线性代数作业
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线性代数在线作业文件管理序列号:[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]地大《线性代数》在线作业1-2一、判断题每题分,共25题,100分1.任意n价实称矩阵都存在n个线性无关的特征向量。
A错误 B正确√2. 两个矩阵A与B,若AB=0则一定有A=0或者B=0.A错误√ B正确3. 两对对称矩阵不一定合同。
A错误 B正确√4. 满足A的平方=A的n价方阵的特征值的和等于1.A错误 B正确√5. 如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵,那么这个矩阵的行列式为1.A错误 B正确√6. 二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵。
A错误 B正确√7. 合同的两个矩阵的秩一定相等。
A错误 B正确√8. 非齐次线性方程组任意两个解之差为对应系数的齐次线性方程组的解。
A错误 B正确√9. 如果方阵A是不可逆的,则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合。
A错误√ B正确10. 若AX=0只有零解,那么AX=b有唯一解。
A错误√ B正确11. (作业1.题24) (1,1,0).(1,0,1).(0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。
A错误 B正确√12. n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A错误 B正确√13. 满秩方阵的列向量组线性无关。
A错误 B正确√14. 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B).A错误√ B正确15. (作业2.题22)等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等.A错误 B正确√16. 两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。
A错误√ B正确17. 如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。
A错误 B正确√18. 反对称矩阵的主对角线上的元素和为0.A错误 B正确√19. 矩阵A的行列式不等于零,那么A的行向量组线性相关。
A错误√ B正确20. 如果线性方程组的系数矩阵满秩,则该方程组一定有解组,且解是唯一的。
第一章:一、填空题:1、若a a D ij n ==||,则=-=||ij a D ;解:a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根,则行列式132213321x x x x x x x x x = ; 解:方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为:a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为:q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ;解:原式按第1999行展开:原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ; 解:原式按第一行展开:原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4,则44342414A A A A +++= ;解:44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式,44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ;解:n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(,其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号,为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ; 解:根据行列式结构,可知3x 须由a 11=2x ,a 33=x 和第二行的一个元素构成,但此时第三个元素只能取a 22(行、列数均不可重复),所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-,系数为-2。
《线性代数》作业第一章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。
解:后面是正常顺序,逆序出现在前n 个数与后n 个数之间,2n 的逆序数是2n-1,2n-1的逆序数是2n-2,……,n+1的逆序数是n ,所以整个排列的逆序数是(2n-1)+(2n-2)+……+n =n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。
解析:后一项比前一项的算逆序一次,246......(2n)无逆序,所以从1开始,有246......(2n)共N 个,3开始有46......(2n)有N-1个,.......,.2n-1有一个,所以,加一起得,逆序数为1+2+......+N=N (N+1)/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ,662551144332a a a a a a -,662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。
解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t (431265)=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。
662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t (452316)=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3,-4,4,2,第1列上元素的余子式依次为8,2,-10,X ,求X 。
解:X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项,若该项的符号为负,则 i= 5 ,j= 4 。
线性代数试题及答案解析一、选择题(每题4分,共40分)1. 矩阵A和矩阵B相乘,得到的结果矩阵的行列数为()。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案:D解析:矩阵乘法中,结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关,则下列说法正确的是()。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案:D解析:线性相关意味着存在不全为零的系数,使得这些系数乘以对应的向量和为零向量,因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A,下列说法不正确的是()。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案:D解析:方阵的行列式可以是正数、负数或0,因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等,当且仅当()。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案:A解析:两个矩阵相等,必须满足它们具有相同的行数和列数,并且对应元素相等。
