限时练(一)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7
D.6
解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}， N ＝{x |m ＜x ＜5}，
且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C
2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.16
29尺 C.815尺
D.1631尺
解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d
＝390，解得d ＝16
29
.故选B. 答案 B
3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5
D.1或－3
解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的2
2.圆C 的标准方程是(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |
2
，依题意
得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.
答案 D
4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )
A.16＋33
B.8＋632
C.163
D.203
解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝8
3.可将三棱柱补成直三棱柱，则 V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为20
3.故选D. 答案 D
5.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且
该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )
A.5π
12 B.π4 C.π3
D.π6
解析 由题意得T 2＝π
2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12
(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.
答案 A
6.已知向量a ，b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →
＝3a ＋2b ，OQ →
＝a ＋3b ，则P ，Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3
D. 2
解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×1
2＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →
|2
＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，
∴|PQ →
|＝2 3. 答案 C
7.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A.45 B.60 C.120
D.210
解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36·C 04＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60， f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 06·C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋
f (0，3)＝120. 答案 C
8.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85 B.65 C.45
D.25
解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2， 则X ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.
答案 B
9.设双曲线x 24－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12
D.16
解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2
a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11. 答案 B
10.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9
D.c >9
解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)
11.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，
x －y ≥－1，2x －y ≤2，
若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取
得最小值，则实数a 的取值范围为________.
解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a
3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a
3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3).
答案 (－6，3)
12.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.
解析 由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π
3，所以{a n }前9项的和S 9＝
9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5
＝cos 16π
3＝
cos 4π3＝－1
2. 答案 24π －1
2
13.函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________.
解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝1
2，所以最小正周期T
＝2π
2＝π，最大值为 5. 答案 π
5
14.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧|log 3（x ＋1）|，－1<x ≤0，tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ，0<x <1，
则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝________，若f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，则实数a 的取值范围是________.
解析 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝1
2，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.
－1<a ≤0时，f (a )＝|log 3(a ＋1)|<1，－1<log 3(a ＋1)<1，解得－23<a <2，所以－2
3<a ≤0；当0<a <1时，f (a )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2a <1，0<π2a <π4，0<a <12，综上可得实数a 的取
值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，12.
答案 1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，12
15.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率k ＝________，r ＝________.
解析 两圆的方程相减可得点P 的横坐标为 1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，又|AO |＝|OP |，所以△OAP 为等边三角形，同理可得△CBP 为等边三角形，所以∠OPC ＝60°.又|OP |＝|OC |，所以△OCP 为等边三角形，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.
答案
3 2
16.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.
解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数. ①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝1
2；当经过点(3，1)时，k ＝14，∴14＜k ＜1
2.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存
在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，12.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，12
17.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n ，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n －1
3.
答案 （－2）n －1
3
限时练(二)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π
6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π
6＋k π，k ∈Z ，此时θ的值不一定为－π6；若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6
＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π
3对称.即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π
6”的必要不充分条件. 答案 B
2.若1a ＜1
b ＜0，则下列四个不等式恒成立的是( ) A.|a |＞|b | B.a ＜b C.a 3＜b 3
D.a ＋b ＜ab
解析 由1a ＜1
b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，b 3＜a 3，即A ，B ，C 项均不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确. 答案 D
3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →
＝a ，AC
→
＝b ，则AD →
＝( )
A.1
2a ＋b B.1
2a －b C.a ＋12b D.a －12b
解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵
，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝1
3×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行
四边形，∴AD →
＝AO →
＋AC →
＝12AB →＋AC →
＝1
2a ＋b .
答案 A
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5 B.6 C.－4
D.－6
解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6. 答案 B
5.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013
D.1 007×2 014
解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.
答案 C
6.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60
D.100
解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号
或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 2
2
＝60. 答案 C
7.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于
( ) A.63 B.64 C.31
D.32
解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.
