《二次根式》word版 公开课一等奖教案 (21)

二次根式运算教案一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质。

2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。

3.能够运用二次根式的运算法则解决实际问题。

二、教学重点1.理解二次根式的含义和运算规律。

2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。

三、教学难点1.能够灵活运用二次根式的运算法则。

2.提高学生解决实际问题的能力。

四、教学方法1.讲解法：通过讲解理论知识，阐述二次根式的含义和运算规律。

2.示范法：通过示范例题，引导学生理解二次根式的运算方法。

3.练习法：通过练习题，巩固学生对二次根式运算法则的掌握。

4.讨论合作法：让学生分组讨论，合作解决实际问题。

五、教学过程1.引入（5分钟）通过一个简单的问题引入二次根式运算的概念，例如：“小明买了一块长宽分别为√2米和2√3米的矩形地毯，求地毯的面积。

”2.讲解二次根式的定义和性质（10分钟）讲解二次根式的定义和性质，明确二次根式的含义以及根式的加减乘除法则。

3.示范例题（15分钟）通过一些简单的例题，演示二次根式的基本运算方法，包括加减乘除。

4.练习题（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对二次根式运算法则的掌握。

5.讨论合作解题（15分钟）将学生分组讨论一些实际问题，例如：“小明有一块长宽分别为√5米和√3米的矩形地毯，他想铺在房间的地面上，房间的长宽分别为3√2米和2√3米，问地毯是否能完全覆盖房间的地面？”引导学生通过二次根式的运算解决问题。

6.总结归纳（5分钟）总结二次根式的运算法则和解题思路，强调学生在实际问题中的运用能力。

七、课堂练习（15分钟）八、作业布置（5分钟）九、教学反思。

2.7 二次根式第2课时二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。

如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。

2．二次根式的主要性质（1）；（2）；（3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。

3．注意与的运用。

【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________；（1；（4=________．（3一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1（1（2（3（4例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值． 三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式；(3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。

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因为下次再搜索到我的机会不多哦！第5章小结与复习有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”，现将一些常见的运算错误归纳如下，希望同学们加以注意，并引以为戒．一、概念不清例1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？ 2,223,,1,1,8,0.35,21x x m x x π-+-++,12x +错解：2,22,1,1,0.35,21x x m x x -+++,12x +都是二次根式； 3,8π-不是二次根式．剖析：对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二次根式a 中a ≥0的条件，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数．正解：2,22,1,0.35,21x m x x +++,都是二次根式；38π-12x +1x -二、违背运算顺序三、错用运算法则例3．化简：1121()37÷+． 错解：原式=112121377337÷+÷=+． 剖析：本题乱套乘法分配律，应注意：()a b c a b a c ÷+≠÷+÷．正解：原式=7321(73)2142173+-÷==+． 四、错用根式性质 例4．计算：（1）2213066-；（2）32128+错解：（1）原式=22130661306664-=-=；（2）原式=32128160410+==．剖析：二次根式的性质有：(0,0)ab a b a b =⋅≥≥；(0,0)a a a b b b=≥>；而不存在a b a b ±=±．正解：（1）原式=2213066(13066)(13066)19664148112-=+-=⨯=⨯=．五、忽视字母范围例5a b+ 错解：原式()()a b a b a b a b a b =-+-．剖析：本题的分子、分母同乘以a b -时，不允许a =b ，错在没有注意a =b 的情形． 正解：（1）当a ≠b 时，原式=()()a b a b a b a b a b --=-+-； （2）当a =b 时，原式=1()222a b a b a =或． 六、忽视隐含条件例6．化简：1a a -． 错解：原式=21()a a a -=-． 剖析：本题隐含着10a ->，所以a ＜0，这个条件． 正解：原式=21()a a a --=--．七、忽视限制条件例7．已知a +b =-2,ab =1，求a b b a+的值． 错解：原式=()2a b ab ab ab a b a b ab b a++=+==-． 剖析：应用二次根式的运算性质：(0,0)ab a b a b =⋅≥≥；(0,0)a a a b b b=≥>时，必须这样括号里的条件，本题由a+b=-2,ab=1可知a ＜0，b ＜0，不满足性质的条件造成错误．正解：由条件可知a ＜0，b ＜0，所以原式=()2a b ab ab ab a b a b ab b a++=--=-=． 八、忽视题设条件例822412942025x x x x ++-+32-≤x ≤52）． 错解：原式22(23)(25)232542x x x x x +-=++-=-．剖析：这里忽视了32-≤x ≤52这个条件，当有附加条件时，要注意2a a =的应用．正解：因为32-≤x ≤52，所以-3≤x ≤5，所以2x +3≥0，2x -5≤0， 所以，原式=22(23)(25)23258x x x x ++-=+-+=．九、忽视分类讨论例9．化简：22(2)(1)x x ++-．错解：22(2)(1)2121x x x x x ++-=++-=+．剖析：此题的限制条件不明确，又没有隐含条件，在利用2a a=化简时，必须利用零点分段法进行分类讨论，否则易出现错误．教学反思：本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。