5. 向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是()。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案:C解析:向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解,即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是()。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案:A解析:矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是()。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案:D解析:矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
第一章:行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2:::::2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解:首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到:-1 0 0 02 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出:(-1)*2*(n-2)!2、计算下列行列式:|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解:|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式:1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解:根据行(列)与行(列)之间互换,行列式值改变符号。
所以第一列与第二列互换,得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列,第四列乘以-1加上第二列,结果如下。
0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列,第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算,得出= (-14)+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解:原式=([1-x²]²+4x²)/(1+x²)²=(1+x²)²/(1+x²)²=15、设A B为n阶方阵,满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0,求|A+B|解:原式=([1-x²]²+4x²)/(1+x²)²=(1+x²)²/(1+x²)²=1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章:矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求:AB解:AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵,求A(-1)A*解:AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵(A+B)的逆等于不等于A的逆加B的逆解:一般不等于,反例:令A=B=E则(A+B)=2E,(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解:r(A)=3因为[1 3 2][2-4-1][3-2 0]的行列式不为0,说明原矩阵有一个3阶子式不为0,秩至少是3;又因为原矩阵是3*4的矩阵,它的秩最多为3,所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解:设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章:向量空间1、已知α1=(1,1,2,-1)α2=(-2,1,0,0,)α3=(-1,2,0,1)又β满足3(α1-β)+2(α3+β)=5(α2+β)求β解:由题设,有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关,向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示,而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。
第一章 矩阵作业答案班级: 姓名: 学号 : 得分:一、选择题 (每小题5分,共20分)1. 设A 为任意n 阶矩阵,下列4项中( B )是反对称矩阵。
(A )T A A + (B )T A A - (C )T AA (D )A A T2.设n 阶矩阵A ,B 是可交换的,即BA AB =,则不正确的结论是( D )。
(A )当A ,B 是对称矩阵时,AB 是对称矩阵 (B )2222)(B AB A B A ++=+ (C )22))((B A B A B A -=-+(D )当A ,B 是反对称矩阵时,AB 是反对称矩阵3.设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =,则( A)。
(A )E C A B A T T T T = (B )E C A B A =2222 (C )E C BA =2 (D )E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ,a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分,共80分)1.已知úûùêëé--=1121A ,试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明:E A A A n nn -+=³-223时,(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以,设解:4.已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r )()(解:úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r )()()()(úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级: 姓名: 学号 : 得分:一.计算下列行列式:(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =, 求4D 的值. 解:得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二.计算题:(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =,且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式,求中元素是33D a D M ij ij .得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和.3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A .4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆,则求a 的值.三.(10分)问m l 、取何值时,齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解?零解。