答案 A
8.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是( ) A.4 B.4.5 C.4.75
D.5
解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35
＝1
10，
P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35
＝610＝3
5，
所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×3
5＝4.5. 答案 B
9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b
a ＝( ) A.32 B.233 C.932
D.2327
解析 A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 2
2
＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝ －1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b
a ＝
23
3. 答案 B
10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：
①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值； ②点P 到平面QEF 的距离为定值； ③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π
2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π
2，即①错误；平面QEF 也是平面A 1B 1CD ，既然P 和A 1B 1CD 都是定的，所以P 到平面QEF 的距离是定值，即②正确；因为EF 是定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，④也正确；当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误. 答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)
11.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.
④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).
解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确. 答案 ②③④
12.以椭圆x 24＋y 2
＝1的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.
解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得双曲线的顶点为(±3，
0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝3，c ＝2，所以b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ，离心率为e ＝
c a ＝233. 答案 y ＝±33x 23
3
13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ
＝________.
解析 由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2π
T ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ).把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝1
2.因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 答案 2 π
6
14.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.
解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去1
4后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋3
4×π×12＋2×14×π×12
＝11π4. 答案
π2 11π4
15.已知x ，y ∈R 且满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，
2x ＋y －5≤0，kx －y －k －1≤0.
当k ＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________； 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7，则k 的值为________.
解析
当k ＝1时，不等式组为⎩⎨⎧x ≥1，
2x ＋y －5≤0，x －y －2≤0，
作出不等式组满足的平面区域如
图中△ABC ，易求得A (1，3)，B (1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
73，13，所以S △ABC ＝12×4×43＝83；
由目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7知⎩⎨⎧3x ＋y ＝7，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝1，则点(2，1)在
kx －y －k －1＝0上，即2k －1－k －1＝0，解得k ＝2.
答案 8
3 2
16.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；
(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x )*1
e x 的性质，有如下说法：
①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].
其中所有正确说法的序号为________.
解析 依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x ＋1e x ，其中
x ∈R .∴f ′(x )＝e x －1
e x ，令
f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋
1e
－x ＝1＋e x
＋1e x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 17.若关于x 的方程
|x |
x ＋2
＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是
________.
解析由于关于x的方程|x|
x＋2
＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，
故关于x的方程|x|
x＋2
＝kx2有3个不同的非零的实数解.
∴方程1
k＝⎩
⎨
⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
有3个不同的非零的实数解，
即函数y＝1
k的图象和函数g(x)＝⎩
⎨
⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
的图象有3个交点，画出函
数g(x)图象，如图所示，
故0＜1
k＜1，解得k＞1.
答案(1，＋∞)
限时练(三)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析因为α⊥β，b⊥m，α∩β＝m，b⊂β，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
2.已知a＝41
3
，b＝log
1
4
1
3，c＝log3
1
4，则()
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.b＞a＞c
解析因为a＝41
3
＞1，0＜b＝log
1
4
1
3＝log43＜1，c＝log3
1
4＜0，所以a＞b＞c，故选A.
答案 A
3.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝
1
2f(x)，则tan 2x的值是()
A.－
2
3 B.－
4
3
C.－
3
4 D.
3
4
解析因为f′(x)＝cos x＋sin x＝
1
2sin x－
1
2cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝2tan x
1－tan2x
＝
－6
1－9
＝
3
4，故选D.
答案 D
4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()
A.36 cm3
B.48 cm3
C.60 cm3
D.72 cm3
解析由三视图可知，上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2，6，高为2.所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×
2＋6
2×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48，选B.
答案 B
5.已知x，y满足约束条件
⎩
⎨
⎧x≥2，
x＋y≤4，
－2x＋y＋c≥0，
目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，
则z 的最大值是( ) A.20 B.22 C.24
D.26
解析 由⎩⎨⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝－1.代入直线－2x ＋y ＋c ＝0得c ＝5，即直线方
程为－2x ＋y ＋5＝0.平移直线3x ＋y ＝0，由⎩⎨⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝1，即D (3，
1)，
当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，代入直线z ＝6x ＋2y 得z ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案 A
6.等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，则log 14
a 1 010
＝( ) A.1
2 B.2 C.－2
D.－12
解析 因为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，而a 4和a 2 016为函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，所以a 4和a 2 016为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4＝0的根，所以a 4＋a 2 016＝4，又a 4、a 1 010和a 2 016为等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以 log 14a 1 010＝－1
2，故选D. 答案 D
7.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1、2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A.15 B.20 C.30
D.42
解析 四个篮球两个分到一组有C 24种，3个篮球进行全排列有A 33种，标号1、2的两个篮球分给一个小朋友有A 33种，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30，故选C.