二次根式第一课时一、教学目标1.核心素养：通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识．2.学习目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.（2）知道被开方数必须是非负数的理由,会求二次根式有意义的条件.3.学习重点从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.4.学习难点二次根式有意义的条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 回顾：什么叫算术平方根？任务2 阅读教程P2，思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？2.预习自测1．面积为3的正方形的边长为（）A.3B.3±C. 3-D. 92. 面积为S 的正方形的边长为（ ） A.s B.s ± C. s -D. 2s 3. 当x 为何值时，x 有意义（ ）A.0>xB.0<xC. 0≥xD. 0≤x预习自测1.A2.A3.C（二）课堂设计1.知识回顾（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是3±，0的平方根是0，-5没有平方根.（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是3，0的算术平方根是0，-5没有算术平方根.2.问题探究问题探究一 什么样的式子是二次根式？★活动一 回顾旧知，整体感受用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？（1）面积为2的正方形的边长为，面积为S 的正方形边长为 ；（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍，面积为130cm2,则它的宽为 cm ；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t （单位：秒）与开始落下时与地面高度h （单位：米）满足关系h=5t2．如果用含h 的式子表示t ，那么t= .活动二 总结反思，得出概念上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 二次根式的概念：一般地，我们把形如a (a ≧0)的式子叫做二次根式.二次根式具备哪些特点？（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于0.活动三 牛刀小试 初步运用例1.式子：2，x 1，2x ，5-，32，5a 中，二次根式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点：二次根式的定义】 详解：2，2x ，5-是二次根式，因此有3个，选C.点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方数是否为非负数.问题探究二 二次根式有意义的条件是怎样的？▲活动一 回顾旧知 开启新知（1）式子：2，0，3-有意义吗？（2）对于任意实数a ，a 一定有意义吗？（3）实数x 满足什么条件，二次根式2-x 有意义？点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题的结果显而易见.（1）式子：2，0有意义，3-没有意义；（2）对于任意实数a ，a 不一定有意义，因为a 有可能为负数；（3）二次根式2-x 要有意义，只需02≥-x 即可，即2≥x .活动二 牛刀小试 初步运用例2.当a 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式有意义的条件】（1）2a （2）12+a （3）11-a详解：（1）2a 中，无论a 取何值，2a 都有意义；（2）12+a 中，无论a 取何值，12+a 都是一个正数，所以，无论a 取何值，12+a 都有意义；（3）11-a 中，01>-a ，即1>a .点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3），还得综合考虑，既要考虑二次根式有意义，还要考虑整个式子有意义.3.课堂小结【知识梳理】 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.【重难点突破】二次根式有意义的条件探究．①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满足被开方数为 即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全面综合考虑，如：代数式21-x 有意义的条件就应同时满足：2-x ≠0和2-x ≥0，即2-x >0. 4.随堂检测1.下列各式不是二次根式的是（ ） A. 9 B. )0(≥a a C. 3- D. 0【知识点：二次根式的定义】【参考答案】C【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.2.下列式子中，二次根式的个数是（ ）（1）31；（2）5-；（3）22+x ；（4）3x ；（5）35A. 1B.2C.3D. 4【知识点：二次根式的定义】【参考答案】B【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.因此，（1）（3）是二次根式.3.若式子5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 5≥xB. 5>xC. 5<xD. 5≤x【知识点：二次根式有意义的条件】【参考答案】A【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。

