非线性微分方程.
线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数，而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不完全是常数.例如，方程（2.1.1）、（2.1.5）是常系数线性微分方程，而方程（2.1.2）是变系数线性微分方程.
满足微分方程的函数(也就是，把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=ϕ(x)在区间I 上有n阶连续导数,如果在区间I上,
F[x,ϕ(x),ϕ'(x),⋅⋅⋅,ϕ(n) (x)]=0,
那么函数y=ϕ(x)就叫做微分方程F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )=0在区间I上的解.
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.若以显函数形式给出的解，称为显式解，以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如
x=x0 时,y=y0 ,y'= y'0 .
一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做微分方程的初值问题，例如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
⎩⎨⎧=='=0
0),(y y y x f y x x . 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
2.1.2微分方程初值问题的适定性
在实际问题中，由于自然界本身就给出了问题唯一的答案，所以一个初值问题提得是否符合实际情况，从数学角度来看，可以从三个方面加以检验：
（1）解的存在性，即初值问题是否有解？
（2）解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？
（3）解的稳定性，即当初值条件有微小变动时，解相应的只有微小的变动.
一个初值问题的解如果满足存在性、唯一性和稳定性，则称此初值问题是适定的.微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义.微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的.对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的.因为在一定的条件下实际问题到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题有唯一解.而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景.由于由实
际问题导出初值问题时，总要经过一些简化、近似的过程以及一些附加的假设，并且在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，从而致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题，难免存在误差.
当测量的数据出现微小的误差时，相应模型的“解”是否也只有微小的误差？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的.显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值.相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的.因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果.同时，稳定性也是计算机利用数值方法求解的前提和保证.
2.2 微分方程的平衡点及稳定性
一个微分方程即使存在解，也有可能解不出.事实上，我们在学习高等数学的时候就知道，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数.更多的情况下，是没有初等解法的，这一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在1841年所证明.如果一个微分方程的解不是一个初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现方程解不出的情况.既然初等积分法有着不可克服的局限性，那么是否可以不求微分方程的解，而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré，1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov，1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究其解的性质.由于这种方法的有效性，近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流，并且在实际中有大量的应用.比如，在研究许多实际问题时，其变量的变化率仅与平衡状态有关而与时间并无直接的联系，或者人们最为关心的并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终（时间充分大之后）的发展趋势.例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题.要解决这类问题，就需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论.本节对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
2.2.1一阶方程的平衡点及稳定性
函数的变化率只和函数本身有关而与自变量无关的微分方程或
