图论第四章 平面图及着色讲解

第四章 平面图
第一节 平面图 定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G 称为G的平面表示。
可平面图G与G的平面表示 G 同构，都简称为平面 图。(球极投影)
定理1 图G可嵌入球面图G可嵌入平面。
定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。
证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两 个面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的 边界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边 界是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立.
定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平 面图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立.
两个点,从交点o到这两点的距离不超过1/2,不妨设为a,x,则点a与x
之间的距离小于1,与已知矛盾,所以G中的边除端点外不再有其它 交点,即G为平面图.再据推论1,知结论成立. a x o

y b
a
x b y
(a)
(b)
第2节 库拉图斯基定理与极大平面
定义1 设G是一个平面图，通过删除G的一条边{x、 y},并增加一个新结点a和两条边{x 、a}与{a、y} （所获得的任何图也是平面图），这样的操作称为 初等细分。若可以从相同的图G通过一系列初等细 分来获得图G1和G2，称G1和G2是同胚的. 如下图G1,G2,G3是同胚的.
若G含有圈C,设y是圈C上的一边,则边y一定是两个不 同面的边界的一部分.删除边y得图G’,则G’有n条边.由 假设公式对G’成立，而G比G’多一边和多一面,G与G’ 得顶点数相同.故公式也成立.
推论1 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简 单图，其中v3，则e3v-6。 证明:由于G是简单图,则G中无环和无平行边.因此 G的任何面的度数至少为3.故
证明:设G有v个顶点e条边.若e6,结论显然成立;若e>6, 假设G的每个顶点的度数6,则由推论1,有
6v 2e 6v-12
矛盾,所以 (G)5.
例4 平面上有n个顶点，其中任意两个点之间的距离 至少为1.证明 在这n个点中距离恰好为1的点对数 至多是3n-6。 证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n 个点(位置相同),当两个顶点之间的距离为1时,两顶 点之间用一条直线段连接.显然,图G是一个n阶简单 图.
例1 Q3是否可平面性？
定义2 (平面图的面,边界和度数).
设G是一个平面图，由G中的边所包围的区 域，在区域内既不包含G的结点，也不包含 G的边，这样的区域称为G的一个面。有界 区域称为内部面，无界区域称为外部面。包 围面的长度最短的闭链称为该面的边界。面 的边界的长度称为该面的度数。
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
2e=d(f)3r (1)
其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e3(2-v+e)
即e3v-6。
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图， 其中v3且没有长度为3的圈，则e2v-4。 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的 度数至少为4.因此有2e=d(f)4r (1) 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e4(2-v+e) 即e2v-4。
G1
G2
G3
定理1一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个 同胚于K3.3或K5的子图。（证略）
例1 说明彼得森图不是平面图。 解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而 H胚于K3.3,所以皮得森不是平面图.
a f g b a e i c d g h (b)H e h j f d e j f
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w)
从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了 w-1次.).所以有: V-e+r+(w-1)=2w
整理即得: v- e+ r=1+w.
推论4 设G是任意平面简单图，则(G)5。
例3 K5和K3.3都是非平面图。
解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由
推论1知,K5是非平面图.
显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边,因 而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用数学归纳法证明.
假设公式对n条边的图成立.设G有n+1条边.若G不 含圈,任取一点x,从结点x开始沿路行走.因G不含圈,所以 每次沿一边总能达到一个新结点,最后会达到一个度数 为1的结点,不妨设为a,在结点a不能再继续前进.删除结 点a及其关联的边得图G’,G’含有n条边.由假设公式对G’ 成立,而G比G’多一个结点和一条边,且G与G’面数相同, 故公式也适合于G.
由推论1,只要证明G为一平面图时即知结论成立. 反设G中存在两条不同的边{a,b}和{x,y}相交于非端点处o,如下
图(a)所示,其夹角为(0< <).
若 =,这时如下图(b),显然存在两点距离小于1,与已知矛盾,从而 0< <.由于a到b的距离为1,x到y的距离为1,因此a,b,x,y中至少有
3
e1 f1 e 4 4 5 f5 e10 2 e7 f3 e6 f2 e8 e9 7
1
f4 e5wk.baidu.com
e2
e3 6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.