八年级二次根式教案引言：二次根式作为数学中的一个重要概念，是八年级数学学习中的一项重要内容。

学习二次根式不仅能够加深对实数概念的理解，还能够培养学生分析问题和解决问题的能力。

本篇教案将带领学生从概念的认识到运用的掌握，通过多种教学方法和活动，帮助学生全面理解和掌握二次根式。

一、概念引入1. 导入：教师出示一个正方形，让学生估计其边长的平方根是多少，并思考如何求得精确值。

2. 概念引入：由学生提出的求正方形边长的平方根的方法，引出二次根式的概念。

教师讲解二次根式的定义，并进行例题演示。

二、二次根式的性质1. 定理1：二次根式的平方等于被开方数。

- 教师进行证明，帮助学生理解该定理的正确性。

- 学生进行练习，巩固该定理的掌握程度。

2. 性质1：对于非负实数a和b，有√(a × b) = √a ×√b。

- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。

- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。

- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。

3. 性质2：对于非负实数a和b，有√(a ÷ b) = √a ÷√b。

- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。

- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。

- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。

三、二次根式的化简与扩展1. 化简二次根式：- 教师引导学生通过整理根式中的因式，并利用性质对根式进行化简。

- 学生通过练习题，熟悉和掌握化简二次根式的方法。

2. 扩展二次根式：- 教师出示一些无理数，引导学生进行运算。

- 学生进行小组讨论，总结归纳无理数的运算规律和性质。

- 学生通过练习题，巩固对扩展二次根式的掌握。

四、二次根式的应用1. 解决问题：教师通过实际问题引导学生将问题转化为二次根式，并进行求解。

2. 小组探究：学生分组完成一个二次根式相关的探究项目，包括建模和解决问题。

3. 拓展学习：学生通过相关课外阅读和实际应用，拓展二次根式的应用领域，如几何、物理等。

二次根式教案逐字稿一、教学目标1. 理解和掌握二次根式的概念；2. 能够正确运用二次根式的运算法则进行计算；3. 能够解答有关二次根式的基本练习题。

二、教学重点1. 二次根式的定义和性质；2. 二次根式的运算法则。

三、教学难点1. 二次根式的运算规律；2. 解决复杂二次根式的计算问题。

四、教学准备1. 教材《高中数学教程》第三册；2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔等；3. 笔记本电脑、投影仪。

五、教学过程第一步：导入新知识（5分钟）为了引起学生的兴趣，导入阶段，可以通过一个生动的案例加深学生对二次根式的理解。

例如：小明家的车库墙上有一个镜子，它的形状是一个正方形。

车库门边缘的长度为12米，我们想要知道镜子面积的大小。

请同学们思考一下，如何计算这个正方形镜子的面积？第二步：引入概念和性质（10分钟）为了引出二次根式的概念和性质，教师可以使用PPT展示的方式，结合实际案例，引导学生发现二次根式的特点。

然后，教师解释二次根式的定义和性质，比如根式的符号、根式的系数、根式的指数等，以及根式与分式之间的关系。

第三步：举例说明运算法则（15分钟）在教授了二次根式的概念和性质后，教师可以通过具体的例子，逐一讲解二次根式的运算法则。

教师应尽量采用多种多样的实例，让学生能够全面掌握运算法则。

同时，教师可以请学生上黑板进行实际操作，巩固所学的知识。

第四步：练习与巩固（15分钟）在完成了运算法则的讲解后，学生可以进行一些练习题，以检验他们对所学内容的理解和掌握程度。

教师可以分发一些练习册，或者在黑板上出示一些习题，要求学生在规定的时间内完成。

教师应及时纠正学生答题中的错误，以加强学生对二次根式运算法则的应用能力。

第五步：拓展与应用（15分钟）为了拓展学生对二次根式的认识，教师可以引导学生进行一些拓展性的讨论，如二次根式的图像特征、二次根式与实际问题的联系等。

同时，教师还可以给学生一些实际的应用题目，让他们将所学知识应用到实践中，提高解决问题的能力。

有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

2、通过实例，探究出有理数除法法那么。

会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。

重点：有理数除法法那么的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。

教学过程：一、创设情景，导入新课 1、有理数乘法法那么两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：a ×b = b ×a (a ×b )×c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算〔分组练习，然后交流〕〔见ppt 〕 二、合作交流，解读探究 1、〔1〕6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？〔2〕怎样计算以下各式？〔－6〕÷3 6÷〔－3〕 〔－6〕÷〔－3〕 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。

