第五章 弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：
1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；
2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；
3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴
中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为
()()1
z
M x x EI ρ=
(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式
1. 横截面上任一点的正应力为
z
My
I σ=
(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为
max
max z
My I σ=
(5-3) max
z
z I W y =
(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：
1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比
5l
h
≥时，误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
[]max
max z
M W σσ=
≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为
[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤
Ⅵ、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。
2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使[]
[]
,max ,max t t c c y y σσσσ==
拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。
3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。
二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。 Ⅰ、矩形截面梁
假设切应力τ的方向平行于剪力s F ，其大小沿宽度b 均匀分布(图b )，由图a 中带阴影线部分微段的平衡条件，得
x
s z z
F S bI τ= (5-6) 式中，s F 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度，3
12
z bh I =，x z S 为横截面上距中性轴为y
的横向线以下(或以上)的部分面积2h b y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对中性轴z 的静面矩，其值为2224x
z b h S y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
可见切应力沿横截面高度h 按抛物线规律变化，2y h =±处，0τ=，0y =(中性轴处)时，
max ττ=，其值为
max 3322s s
F F bh A
τ=
=
(5-7) Ⅱ、工字形截面梁
1. 腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b )的平衡条件，得
x
s z z
F S dI τ= (5-8) 式中，s F 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，z I 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，x z S 为距中性轴z 为y 的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩
()211222x z h S b h d y δδδ⎡⎤⎛⎫
=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，
在腹板和翼缘交界处min τ，在中性轴处max τ，其值为
,max max s z z
F S dI τ=
(5-9)
式中，,max z S 为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min τ时，x z S 为下(或上)翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。型钢时,max z z I S 为型钢表中的x x I S 。 腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。 2. 翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度δ均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得
1x
s z z
F S I τδ= (5-10) 式中，δ为翼缘的厚度，s F 和z I 的意义和(5-8)式相同，x z S 为距翼缘端部为η的部分翼缘
面积()ηδ对中性轴z 的静面矩，22x z h S δηδ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，022h δη⎡⎤
⎛⎫≤≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，可见1τ沿翼缘宽度
按线性规律变化(图5-2，d)。
3. 切应力流
根据剪力s F 的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设s F 的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。
Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力
对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。 Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁
图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为 max 43s
F A
τ=⋅
(5-11) 式中，2
4
A d π
=
。
图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为
max 2
s
F A
τ= (5-12) 式中，02A R πδ=。 Ⅴ、切应力强度条件
对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力max F 所在的横截面上，一般位于该