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材大学数学系列线性代数标准化作业(A、B)吉林大学数学中心2012.9学院 班级 姓名 学号第 一 章 作 业(矩阵的运算与初等变换)1、计算题(1)()31,2,321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(2)()211,2,13⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)()111213112312222321323333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;(4)12101031010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2、计算下列方阵的幂:(1)已知α=(1,2,3),β=(1,-1,2),A=αTβ,求A4;(2)已知024003000A=,求A n;3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)3102 1121 1344;(2)21837 23075 32580 10320⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵:(1)32131 21313 70518---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;(2)11343 33541 22320 33421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦.5、利用初等矩阵计算:(1)1111100111100010111010011222011---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦;(2)已知AX =B ,其中111213111213122122232122232231323331323332A=B=,a a a a a a a a a a ,a a a a a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求X .6、设121132A=,B=,a b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦若矩阵A与B可交换,求a、b的值.7、设A、B均为n阶对称矩阵,证明AB+BA是n阶对称矩阵.学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业(方阵的行列式)1、填空题(1)排列52341的逆序数是________,它是________排列; (2)排列54321的逆序数是________,它是________排列;(3)1~9这九数的排列1274i 56j 9为偶排列,则i_______, j _______; (4)4阶行列式中含有因子a 11a 23的项为________________; (5)一个n 阶行列式D 中的各行元素之和为零,则D =__________. 2、计算行列式21211132110xx x x xx展开式中x 4与x 3的系数.3、计算下列各行列式的值:(1)2116415012051422D--=----;(2)1111222111122211112221111222D=;(3)222b c c a a bD a b c a b c +++=;(4)3333333333333333a a D b b+-=+-;(5)102201202013D=.4、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、1,第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1,第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5,且行列式的值为2,求m 、k 的值.5、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 其中α, β, γ1, γ2均为3维行向量,且|A |=18,|B |=2,求|A -B |.学院班级姓名学号第三章作业(可逆矩阵)1、填空题(1)设A=100220345,A*为A的伴随矩阵,则(A*)1-=;(2)设A为4阶数量矩阵,且|A|=16,则A=,1A=,A*=;(3)设A=5200210000120011,则│A│=,A1-=;(4)设实矩阵A33⨯=≠)(ija0,且011≠a,ijijAa=(ijA为ija的代数余子式),则│A│=;(5)设A为2阶方阵,B为3阶方阵,且│A│=1B=21,则1(2)--O BA O=.2、选择题(1)设同阶方阵A、B、C、E满足关系式ABC=E,则必有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.(2)若A,B为同阶方阵,且满足AB=0,则有().(A)A=O或B=O;(B)|A|=0或|B|=0;(C)(A+B)2=A2+B2;(D)A与B均可逆.(3)若对任意方阵B,C,由AB=AC(A,B,C为同阶方阵)能推出B=C,则A满足().(A)A≠O;(B)A=O;(C)|A|≠0;(D)|AB|≠0.(4)已知A为n阶非零方阵,若有n阶方阵B使AB=BA=A,则().(A)B为单位矩阵;(B)B为零方阵;(C)B1-=A;(D)不一定.(5)若A,B,(B1-+A1-)为同阶可逆方阵,则(B1-+A1-)1-=().(A)B1-+A1-;(B)B+A;(C)(B+A)1-;(D)B(B+A)1-A.3、求下列矩阵的逆矩阵:(1)求1234113413440101A的逆矩阵;(2)求600000000012000023010000011000011100A的逆矩阵.4、已知210121012A,1223B,123421C =,求解下列矩阵方程:(1)AX=X+C; (2) AXB=C.5、设A为n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行对换后得矩阵B,试证:(1)B可逆;(2)求AB-1.6、设11221021512031311041A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,求矩阵A的秩.7、设矩阵10002300,04500067A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦且满足B=(E+A)-1(E-A),求(E+B)-1.8、设A为nm⨯矩阵,B为mn⨯矩阵,且m>n,试证|AB|=0.学院班级姓名学号第四章作业(线性方程组与向量组的线性相关性)1、填空题(1)设β=(3,- 4),α1=(1,2),α2=(-1,3),则β表成α1,α2的线性组合为;(2)设向量组α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)线性相关,则t= ;(3)设向量组α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)的秩为3,则参数t应满足的条件是;(4)n元线性方程组Ax=0有非零解时,它的每一个基础解系所含解向量的个数均为;(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且R(A)=n-1,则方程组Ax=0的通解为.(6)设线性方程组123123123220,20,20x x xx x xx x xλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A,且存在3阶非零矩阵B使得AB=O,则λ=.2、选择题(1)设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则正确的结论是().(A )α1,α2,α3线性相关; (B )α1,α2,α3线性无关; (C )α1可由β,α2,α3线性表示; (D )β可由α1,α2线性表示. (2)设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ). (A )α1,α2,α3 - α1; (B )α1,α1+α2,α1+α3; (C )α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D )α1-α2,α2-α3,α3-α1.