高等数学下册（同济大学第七版）
知识点
高等数学下册知识点
下册预备知识
第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：222z y x r ++= ；
2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4） 方向余弦：r
z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、 数量积：θcos b a b a
=⋅
1）2
a a a =⋅
高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
2、 向量积：b a c
⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则
1）0
=⨯a a 2）b a //⇔0
=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b
⨯-=⨯
（三） 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S
2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，
绕
y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f
3、 柱面：
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面
1）椭圆锥面：
2
2
2
2
2
z
b
y
a
x
=
+
2）椭球面：
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
旋转椭球面：
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
a
y
a
x
3）单叶双曲面：
1
2
2
2
2
2
2
=
-
+
c
z
b
y
a
x
4）双叶双曲面：
1
2
2
2
2
2
2
=
-
-
c
z
b
y
a
x
5）椭圆抛物面：
z
b
y
a
x
=
+
2
2
2
2
6）双曲抛物面（马鞍面）：
z
b
y
a
x
=
-
2
2
2
2
7）椭圆柱面：
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
8）双曲柱面：
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
9）抛物柱面：
ay x=
2
（四）空间曲线及其方程
1、 一般方程：⎪⎩
⎪⎨⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt
z t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x H
（五） 平面及其方程
1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x
2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++c
z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，
22222221212
12
12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A
⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==
4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：