答案 C
8.二项式⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数
项是( ) A.180 B.90 C.45
D.360
解析 依题意n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝ 2r C r 10x 5－5
2
r . 令5－5
2r ＝0，得r ＝2.
∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180. 答案 A
9.已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为( ) A.13 B.23 C.59
D.79
解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个不等实根，则Δ＝16a 2－16b 2>0，即a >b ，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，故a 、b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a ＞b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)6种，所以所求的概率为69＝23. 答案 B
10.已知点A 是抛物线y 2＝4x 的对称轴与准线的交点，点B 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足|P A |＝m |PB |，当m 取得最大值时，点P 恰在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.2－1 B.22－2 C.2＋1
D.22＋2
解析 设P (x ，y )，可知A (－1，0)，B (1，0)， 所以m ＝|P A |
|PB |＝
（x ＋1）2＋y 2
（x －1）2＋y 2
＝
（x ＋1）2＋4x
（x －1）2＋4x
＝
1＋4x
x 2＋2x ＋1
，当x
＝0时，m ＝1；当x ＞0时，m ＝1＋
4x
x 2＋2x ＋1
＝
1＋
4
x ＋1x ＋2
≤ 2.当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时取等号，所以P (1，±2)，所以|P A |＝22，|PB |＝2，又点P 在以A ，B 为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a ＝|P A |－|PB |＝22－2，即a ＝2－1，c ＝1，所以e ＝1
2－1＝2＋1，故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)
11.△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →
|＝4，|AC →
|＝3，则AM →
·BC →
＝________.
解析 AM →
·BC →
＝12(AB →
＋AC →)·(AC →－AB →
)
＝12(|AC →|2－|AB |2)＝12(9－16)＝－72. 答案 －7
2
12.已知φ∈[0，π)，函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝________，f (x )的最小值为________.
解析 因为函数f (x )为偶函数，所以cos 2x ＋cos(x ＋φ)＝cos(－2x )＋cos(－x ＋φ)，即cos(x ＋φ)＝cos(x －φ).因为φ∈[0，π)，所以x ＋φ＝x －φ，所以φ＝0，所以f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2
x －1＋cos x ＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos x ＋142－98，所以当cos x ＝－14时，f (x )
取得最小值－9
8. 答案 0 －9
8
13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2 x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为
________.
解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝(－1)2－1＝0；当x ≤0时，
由x 2＋x ＝2，解得x ＝－2，当x >0时，由log 2x ＝2，解得x ＝4.
答案 0 －2或4
14.在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有
a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称{a n }为等
差比数列，k 称为公差比.现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为0； ②等差数列一定是等差比数列；
③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为________.
解析 若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为0的等差数列不是等差比数列，②错误；
a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1，则
a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q n
a 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确.
答案 ①③④
15.已知向量a ，b ，且|b |＝3，b ·(2a －b )＝0，则|a |的最小值为________；|t b ＋(1－2t )a |(t ∈R )的最小值为________.
解析 设向量a ，b 的夹角为θ，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos θ－|b |2＝6|a |cos θ－9＝0，所以|a |cos θ＝32，当cos θ取得最大值1时，|a |取得最小值32；又由b ·(2a －b )＝0，得2a ·b ＝b 2＝9，所以|t b ＋(1－2t )a |2＝t 2b 2＋2a ·b (1－2t )t ＋(1－2t )2a 2＝9t 2＋9(1－2t )t ＋(1－2t )2a 2＝(4|a |2－9)t 2＋(9－4|a |2)t ＋|a |2＝(4|a |2－9)⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋9
4，因为|a |≥32，所以4|a |2－9≥0，所以当t ＝12时，|t b ＋(1－2t )a |2取得最小值94，
所以|t b ＋(1－2t )a |的最小值为3
2. 答案 32 32
16.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则E (X )＝________，D (X )＝________.
解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为3
5，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴E (X )＝4×35＝125，D (X )＝4×35⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－35＝2425.