教师：引导学生回忆小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。

同理〔－6〕÷3＝－2，6÷〔－3〕＝－2，〔－6〕÷〔－3〕＝2。

根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b ，其中b ≠0，如果有一个有理数c 使得c ×b=a ，那么我们规定a ÷b=c ，称c 叫做a 除以b 的商。

2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生比照乘法法那么，自己总结有理数除法法那么，经讨论后，板书有理数除法法那么。

二次根式教案大班引言：二次根式是初中数学中的一个重要概念，对于学生来说，掌握二次根式的定义、性质和运算规则是十分重要的。

本教案旨在帮助大班学生理解和掌握二次根式的概念和相关知识，以及培养他们的解决问题的能力和逻辑思维能力。

一、教学目标1. 理解二次根式的定义，掌握二次根式的特点；2. 掌握二次根式的运算法则，能熟练进行二次根式的加减乘除运算；3. 能够运用二次根式解决实际问题，培养解决问题的能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 二次根式的定义与特点；2. 二次根式的运算法则；3. 二次根式在实际问题中的应用。

三、教学过程3.1 二次根式的定义与特点在本节中，我们会详细介绍二次根式的定义、特点以及如何读写二次根式。

1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数。

其中，a称为被开方数，√称为开平方根号，√a称为二次根式的值。

2. 二次根式的特点：（1）当a为正数时，二次根式√a的值为正数；（2）当a为零时，二次根式√a的值为0；（3）当a为负数时，二次根式√a无实数值。

3. 如何读写二次根式：读写二次根式时，可以使用“平方根”、“根号”或者“根”的方式，例如√a可读作“平方根a”、“根号a”或者“根a”。

3.2 二次根式的运算法则在本节中，我们会学习二次根式的加减乘除运算法则，并通过练习题来巩固掌握。

1. 加减运算法则：当两个二次根式的被开方数相同时，可直接相加或相减；当两个二次根式的被开方数不同时，需要将其化为相同的根式再进行运算。

2. 乘除运算法则：二次根式的乘法运算规则是将两个二次根式的被开方数相乘，并合并相同的根号；二次根式的除法运算规则是将两个二次根式的被开方数相除，并合并相同的根号。

3.3 二次根式在实际问题中的应用在本节中，我们会通过一些实际问题来应用二次根式，培养学生解决问题的能力。

1. 实际问题一：甲校与乙校之间的距离为12√2千米，如果小明从甲校出发，以每小时6√2千米的速度徒步走到乙校，他大概需要多长时间？2. 实际问题二：一个正方形的边长为x，求其对角线的长度。

第2课时 二次根式的运算1．会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算；(重点) 2．灵活运用二次根式的乘法公式．(难点)一、情境导入下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它？ 二、合作探究探究点一：二次根式的乘除运算 【类型一】 二次根式的乘法计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)2xy ×1x； (4)14×7. 解：(1)3×5＝15； (2)13×27＝13×27＝9＝3； (3)2xy ×1x＝2xy×1x＝2y ；(4)14×7＝14×7＝72×2＝7 2.方法总结：几个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式，一定要化简．( )解析：原式＝a 2－2a a＝a （a －2）a＝a －2.故选C.方法总结：利用a b＝ab(a ≥0，b>0)可以进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母．探究点二：二次根式的加减运算计算：(1)23－63；(2)80－20＋5； (3)239x ＋6x4－2x 1x. 解析：(1)直接把二次根式合并，(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．解：(1)23－63＝(2－6)3＝－43；(2)80－20＋5＝45－25＋5＝(4－2＋1)5＝35； (3)239x ＋6x4－2x 1x＝2x ＋3x －2x ＝3x. 方法总结：将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．探究点三：二次根式乘法公式计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．解析：将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简． 解：原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.方法总结：结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．三、板书设计二次根式的运算⎩⎪⎨⎪⎧乘除法则加减法则乘法公式通过对公式的逆运用，达到化简的目的．学会这种特殊的思考方法．在合作探究过程中，提升学生探究能力和合作意识．通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．2．2 平方根 第1课时 算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】已知x 3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点)2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。