(3)设n 元线性方程组Ax =0,且R(A )=n -3,且α1,α2,α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量,则方程组Ax =0的基础解系为( ).(A )α1+α2,α2+α3,α3+α1; (B )α2 -α1,α3 -α2,α1 -α3;(C )2α2 -α1,12α3 -α2,α1 -α3; (D )α1+α2+α3,α3--α2,-α1-2α3.(4)设α1,α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量,且R (A )=n -1,k 为任意常数,则方程组Ax =0的通解为( ).(A )k α1; (B )k α2; (C )k (α1-α2); (D )k (α1+α2). (5)设向量组α1,α2是方程组Ax =0的基础解系,β1,β2是方程组Ax =b的两个解向量,k 1,k 2是任意常数,则方程组Ax =b 的通解为( ).(A )1211222k k -++x=ββαα;(B )1211212();2k k ++-+x=ββααα(C )1211212();2k k ++-+x=ββαββ (D )1211212().2k k -+++x=ββααα (6)设非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组为Ax =0,则下面结论中正确的是( ).(A )若Ax =0有唯一解,则Ax =b 必有唯一解; (B )若Ax =0有唯一解,则Ax =b 必无解;(C )若Ax =0有无穷多个解,则Ax =b 也有无穷多个解; (D )若Ax =b 有无穷多个解,则Ax =0也有无穷多个解.3、设α1,α2,α3是4元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量,且R (A )=3,其中T T 123(1,9,4,9),(2,0,0,4),ααα=+=求Ax =b 的通解.4、求解齐次线性方程组124512345123451234530,20,42650,2424160.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+-=⎩5、求解非齐次线性方程组123451234512345123453,233414,343211,48431.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++-+=-⎪⎪-+++=⎩6、设向量组12341111101121,,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦试问(1)当a 、b 为何值时,β能由α1,α2,α3,α4唯一线性表示?(2)当a 、b 为何值时,β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(3)当a 、b 为何值时,β能由α1,α2,α3,α4线性表示,但表示法不唯一,并写出表示式.7、已知4阶方阵A =(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维的列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1 = 2α2 - α3, 如果β = α1 + α2 + α4,求线性方程组Ax =β的通解.8、求向量组123452313712024,,,,3283023743ααααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩,并求出它的一个极大无关组.9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1,ξ2,…,ξn-r,且η*为Ax=b的一个特解,试证ξ1,ξ2,…,ξn-r,η*线性无关.学院班级姓名学号第五章作业(方阵的特征值、特征向量与相似化简)1、填空题(1)A为幂零矩阵(A k=O,k为正整数),则A的特征值;(2)设A是n阶方阵,|A|=5,则方阵B=AA*的特征值是,特征向量是;(3)设4阶方阵A相似B,且A的特征值为1111 ,,,2345,则|B-1-E|=;(4)若λ是n阶方阵A的特征方程的单根,则R(A-λE)=;(5)若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a,则2A-1+E的一个特征值为.2、选择题(1)设三阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P-1AP=().(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(B)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;(D)000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)与矩阵100010002Λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似的矩阵是().110100101110(A)010;(B)021;(C)020;(D)011.002001001002 ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3)矩阵A 与B 相似,则( ).(A) |A -λE | = |B -λE | ; (B) A -λE = B -λE ;(C) A 与B 与同一对角阵相似; (D) 存在正交阵P ,使得P -1AP =B .(4) n 阶方阵A 与某对角矩阵相似,则( ).(A) R(A )= n ; (B) A 有n 个不同的特征值;(C) A 是实对称阵; (D) A 有n 个线性无关的特征向量.(5)设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似A ,则R (A -2E )+R (A -E )= ( ). (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.3、计算题(1)设α=(a 1,a 2,…,a n )T ,(a 1≠0,n >1),A =ααT ,求A 的特征值和特征向量.(2)设3阶方阵A的特征值为1,-2,3,矩阵B=A2-2A,求:①B的特征值;②B是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵;③求|B|,|A-2E| .(3)在实数域上,设4阶实方阵A有两个不同的特征值,且满足条件AA T=2E,|A|<0,求A*的两个特征值.(4)设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O,且tr A=5,|A|=0,试求A的特征值,并判定A能否相似于对角矩阵,若能,求出相似的对角矩阵.(5)设A=20002023a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与B=10002000b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似,①求a,b;②求一个可逆矩阵C,使C-1AC=B.(6)设三阶矩阵A满足Aαi=iαi (i=1,2,3),其中列向量α1=(1,2,2)T,α2=(2,-2,1)T,α3=(-2,-1,2)T,试求矩阵A.(7)设矩阵22082006A a⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于∧,求①a;②可逆矩阵P和对角矩阵∧,使P-1AP=∧.4、证明题(1)设实方阵A满足A T A=E,试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1(2)设A是n阶正交矩阵,且|A|=-1,证明-1是A的一个特征值.学院班级姓名学号第六章作业(二次型与对称矩阵)1、填空题(1) 二次型f(x1,x2,x3,x4)=x12+3x22-x32+2x1x2+2x1x3-3x2x3的矩阵是,秩是.