物理学教程下

z
+ +
en
∫ E ⋅ dS =
S
s (柱面）
E
o
en en
y
∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS h
s (上底） s (下底）
r
+ + +
=
∫ E ⋅ dS
s (柱面）
x
∫ E ⋅ dS = ∫ EdS
S s ( 柱面）
λh = ε0
z
λh 2 π rhE = ε0
+ +
二、电场强度通量 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面 的电场强度通量. 的电场强度通量. 均匀电场 ，E 垂直平面
Φe = ES
均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
S
E
Φe = ES cos θ
Φe = E ⋅ S
θ
S
θ
en
E
非均匀电场强度电通量
dS = dS ⋅ en
dΦe = E ⋅ dS
9-6 电势
一、电势
∫
∫
AB
q 0 E ⋅ d l = − ( E p B − E pA )
E ⋅ dl = − ( E pB q0 − E pA q0
B
q0
E
AB
)
A
(积分大小与
q 0无关) 无关)
EpA q0
B 点电势 V = EpB B q0
VA =
B
A点电势
V A = ∫ E ⋅ dl + V B
1 σ er E=∫ ds 2 4π ε0 r S
+++ + q +++ +++ ++
+ ds +++ +
r
P
dE
dq 电荷线 电荷线密度 λ = dl 1 λ er E=∫ dl 2 4π ε0 r l
q
dl
r
P
dE
五、电偶极子的电场强度 电偶极子的轴
r0
电偶极矩（电矩） 电偶极矩（电矩） p
= qr0 − q
1 dq dE = er 2 4π ε0 r
1 er E = ∫ dE = ∫ dq 2 4π ε0 r
电荷体 电荷体密度 点 P处电场强度
+++ + q +++ +++ ++
+ dq +++ +
r
P
dE
dq ρ= dV
1 ρ er E=∫ dV 2 4π ε0 r V
电荷面 电荷面密度
dq σ= ds
（试验电荷为点电荷 且足够小, 、且足够小,故对原电场 几乎无影响） 几乎无影响）
单位
N ⋅ C −1 V ⋅ m −1
电荷 q 在电场中受力
F = qE
三、点电荷的电场强度
F 1 Q E= = e 2 r q0 4 π ε 0 r
+Q + −Q −
r r
q0
E
E q 0
E
+Q
E
−Q
四
电场强度的叠加原理
B
dl
r
任意电荷的电场（视为点电荷的组合） 任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
W = q0 ∫ E ⋅ dl
l
l
E = ∑ Ei
i
l
∴ W = q0 ∫ E1 ⋅ d l + q0 ∫ E 2 ⋅ dl + ⋯
结论： 结论：静电场力做功仅与路径的起点和终点的位置有 与该路径的形状无关. 关，与该路径的形状无关.
E = E = dN / dS
S
E
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
−q
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
电场线特性
（1）始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 向无穷远). 向无穷远). （2）电场线不相交. 电场线不相交. （3）静电场电场线不闭合. 静电场电场线不闭合.
E
o
en
y
λ E= 2 π ε 0r
h
x
r
+ + +
9-5 静电场的环路定理 电势能
一、静电场力所做的功 点电荷的电场
qq0 dr θ E dW = q0 E ⋅ dl = r ⋅ dl 3 rB 4 π ε 0r r ⋅ d l = rd l cos θ = rd r qq0 dW = dr 2 rA 4 π ε 0r q q0 rB dr qq 0 W = A ∫rA r 2 4π ε0 qq 0 1 1 结果: W 仅与 q0 的始末 = ( − ) 结果: 位置有关 与路径无关. 有关， 4 π ε 0 rA rB 位置有关，与路径无关.
Φe = ∫ d Φe =
E
dS
θ
en
E
θ2
dS 2
E
∫s E cos θ d S
dS 1
d Φe1 > 0
Φe =
∫s E ⋅ dS
S 为封闭曲面
π θ1 < , 2
E2
θ1
E1
π θ2 > , 2
d Φe2 < 0
闭合曲面的电场强度通量
dΦe = E ⋅ dS
Φe = ∫ E ⋅ d S = ∫ E cos θ d S
例1
均匀带电球壳的电场强度 一半径为R , 表面均匀带电 Q 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电 场强度. 场强度 解（1） 0 < r < R ）
r
s2
Q 2 4π ε0R
+ + +
+
S1 +
∫ E ⋅ dS = 0
（2） r > R ）
S1
E =0
+ + +
O R
r ++
+
+
∫ E ⋅ dS = ε
1 k= 为真空电容率） （ ε0 为真空电容率） 4π ε 0 1 −12 2 −1 −2 ε0 = = 8 .8542 × 10 C ⋅ N ⋅ m 4π k −12 −1 = 8 .8542 × 10 F ⋅ m
F12
1 q1q 2 = e 12 2 4 π ε 0 r12
9-3 电场强度
一、静电场 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力， 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其 相互作用是怎样实现的？ 相互作用是怎样实现的？
Φe = ∫ E ⋅ dS =
S
1
ε0
∑q
i =1
n
i
说明 （1）高斯面为封闭曲面. 高斯面为封闭曲面. 穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负. （2）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负. 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量 通量有贡献 （3）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献
四、高斯定理的应用 对称性） （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性 其步骤为 对称性分析； 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算. 应用高斯定理计算.