初中二次根式教案一、教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质；2. 能够进行二次根式的运算；3. 能够解决与二次根式有关的实际问题。

二、教学重点：1. 二次根式的概念和性质；2. 二次根式的运算规则。

三、教学难点：1. 二次根式的化简与合并；2. 解决实际问题中涉及二次根式的计算。

四、教学准备：1. 教材《初中数学》；2. 教学投影仪；3. 教学课件和习题资料；4. 学生练习册。

五、教学过程：第一节：二次根式的概念和性质1. 引入教师通过提问学生的平方根的概念，引出二次根式的概念，并与平方根进行对比，引起学生的兴趣和思考。

2. 讲解教师给出二次根式的定义和示例，并解释二次根式的含义和特点。

然后，介绍二次根式的性质，如非负性、分解因式、开方定理等。

3. 练习让学生进行一些简单的二次根式的计算练习，加深他们对二次根式的理解和应用。

第二节：二次根式的运算规则1. 复习教师对上节课所学的二次根式的概念和性质进行复习，确保学生对基本知识的掌握。

2. 讲解介绍二次根式的运算规则，包括加减、乘除等运算。

教师通过具体的例子，逐步讲解每种运算规则的应用方法。

3. 练习让学生进行各种类型的二次根式的运算练习，帮助他们掌握二次根式的运算技巧。

第三节：解决实际问题中涉及二次根式的计算1. 引入教师通过提供一些实际问题，引导学生思考如何应用二次根式的知识解决这些问题，激发学生的兴趣和思维能力。

2. 讲解通过解析一些实际问题的解决方法，教师讲解如何应用二次根式的知识进行计算，并指导学生应用已学知识解决一些具体问题。

3. 练习让学生独立解决一些实际问题，涉及二次根式的计算，鼓励他们动手实践，提高解决问题的能力。

六、教学总结：1. 整理二次根式的基本概念和性质；2. 总结二次根式的运算规则；3. 强调实际问题中应用二次根式的计算方法。

七、课后练习：1. 完成练习册中关于二次根式的习题；2. 总结笔记，复习本节课的知识点。

八、板书设计：初中二次根式教案一、教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质；2. 能够进行二次根式的运算；3. 能够解决与二次根式有关的实际问题。