(2)二次型f(x1,x2,x3)=112323135(, , )246785xx x x xx⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的矩阵为.(3) 设122331,A B⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦λλλλλλ,则存在可逆矩阵P,使得P T AP=B,其中P =.(4) 二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32-2tx1x2+2x1x3正定时,t应满足的条件是.(5) 设A为实对称矩阵,且|A|≠0,则把二次型f=x T Ax化为f=y T A-1y的线性变换是x=y.2、选择题(1) 实二次型f=x T Ax为正定的充分必要条件是().(A) R (A ) = n ; (B) A 的负惯性指数为零; (C) |A | > 0 ; (D) A 的特征值全大于零.(2)设1111400011110000,,1111000011110000A= B=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B 的关系为( ). (A) 合同且相似; (B) 合同但不相似;(C) 相似但不合同; (D) 既不相似也不合同. (3)设矩阵320242025A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦正定,则相似的对角矩阵为( ).(A)1 210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (B) 2010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (C) 147⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D) 671⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (4) 设A 、B 为n 阶正定矩阵,则( )是正定矩阵.(A) k 1A +k 2B ; (B) A *+B *; (C) A -1-B -1 ; (D) AB . (5) 设A =(a ij )n ×n 为实对称矩阵,二次型211221()ni i in n i=f=a x a x a x +++∑为正定的充要条件是( ).(A )|A |=0; (B )|A |≠0; (C )|A |>0; (D )|A |<0.3、计算题(1) 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2,求c.(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32.①求一个正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;②用配方法将二次型化为标准形,并写出所用的可逆线性变换;③用合同变换法将二次型化为标准形,并写出所用的可逆线性变换.(3) 求一正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3化为标准形,并指出f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.(4) 求二次型f(x1,x2,x3)=x12+3x32+2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差.(5) 设n元二次型f(x1,x2,…,x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n-1+a n-1x n)2+(x n+a n x1)2其中a i(i=1,2,…,n)为实数,试问当a1,a2,…,a n-1,a n满足什么条件时,二次型f(x1,x2,…,x n)为正定二次型?4、证明题(1)设f(x1,x2,…,x n)=x T Ax 是一实二次型,λ1,λ2,…,λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn.证明对于任一实n维列向量x有λ1x T x≤x T Ax≤λn x T x.(2)设A是n阶正定矩阵,证明|A+2E|>2n.(3)设A m×n为实矩阵,若R(A)=n,试证A T A为正定矩阵.(4)设A为m阶的正定矩阵,B为m×n实阵,试证B T AB正定的充分必要条件是R(B)=n.学院班级姓名学号第七章作业(线性空间与线性变换)1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间,如果是,找出一个基,并求维数.(1)V0={x=(0,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘;(2)V1={ x=(1,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘;(3)全体n阶实矩阵集合R n×n,定义加法:∀A、B∈R n×n A⊕B=AB-BA数乘:按通常的矩阵数乘.(4)S=0bb a⎡⎤⎢⎥⎣⎦-a,b∈R(5)V={ x=(x1,x2,…,x n)| x1+x2+…+x n=0;x1, x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘.2、全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成R n×n 的子空间?为什么?3、求线性空间R 4中由向量组123421050121,,,10122311αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所生成的子空间的维数和一个基.4、求数域F 上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.5、设线性空间R n×n中一组基101 11E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21011E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,41110E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求0123A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦在这组基下的坐标.6. 已知1,x,x2,x3是R[x]4的一组基:(1) 证明1,1+x,(1+x)2,(1+x)3也是R[x]4的一组基;(2) 求由基1,x,x2,x3到基1,1+x,(1+x)2,(1+x)3的过渡矩阵;(3) 求由基1,1+x,(1+x)2,(1+x)3到基1,x,x2,x3的过渡矩阵;(4) 求a3x3+a2x2+a1x+a0对于基1,1+x,(1+x)2,(1+x)3的坐标.7、设R 3的两组基分别为1231000,1,0001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 '''1231110,1,1.001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求R 3中的向量α=(a 1,a 2,a 3)T 分别在这两组基下的坐标.8、设有两组基ξ1=(0,1,1)T , ξ2 = (1,0,1)T,ξ3 = (1,1,0)T;η1=(1,0,0)T , η2 = (1,1,0)T,η3 = (1,1,1)T.求(1)由基ξ1,ξ2 ,ξ3到基η1,η2 ,η3的过渡矩阵C;(2)α=η1+3η2 +5η3关于基ξ1,ξ2 ,ξ3的坐标;β=ξ1+2ξ2 +3ξ3关于基η1,η2 ,η3的坐标.9、验证1231231,1,1032ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一个基,并求向量12590,8713ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦在这组基下的坐标.10. 