当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋ G(jω)H(jω), 其 中G(jω)H(jω)恰好是系统的开环频率特性。
下图是奈魁斯特轨迹在F(s)平面上的映射图。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
F (s)1 G (s)H (s)
l F(s) 与系统开环传递函数G(s)H(s)仅相差一个单位量， 即F(s)－l＝G(s)H(s)。
l 考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹 内是否包围F(s)的零点—闭环极点问题。
F (s)1G (s)H (s)
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
二、奈魁斯特稳定判据
2、奈魁斯特轨迹
l 根据上述的映射定理，在s平面的奈魁斯特轨迹包围F(s)的 零极点问题可以等效为其映射在F(s)平面上包围原点的问题。
nm
当s 趋向无穷大时，有
0 nm ls i m G(s)H(s)ab00 nm
1 nm
liF m (s) 1 liG m (s)H (s)
s
s
1
b0 a0
nm
奈魁斯特轨迹的这一部分映射到F(s)平面上是一个点。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹
（2）沿虚轴路径：
F (s)1 G (s)H (s)
[s] C
C’ [F(s)]
围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心 物理含义是s平面上任一封闭曲线包围F(s)的零极点情况 和它的映射在F(s)平面包围原点的情形有关。
二、奈魁斯特稳定判据
1、F(s)的零点和极点
z
K (s si)
F (s)1 G (s)H (s)
i1 p
(s pi)
i1
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
F(s)的零点是闭环极点。
二、奈魁斯特稳定判据
2、奈魁斯特轨迹
l 取根平面上的封闭围线包围全部s右半平面，此封闭围线由 整个虚轴(从s=-j∞到s= j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨 迹构成，这一封闭围线称作奈魁斯特轨迹。
l 只要将F(jω)曲线向负实轴方向平行移动1个单位，即是 G(jω)H(jω)曲线。
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
§3 奈魁斯特(Nyquist)稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部； 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是在频率 域内判定系统稳定性的准则； 与根轨迹分析方法类似：
o 不求取闭环特征根 o 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 o 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； 理论依据是复变函数中的柯西定理（辐角原理）。
频率特性 ???
奈魁斯特轨迹的二个组成部分： 1、沿无穷大半径的半圆路径 2、沿虚轴路径所对应的直线
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹
（1）沿无穷大半径的半圆路径： F (s)1 G (s)H (s)
开环传递函数G(s)H(s)的一般形式为：
G(s)H(s)ab00ssnmab11ssnm 11... ...ba mn 1 s1sbamn b0sam 0 n a1bs1s1m 1.n ....a.nb 1m s11sn1 nansb m nsn
l 其映射恰好是系统的开环频率特性。 l 求出奈魁斯特轨迹的映射，考察其包围原点的情况，就可 以知道在s 右半平面是否有F(s)的零点，即系统的不稳定的闭环 极点，以此判断系统的闭环稳定性。 以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹
为什么s平面上的奈魁斯特轨迹 在F(s)平面上的映射就是系统的
别是s和F(s)的矢量端点变化的轨迹。
[s]
[F(s)]
[s]
[F(Fra Baidu bibliotek)]
c
c′
j2
1.12
1 ﹣j0.577
例：某系统： F (s)1G (s)H (s)1 6
(s1)s(2)
若 s11j2, F (s 1 ) 1 G (s 1 )H (s 1 )1.12j0.577
一、柯西定理（围线映射）定理
F (s)1G (s)H (s)(K s( s p1s)1)s( s( ps22 ) ) ((ss p sp z))0
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
（2）当s 平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时，围线C’ 必定不包围F(s)平面的坐标原点。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
一、辐角定理（围线映射）定理
一、辐角定理（围线映射）定理
系统闭环传递函数 Y(s) G(s) X(s) 1G(s)H(s)
其中： F (s)1G (s)H (s)是闭环特征多项式
(K s( s p1s)1)s( s(ps22 ) ) ((sspspz))
F (s)1 G (s)H (s)0是闭环特征方程。
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