二次根式的教案引言：二次根式是重要的数学概念之一，掌握二次根式的性质和运算规则对于学习代数和解决实际问题都具有重要意义。

本文将介绍一个针对中学生的二次根式教案，旨在帮助学生理解和掌握二次根式的基本概念和运算方法。

一、教学目标1. 理解二次根式的定义和性质；2. 掌握二次根式的化简方法；3. 熟练运用二次根式的四则运算。

二、教学准备1. 教学用具：黑板、彩色粉笔、教学PPT；2. 教学材料：练习题集、教材相关篇章。

三、教学过程第一节：二次根式的定义和性质（30分钟）1. 导入：以开放性问题引导学生思考——你曾经遇到过哪些与长度、面积相关的问题？并引导学生思考根号的含义。

2. 引入二次根式的定义：用数学符号解释根号的含义，引导学生理解和接受二次根式的定义。

3. 二次根式的性质：介绍二次根式的基本性质，包括非负性、同底同次、乘方与开方的互逆性等概念。

4. 示例讲解：通过具体的例子，向学生展示二次根式的性质和特点。

第二节：二次根式的化简（40分钟）1. 回顾：对前一节学习的内容进行回顾，并解决学生在理解上的疑惑。

2. 化简方法：引导学生理解二次根式的化简方法，包括同底合并、分解因式、有理化等步骤。

3. 练习指导：通过一些简单的练习指导学生运用化简方法，巩固他们的理解。

4. 错误分析：挑选一些常见的错误案例，引导学生找出错误，并帮助他们改正。

第三节：二次根式的四则运算（50分钟）1. 回顾：回顾前两节学习的内容，并解决学生遇到的问题。

2. 加法和减法运算：介绍二次根式的加法和减法运算规则，注意同底合并的条件。

3. 乘法和除法运算：介绍二次根式的乘法和除法运算规则，引导学生理解并熟练运用这些规则。

4. 综合运用：通过一些练习题，让学生综合运用前面学习的知识，解决实际问题。

四、教学总结与反思（10分钟）1. 知识总结：对本次教学中所学的知识点进行总结，强调二次根式的重要性和应用价值。

2. 学生反思：鼓励学生分享教学过程中的体验和收获，以及对二次根式的理解和运用感受。

《21.1二次根式》教案教学内容二次根式的概念及其运用．教学目标A≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键A≥0)的式子叫做二次根式的概念．12A≥0)”解决具体问题．教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3，那么它的图象在第一象限x横、纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x，所以所求点的坐标)．问题2：由勾股定理得AB问题3：由方差的概念得S．二、探索新知这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根A≥0)的式子叫做二次根”称为二次根号．(学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当A <0例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx 、1x y +(x ≥0，y ≥0)． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，第二，被开方数是正数或0．x >0)(x ≥0，y ≥0)1x1x y +．例2．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义．解：由3x -1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义．三、应用拓展例3．当x+11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使+11x +在实数范围内有意义，必须同时0和11x +中的x +1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义． 例4．(1)已知y =，求xy的值．(答案：2)(2) 二、做一做根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．三、巩固练习 教材P 5练习1、2、3．填空：当a≥0；当a<0，并根据这一性质回答下列问题．(1)a，则a可以是什么数？a，则a可以是什么数？(2)a，则a可以是什么数？a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：(1)a，所以a≥0；(2)a，所以a≤0；(3)因为当a≥0a a，即使a>a所以a不存在；当a<0a a，即使-a>a，a<0综上，a<0．四、归纳小结本节课要掌握：A≥0)“1．形如号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．3.a(a≥0)及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．。

21.1.1 二次根式⑴一、复习引入： 班 号 姓名： 1、填空：⑴两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长为 ；⑵已知反比例函数xy 3=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________． ⑶面积为S 的正方形的边长是 。

2、问题：你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？ 二、探究新知：3、阅读课本第2页[回顾]与[概括]部分的内容，并填空：⑴（0≥a ）；⑵二次根式概念：形如 （0≥a ）的式子叫做二次根式，”称为 。

4、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，x1，x ()0>x ，0，2-，3- 答： 是二次根式； 不是二次根式。

5、二次根式应满足两个条件：⑴有 ；⑵被开方数是 。

6、例：x 是怎样的实数时，下列的二次根式有意义；⑴1-x ； ⑵x 21-；⑶x 1； ⑷12+x 7、课时练习：课本第3页练习第2题。

8、问题：()2a 等于什么？⑴填空：()=24 ；()=29 ；()=225 。

⑵归纳：()=2a （a 0）⑶练一练：()=216 ；()=22 ；()=23 。

9、课时练习：课本第3页练习第1题。

三、课时小结：10、二次根式概念：形如 的式子叫做二次根式，其中a 0。

11、()=2a （a 0）。

四、练习与作业： 班 号 姓名： 1、下列根式中，不一定是二次根式的是（ ） A ．5 B ．3-π C ．2m D ．m2、在二次根式2-a 中，a 的取值范围是（ ）A ．2>aB ．2≥aC ．2<aD ．2≤a 3、使式子()21+-x 有意义的未知数x 的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数个 4、当x 时，12+x 是二次根式。

5、三角形的三边长分别为a 、b 、c 若()05432=-+-+-c b a ，则该三角形是 三角形。

6、能使二次根式x 25-有意义的正整数是： 。

7、计算：⑴()=25 ；⑵()=-23；⑶()=232 ；⑷()=-223 ； ⑸=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232 ；⑹=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212 。