设R 3中由基α1,α2 ,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦---. (1) 若基α1 = (1,0,0) ,α2 = (1,1,0),α3 = (1,1,1) , 试求基β1,β2 ,β3;(2) 若基β1 = (0,1,1) ,β2 = (1,0,2),β3 = (2,1,0), 试求基α1,α2 ,α3.11. 在R[x]3中有三组基(1) 1,x,x2;(2) x+1,x+x2,x2;(3) 1,x-x2,x+x2.α在基(1)下的坐标为(1,0,-1)T,β在基(2)下的坐标为(2,1,0)T,γ在基(3)下的坐标为(0,-1,1)T,求α+β+γ在基1,x,x2下的坐标,并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.12、已知R 3中的两个基分别为123001,,011a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 123111,1,11y z x βββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 且由基α1,α2 ,α3到基β1,β2 ,β3的过渡矩阵为111012020C=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 试求a 、b 、c 、x 、y 、z .《线性代数A 》模拟试卷一、填空题(每小题3分、共计18分) (1) 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性相关,则t=⎽⎽⎽⎽⎽.(2) 设向量11135135αβ(,,),(,,),令ΑαβT =,则A = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. (3) 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型,则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4) 设A 、B 均为n 阶方阵,且|A | = 2,|B | = - 4,则12-ΑOO Β=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. (5)设A 为5阶方阵,且满足A 2+A =E ,则R(A +E )= .(6) 设A 为n 阶可逆矩阵,将A 的i , j 两行对换后得矩阵B ,则|AB -1|= _______. 二、单项选择题(每小题3分,共计18分)(1)设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC =E ,则下面的结论正确的是( ). (A) ACB = E ; (B) CBA = E ; (C) BAC = E ; (D) BCA = E . (2)设向量β 能由α1,α2,α3 线性表示,但不能由α1,α2线性表示,则下面结论正确的是( ).(A )α3不能由α1,α2线性表示,但能由β,α1,α2线性表示; (B )α3不能由α1,α2线性表示,也不能由β ,α1,α2线性表示; (C )α3能由α1,α2线性表示,但不能由β ,α1,α2线性表示; (D )α3能由α1,α2线性表示,也能由β,α1,α2线性表示.(3)设A 为n 阶方阵,且R (A )= n -1, α1,α2是Ax = 0的两个不同的解向量k 为任意的常数,则Ax = 0的通解为( ).(A )k α1; (B )k α2; (C )k (α1-α2); (D )k (α1+α2).(4)设有4阶方阵A 满足条件 |A +3E | = 0,T 2=AA E ,,|A |﹤0, 则( )为A *的一个特征值.(A ) 4; (B )-3; (C )43; (D )34.(5)已知矩阵123246369A,2461234812B ,1100010101P ,2010100001P , 则B =( ).(A )AP 1P 2; (B )P 2P 1A ; (C )P 1P 2A ; (D )P 1A P 2.(6)设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、3,第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1,第3列元素的代数余子式依次为3、1、4、2,且行列式的值为1,则m 、k 的值为( ).(A )4、2; (B )-4、2; (C )4、-2; (D )-4、-2. 三、计算题(每小题6分,共计36分)1、设三阶方阵A 、B 满足关系式16,ΑΒΑΑΒΑ且32,1Β求A .2、验证1231231,1,1032ααα为R 3的一个基,并将12580,9713ββ用这个基线性表示.3、已知矩阵20000101Ax 与20000001B y 相似,求x ,y . 4、 设四元线性方程组Ax = b ,且R (A )= 3,已知123,,ααα是其三个解向量,其中 1232200,1134ααα,求Ax = b 的通解.5、已知向量组α1,α2,α3线性无关,若α1+2α2,4α2+k α3,3α3+2α1线性相关,求k .6、设矩阵A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦11221021512031311041 求R(A )及A 的列向量组的一个极大无关组.四、(12分)已知4阶方阵A =(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维的列向量,并且α2,α3,α4线性无关,而3α1= -2α2-α3,若β=α1+α2+α3+α4,求Ax =β 的通解.五、(10分)已知矩阵A 2112413x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有三个线性无关的特征向量,λ=2是A 的二重特征值,求一个正交矩阵P 使P -1AP =Λ.六、(6分)设有3阶实对称矩阵A 满足A 2-2A =0,已知R (A )=2.①写出用正交变换将二次型f =x T (A +E )x 化成的标准形(不需求出所用的正交变换);②判断二次型f =x T (A +E )x 的正定性;③令B = A +E ,试判断B 的列向量组的线性相关性.《线性代数A 》模拟试卷一、填空题(每小题3分、共计18分) (1) 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性无关,则t ⎽⎽⎽⎽.(2) 设向量11(1,3,5),(1,,)35αβ,令ΑαβT =,则A n = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. (3) 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型,则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4) 设A 、B 均为3阶方阵,且|A | = 2,|B | = - 4,则|2A *B -1|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. (5) 设A 为3阶方阵,且满足A 2-A =E ,则R (A -E )= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6) 设3阶矩阵A 可相似于对角矩阵,且A 的每行元素之和都等于3,R (A )=1,则a 11+a 22+a 33= ________.二、单项选择题(每小题3分,共计18分)(1)设n 阶方阵A 、B 、C 满足CAB =E ,则下面的结论正确的是( ). (A) ACB = E ; (B) CBA = E ; (C) BAC = E ; (D) ABC = E .(2)已知β 可由α1,α2,α3线性表示,而β不能由α1,α2线性表示,则下面结论正确的是( ).