1 2 夸克模型具有分数电荷（ 电子电荷） 强子的夸克模型具有分数电荷 强子的夸克模型具有分数电荷（ 或 电子电荷）但实验 3 3
在孤立系统中,电荷的代数和保持不变。——自然界的基 孤立系统中,电荷的代数和保持不变。 系统中 自然界的基 本守恒定律之一
9-2 库仑定律
一、点电荷模型 d （
<< r12）
P
en
o
M
θ
en
en
z
Q
E R x
Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cosπ = − ES左 s左
Φe右 = ∫ E ⋅ dS = ES右 cosθ = ES左 s右 Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右 + Φe下 = 0
三、高斯定理 在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等 在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 闭合曲面的电场强度通量 于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以ε 0。 面外电荷无关 此闭合曲面称为高斯面） 电荷无关， （与面外电荷无关，此闭合曲面称为高斯面）
9-1 电荷的量子化 电荷守恒定律
一、电荷的量子化 基本性质 1、电荷有正负之分； 电荷有正负之分； 2、电荷量子化：电子电荷 e = 1.602 × 10 电荷量子化：
−19
C
q = ne
3、同性相斥，异性相吸. 同性相斥，异性相吸. 上尚未直接证明. 上尚未直接证明. 二、电荷守恒定律
( n = 1, 2 ,3, ⋯ )
AB
为参考电势，值任选） （ V 为参考电势，值任选）
V A = ∫ E ⋅ dl + V B
AB
令 VB = 0
VA =
∫
AB
E ⋅ dl
VA =
V = 0点
∫ E ⋅ dl
A
电势零点选择方法： 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势 零点，实际问题中常选择地球电势为零. 零点，实际问题中常选择地球电势为零.
S2
Q
0
E
4π r E =
2
Q
E=
Q 4π ε 0r
2
ε0
o
R
r
例2 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷， 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 处的电场强度. 电荷线密度为 λ，求距直线为 处的电场强度.
r
解 对称性分析：轴对称 对称性分析： 选取闭合的柱形高斯面
点电荷 qi 对 q0 的作用力
q1 q2 q3
r2
r1
1 qi q0 Fi = ri 3 4 π ε 0 ri
F3
r3
q0
F2 F1
F = q0 处总电场强度 E = F = ∑ Fi 故 q0 i q0
由力的叠加原理得 q0 所受合力 电场强度的叠加原理
i
∑F
i
i
E = ∑ Ei
三个点电荷在点P激起的电场强度等于各个点电荷 三个点电荷在点 激起的电场强度等于各个点电荷 激起 单独存在时在该处的电场强度的矢量和。 单独存在时在该处的电场强度的矢量和。 电荷连续分布情况
AB
WAB
令
> 0, EpB < EpA < 0, EpB > EpA
EpB = 0
E pA = ∫ q 0 E ⋅ d l
AB
试验电荷 q0 在电场中某点的电势能，在数值上 在电场中某点的电势能， 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 电势能的大小是相对的 电势能的差 绝对的 电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的. 大小
电 场 电荷
场是一种特殊形态的物质
电荷
场 实物
物 质
二、电场强度
F E = q0
电场中某点处的电场强度 电场中某点处的电场强度 E 等于位 于该点处的单位试验电荷所受的力 单位试验电荷所受的力， 于该点处的单位试验电荷所受的力， 其方向为正电荷受力方向. 其方向为正电荷受力方向.
+Q
+ q0
F
+ Q ：场源电荷 + q 0 ：试验电荷
x >> r0
1 2p 1 2r0 q E= i = 3 4 π ε 0 x3 4π ε 0 x
9-4 电场强度通量 高斯定理
一 电场线 （电场的图示法） 电场的图示法） 规 定 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. 该点电场强度的大小.
q1
r12
F 21源自文库
F12
q1
− q2
F21
二、库仑定律
r12
q2
d
F12
F12
SI制 SI制
q1 q 2 = k e12 = − F 21 2 r12
9 2 −2
k = 8.98755 × 10 N ⋅ m ⋅ C
库仑定律
F 12
q1q 2 = k e 12 = − F 21 2 r12
库仑力遵守牛顿第三定律 令
S S
E
S
dS
θ E
例1 如图所示 ，有一 个三棱柱体放置在电场强度
y
E = 200 i N ⋅ C 的匀强电
场中 . 求通过此三棱柱体的 电场强度通量 .
−1
E
o
z
x
解
Φe = Φe前 + Φe后
N
y
+ Φe左 + Φe右 + Φe下
Φe前 = Φe后 = Φe下
= ∫ E ⋅ dS = 0 s
三、电势能 电场是保守场 静电场力是保守力 保守场， 保守力， 静电场是保守场，静电场力是保守力，引入相 应的势能。静电场力所做的功就等于电荷电势能增 应的势能。静电场力所做的功就等于电荷电势能增 负值。 量的负值。
W AB = ∫ q0 E ⋅ dl = − ( EpB − EpA ) = −∆Ep
−
p +q
讨论
r0
+
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度 ）
−q
O
+q
A
r0 2 r0 2
x
E−
E+
x
−q
O
+q
A
r0 2 r0 2
1 q E+ = i 2 4 π ε 0 ( x − r0 2)
x
E−
E+
x
1 q E− = − i 2 4 π ε 0 ( x + r0 2) 2 xr0 q E = E+ + E− = 2 2 2 i 4 π ε 0 ( x − r0 4)
VA =
∫
A∞
E ⋅ dl
二、静电场的环路定理 对于任意静电场,设试验 对于任意静电场 设试验 电荷在其中运动， 电荷在其中运动，则有 1
B
2
q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl
A1 B A2 B
A
E
q0 ( ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl ) = 0
A1B B2 A
E ⋅ dl = 0 ∫
l
在静电场中， 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分 静电场的环路定理。 为零 ——静电场的环路定理。静电场力是保守力，静 静电场的环路定理 静电场力是保守力， 电场是保守场。 电场是保守场。