多项式的整除性和带余除法

• 作业： • 认真复习总结所学知识，作学习笔记； • P－44－2、3、4
EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时, 多项式 x mx 1 能 整除 x px q ?
2 4
EXA2. 求 l , m，使f ( x) x 3 lx 2 5 x 2 能被g ( x) x 2 mx 1整除. 证明 : x a | ( x n a n ) 2.4 EXERCISES. 设 P是一个数域, a P.
EXAMPLE3. 设
3 2
2 x x 3x 5
3 2
a ( x 2) b ( x 2) c ( x 2 ) d 求a, b, c, d的值。
课堂小结
• • • • • 1.整除的概念及性质 2.带余除法定理 3.整除的定义及性质 4.整除与带余除法的关系 5.综合除法原理
值得注意的是:
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间 的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小 关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. 即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项 式 f(x)和g(x), g(x) 除f(x)的商式和余式仍 然是上面的q(x)和r(x).
1-3 多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项 式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及 与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的 因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余 除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项 式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项 式根的理论基础.
• 带余除法定理:对于P[x]中任意两个 多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0, 一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x) 存在,使得
f ( x) q( x) g ( x) r ( x) 成立, 其中 (r ( x)) ( g ( x)) 或者, r ( x) 0, 并且这样的 q( x), r ( x) 是唯一决定的.
EXERCISES2. 设f ( x) 2 x x 3 x 5
3 2
用综合除法求 f (2). EXERCISES3. 求用 ( x i ) wenku.baidu.com f ( x) x 2ix (1 i ) x 3 x 7 i
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的商式与余数. * 结论 : f (c) 0 ( x c) | f ( x)
• 补充:综合除法
设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0 f ( x) ( x c)q( x) r q ( x ) bn 1 x
n 1
bn 2 x
n2
b1 x b0
比较系数, 有 a n bn 1 , a n 1 bn 2 cbn 1 , , a 0 r cb0 我们得到综合除法 c | an a n 1 cbn 1 bn 1 bn 2 an2 cbn 2 bn 3 a1 cb1 b0 a0 cb0 r
其中q ( x)通常称为g ( x)除f ( x)的商, r ( x)称为g ( x)除f ( x)的余式.
• Definition5.(整除的定义) • 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果 存在P[x]上的多项式h(x), 使得
f ( x ) g ( x ) h( x ) 用g ( x) | f ( x )表示g ( x )
成立. 整除 f ( x ),
用g ( x) f ( x )表示g ( x )不能整除f ( x). | 当g ( x ) | f ( x ) 时, 称g ( x )为 f ( x )的因式, 称f ( x)为 g ( x)的倍式.
▲g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x) 除 f(x)的余式零. ▲q(x)和r(x)的求法与中学的方 法基本相同. 在做除法时, 可以 分离系 数, 因为ｎ次多项 式是由它的ｎ＋1 个系数唯一确 定的, (做除法时按降幂排列).
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)的余式为零.
EXAMPLE3. 用综合除法求, 用x 3除 f ( x) x 2 x 5 x 94 的商式和余数.
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解 : 作综合除法 : 3 | 1 0 3 1 3
3
2 5 94 9 33 114 11 38
2
20
所以 q ( x) x 3 x 11x 38 r f (3) 20
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));