(A )α3 能由α1,α2,β 线性表示,也能由α1,α2线性表示; (B )α3 能由α1,α2,β 线性表示,但不能由α1,α2线性表示; (C )α3不能由α1,α2,β 线性表示,也不能由α1,α2线性表示; (D )α3不能由α1,α2,β 线性表示,但能由α1,α2,线性表示.(3)已知正定矩阵 400031013Α,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则与A 相似的对角矩阵为( ). (A ) 156-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(B )244⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(C )460⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(D )117⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (4) 设A 为m ×n 矩阵,Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组 ,则下面结论正确的是( ). (A ) 若Ax =0仅有零解,则Ax =b 有唯一解; (B ) 若Ax =b 有无穷多组解,则Ax =0只有零解; (C ) 若Ax =0有非零解,则Ax =b 有无穷多组解; (D ) 若Ax =b 有无穷多组解,则Ax =0有非零解. (5)已知矩阵123246369A,246123123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1100010201P ,2010100001P。
一、矩阵初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵(采用行列初等变换,对角线元素为特征值)10. 分块矩阵的初等变换二、遗传规律根据遗传学的知识,相对的性质由相对的基因控制,基因有显性和隐性的关系,因而有显性性状和隐性性状,隐性性状的基因在跟显性性状的基因同时存在时得不到表现,但没有消失,而是在子二代中得到表现,这种相对的基因称为等位基因.,在有性生殖的传代过程中,两代间唯一的联系是配子,即卵、花粉或精子.基因在上一代身体细胞里成双存在而在生殖细胞里成单存在.代表某个性状的相对基因以相等的可能性(概率)传给子代,父母双方对后代的遗传是相同的.配子通过受精或授粉成为合子,合子所含的基因又是成双存在了.根据这个规律,如果一个亲本是aa型,另一个亲本是Aa型,后代从aa亲本总是接受一个a基因,以同等的概率从Aa接受一个A基因或a基因,后代所具有的等位基因为Aa型或aa型的概率是相同的.假设某农场的试验中某植物的基因为AA,Aa,和aa,三种基因型植物各占a b c分别表示在第n代作物中三分之一,已知AA型基因属于优良品种.设,,n n nAA,Aa,和aa所占的比例,1,2,n .1.试建立遗传规律;即填下列表格2.为了有利于培养优良品种,试建立以下三种方案的数学模型,即建立,,n n n a b c 与111,,n n n a b c ---之间的关系(用矩阵方法表示).方案(I )采用AA 型的植物与每种基因型植物相结合的方法培育植物后代; 方案(II )采用Aa 型的植物与每种基因型植物相结合的方法培育植物后代; 方案(III )将具有相同基因型植物相结合的方法培育植物后代.三、矩阵在生命科学中的应用实例在生命科学中,脱氧核糖核酸 (DNA) 是遗传的主要物质基础。
线性代数(经管类)综合试题一(课程代码 4184)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0,则D1==(B ).A.-2MB.2MC.-6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出B = C,则A应满足( D ).A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A,B均为n阶方阵,则( A ).A.|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时,有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A,|A|=1,则A-1= ( B ).A. B. C. D.,则下列说法正确的是( B ).A.若两向量组等价,则s = t .B.若两向量组等价,则r()= r()C.若s = t,则两向量组等价.D.若r()=r(),则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( C ).A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与,则下列成立的是( C ).A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o,下列命题正确的是( D ).A. Ax = o有解时,Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时,Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时,Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时,Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解,则k = ( D ).A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D ).A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D= -15 .12.若方阵A满足A2= A,且A≠E,则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵,且,则|2A|= 4 .14.设矩阵的秩为2,则t = -3 .15.设向量=(6,8,0),=(4,–3,5),则(,)= 0 .16.设n元齐次线性方程组Ax= o,r(A)= r < n,则基础解系含有解向量的个数为n-r 个.17.设=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1)是R3的基,则=(1,2,3)在此基下的坐标为(1,1,2) .18.设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为1,1,4 .19.二次型的矩阵A=220 231 011-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭20.若矩阵A与B =相似,则A的特征值为1,2,3 .三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.求行列式的值.解:1111111111111111xxyy+-+-=111100111100xx xyy y+--+--1100110000110011xxyy+=+00011000000011xxyy==x2y2.22.解矩阵方程:.解:令A=111211111-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭, B=236⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭.因为(AE)=111100111100 211010031210 111001002101 --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1110003311101023611001022⎛⎫- ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪-⎝⎭,所以11103311123611022-⎛⎫-⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 由AX =B ,得:X =A -1B =1103312111332366211022⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 ),=(-1,-1, 1, 1 ),=(1, 3, 3, 5 ),=(4,-2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.