电磁场与电磁波第六章作业题解答

第六章 无界空间平面电磁波的传播 习题解答 6-1．已知自由空间的电磁波的电场强度E 的瞬时值为 ()()

()8;37.7cos 6102V/m y z t t z ππ=⨯+E e

试回答下列问题：（1）该电磁波是否属于均匀平面波？沿何方向传播？（2）该电磁波的频率、波长、相位常数和相速度各为多少？（3）该电磁波的磁场强度的瞬时表达式。

解 （1）均匀平面波等振幅面与等相位面重合，在垂直于传播方向上E 、H 的方向和大小都不变的电磁波。由题给电磁波电场强度的表达式，可知电磁波沿-Z 方向传播，电场强度在垂直于传播方向+Y 方向，且振幅为常数，所以电磁波属于均匀平面波。 （2）与沿-Z 方向传播，且电场强度矢量沿y e 方向的均匀平面波的一般表达式 ()()()0;cos V/m y z t E t kz E e ω=+ 相比较，可知

8

610;2k ωππ=⨯=

因此，有

频率 83.010()2f Hz ω

π==⨯ 波长

21()m k π

λ=

=

相速度

881 3.010 3.010(/)f m s ϕυλ==⨯⨯=⨯

显然，自由空间电磁波的相速度等于光速。

（3）磁场强度H 的瞬时表达式为 ()()()0001

1

;cos A/m y z t E t kz H k E k e ωη

η

=⨯=

⨯+

而

0;120()z k e ηπ=-=

=Ω 代入，得到

()()()

()()

01

;()cos A/m 1200.1cos A/m z y x z t E t kz t kz H e e e ωπ

ω=

-⨯+=+ 6-2．理想介质（介质参数为μ=μ0，ε=εr ε0，σ=0）中有一均匀平面电磁波沿X 方向传播，已知其电场瞬时表达式为

()()()9;377cos 105V/m y x t t x =-E e

试求：（1）该理想介质的相对介电常数；（2）该平面电磁波的磁场瞬时表达式；（3）该平面电磁波的平均功率密度。

解 （1）根据 00

r k

有

2

22

82

2

900

1

53010

22510

r

k ..

（2）磁场的瞬时表达式

()()()

()()

9091

1

;377cos 105A/m 1

377cos 105A/m x y z z t t x t x H k E e e e η

η

η

=

⨯=

⨯-=

-

而理想介质中的波阻抗为

01

11

120

12022515

r

r

..

所以，有

()()()9; 1.5cos 105A/m z z t t x

H e =-

（3）平均坡印廷矢量 1Re 2

*av ⎡⎤=

⨯⎣⎦S E H 由电场强度E 和磁场强度H 的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为 55377; 1.5j x

j x y z e e E e H e --==

有

()5521Re 37715282752

j x j x av y z x e .e .W /m -⎡⎤=

⨯=⎣⎦S e e e 6-3．空气中一平面电磁波的磁场强度矢量为

()()63

1;10cos A/m 22x y z t t x y z ωπ-⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=+++--

⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

H r e e e 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度矢量E ；（4）平均坡印廷矢量。

解 （1）根据平面波的一般表达式 ()[]()0;cos A/m t t H r H k r ω=-⋅ 比较可知

6

03110;22x y z x y z k x k y k z x y z H e e e k r π-⎛⎫⎛

⎫=++⋅=++=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

有

;

;2

x y z k k k π

ππ=-==

2

x x y y z z x y z k k k k e e e e e e π

ππ=++=-++

32k π=

=

因此，波传播的单位矢量为 0221

333

y x z x y z x y z k k k k k k k k k e e e e e e =

=++=-++ （2）波长 ()24

3

m k πλ=

= 频率

()883.0109

10434

c f Hz ϕυλλ⨯====⨯

（3）电场强度矢量与磁场强度矢量的关系可由麦克斯韦方程得到

()011x y z x

y z x

y

z

ym ym zm xm zm xm x y z x y z j k x k y k z x y z j

j

x

y z H H H H H H H H H j y z z x x y k k k e A B C

ωε

ωεωεηωε

ωε

-++∂∂

∂=-

∇⨯=-

∂∂∂⎡⎤⎛⎫

⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂∂∂=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

=-=-⨯=-⨯e e e E H e e e e e e k H k H

将波矢量和磁场矢量代入，有

()()

0662213112010333221751120103632x y z x y z x y z ;t cos t x y z cos t x y z V /m ηπωππωπ--=-⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛

⎫=-⨯-++⨯+++-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛

⎫=⨯--++-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣

⎦E r k H

e e e e e e e e e

（3）平均坡印廷矢量 1Re 2

*av ⎡⎤=

⨯⎣⎦S E H 由电场强度E 和磁场强度H 的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为

126126175120103

633102j x y z x y z j x y z x y z e

e

E e e e H e e e πππ⎡⎤

⎛

⎫-- ⎪⎢⎥-⎝

⎭⎣⎦⎡⎤⎛

⎫-- ⎪⎢⎥

-⎝

⎭⎣⎦⎡⎤=⨯--+⎢⎥⎣⎦⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