第八讲 函数的应用
【知识引入】
一．基本初等函数的单调性：
1．反比例函数的单调性：)0(≠=k x k
y ，由k 的符号确定； 2．分式函数的单调性：d
cx b
ax y ++=；
3．一次函数：)0(≠+=k b kx y ；
4．二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y ；确定单调性要素⎪⎩
⎪
⎨⎧-的大小②、对称轴的符号①、a b
a 2 5．耐克函数：)0(＞c x c x y +
=；双增函数：)0(-＞c x c x y =；双减函数：)0(-＞c x x
c
y =； 6．幂函数)21-3
1212-1-321(⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈=、、、、、、、a x y a
7．指数函数)1,0(≠=a a a y x
且＞；
8．对数函数)1,0(log ≠=a a y x
a 且＞；
9．三角函数：x y sin =、x y cos =、x y tan =；
10．其他函数：a x y -=、 b x a x y -+-=、 b x a x y --=-等。
二．复合函数的单调性：同增异减。
【知识拓展】
一．函数的迭代：一个函数的自复合，叫做迭代。我们用()k
g x 表示()g x 的k 次迭代函数，
即01(),()(())k k
g x x g x g g x +⎧=⎪⎨=⎪⎩。如果()(())()(1,2,,1)
p k g x x g x x g x x k p ⎧=⎪⎨≠=-⎪⎩对一切使有定义的，则称()g x 有迭代周期p 。
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般说来，若()y g x =的图像关于直线y x =对称，则一定有(())g g x x =。它的迭代周期是2.下面是几个常见函数的迭代周期。
27()1x g x x -=
+，迭代周期是3；1()1x g x x -=+，迭代周期是4；1()2x
g x x
+=-，迭代周期是6.
二．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上：
下凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)
上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有
1212((1))()(1)()
f x x f x f x λλλλ+-≤+-，特别地，
1
2
λ=
时，有
1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
，则称()f x 为[]a b ，上的下凸函数．如图(１)
定理一．若()f x 是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点12n x x x 、、、，恒有：
12
12()()()
n n x x x f x f x f x f n n +++++
+⎛⎫≤
⎪⎝⎭
上凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)
上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有
1212((1))()(1)()
f x x f x f x λλλλ+-≥+-，特别地，
1
2
λ=
时，有
1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≥ ⎪
⎝⎭
，则称()f x 为[]a b ，上的上凸函数．如图(2)
定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点12...n x x x 、、、恒有：
)](...)()([1
)...(
2121n n x f x f x f n
n x x x f +++≥+++
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
例如：容易验证12
tan log y x y x ==，分别是(0,)(0,)2
π
+∞，
上的下凸函数。x 1
x 2
M
(2)
P Q x 1
x 2
M
(1)
P Q
sin lg y x y x ==，分别是[0,](0,)π+∞，
上的上凸函数。 如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义之外，有下面的定理：
设f 为I 上二阶可导函数，则f 为I 上的凸（凹）函数的充要条件是
''()0(''()0)f x f x ≥≤。
【典例精讲】
例1．（2006复旦）设12,0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且12x x ≠，下列不等式中成立的是（ ）
。 ①
12121(tan tan )tan ;22x x x x ++> ②12121
(tan tan )tan 22
x x x x ++<； ③12121(sin sin )sin 22x x x x ++>； ④12121
(sin sin )sin 22
x x x x ++<。 （A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ ►分析与解：
这是一道与凸函数有关的问题，分别画出tan y x =，sin y x =，0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
的草图。 如图6-1，设11(,tan )A x x 、22(,tan )B x x ，C 是AB 的中点，过,,A B C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为111,,A B C ，1CC 与tan y x =交于D 点。由
1211121
(tan tan )tan 22
x x CC DC x x +>⇔
+>。 同理，如图6-2，12121
(sin sin )sin 22
x x x x ++<。故①、④正确，选B 。
注：tan y x =，sin y x =在0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上分别是凸函数和凹函数。
例2．（2009清华）0,0,1a b a b >>+=，*n N ∈，求证：2221
2n
n n a b -+≥
。
►分析与解：
构造函数2,*n
y x n N =∈，先证明它是凸函数。 事实上，21'2n y nx
-=，22
''2(21)0n y n n x
-=-≥，故2,*n y x n N =∈是(,)-∞+∞上