解:将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换: 123411141132()21353156T T T T -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααα1114002603130426-⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-⎪-⎝⎭11141114002601130113001300260000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100701000013000⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭. 所以,1234(,)=3,r ,,αααα极大无关组为123413;73,,.=-αααααα24.a 取何值时,方程组有解?并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).解:对方程组的增广矩阵施以初等行变换:211111214212142053731741105372a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A若方程组有解,则()()r r =A A ,故a =5. 当a =5时,继续施以初等行变换得:164105553730155500000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ,原方程组的同解方程组为: 13434234416555,,337555x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩为自由未知量,令x 3=x 4=0,得原方程组的一个特解:453500⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 与导出组同解的方程组为:134342341655,,3755x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为自由未知量,令34x x ⎛⎫⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得到导出组的基础解系:165537,551001⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,方程组的全部解为: 12416555337555010001c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭v ,其中,c 1 ,c 2为任意常数.25.已知,求A 的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P ,使P –1AP =Λ(对角形矩阵).解:矩阵A 的特征多项式为:2200|121(2)(1)101λλλλλλ--=--=----|E A , 所以,A 的特征值为:1232,1λλλ===.对于122λλ==,求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系,0001012101000101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ,得基础解系:011,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值122λλ==的全部特征向量为:12120110,.01c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不全为零对于31λ=,求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系,100100111011100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ,得基础解系:011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值31λ=的全部特征向量为:01(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,所以, A 相似于对角矩阵,且010200101,020011001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P Λ.26.用配方法将下列二次型化为标准形:解:222123123121323()2444f x ,x ,x x x x x x x x x x =+-+--=22222112323232323[4()4()]4()+24x x x x x x x x x x x x +-+----- =2221232233(22)245x x x x x x x +--+- =222212322333(22)2(2)3x x x x x x x x +---+- =222123233(22)2()3x x x x x x +----.令11232233322y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩,即112223332x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩,得二次型的标准形为:22212323y y y --. 四、证明题(本大题共6分)27.设向量,证明向量组是R 3空间中的一个基.证:因为11011011002020111001-==≠,所以123,,ααα线性无关(方法多样),所以向量组123,,ααα是R 3空间中的一个基.线性代数(经管类)综合试题二(课程代码4184)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A.1 B.0 C.-1 D.-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是( D ).A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B| D.AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则( A ).A.B.C.D.4.矩阵的秩为2,则λ = (B ).A.2 B.1 C.0 D.5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1,是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组的基础解系为( D ).A.B.C.D.6.向量线性相关,则( C ).A.k =-4 B.k = 4 C.k =-3 D.k = 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).A.c1+c2 =1 B.c1= c2C.c1+ c2 = 0 D.c1= 2c28.设A为n(n≥2)阶方阵,且A2=E,则必有( B ).A.A的行列式等于1 B.A的秩等于nC.A的逆矩阵等于E D.A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1,则A-1的特征值为( D ).A.1, 2 B.2, 1, 1 C., 1 D., 1, 110.二次型是(A ).A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。