答案 125 24
25
17.若函数f (x )满足f (x －1)＝
1
f （x ）－1
，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，若在区间
[－1，1)上，g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________. 解析 因为当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，所以当x ∈(0，1)时，x －1∈(－1，0)，由f (x －1)＝1f （x ）－1可得，x －1＝1
f （x ）－1
，
所以f (x )＝
1
x －1
＋1，作出函数f (x )在[－1，1)上的图象如图所示，因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，所以y ＝f (x )的图象与直线y ＝mx －m 有两个交点，由图可得m ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，12.
答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，12
限时练(四)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]
答案 A
2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( ) A.y ＝±
14x B.y ＝±
13x C.y ＝±
12x D.y ＝±x
答案 C
3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延
长线与CD 交于点F .若AC →
＝a ，BD →
＝b ，则AF →
＝( ) A.14a ＋1
2b B.12a ＋14b C.23a ＋13b
D.12a ＋23b
解析 ∵AC →
＝a ，BD →
＝b ，
∴AD →
＝AO →
＋OD →
＝12AC →＋12BD →＝12a ＋1
2b ，
因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝1
3， ∴|DF |＝1
3|AB |，
∴DF →
＝13AB →＝13(OB →
－OA →
) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC → ＝16AC →－16BD →
＝16a －1
6b ，
AF →
＝AD →
＋DF →
＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋1
3
b .
答案 C
4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x
B.f (x )＝2sin x
C.f (x )＝2
2sin 2x D.f (x )＝2
2(sin 2x ＋cos 2x )
解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .
答案 A
5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0
解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C
6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ
＝3π
4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210 B.－325 C.－7212
D.－8213
解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－4
5
×22＝－72
10. 答案 A
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1
3＋π B.2
3＋π C.1
3＋2π
D.2
3＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12×1×2×1
＝π＋1
3. 答案 A
8.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：
a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率
为( ) A.C 57⎝
⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭
⎪⎫235
B.C 27⎝
⎛
⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135
C.C 57
⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭
⎪⎫135
D.C 37
⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭
⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135.
答案 B
9.设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12 B.±22 C.±1
D.± 2
解析 不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以
可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2
a ，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫c ，－b 2a ，
又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)，所以A 1B →
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫c ＋a ，b 2a ，
A 2C →
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫c －a ，－b 2a ，
因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →
·A 2C →
＝0， 即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2
a ＝0，
即c 2
－a 2
－b 4a 2＝0，所以b 2－b 4
a 2＝0，
故b 2a 2＝1，即b a ＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±
b
a ，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.
答案 C
10.现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，
且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，若a ＝C 05cos 5θ－C 25cos 3θsin 2θ＋ C 45cos θsin 4θ，b ＝C 15cos 4θsin θ－C 35cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i
等于( )
A.cos 5θ＋isin 5θ
B.cos 5θ－isin 5θ
C.sin 5θ＋icos 5θ
D.sin 5θ－icos 5θ
解析 (e i θ＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)
a ＋
b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2θ－ C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5θ) ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)＋C 25cos 3θ(i 2sin 2θ)＋ C 35cos 2θ(i 3sin 3θ)＋C 45cos θ(i 4sin 4θ)＋C 55(i 5sin 5θ)
＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ. 答案 A
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)
11.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.
解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p
2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p
2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2
12.计算：log 22
2＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.
解析 log 222＝log 22－12＝－12，2log 23＋log 43＝23
2log 2 3＝2log 233
2＝27＝3 3. 答案 －1
2 3 3
13.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.
解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2
＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝2
3，d ＝－1. 答案 2
3 －1
14.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为
3－2
2. 答案 π
3－22
15.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x ≥0），
f （x ） （x <0），则
g (－2)＝________；函
数y ＝g (x )＋1的零点是________.
解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e
16.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2，
3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，
则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.
解析 作出可行域如图所示：
作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值， 由⎩⎨⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5
3，y ＝2，
所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.
答案 7
17.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.
解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有： x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ， 同理，在△ADC 中，由余弦定理有： x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ， 即15cos D －8cos B ＝7，①
又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋1
2×3×5sin D ＝1
2(8sin B ＋15sin D )，
即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得
64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， 即S 2
＝240[1－cos （B ＋D ）]
4
，
当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230。
